福建省泉州第五中学2027届高三上学期适应性考试(一）数学试题

泉州五中2027届高三年适应性考试(一) 数学10.8 命卷:蔡崇森、汪秀芬 审核:杨苍洲 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合要求) 1.己知集合A={x∈N|0<2r<8},B={x∈R|y=lg(2-x)},则AnB= A.{x|x<2} B.{x|x<3} C.{0,1,2} D.{0,1} 2.己知p:f(x)=x2-ax在[-1,1单调;q:关于x的不等式x2-ax+1<0在R上有解,则 p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.设是定义在R上且周期为2的奇函数,当0<2<1时,f回=华-1,则f() A.-1 B.1 C.-7 D.7 4,若函数f四=2如+产的最大值是2,则t= A.-1 B.-2 C.1 D.2 5.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若x∈R,f(x)>'(x),且f0)=e,则不等 式f(x)-er+1<0的解集是 A.(-∞,0) B.(-∞,1) C.(0,+o) D.(1,+∞) 6. 已知函数f(a)= -2-2x+2≤0,若函数g)=feP-af@)+5有8个不同的零 (Inzl, x>0, 点,则实数a的取值范围是 (. B.(26 C. 7914 A. 「914 2'3 D.23 2027 -2026 7. 己知a= 6=sin 2026 10 0c=1,则 A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 8.随着越来越多的家庭选择自驾到公园游玩,公园停车位严重不足.如图所示,公园里有一扇形 空地A0B,其半径为20m,∠40B=,C为弧AB的中点,要在其内接矩形MNPQ修建停 车场,点M,Q分别在半径OA,OB上,点N,P在弧AB上,且MN‖OC,则停车场面积最大 值为(单位:m2) A.50元 B.25 C.400(V2-1) D.400V2 第1页(共4页) 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.己知a=log23,3=4,则 A.a+b>2B.ab=2C.a<bD.a6+)+1=1+31og2 a 10。已知函数=十石,则下列说法正确的足 A.f(x)是奇函数: B.若x1<x2,则f(x1)<f(x2): C.若x1+x2>0,则f(x1)+f(2)>0; D.若方程+=n有两个不同的实数解,则0<m<号 1 11.定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为'(x)和g(x),若9(x)-f(3-x)=2: '(x)-g(x-1)=0,且g(x)关于(2,0)中心对称,9(1)=2,则下列说法中一定正确的是 A.g(x+2)为奇函数 B.f'(x+2)为偶函数 C.f(x)的周期为4 D.g(1)+g(2)+ …+9(2026)=2 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12.己知直线y=x与曲线y=er-a相切,则实数a的值为 13.己知函数f(x)=cos4x+sin4x,则f(x)的对称轴为 14.己知a>0,b∈R,c>0,若关于x的不等式(2-ac)(x2+bc-8)≤0对任意x>0恒成 立,记max(a,b}为ab两数中的最大数,则max后+ba2+ce} 2 的最小值是 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分) 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点,且AB=BC=V5,AC=2,AA1=3. (1)求三棱锥A1-BDC1的体积: (2)求直线AB与平面BDC1所成角的正弦值. B1 A1 第2页(共4页) 16.(15分) 已知函数f到=1血r-兰a∈R (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当a=0时,证明:xf(x)+2+ln0<0. 17.(15分) 已知 ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足a sinB=V3b cosA. (1)求角A: (2)若 ABC是锐角三角形,a=6,面积记为S. (i)若S=5V3,求b+c的值: (i)若角B的内角平分线与角C的内角平分线交于点D,求 BCD面积的取值范围. 第3页(共4页) 18.(17分) 平面直角坐标系0y中,已知双线:-1(Q>0,6>0的焦距为4,焦点到渐近 的距离为√3. (1)求E的方程; (2)不过原点O的直线1与E的左、右两支分别交于点C,D,记B(a,0),直线BC,BD的斜率 分别为k1,2,且(1+1)(1+k2)=1,过点O作直线1的垂线,垂足为H,证明:存在定 点G,使得GH恒为定值. 19.(17分) 己知函数f(x)=aln(x+1)-2sinx-x. (1)若0为f(x)的极值点,求实数a的值; (2)令函数g(x)=f(x)+x. (i)g(a)>0对c∈(0, )恒成立,求整数a的最小值: (ii)当0<a<1时,证明:g(x)在(0, )上存在唯一零点2和唯一极小值点1,且 x1<2<2x1. 第4页(共4页) 参考答案 一、单项选择题 1.D.A={x∈N|0<2<8}={0,1,2},B={c|x<2},故AnB={0,1}. 2B.:对称轴2=号(-1,1),即a≥2或a≤-2:g: =a2-4>0.即a>2或a<-2. q p,而a=士2时p真q假,故p是q的必要不充分条件. 3A()-(径-2)-()=()=-)=-1 4D.国)=2-2红,f回在E-2,处取最大值22=2,放t=2 ex 5.C.设g四=f儿回,则g)=f四)二f@<0,g四单调递减:f<c+1台g)<e ex g(0)台x>0. 6.A.令t=f(x),由f(x)的图象可知:t∈[2,3)时f(x)=t有4个根,t∈(0,2)U{3}时 3个,t∈(3,+o∞)时2个.g(x)有8个零点需t2-at+5=0的两不等根都在[2,3)内,故 =02-20>0.2<号<3,4-2a+5≥0,9-3a+5>0,解得2V5<a≤2 7.B.由(1+)”<c得a 2027 2026 ( 2<10).故a>c>b. 8.C.由MN‖OC及矩形条件知OM=OQ,设OM=m,MN方向上的边长参数为t,则 800k N化,m+)在弧上:2+(m+t2=400,面积S=2mt.令m=kt,S=2十2十2≤ 400(V2-1),当k=√2时取等号. 二、多项选择题 9.ABD.a=log23≈1.58,b=log34≈1.26,a>b,C错;ab=log23 2log32=2,B对; a+b>2显然成立,A对:a6+)+1=6+1+=210g,2+1+108s2=1+31og32,D a 对. 2 10.AD.f)=1十1在R上单调递减且为奇函数,A对,B铺:1+2>0 1>-2 f)<o小即fe)+e)<0,c错:e)+m有两个不间实数解分=m 都在f的值域(-1,1)内且m>0兮0<m<2D对. 11.ACD.9(x)关于(2,0)中心对称,故9(x+2)为奇函数,A对;f'(x+2)=g(x+1),由g 关于x=2对称推不出其为偶函数,B错;由9(x)=f(3-x)+2及9的对称性知∫关于 (1,-2)对称,又由'(x)=g(x-1)及g关于x=2对称知∫关于(3,-2)对称,两个中心 对称合成周期2 (3-1)=4,C对:9的周期为4,9(1)=2,9(2)=0,9(3)=-9(1)=-2 g(4)=-9(0)=0,一个周期的和为0,2026=4 506+2,故所求和为9(1)+9(2)=2,D对. 三、填空题 12.1.切点处y=e2-a=1,得x=a,切点(a,1)在y=x上,故a=1. 参考答案第1页(共6页) 8,2=《ke乙.回=1-2 sineo2=11 sin2 2r=31 一4+1cos4红,对称轴满足4红=m, k 即x=T,k∈Z 14.V2.(2-a(a2+bm-8)≤0对任意x>0恒成立,故r=2必为2+a-8的正零 点,代入得b=4a-2,于是2+b=4.又」 2十c2≤22a(c=a时取等),放 +b2+ max a 的最小位郎m{动}≥2y02,当a=c=时等号 4 成立,最小值为√2. 四、解答题 15.(13分) (1)在 ABC中,AB=BC=V5,D为AC的中点,AC=2,.BD⊥AC,且AD=1. 在Rt ABD中,BD=VAB2-AD2=V5-I=2. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∴.AA1⊥BD 又 .AC∩AA1=A,∴.BD⊥平面ACC1A1 ∴.BD为三棱锥B-A1DC的高. 在Rt AA1D中,AD=VAA+AD2=V32+12=V10, 同理,在Rt CCD中,C1D=√CC+CD2=V32+12=V10. 在 A1DC1中,A1D=C1D=V10,A1C1=AC=2, .VA-BDC VB-A DC:=3SAA DC BD=3x3x2-2. (2)以D为原点,DA、DB、DD1所在直线分别为x、y、之轴建立空间直角坐标系. 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,2,0),C(-1,0,3) .AB=(-1,2,0),DB=(0,2,0),DC=(-1,0,3). 设平面BDC1的法向量为元=(c,y,之),则 元.DB=2y=0 元.DC=-x+3x=0 解得y=0,x=3z.令之=1,得元=(3,0,1) 设直线AB与平面BDC1所成的角为0,则 sin=Icos(AB,= AB._1-3+0+0133v2 AB1 liV5 V10-5V210 答:直线AB与平面BDG1所成角的正弦值为3V2 10 参考答案第2页(共6页) 16.(15分) (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞), f=是1+9 -x2+z+a 2r2 令g(x)=-x2+x+a,其判别式 =1+4a. 当a≤时,A≤0,e)≤0恒成立,即了e)≤0.故fe)在@,+)上单调递减 当a>子时, >0,9回=0的两根为1-1-中0,2=1+y+ 2 2 ,x2>0: 若-<a≤0,则≤0,当z∈0,)时,fe)>0,fa)单调递描:当z∈(,+o) 时,'(x)<0,f(x)单调递减: 若a>0,则x1>0,当x∈(0,x1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x1,2)时,f'(x)>0, f(c)单调递增;当x∈(2,+o)时,f'(x)<0,f(c)单调递减. 综上.当a≤-子时,阳)在0+」单调递诚 当-<a≤0时,fe)在 0 1+V1+4a 上单调递增,在 1+V1+4a 上单调 递减: 当a>0时,f(c)在( 1-V1+4a1+V1+4a 2 ,十00 上单调递减,在 2 2 上单调递增。 (2)当a=0时,f(a)=lnx-x, f()+2+血r=xl血r-2+2+lnx. 1 g(c)=glnz-22++l0 g回=uc-2x+2+ 令h(c)=g(a),则 =-2-2-1<0 -x2 故国在@+刘)上单调超减.义D=号>0阳=血2-2<0,因此存在唯 0∈(1,2)使得go)=0,即1m0=20-20, 当x∈(0,o)时,g(x)>0,gc)单调递增;当x∈(ao,+oo时,g(c)<0,g(x)单调递减, 故g(x)的最大值为g(ao): 15 1 设p(x)=x2+x- -2x∈1,2,'(四)=2x+1+立>0,故()在(1,2)上单调递增. 又()-号音<专合-日<0用别血a<g-成0<号 .4 因te<()) 9+号9;<a即go<0,枚间≤d<a原 不等式得证 参考答案第3页(共6页) 17.(15分) 1)由正弦定理 sinAs'得a-6sinA sin B 代入已知条件asin B=V3 bcos A,得bsin4。 sinB=v3 b cos A, sin B 化简得sinA=V3cosA,即tanA=vV3. 因为0<A<,所以A=写 ②)0山s=cnA=5V原.得c9 2=5V3,解得bc=20 由余弦定理。2=P+2-2c0s4,得36=2+2-2 20 分2+2=56. 所以(b+c)2=b2+c2+2bC=56+40=96. 因为b,c>0,所以b+c=√96=4v6. (国因为 ABC为锐角三角形,且A=了所以B+C-2红。 3 由B<号且C=智-B<受符后<B<号 E BCD中,∠DBC,DCB长号,则LBDC=TA+C20 2 3 C 由正弦定理得BD= BCsin 2 osm2 4v3 sin C 2 2 BCD的面积 B C S BCD= Bc.BDsm号 36.4v3sin sin 2 12V3sin sin 2 因为C= 三-R,所以B≥C=B-了5acn=v3((B-合)) 3 因为看<B<所以-君<B-智<石所以3<s(B-)≤1, 则6v 答: BCD面积的取值范围为(9-3v3,3V3. 18.(17分) (1)设双曲线E的焦距为2c,则2c=4,c=2. 焦点(士c,0)到渐近线b加士ay=0的距离为一c Va2+萨= bc =b=v3, 所以2=c2-2=4-3=1,=3,E的方程为2- 3s1. (2)由(1)知B(1,0).设直线1的方程为y=kx+m,C(1,1),D(x2,2) 联立g=e+m与2-号=1,消去,得B-k2)2-2mE-m2+3》=0, 3 2km m2+3 根据韦达定理可得1+2=一2-3'12=2-31 参考答案第4页(共6页) 由1+1-刻=1得++=0.又1=”= 21即 巧1+。观 1 y1y2 +2+1-2-D=0 两边同乘(c1-1)(x2一1),并以y:=kxi+m代入整理,得 (k2+2k)x12+(m-k+km)(a1+x2)-2m+m2=0, 两以2+2的照-号m-+bm3一2加+m2-0 整理得(k+m)(k-m+2)=0,所以m=-k或m=+2. 当m=-k时,直线1的方程为y=x一,过点B(1,0),不符,故舍去; 当m=k+2时,直线1的方程为y=k(x+1)+2,过定点P(-1,2): 所以直线1过定点P(-1,2). 因为OH⊥1,垂足H在过定点P的直线l上,故∠OHP=90 , 所以点H在以OP为直径的圆上. 取OP的中点G 则G=oP=为定值. 放存在定点G(小使得G团= 恒为定值 19.(17分) (1)f')=D+1-2cosx-1. 因为0为f(x)的极值点,所以f'(0)=a-2-1=0,解得a=3. 3 当a=3时,”四=z十序+2sn"0=-3<0,故0为f四的极大值点,符合 题 所以a=3. 2)9d=f+s=az+1)-2sn,gi=r开2ca, 国取-∈0,.由(经)=an(1+号分)-2>0,得a>n1+到 2 由1+》<号<2,且+)>n2>景知2< 2 n(1+) <3,故整数a≥3. 下面证明a=3满足条件.设p(c)=3ln(c+1)-2sinc,x∈(0, ),p(c)= 3 x+1 -2cosz. 当x∈[后)时,s≤0:pa>0,e)单调造增,p≥p()-3n(+)-2> 3ln2.5-2>0: 当xe(0,)时, 3 -2cos, 3>,3>≥1,而2c0sx≤2:进步,令q)2+1 q(x)= 中序+2血,在(0,)上回由负到正单调递增2me增、-品增。 3 放g四先减后增.其最小值在)=0处取得:又40=1>0,(⑤)-1千专>0.且 极小值点处 3 +序25n,20su>0因孟>1,2osx<2且可塑 9>0),故p在(0,)上满足p@)>0.p)>0)=0. 参考答案第5页(共6页) 综上,a=3时g(x)>0对x∈(0, )恒成立,整数a的最小值为3. a 倒肖0<a<1时,g@Et2cos,@=e+序+2sm2 四在0m)上满足g0=-a<0.gG)=2一” 1+>0.g@=a<0, a 且在(0,)上单调递增、在(②上先增后减,故g先减、后增、再减。 又g0=a2<0,9(⑤)=14g≥0.9)=1t2>0, 故四在0,)上存在唯一零点∈(写)(由9)=0得1=21+D (0,》.且当xe0,)时g<0.当eea,)时ge>0, 所以x1是g(x)在(0, )上唯一的极小值点,且g(x1)<g(0)=0. 又g( )=aln(1+ )>0,g(x)在(x1, )上单调递增,故存在唯一x2∈(x1, )使g(a2)=0, 即g(x)在(0, )上存在唯一零点x2,且x1<x2. 下证的<2:山∈(医》如2a∈(信)c.只需迁2a)>0 g(2x1)=a ln(1+2x1)-2 sin2x1 aln(1+221)-4sin z1 cosz1. 0 由g(r)=0得cos1=21+' 代入得 g(2x1)=aln(1+2c1)- 2sin 1 x1+1 设g)=(e+11n(1+2)-2sin,e(3),则 2(x+1) q(x)=ln(1+2m)+1+2z -2c0sx>0, 故e)单调递增,g回>(得)=(1+写)n(1+)-V5>2n3-5>0. 所以(x1+1)ln(1+2x1)>2sin1,即g(2x1)>0=g(x2). 又g(x)在(1, )上单调递增,且2x1,x2∈(x1, ),故x2<2x1 综上,x1<x2<2x1. 参考答案第6页(共6页)