精品解析：天津市宁河区桥北街实验学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

桥北街实验学校2026-2027学年度第一学期第一次质量检测 九年级数学 第一部分（选择题 共36分） 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 一元二次方程，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（ ） A. 2，3 B. ，3 C. 2， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，直接根据一元二次方程的一般式，找出一次项系数及常数项，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程，且二次项系数为1， ∴一次项系数为，常数项为， 故选：B 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，，熟练掌握根的情况与判别式的关系是本题求解的关键． 通过计算判别式的值，判别式的值为，可判断一元二次方程有两个不同的实数根． 【详解】解：∵ 方程中，，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3. 设，是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出与的值，再将转化为进行计算．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，． ∴． 故选：C． 4. 用配方法解方程：，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可. 【详解】解： ， 故选：A． 5. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一般地，我们把形如（其中是、、为常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项，根据二次函数的定义逐项判断即可． 本题考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】A．，是一次函数，故该选项不符合题意； B．，是一次函数，故该选项不符合题意； C．，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意； D．，是二次函数，故该选项符合题意． 故选：D． 6. 若方程x2-6x+8=0的两个根是等腰三角形的底边和腰长，则三角形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 8或10 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次方程，根据题意分类讨论，即可确定三角形的周长． 【详解】方程x2-6x+8=0的两个根是等腰三角形的底边和腰长， 解得， 当等腰三角形的腰为时，，不能构成三角形， 当等腰三角形的腰为时，定三角形的周长为． 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键． 7. 一次会议上，每两个参加会议的人互相握了一次手，有人统计一共握了45次手，如果这次会议到会的人数为x人，根据题意可列方程为（   ） A. x（x+1）=45 B. x（x-1）=45 C. 2x（x+1）=45 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设这次会议到会的人数为x人，则每人将与（x-1）人握手，由每两个参加会议的人互相握了一次手且一共握了45次手，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】设这次会议到会的人数为x人，则每人将与（x-1）人握手，依题意，得： x（x-1）=45， 即x（x-1）=45×2． 故选D． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 将二次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图像的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换，熟知函数图像平移的规律是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 9. 若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，于是得到． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 当时，的值随值的增大而减小， 而时，的值随值的增大而减小， ， 故选：． 10. 如图选项中，能描述函数与y＝ax+b，（ab＜0）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断直线解析式中的符号，再判断抛物线中的符号，如果一致则符合题意，据此即可求解． 【详解】A．y＝ax+b的a＜0，b＞0，的a＞0，b＞0，故选项A不符合题意； B．y＝ax+b的a＞0，b＜0，的a＞0，b＜0，故选项B符合题意； C．y＝ax+b的a＜0，b＞0，的a＜0，b＜0，故选项C不符合题意； D．y＝ax+b的a＞0，b＜0，的a＜0，b＜0，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图像以及一次函数图像与系数的关系，分a＞0及a＜0两种情况寻找两函数图像是解题的关键． 11. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先将配方成顶点式，再根据二次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、B、D正确，不符合题意；C错误，符合题意； 故选：C． 12. 如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．曲线段扫过的面积，则，即可求解． 【详解】解：曲线段扫过的面积， 则， 故抛物线向上平移3个单位，则， 故选：D． 第二部分（非选择题 共66分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：由的图象与性质可知： 抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 14. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2018年至2020年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量×（1+增长率）2=2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x， 由题意得：5000（1+x）2=7500， 故答案为：5000（1+x）2=7500． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 15. 若函数（是常数）是二次函数，则的值是_________． 【答案】－2 【解析】 【分析】根据二次函数的定义解答． 【详解】由题意知，且， 解得：， 故答案为：－2． 【点睛】本题考查二次函数的定义，属于基础题型． 16. 抛物线的顶点在轴上，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点纵坐标为，即可求解． 【详解】解：∵，，顶点在x轴上 ∴顶点纵坐标为0，即 解得 故答案为：16． 17. 如果抛物线的对称轴是x＝－3，且开口方向与形状与抛物线y= -2 x2相同，又过原点，那么a＝_______，b＝ ______，c＝_________． 【答案】 ①. -2 ②. -12 ③. 0 【解析】 【分析】先根据抛物线y=ax2+bx+c的开口方向，形状与抛物线y=-2x2相同求出a的值，再由对称轴为直线x=-3求出b的值，根据抛物线过原点可求出c的值即可． 【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口方向，形状与抛物线y=-2x2相同， ∴a=-2， ∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-3， ∴-=-3，即-=-3，解得b=-12； ∵抛物线过原点， ∴c=0． 故答案为：-2，-12；0． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，熟知抛物线的对称轴为直线x=-是解答此题的关键． 18. 二次函数的图像如图，若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】m≤4 【解析】 【分析】先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为-4得出b与a关系，再根据一元二次方程有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：将化成顶点式为：， 则其顶点坐标为：， ∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-4， ∴a＞0，，即， ∵一元二次方程有实数根， ∴， ∵，a＞0， 即16a-4am≥0， 即16-4m≥0，解得m≤4， 故答案为：m≤4． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据图像判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键． 三、解答题（本题共7小题，共66分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）运用配方法求解； （2）运用因式分解法求解。 【小问1详解】 移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， ∴，． 【小问2详解】 ， 变形，得， 因式分解，得， ∴或， 解得，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点，找到适当的解法是解题的关键． 20. 次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … … 5 0 -3 -4 -3 0 5 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）在图中画出这个二次函数的图象； （3）利用图象，请直接写出当函数值小于0时，自变量的取值范围． 【答案】（1）； （2）如右图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据可以求得这个二次函数的解析式； （2）根据表格中的数据可以画出该函数的图象； （3）根据（2）中的函数图象，可以写出当函数值小于0时，自变量x的取值范围． 【详解】解：（1）把,代入得： 解得： ∴这个二次函数的解析式为 （2）略 （3）由图象可得，当函数值小于0时，自变量x的取值范围是−3＜x＜1． 【点睛】本题考查二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点 ，解题的关键是掌握二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点. 21. 已知关于x的一元二次方程的一根为． （1）求m的值及方程的另一根； （2）求证：不论m为何实数，原方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1），3 （2）证明：，，， ， 不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是： （1）把代入方程可求得的值，再根据根与系数的关系可求得另一根； （2）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入方程可得， 解得， 当时，原方程为， 则方程的另一根为； 【小问2详解】 略 22. 已知二次函数图象的顶点坐标是，且过点． （1）求二次函数的解析式． （2）当x为何值时，函数值y随x的增大而增大? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数的图象与性质即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意有：，且， 解得：， 即二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 在二次函数中，，对称轴为：， ∴抛物线开口朝下， ∴当时，函数值y随x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键． 23. 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．     （1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽为多少米？ 【答案】（1）车棚的长为米，宽为米 （2）小路的宽为米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． （1）设与墙垂直的一面为米，然后可得另两面则为米，然后利用其面积为列出方程求解即可； （2）设小路的宽为米，利用去掉小路的面积为平方米列出方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，(舍去)， 当时，， 答：车棚的长为米，宽为米． 【小问2详解】 解：设小路的宽为米， 根据题意得：， 整理得， 解得：(舍去)，， 答：小路的宽为米． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． （1）求的值并写出抛物线的解析式； （2）求点，顶点的坐标； （3）判断的形状，证明你的结论. 【答案】（1）， （2）， （3） 解：是直角三角形，证明如下： 令，则， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、勾股定理、勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出函数解析式； （2）化为顶点式即可求解顶点D，令，即可求解点； （3）先求出抛物线与轴交点，再由勾股定理以及勾股定理逆定理判断即可得解． 【小问1详解】 解：将代入二次函数， 得， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，令，则，即； 【小问3详解】 略 25. 如图，抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D． （1）求此抛物线的解析式． （2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴． （3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；（3）P（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），可以求得抛物线的解析式； （2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴； （3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可． 试题解析：（1）∵抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），∴，解得：，即此抛物线的解析式是； （2）∵=，∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1； （3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），分三种情况讨论： ①当PA=PD时=，解得，y=，即点P的坐标为（1，）； ②当DA=DP时，=，解得，y=，即点P的坐标为（1，）或（1，）； ③当AD=AP时，=，解得，y=±4，即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意． 由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）． 考点：二次函数综合题；存在型；分类讨论；综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桥北街实验学校2026-2027学年度第一学期第一次质量检测 九年级数学 第一部分（选择题 共36分） 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 一元二次方程，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（ ） A. 2，3 B. ，3 C. 2， D. ， 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不确定 3. 设，是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 16 4. 用配方法解方程：，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 若方程x2-6x+8=0的两个根是等腰三角形的底边和腰长，则三角形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 8或10 7. 一次会议上，每两个参加会议的人互相握了一次手，有人统计一共握了45次手，如果这次会议到会的人数为x人，根据题意可列方程为（   ） A. x（x+1）=45 B. x（x-1）=45 C. 2x（x+1）=45 D. 8. 将二次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图像的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 9. 若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图选项中，能描述函数与y＝ax+b，（ab＜0）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 11. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 12. 如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共66分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 抛物线的顶点坐标为________． 14. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2018年至2020年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为________________． 15. 若函数（是常数）是二次函数，则的值是_________． 16. 抛物线的顶点在轴上，则的值为_______． 17. 如果抛物线的对称轴是x＝－3，且开口方向与形状与抛物线y= -2 x2相同，又过原点，那么a＝_______，b＝ ______，c＝_________． 18. 二次函数的图像如图，若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 三、解答题（本题共7小题，共66分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 20. 次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … … 5 0 -3 -4 -3 0 5 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）在图中画出这个二次函数的图象； （3）利用图象，请直接写出当函数值小于0时，自变量的取值范围． 21. 已知关于x的一元二次方程的一根为． （1）求m的值及方程的另一根； （2）求证：不论m为何实数，原方程总有两个不相等的实数根． 22. 已知二次函数图象的顶点坐标是，且过点． （1）求二次函数的解析式． （2）当x为何值时，函数值y随x的增大而增大? 23. 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．     （1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽为多少米？ 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． （1）求的值并写出抛物线的解析式； （2）求点，顶点的坐标； （3）判断的形状，证明你的结论. 25. 如图，抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D． （1）求此抛物线的解析式． （2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴． （3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $