第三十章直线与圆的位置关系导学案和校本作业 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年九上数学人教版导学案 第三十章 直线与圆的位置关系 30.3 切线长定理（第4课时） 班级：______________ 座号：______________ 姓名：______________ 【学习目标】 学习目标：1. 理解切线长的概念，掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 2. 会运用切线长定理进行计算和证明。 3. 通过定理的探究，体会对称与转化的思想。 学习重点：切线长定理及其应用。 学习难点：在复杂图形中识别切线长相等与角平分线关系。 【课前探究】 探究一 切线长与切线长定理 1. 定义：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做切线长（length of tangent）。 2.（例）如图，PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，A、B 为切点。连接 OA、OB、OP。 3. 探究：PA 与 PB 相等吗？∠APO 与 ∠BPO 相等吗？（在 Rt△OAP 与 Rt△OBP 中，OA=OB、OP 公共、∠OAP=∠OBP=90°，由 HL 得全等，从而 PA=PB、∠APO=∠BPO。） 4. 归纳（切线长定理）：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 探究二 应用 5. 如图，PA、PB 切 ⊙O 于 A、B，PO 交 AB 于 C。说明：PO 垂直平分 AB，且 OC·OP = OA²（射影定理形式）。 6. 应用：已知 PA = 6，∠APB = 60°，求 ⊙O 的半径。（Rt△OAP 中，∠APO=30°，OA = PA·tan30° = 2√3。） 2026-2027学年九上数学人教版校本作业 预计用时：30 min 开始时间：______________ 结束时间：______________ 第三十章 直线与圆的位置关系 30.3 切线长定理（第4课时） 姓名：______________ 座号：______________ 班级：______________ 【夯实基础】 1. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，________相等，圆心和这一点的连线________两条切线的夹角。 2. 如图，PA、PB 切 ⊙O 于 A、B，若 PA = 8，则 PB = ________；若 ∠APB = 50°，则 ∠AOB = ________。 3. 如图，PA、PB 是 ⊙O 的切线，A、B 为切点，PO 交 AB 于 C。若 OA = 5，OP = 13，则 PC = ________，AB = ________。 4. 判断题：切线长就是切线的长度。（ ）；从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线一定关于 PO 对称。（ ） 【能力提升】 5. 如图，PA、PB 切 ⊙O 于 A、B，PO 交 ⊙O 于 E、F，交 AB 于 C。若 PA = 6，∠APB = 60°，求 ⊙O 的半径及 EF 的长。 6. 如图，△ABC 中，∠C = 90°，以 AC 上一点 O 为圆心、OA 为半径作圆，分别切 BC、AB 于 D、E。若 BC = 6，AC = 8，求 ⊙O 的半径。 7. 已知 PA、PB 切 ⊙O 于 A、B，C 是优弧 AB 上一点，过 C 的切线分别交 PA、PB 延长线于 M、N。探究 △PMN 的周长与 PA 的关系，并证明。 【拓展探究】 8. 选做：如图，PA、PB 切 ⊙O 于 A、B，连接 AB，在 AB 上任取一点 Q，过 Q 作 ⊙O 的切线分别交 PA、PB 于 M、N。证明：QM + QN 为定值，并求其值（用 PA 表示）。 9. 思考：比较"切线长定理"与"全等三角形的判定"，说明切线长定理在简化证明中的作用。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九上数学人教版导学案 第三十章 直线与圆的位置关系 章末数学活动2 正多边形、圆与密铺图案（第8课时） 班级：______________ 座号：______________ 姓名：______________ 【活动目标】 活动目标：1. 欣赏并设计由正多边形和圆构成的图案，理解平面密铺（镶嵌）的条件。 2. 会判断哪些正多边形能单独密铺，能组合设计美观的镶嵌图案。 3. 经历"观察—计算—创作"的过程，发展几何直观与创新意识。 活动准备：边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸片（或方格纸、彩笔）。 【活动过程】 活动一 哪些正多边形能密铺 1. 用边长相等的正多边形铺满平面（密铺），要求每个顶点处各内角之和为 360°。正三角形、正方形、正六边形可以单独密铺；正五边形不能。 2. 计算：正 n 边形每个内角 = (n-2)·180°/n。判断哪些 n 能使 k·内角 = 360° 有正整数解 k。 活动二 组合密铺与设计 3. 探究：正方形与正八边形能否组合密铺一个顶点？（90° + 3×135° 不对；可尝试 2 正八 + 1 正方：135×2+90=360，可行。） 4. 任务：以"圆 + 基本正多边形"为元素，设计一幅"旋转对称 + 中心对称"的壁纸图案，说明所用变换（旋转角度、对称中心）与配色思路。 活动三 展示与互评 5. 分组展示作品，从"对称性、美观性、创意性、数学正确性"四方面互相评价，并选出优秀设计。 2026-2027学年九上数学人教版校本作业 预计用时：30 min 开始时间：______________ 结束时间：______________ 第三十章 直线与圆的位置关系 章末数学活动2 正多边形、圆与密铺图案（第8课时） 姓名：______________ 座号：______________ 班级：______________ 【夯实基础】 1. 单独能密铺平面的正多边形有：________（写出名称）。它们的一个内角分别能整除________°。 2. 计算正八边形的每个内角，并判断它能否单独密铺。 3. 正 n 边形的每个内角 = ________；若它能在顶点处由 k 个拼成 360°，则 k·(n-2)·180°/n = ________。 【能力提升】 4. 验证：2 个正八边形与 1 个正方形能否在一个顶点处密铺，并说明角度计算。 5. 设计一个"正三角形 + 正六边形"的组合密铺方案，画出顶点处角度分配（如 2 正三角 + 2 正六：60×2+120×2=360）。 【拓展探究】 6. 选做：探究"正十边形能否与另一种正多边形组合密铺"，若可以，给出一种组合及角度计算。 7. 利用圆与正多边形的对称性，设计一枚班徽，画出示意图并写设计说明（变换方式、对称中心、寓意）。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九上数学人教版导学案 第三十章 直线与圆的位置关系 章末数学活动1 切线性质的应用（第7课时） 班级：______________ 座号：______________ 姓名：______________ 【活动目标】 活动目标：1. 利用切线"垂直于过切点的半径"这一性质，解决测量与图案设计中的实际问题。 2. 通过"切线法测距""皮带传动"等实例，体会数学知识在工程技术中的应用。 3. 经历"建模—推理—计算"的过程，发展应用意识与几何直观。 活动准备：圆规、直尺、量角器、皮尺（或数据表）、计算器。 【活动过程】 活动一 切线法测距离 1. 情境：要测量一个圆形池塘的半径，但无法到达圆心。可以在岸边找一点 P，使视线 PT 刚好"擦着"对岸树顶 T 与塘基 B 的连线与圆相切，记录数据后用切线性质求解。 2. 任务：设计一份"用切线性质测量池塘最宽处"的方案，写出所需的测量数据和计算公式。 活动二 切线与皮带传动 3. 观察皮带传动：皮带与轮缘相切，两切点间的外公切线长度相等——这正是切线长定理的体现。说明为什么两条皮带的总长度可以相等地分配。 4. 计算：两个轮子半径分别为 3 和 5，圆心距为 13。求两圆外公切线的长度。（构造直角三角形，切线长 = √(13² - (5-3)²) = √165。） 活动三 设计 5. 利用切线性质设计一个"圆形花台外环绕等宽小径"的平面图：使小径两侧到圆心的距离差为常数，说明其几何意义。 2026-2027学年九上数学人教版校本作业 预计用时：30 min 开始时间：______________ 结束时间：______________ 第三十章 直线与圆的位置关系 章末数学活动1 切线性质的应用（第7课时） 姓名：______________ 座号：______________ 班级：______________ 【夯实基础】 1. 圆的切线________于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，________相等。 2. 两圆外切，半径分别为 2 和 3，圆心距为 5。求它们的一条外公切线长（提示：作辅助线构造直角三角形）。 3. 从圆外一点 P 引 ⊙O 的切线 PA（A 为切点），PO = 10，OA = 6，求切线长 PA。 【能力提升】 4. 某公园有一个圆形喷泉池，半径为 4 m。要在池外铺设一圈宽为 1 m 的环形地砖。求环形地砖的外圆周长（用切线/圆周知识说明铺设思路）。 5. 两圆圆心距为 17，半径分别为 8 和 15。判断两圆位置关系，并求其外公切线长。 6. 从圆外一点 P 引两条切线 PA、PB（A、B 为切点），PO 平分 ∠APB，且 PA = 12。若 ∠APB = 60°，求 ⊙O 半径。 【拓展探究】 7. 选做：设计一个"用一根皮尺测量大树直径"的方案（提示：利用切线长相等或圆的割线性质），写出步骤与公式。 8. 探究：当两圆相离时，外公切线与内公切线各有几条？分别在什么条件下存在？画图说明。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九上数学人教版导学案 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1 直线和圆的位置关系（第1课时） 班级：______________ 座号：______________ 姓名：______________ 【学习目标】 学习目标：1. 通过"日出"等情境，理解直线与圆的三种位置关系：相离、相切、相交。 2. 掌握用圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系判断直线与圆的位置关系（d > r 相离；d = r 相切；d < r 相交）。 3. 会用公共点的个数和 d 与 r 的关系两种方法进行判断。 学习重点：直线与圆的三种位置关系及数量判断。 学习难点：把"位置关系"转化为"数量关系" d 与 r 的比较。 【课前探究】 探究一 直线与圆的位置关系 1. 观察"日出"：太阳（看作圆）从地平线（看作直线）下升起的过程中，圆与直线的公共点个数在不断变化。 2. 归纳三种位置关系： （1）直线与圆没有公共点，叫做相离（separated）； （2）直线与圆有唯一公共点，叫做相切（tangent），这条直线叫切线，唯一的公共点叫切点； （3）直线与圆有两个公共点，叫做相交（intersecting），这条直线叫割线。 3. 思考：用公共点的个数能区分三种位置关系吗？（能：0、1、2 个。） 探究二 用数量关系判断 4. 设 ⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d。观察：当 d > r、d = r、d < r 时，直线与圆的位置关系分别是什么？ 5. 归纳：直线 l 与 ⊙O 相离 ⇔ d > r；直线 l 与 ⊙O 相切 ⇔ d = r；直线 l 与 ⊙O 相交 ⇔ d < r。 6.（例）已知 ⊙O 的半径 r = 5，圆心 O 到直线 l 的距离 d = 4。判断直线 l 与 ⊙O 的位置关系。（相交。） 7. 反过来填空：若直线与圆相交，则 d______r；若相切，则 d______r；若相离，则 d______r。 2026-2027学年九上数学人教版校本作业 预计用时：30 min 开始时间：______________ 结束时间：______________ 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1 直线和圆的位置关系（第1课时） 姓名：______________ 座号：______________ 班级：______________ 【夯实基础】 1. 直线与圆的位置关系有三种：________、________、________，对应的公共点个数分别为________、________、________。 2. 已知 ⊙O 的半径 r = 3，圆心 O 到直线 l 的距离 d = 4，则直线 l 与 ⊙O 的位置关系是________。 3. 已知 ⊙O 的半径 r = 5，直线 l 与 ⊙O 相切，则圆心 O 到直线 l 的距离 d = ________。 4. 圆心 O 到直线 l 的距离 d = 2，⊙O 的半径 r = 2.5，则直线 l 与 ⊙O 的公共点有（ ）。 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 无法确定 5. 已知 ⊙O 的直径为 10，圆心 O 到直线 l 的距离为 6，判断直线 l 与 ⊙O 的位置关系。 【能力提升】 6. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4。以 C 为圆心、r 为半径作圆。当 r 分别为多少时，直线 AB 与 ⊙C 相离、相切、相交？ 7. 已知 ⊙O 的半径为 5，点 O 到直线 l 的距离 d 是关于 x 的方程 x² - 6x + m = 0 的一个根。若方程有实数根且 d > 5，求 m 的取值范围。 8. 如图，在正方形 ABCD 中，以 A 为圆心、AB 为半径画弧交对角线 AC 于 E。判断直线 AC 与 ⊙A 的位置关系，并说明理由。 【拓展探究】 9. 已知 ⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d。若 d、r 是关于 t 的一元二次方程 t² - 9t + 20 = 0 的两个根，试判断直线 l 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由。 10. 选做：在平面直角坐标系中，⊙O 是以原点为圆心、半径为 2 的圆，直线 l 的表达式为 y = x + b。当 b 为何值时，直线 l 与 ⊙O 相离、相切、相交？ 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九上数学人教版导学案 第三十章 直线与圆的位置关系 30.5 正多边形和圆（第6课时） 班级：______________ 座号：______________ 姓名：______________ 【学习目标】 学习目标：1. 了解正多边形与圆的关系：把一个圆 n 等分，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形。 2. 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念，掌握相关计算（中心角 = 360°/n）。 3. 会计算正多边形的边长、半径、边心距、面积，能进行简单作图。 学习重点：正多边形与圆的关系及有关计算。 学习难点：把正多边形问题转化为直角三角形中的三角函数计算。 【课前探究】 探究一 正多边形与圆 1. 问题：如何把一个圆分成相等的 n 段弧？（用量角器把圆周角 n 等分，每份弧所对圆心角为 360°/n。） 2. 归纳：把一个圆 n 等分，依次连接各分点，所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形；这个圆叫做该正多边形的外接圆。 3. 概念：正多边形的中心（外接圆圆心）、半径（外接圆半径）、边心距（中心到边的距离）、中心角（∠AOB，大小 = 360°/n）。 探究二 计算 4.（例）已知正 n 边形的半径为 R，中心角为 θ = 360°/n，则边长 a = 2R·sin(θ/2)，边心距 r = R·cos(θ/2)，面积 S = (1/2)·n·a·r。 5. 应用：求边长为 2 的正六边形的半径、边心距和面积。（半径 = 边长 = 2，边心距 = √3，面积 = 6√3。） 6. 思考：正 n 边形都是轴对称图形吗？当 n 为偶数时，它还是中心对称图形吗？ 2026-2027学年九上数学人教版校本作业 预计用时：30 min 开始时间：______________ 结束时间：______________ 第三十章 直线与圆的位置关系 30.5 正多边形和圆（第6课时） 姓名：______________ 座号：______________ 班级：______________ 【夯实基础】 1. 填空：正 n 边形的中心角 = ________；正 n 边形的半径、边心距与半边构成一个________三角形。 2. 求半径为 2 的正三角形的边长、边心距和面积。 3. 求边长为 4 的正六边形的半径、边心距和面积。 4. 判断题：各边相等的多边形是正多边形。（ ）；圆内接正 n 边形一定是轴对称图形。（ ） 【能力提升】 5. 已知正五边形的半径为 R，求其边长 a 和边心距 r（用 R 与三角函数表示），并计算中心角。 6. 一个正 n 边形的每个外角都等于 30°，求它的中心角、边数 n 以及它是不是中心对称图形。 7. 已知正方形 ABCD 的外接圆半径为 2，求其边长、边心距和面积。 【拓展探究】 8. 选做：证明正 n 边形的面积 S = (n/2)·R²·sin(360°/n)（R 为半径），并用此公式求半径为 1 的正六边形的面积。 9. 探究：用等分圆周的方法，如何只用圆规和直尺作出圆内接正六边形？写出作图步骤并说明理由。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九上数学人教版导学案 第三十章 直线与圆的位置关系 30.2.2 切线的性质（第3课时） 班级：______________ 座号：______________ 姓名：______________ 【学习目标】 学习目标：1. 掌握切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 2. 会运用"切线⊥半径"解决有关计算和证明，知道过圆上一点有且只有一条切线。 3. 通过性质与判定的互逆关系，体会几何中的对偶思想。 学习重点：切线的性质定理及应用。 学习难点：见切线时添加"连接圆心与切点"这一常用辅助线。 【课前探究】 探究一 切线的性质 1. 实验：在圆上取一点 A，过 A 作切线 l，连接半径 OA，测量 OA 与 l 的夹角，你发现了什么？（OA⊥l。） 2. 归纳（性质定理）：圆的切线垂直于过切点的半径。符号表示：若 l 切 ⊙O 于 A，则 OA⊥l。 3. 推论：过圆上一点有且只有一条切线；从圆外一点可作两条切线；过圆心作切线的垂线必过切点。 探究二 例题学习 4.（例 2）如图，直线 PA 与 ⊙O 相切于点 A，PO 交 ⊙O 于点 B，且 PA = 4，∠APO = 30°。求 ⊙O 的半径和 PB 的长。 思路：连接 OA，由切线⊥半径得 ∠OAP = 90°。在 Rt△OAP 中，∠APO = 30°，PA = 4，可得 OA = PA·tan30° = 4√3/3，OP = 2OA，从而 PB = OP - OB = OP - OA = OA = 4√3/3。 探究三 综合应用 5. 常用辅助线口诀："见切点，连半径，得垂直"。如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 切 ⊙O 于点 C，AD⊥l 于 D。求证：AD∥BC，且 AD + BC = AB。 2026-2027学年九上数学人教版校本作业 预计用时：30 min 开始时间：______________ 结束时间：______________ 第三十章 直线与圆的位置关系 30.2.2 切线的性质（第3课时） 姓名：______________ 座号：______________ 班级：______________ 【夯实基础】 1. 切线的性质定理：圆的切线________于过切点的________。 2. 如图，PA 切 ⊙O 于 A，PO 交 ⊙O 于 B，若 PA = 3，OA = 4，则 OP = ________，∠APO = ________。 3. 已知 ⊙O 的半径为 5，直线 l 切 ⊙O 于点 T，OT = ________，OT 与 l 的位置关系是________。 4. 判断题：圆的切线垂直于半径。（ ）；过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（ ） 【能力提升】 5. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 切 ⊙O 于点 C，AD⊥l 于 D。若 ⊙O 半径 r = 3，AD = 8，求 BC 的长。 6. 如图，PA、PB 分别切 ⊙O 于 A、B，PO 交 AB 于 C。若 PA = 5，PO = 13，求 AB 的长。 7. 已知 ⊙O 的半径为 r，一条切线与直径 AB 的延长线交于点 P，且 ∠P = 30°。用 r 表示 OP 与 PB 的长。 【拓展探究】 8. 如图，△ABC 中，∠C = 90°，以 BC 为直径的 ⊙O 交 AB 于 D，过点 D 作 ⊙O 的切线交 AC 于 E。求证：DE⊥AC，并求 AE 与 EC 的关系。 9. 选做：从圆外一点 P 引 ⊙O 的切线 PA（A 为切点），引割线 PBC 交圆于 B、C。若 PA² = PB·PC，结合切线性质证明 △PAB∽△PCA。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九上数学人教版导学案 第三十章 直线与圆的位置关系 30.2.1 切线的判定（第2课时） 班级：______________ 座号：______________ 姓名：______________ 【学习目标】 学习目标：1. 理解并掌握切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2. 会运用判定定理证明一条直线是圆的切线，掌握"连半径，证垂直"的常见思路。 3. 经历定理的探究与证明，发展逻辑推理能力。 学习重点：切线的判定定理及其应用。 学习难点：根据已知条件选择"连半径证垂直"或"作垂直证 d = r"的证明思路。 【课前探究】 探究一 切线的判定方法 1. 复习：直线与圆相切 ⇔ d = r。如果已知直线经过圆上一点，如何证明它是切线？ 2.（例 1）已知：直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB，CA = CB。求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线。 思路：连接 OC，由 OA = OB、CA = CB 得 OC 是等腰 △OAB 底边 AB 上的中线，从而 OC⊥AB（三线合一）；又 C 在圆上，所以 AB 是 ⊙O 的切线。 3. 归纳（判定定理）：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 4. 常用证明思路小结： （1）若直线与圆有已知公共点：连半径，证垂直； （2）若直线与圆公共点未知：作垂直，证圆心到直线的距离 d = r。 探究二 应用 5. 如图，⊙O 中 AB 是直径，点 C 在 ⊙O 上，∠BAC 的平分线交 ⊙O 于点 D，过 D 作直线 DE⊥AC 于 E。求证：DE 是 ⊙O 的切线。 思路：连接 OD，由角平分线与同圆半径相等可证 OD∥AE，再由 DE⊥AE 得 OD⊥DE，故 DE 是切线。 2026-2027学年九上数学人教版校本作业 预计用时：30 min 开始时间：______________ 结束时间：______________ 第三十章 直线与圆的位置关系 30.2.1 切线的判定（第2课时） 姓名：______________ 座号：______________ 班级：______________ 【夯实基础】 1. 切线的判定定理：经过________的外端并且垂直于这条________的直线是圆的切线。 2. 下列命题中，能判定直线 l 是 ⊙O 的切线的是（ ）。 A. 直线 l 到圆心 O 的距离等于半径 B. 直线 l 经过圆上一点 C. 直线 l 垂直于圆的半径 D. 直线 l 与圆有一个公共点且经过半径外端 3. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，直线 l 经过 C 且 ∠ACD = 90°。判断 l 是否为 ⊙O 的切线，并说明理由。 4. 如图，OA = OB，且直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，CA = CB。求证：AB 是 ⊙O 的切线。 【能力提升】 5. 如图，△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径作 ⊙O 交 BC 于 D，交 AC 于 E，过 D 作 DF⊥AC 于 F。求证：DF 是 ⊙O 的切线。 6. 如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BCD = 90°，以 CD 为直径的圆与 AB 相切于点 E。求证：AB = AD + BC（提示：过 E 作公切线或利用切线长）。 7. 已知：点 P 在 ⊙O 上，过点 P 作直线 l 使 l 与 OP 垂直。说明这样作出的 l 一定是 ⊙O 的切线，并写出依据。 【拓展探究】 8. 选做：如图，△ABC 内接于 ⊙O，AB 为直径，过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 D。若 ∠D = 30°，探究 ∠A 与 ∠BCD 的关系并证明。 9. 思考：判定定理中"经过半径的外端"这一条件能省略吗？画图举出反例说明。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九上数学人教版导学案 第三十章 直线与圆的位置关系 30.4 三角形的内切圆（第5课时） 班级：______________ 座号：______________ 姓名：______________ 【学习目标】 学习目标：1. 理解三角形内切圆、内心的概念：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫内心。 2. 知道三角形的内心是三条角平分线的交点，会用尺规作三角形的内切圆。 3. 掌握直角三角形内切圆半径公式 r = (a + b - c)/2，能进行简单计算。 学习重点：三角形内切圆与内心的概念；直角三角形内切圆半径公式。 学习难点：推导并运用 r = (a + b - c)/2 进行计算。 【课前探究】 探究一 三角形的内切圆 1. 问题：如何作一个圆，使它同时与三角形的三条边都相切？ 2. 分析：圆心到三边距离相等 → 圆心是三条角平分线的交点；半径等于圆心到边的距离。 3. 归纳：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆（inscribed circle）；内切圆的圆心叫做三角形的内心（incenter），内心是三条角平分线的交点。 探究二 直角三角形内切圆半径 4. 如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，内心为 I，内切圆与三边切于 D、E、F。设 BC = a，AC = b，AB = c。 5. 推导：由切线长相等，设 CD = CE = r，AD = AF = b - r，BD = BE = a - r；而 AF + BE = c，即 (b - r) + (a - r) = c，解得 r = (a + b - c)/2。 6.（例）Rt△ABC 中 a = 3，b = 4，c = 5，求其内切圆半径。（r = (3 + 4 - 5)/2 = 1。） 探究三 作内切圆 7. 尺规作图步骤：作两个角的平分线交于 I → 过 I 作一边的垂线得垂足 → 以 I 为圆心、垂线段长为半径画圆。 2026-2027学年九上数学人教版校本作业 预计用时：30 min 开始时间：______________ 结束时间：______________ 第三十章 直线与圆的位置关系 30.4 三角形的内切圆（第5课时） 姓名：______________ 座号：______________ 班级：______________ 【夯实基础】 1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的________，其圆心叫做三角形的________，它是三角形三条________的交点。 2. 填空：直角三角形的内切圆半径 r = ________（用两直角边长 a、b 和斜边长 c 表示）。 3. Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 6，b = 8，c = 10，则其内切圆半径 r = ________。 4. 等边三角形的边长为 6，求其内切圆半径和面积。（提示：r = (√3/6)·边长。） 【能力提升】 5. 已知 △ABC 的三边长分别为 13、14、15，求其内切圆半径。（提示：先求面积 S，再用 S = r·s，s 为半周长。） 6. 如图，⊙I 是 △ABC 的内切圆，与 BC、CA、AB 分别切于 D、E、F。若 AB = 9，BC = 8，CA = 7，求 AF、BD、CE 的长。 7. 已知直角三角形两直角边长为 5 和 12，求斜边上的高，并与其内切圆半径比较大小。 【拓展探究】 8. 选做：证明任意三角形的内切圆半径公式 r = S/s（S 为面积，s 为半周长），并结合第 5 题进行计算。 9. 探究：两个相似三角形的内切圆半径之比与它们的相似比有什么关系？说明理由。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $