江苏南京师范大学附属中学2026-2027学年度第一学期高一数学第六周自主作业

高一数学备课组 2026~2027学年度第一学期高一数学第六周自主作业 【糖水不等式】 1.（17分）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则； （3）求证：，且． （提示：第（3）问你还能想到哪些证法呢？） 数学归纳法 设P(n)是一个含正整数n的命题，如果：（i）P(1)成立，（ii）在P(k)成立的假设下，可证明P(k+1)成立。那么P(n)对任意正整数n成立。 【n元均值不等式】 2.（17分）教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．也即：若，则有，当且仅当时取等．利用此结论解决下列问题： （1）若，求的最小值； （2）若，求的最大值，并求取得最大值时的的值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明． （提示：第（3）问你能运用数学归纳法证明吗？） 自然常数 当n越来越大时，的底数越来越小，而指数越来越大，那么是否也会越来越大？有没有最大值？ 答案：e=≈2.71828 e=≈2.71828 【达标检测】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．命题“对任意，都有”的否定为（ ） A．对任意，都有 B．存在，使得 C．存在，使得 D．不存在，使得 2．已知集合，若，则实数a等于（ ） A．或3 B．0或 C．3 D． 3．已知正数，满足，则（ ） A． B． C． D． 4．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C． D． 5．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 6．已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 7．“，”是假命题，则实数的最大值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9． 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A． 且 B． C． 不等式的解集为 D． 不等式的解集为 10．已知实数，满足，，，则的可能取值是（ ） A． B． C． D．0 11．19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理．若集合A、B满足：，则称为的二划分，例如，，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（ ） A．设，则为的二划分 B．设，则为的二划分 C．存在一个的二划分，使得对于；对于 D．存在一个的二划分，使得对于，则；，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的最大值为______． 13．已知（），则的最小值是__________． 14．已知集合M，AM，且Z，则满足条件的集合A共有___________个． 四、解答题：本题共3小题，共47分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（15分）已知都是正数． （1）若，求的最大值； （2）若，且，求的最小值； （3）若，且存在使不等式有解，求的取值范围． 16．（15分）已知，． （1）若集合，求a，b的值； （2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； （3）当时，关于x的不等式的解集中恰有2个整数解，求实数m的取值范围． 17．（17分）设函数y=ax2+xb． （1）若b=a，且集合中有且只有一个元素，求实数a的取值集合； （2）求不等式y(2a+2)xb2的解集； （3）当a0，b1时，记不等式y0的解集为P，集合Q=．若对于任意正数t，有成立，求的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $