精品解析：江西省南昌市南昌中学2026-2027学年高三上学期10月测试数学试题

南昌中学2026-2027学年度上学期10月测试 高三数学试卷 命题：高三数学备课组 审题：高三数学备课组 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 设，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分母有理化进行复数的运算. 【详解】因为， 所以的虚部是. 2. 已知函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数与对数函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】易知的定义域为， 因为函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以存在使得，即B正确. 3. 在等比数列中，，，则公比（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解出集合，再根据补集和交集的定义求解. 【详解】，或，， ，，. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式展开已知条件中的，通过移项化简得到的值，再利用余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】由题知， 所以，即， 所以. 故选：B. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，令，利用导数可得函数为单调递增函数，根据，可得,，即可得答案. 【详解】因为，所以， 令， 求导得， 当，时，， 所以， 所以当，为单调递增函数， 由题意可得， 所以，， 即， 所以. 7. 已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解. 【详解】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为, 由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为， 由相切可得，化简可得， 故是方程的两个根，故 故选：D 8. 数列中，，，数列是首项为4，公比为的等比数列，设数列的前项积为，数列的前项积为，的最大值为（ ） A. 4 B. 20 C. 25 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用累加法求得,由等比数列的定义可得,设,若求的最大值,需使,即,分别设,,利用图象找到交点的范围,进而得到符合条件的整数,代回求解即可 【详解】由题,, 则,,…,, 则,即, 又数列是首项为4,公比为的等比数列,则, 设, 则数列的积为,若求的最大值,则,即, 则,设,, 则函数与的图象如图所示, 设交点的横坐标为,则,则当时,；当时,, 即,,则当时,；当时,, 所以当时,取得最大值为, 故选:B 【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式,考查等比数列的通项公式,考查函数法解决数列问题,考查数形结合思想 二､多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； B. 设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位； C. 设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于0，和之间的线性相关程度越弱； D. 数据2，3，4，5，6，6，8，10，12，15的第70百分位数为8 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，由条件利用方差的定义，即可判断是否正确；对于选项B，通过回归方程的性质，即可判断是否正确；对于选项C，根据具有相关关系的两个变量的相关系数值与相关性，即可判断是否正确；对于选项D，利用百分位的定义即可求解. 【详解】根据方差公式，可知将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变．故A正确； 变量增加一个单位时，平均减小5个单位，故B不正确； 设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于，和之间的线性相关程度越弱，故C正确； 对于D，由于，所以数据2，3，4，5，6，6，8，10，12，15的第70百分位数为,故D错误. 10. 在棱长为1的正方体中，点是线段（含端点）上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若点在正方形内（含边界），且，则点的轨迹长为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 存在点，使得异面直线与所成的角为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；确定轨迹并求出长度判断B；利用点到平面距离公式及锥体的体积公式判断C；求出异面直线夹角余弦范围判断D.. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 对于A，，，因此，A正确； 对于B，点M在正方形内（含边界），由平面，而平面， 得，又，因此， 点M在以点为圆心，半径为的圆周上，点M的轨迹长为，B错误； 对于C，，设平面的法向量， 则，取，得，点到平面的距离， 在三棱锥中，，，因此 ，当且仅当，即点P与点重合时取等号，C正确； 对于D，， ，而， 因此不存在点，使得异面直线与所成的角为，D错误． 11. 已知是上的连续函数，满足，有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 的一个周期为3 D. 是的一个对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，解得判断A，再令结合偶函数定义分析判断B；再分析可知是以6为周期的周期函数判断C，计算得出对称中心判断D， 【详解】因为，且的定义域为，关于原点对称， 对于选项A：令，则，解得或， 若，令时，， 这与矛盾，故，故A正确； 对于选项B：令，则， 即，可知是偶函数，所以，则为偶函数，故B正确； 对于选项C：因为，， 当时，，故， 当时，，故， 当时，，又，故， 当时，， 所以，即，则， 所以，故是以6为周期的周期函数，故C不正确； 对于D，由于，则， 所以， ， 所以 故是的一个对称中心，故D正确； 三､填空题：共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为______． 【答案】60 【解析】 【详解】的展开式的通项为，，1，2，…，6， 令，得，所以的展开式中常数项为． 13. 已知平面向量与满足，，且在方向上的投影向量为.若不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的概念结合平面向量的坐标运算及不等式恒成立计算即可. 【详解】由题意可知在方向上的投影向量， 则，所以，所以反向， 不妨设， 则，故恒成立， 整理得，解之得. 14. 设非空集合，满足，，当时，，当时，，若为偶函数，则集合的元素个数最大可能值为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】求出函数的定义域并确定奇偶性，再作出它们的图象，结合已知确定集合即可得解. 【详解】函数的定义域为，，即函数是偶函数， 函数的定义域为，是非奇非偶函数， 在同一坐标系内作出函数，的图象，如图， 观察图象知，函数与的图象有三个交点，其横坐标依次为， 当时，满足，，且是偶函数， 当时，满足，，且是偶函数， 当时，满足，，且是偶函数， 当时，满足，，且是偶函数， 当时，满足，，且是偶函数， 当时，满足，，且是偶函数， 当时，满足，，且是偶函数， 当时，满足，，且是偶函数， 所以集合的元素个数最大可能值为4. 四､解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤. 15. 如图所示，函数(,)的图象与轴交于点，且该函数的最小正周期为. （1）求和的值； （2）点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值. 【答案】（1），；（2）或. 【解析】 【分析】（1）由函数图象过点可得，进而可得，再由即可得； （2）由题意结合中点坐标公式可得，进而可得，结合的取值范围即可得解. 【详解】（1）将，代入函数中， 可得即， 又，∴； ∵，且，∴； （2）∵点，是的中点，， ∴点的坐标为， 又点在的图象上，且， ∴，且， 从而得或， 所以或. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的确定及三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 16. 已知双曲线：的左､右焦点分别为，，且.过的直线与交于，两点. （1）求的方程； （2）若，均在的右支上，且的周长为，求的方程； 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再由，求出的值，即可得答案； （2）由的周长为，结合双曲线的定义可得，设直线，与双曲线方程联立，结合韦达定理及弦长公式求出的值，即可得答案. 【小问1详解】 因为，即， 所以， 又，所以. 所以双曲线的方程为：. 【小问2详解】 因为均在的右支上，且的周长为， 所以. 如图： 因为，设直线， 代入， 得， 整理得：. 设， 因为均在的右支上， 所以，且， 所以， 所以. 所以. 所以. 所以直线的方程为：， 即. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，且为正三角形，E，F分别为的中点，． （1）证明：平面． （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）设的中点为K，连接． 因为，所以． 又因为G为的重心，所以，所以，所以． 又因为平面平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形重心的性质，结合线段成比例性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据面面垂直的性质定理、三棱锥的体积公式，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为， ，所以 以E为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则平面的一个法向量为 ， 则． 设平面的法向量为， 即令， 则， ． 设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为 【点睛】 18. 一批零件共件，其中有件次品，质检人员不放回逐一抽取检验，直到把所有次品全部检出停止检验.设检验停止时一共抽取了件零件.记为第件被抽检零件是次品的概率，表示第件恰好是最后一件次品的概率. （1）当，时，求； （2）求和； （3）求，，. 【答案】（1）. （2）；. （3）； ，. 【解析】 【分析】（1）当时，次品等可能出现在第1､2､3､4任意位置；也可以根据时，第2件就是那唯一的次品，第 1 件必须是正品.不放回简单概率计算. （2）从，可知， 求，根据每次抽到次品的概率相等，求即满足在前次共抽到1个次品，第次抽到第2个次品，用组合计数处理不放回抽样. （3）这一问是上问的一般化， 满足在前次共抽到个次品，第次抽到第k个次品，类比上问计算可得. 【小问1详解】 事件“第2件恰好是最后一件次品”等价于次品在第2次被抽到. 法一：次品等可能出现在第1､2､3､4任意位置，因此， 法二：第1件抽到正品，第2件抽到次品，因此. 【小问2详解】 不放回抽样：每次抽到次品的概率相等，可得； 求，即满足在前次共抽到1个次品， 第次抽到第2个次品，的取值范围为. 得到， 当时，；所以. 【小问3详解】 不放回抽样：每次抽到次品的概率相等；； 求，即满足在前次共抽到个次品， 第i次抽到第k个次品，的取值范围为. 可得， 而，所以, 得到 . 19. 已知函数. （1）若，求函数在上的最值； （2）已知函数有两个不同的零点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）把代入，即在闭区间求最值，求导找驻点，比较驻点和两端函数值,比较大小可得. （2）（i）零点个数问题，通过参变分离转化为与两个函数图象交点问题. （ii）零点带对数差约束，通过比值换元，由转化为关于的函数，构造函数由的范围得出的范围，再由求值域，即可得到的范围. 【小问1详解】 若，则， 令, 在单调递增，在单调递减，从而在单调递增，在单调递减，则， 又. 【小问2详解】 （i）令，令，则， 令 在单调递增，在单调递减，所以， 又知当时，恒成立，且，故有两个不同的零点，得到方程有两个不等正根，则直线与的图象有两个交点. 故，即. （ii）根据（i），不妨设， 则由（*）， 令，则，再令, 则在单调递减， 在单调递减， 又 ，则在单调递减，，即 ，又由（*）式知， 在单调递增，且， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌中学2026-2027学年度上学期10月测试 高三数学试卷 命题：高三数学备课组 审题：高三数学备课组 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 设，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，，则公比（ ） A. B. 3 C. D. 9 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A. B. C. D. 8. 数列中，，，数列是首项为4，公比为的等比数列，设数列的前项积为，数列的前项积为，的最大值为（ ） A. 4 B. 20 C. 25 D. 100 二､多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； B. 设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位； C. 设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于0，和之间的线性相关程度越弱； D. 数据2，3，4，5，6，6，8，10，12，15的第70百分位数为8 10. 在棱长为1的正方体中，点是线段（含端点）上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若点在正方形内（含边界），且，则点的轨迹长为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 存在点，使得异面直线与所成的角为 11. 已知是上的连续函数，满足，有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 的一个周期为3 D. 是的一个对称中心 三､填空题：共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为______． 13. 已知平面向量与满足，，且在方向上的投影向量为.若不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 14. 设非空集合，满足，，当时，，当时，，若为偶函数，则集合的元素个数最大可能值为_______. 四､解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤. 15. 如图所示，函数(,)的图象与轴交于点，且该函数的最小正周期为. （1）求和的值； （2）点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值. 16. 已知双曲线：的左､右焦点分别为，，且.过的直线与交于，两点. （1）求的方程； （2）若，均在的右支上，且的周长为，求的方程； 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，且为正三角形，E，F分别为的中点，． （1）证明：平面． （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18. 一批零件共件，其中有件次品，质检人员不放回逐一抽取检验，直到把所有次品全部检出停止检验.设检验停止时一共抽取了件零件.记为第件被抽检零件是次品的概率，表示第件恰好是最后一件次品的概率. （1）当，时，求； （2）求和； （3）求，，. 19. 已知函数. （1）若，求函数在上的最值； （2）已知函数有两个不同的零点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $