精品解析：湖南衡阳市衡阳县2026-2027学年九年级上学期第一次阶段性练习数学试题

2026年下学期第一次阶段性练习题 九年级数学 提示： 1．本学科练习题共三道大题，满分120分，时量120分钟． 2．本学科练习题的作答一律答在答题卡上，选择题用2B铅笔按涂写要求将你认为正确的选项涂黑；非选择题用黑色墨水签字笔作答，作答不能超出黑色矩形边框．直接在问卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 若，，则a与b的关系是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 若、是一元二次方程的两根，则的值是（　　） A. B. C. D. 3 9. 如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（ ）． A. 50 B. 55 C. 60 D. 65 10. 如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 使二次根式有意义的x的取值范围是__________． 12. 比较大小： _____．（选填“>”“<”或“=”） 13. 计算：________． 14. 若最简二次根式和是同类二次根式，则m=_____． 15. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 16. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 若，，求下列式子的值： （1）； （2）． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 22. 实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． （1）这个文化长廊的周长是多少米？ （2）刷涂料的面积是多少平方米？ 23. 阅读与思考：配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决求最值问题．例如：求代数式的最小值，过程如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． （1）的最大值为 ； （2）求的最小值． 24. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是______； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期第一次阶段性练习题 九年级数学 提示： 1．本学科练习题共三道大题，满分120分，时量120分钟． 2．本学科练习题的作答一律答在答题卡上，选择题用2B铅笔按涂写要求将你认为正确的选项涂黑；非选择题用黑色墨水签字笔作答，作答不能超出黑色矩形边框．直接在问卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵一元二次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③是整式方程， 对于选项A：，满足上述三个条件，∴是一元二次方程，符合题意； 对于选项B：，未知数最高次数为1，不满足条件②，∴不是一元二次方程，不符合题意； 对于选项C：，含有分式，不是整式方程，不满足条件③，∴不是一元二次方程，不符合题意； 对于选项D：，含有两个未知数x和y，不满足条件①，∴不是一元二次方程，不符合题意， 故选：A． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 6. 若，，则a与b的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较及分母有理化，先根据二次根式的运算法则将分母有理化，再将与比较即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D 7. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．讨论：时，方程有实数根；当，，即可求解． 【详解】解：当，即时，方程变形为，此方程有实数根为， 当且时，方程有实数根， 解得：且， 的取值范围为． 故选：A． 8. 若、是一元二次方程的两根，则的值是（　　） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．根据根与系数的关系得到，，再变形，然后利用代入计算是解决问题的关键． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴，， 则， 故选：B． 9. 如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（ ）． A. 50 B. 55 C. 60 D. 65 【答案】C 【解析】 【分析】依据题意，大正方形的边长为两个小正方形的边长之和，则剩下的面积用大正方形的面积减去和的和即可． 【详解】解：由图知，大正方形的边长为两个小正方形的边长之和， 即， 则大正方形的面积为：， 故剩下部分的面积． 10. 如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1）， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是： 故选：C． 【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 使二次根式有意义的x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 12. 比较大小： _____．（选填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次根式的大小．通过平方将无理数比较转化为有理数比较，根据平方后的结果判断原数大小即可． 【详解】解：∵，，又， ∴． 故答案为：． 13. 计算：________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握相关运算法则是解题关键．先计算除法，再计算乘法即可． 【详解】解： 故答案为：． 14. 若最简二次根式和是同类二次根式，则m=_____． 【答案】7． 【解析】 【分析】由最简二次根式的定义可得3m+1=8+2m，解出m即可. 【详解】由题意得：3m+1=8+2m，解得：m=7. 故答案为7. 【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义. 15. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴需满足， 由解得或又由得， ∴． 16. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，利用根与系数的关系得到，将所求代数式拆分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 解：原式， ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先将常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ，． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式 【解析】 【分析】根据分式四则混合运算的顺序先算括号内的减法，再算括号外的除法依次对原分式进行化简，再代入的值计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 20. 若，，求下列式子的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先求出与的值，再对所求代数式变形，整体代入求值． 【小问1详解】 解： ∵，， ∴ ． 【小问2详解】 解： ∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查二次根式化简求值，运用整体思想，先求、，再将所求式子配方变形代入，简化计算，避免直接代入复杂根式运算． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：方程的两个实数根为，， ，， ， ， ， 解得． 22. 实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． （1）这个文化长廊的周长是多少米？ （2）刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】（1）该长方形的文化长廊区域的周长为米 （2）刷涂料的面积为平方米 【解析】 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【小问1详解】 解：根据题意可得，这个文化长廊的周长 （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； 【小问2详解】 解： （平方米） 答：刷涂料的面积为平方米． 23. 阅读与思考：配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决求最值问题．例如：求代数式的最小值，过程如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． （1）的最大值为 ； （2）求的最小值． 【答案】（1）3 （2）12 【解析】 【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【小问1详解】 解： ∵ ∴ ∴的最大值为3 ∴的最大值为3； 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴． ∴的最小值是12． 24. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是______； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【小问1详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； 【小问2详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； 【小问3详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $