精品解析：山东省枣庄市薛城区部分校 2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期学习习惯监测 九年级数学 一．选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．每题3分，共30分） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 3. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 4. 在菱形中，如图，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（ ） A. 10 B. C. D. 7. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 8. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 9. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8 10. 对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题，共18分） 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 12. 如图，菱形的对角线和相交于点O，，垂足为E，若菱形的周长为20，，则的长为________． 13. 对于实数a，b，定义运算“”：．若，是一元二次方程的两个根，则________． 14. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是_______． 15. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为____． 16. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______ 三、解答题（共72分） 17. 解方程： （1） （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两个根满足，求m的值． 19. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作且，连接AE交OD于点F，连接OE． （1）求证：； （2）若菱形ABCD的边长为4，，求AE的长． 20. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， （1）求证：OE=OF； （2）若CE=12，CF=5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 21. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． （1）若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； （2）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案：如果不能，请说明理由． 22. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24. 如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，为垂足． （1）______． （2）①求证：四边形是正方形．②若，求的面积． （3）如图（2），在中，，其高，，则的长度是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期学习习惯监测 九年级数学 一．选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．每题3分，共30分） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且为常数）．掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得到，且． 【详解】解：由题意，得且， 解得． 故选：D． 2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断 【详解】四边形是平行四边形， 当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选： 3. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，已知字母的值，求代数式的值．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定和的值，即可得的值． 【详解】解：∵ , ∴, ∴, ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4. 在菱形中，如图，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ∴平分 ∴， ∵ ∴． 5. 某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需先表示出二月、三月的产量，再根据三个月总产量列方程. 【详解】解：设二、三月份平均每月增长率为， ∵一月份生产产品50台， ∴二月份产量为台，三月份产量为台， ∵一、二、三月份共生产200台， ∴可列方程. 6. 如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得，如图，连接交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线长为， ∴， ∴，即 ∴ 如图，连接交于点， ∵将正方形变形为菱形， ∴，，，， ∵ ∴为等边三角形， ∴，， ， ∴． 7. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：在菱形中， ∴,,, ∵, ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴． 8. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．利用整体思想设得到方程，再根据关于x的一元二次方程有一根为，即可得到t的值，从而可求解． 【详解】解：∵， ∴，即．　 设，则． ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴一元二次方程必有一根为2026． 故选C． 9. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键． 根据平移的距离b可以判断出矩形边的长，根据a的最大值和平移的距离b可以求得矩形边的长，从而求得面积． 【详解】解：设直线移到过点B时与交于点E， 由图象得：，，， 由勾股定理得：，， ∴矩形的面积为：， 故选：D． 10. 对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断③；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断④. 【详解】解：①若方程的两个根为和，由根与系数的关系得，， ，， ，故①正确； ②， 将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则都是方程的实数根， 一元二次方程可以有两个不相等的实数根， 不一定等于，故③错误； ④若，则， ，，与异号， ，即， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，两根之和为， 方程的两实数解一定互为相反数，故④正确， 故正确的有①②④，共3个. 二．填空题（共6小题，共18分） 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 12. 如图，菱形的对角线和相交于点O，，垂足为E，若菱形的周长为20，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的周长求出边长，利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理求出另一条对角线的长，最后利用等面积法求出的长． 【详解】解：四边形是菱形，且周长为， ，， ， ， 在中，，  ，  ，  ， ， ． 13. 对于实数a，b，定义运算“”：．若，是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】或3 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，新定义运算，首先利用因式分解法解一元二次方程求出或3，然后利用新定义的运算法则求解即可． 【详解】解： 或 ∴或3 当，时，； 当，时，； 故答案为：或3． 14. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是_______． 【答案】2027 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义（方程的根满足方程等式）、韦达定理（一元二次方程两根之和的计算）及代数式的化简求值；掌握利用方程根的定义将高次项降次为一次项，进而简化代数式，是解题的关键。先根据韦达定理得出方程两根之和，再利用m是方程根的性质，将m代入方程得；把代入待求代数式，化简为，最后将代入，计算结果为2027。 【详解】解：由条件可知，， 是方程的一个实数根， ， 即， ， 原式 故答案为： 15. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为____． 【答案】6 【解析】 【分析】连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论． 【详解】解：连接BD，DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于直线AC对称， ∴DE的长即为BQ+QE的最小值， ∵DE=BQ+QE=， ∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解题的关键是熟知轴对称的性质． 16. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于点P，连接，由正方形的性质，即可证得，可得，再由勾股定可理可求得的长，根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点P，连接，如图所示， 四边形是正方形， ， ， E、F分别为边的中点， ． G为的中点， ， 在和中， ， ． ． G为的中点， H为的中点， 是的中位线． ． 在中， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用直接开平方法求解． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解： 或 解得：，． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两个根满足，求m的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． （1）利用根的判别式，即可求出答案； （2）先运用根与系数的关系得出，，再代入到，即可求出答案． 【小问1详解】 ∵方程有两个实数根， ， 解得； 【小问2详解】 和是一元二次方程的两个根， ，， ， ， ， 解得，． ， ． 19. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作且，连接AE交OD于点F，连接OE． （1）求证：； （2）若菱形ABCD的边长为4，，求AE的长． 【答案】 （1）证明：连接EC， ∵四边形ABCD是菱形 ∴OA=OC=AC，AD=AB. ∵DE//AC且DE=AC ∴DE=OA=OC ∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形， ∴OE=AD， ∴OE=AB； （2） 【解析】 【分析】(1)连接EC,由菱形ABCD中，DE//AC且DE=AC，易证得四边形OADE是平行四边形，继而可得OE=AB即可； (2)由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形OCED是矩形，根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可. 【详解】（1）略 (2)∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形，∴∠OCE=90°. ∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°， ∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=4，∴AO=AC=2， ∴在矩形OCED中，CE=OD==2 ∴在Rt△ACE中，AE==2 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形OADE是平行四边形，四边形OCED是矩形是关键; 20. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， （1）求证：OE=OF； （2）若CE=12，CF=5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 【答案】 （1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2=∠5，4=∠6． ∵MN∥BC， ∴∠1=∠5，3=∠6． ∴∠1=∠2，∠3=∠4． ∴EO=CO，FO=CO． ∴OE=OF． （2）6.5． （3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下： 当O为AC的中点时，AO=CO， ∵EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵∠ECF=90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案． （2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长． （3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵∠2=∠5，∠4=∠6， ∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°． ∵CE=12，CF=5， ∴． ∴OC=EF=6.5． （3）略 21. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． （1）若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； （2）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案：如果不能，请说明理由． 【答案】（1）车棚的长为，宽为 （2）解：不能围成面积为的自行车车棚，理由如下： 假设能围成面积为的自行车车棚， 根据题意得：， 整理得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， 即不能围成面积为的自行车车棚． 【解析】 【分析】（1）车棚的长为，再根据矩形的面积公式建立方程求解即可； （2）假设能围成面积为的自行车车棚，则可得方程，利用判别式判断方程是否有正实数根即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵不锈钢栅栏的总长为，左右两侧各开一个的出口，且车棚的宽为， ∴车棚的长为； 根据题意得：， 整理得， 解得， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：车棚的长为，宽为； 【小问2详解】 略 22. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）10%；（2）每千克水果应涨价5元 【解析】 【分析】(1) 设这个降价率为，根据每千克40元经两次调价后调至每千克32．4，列出方程求解即可；  (2)根据商场要保证每天盈利6000元，列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【详解】解：（1）设这个降价率为，由题意得 ； 解得：，（舍去） 答：这个降价率为10% （2）设每千克水果应涨价元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 答：每千克水果应涨价5元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，点B在的垂直平分线上 （2）当时，的长度等于 （3）存在，当时，使得的面积等于 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； (2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； (3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ∵B在的垂直平分线上， ， ， 解得， ∴当时，点B在的垂直平分线上； 【小问2详解】 ∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， 即 解得，， 舍去 ∴当时，的长度等于； 【小问3详解】 由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得 或 舍去， ∴当时，使得的面积等于． 24. 如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，为垂足． （1）______． （2）①求证：四边形是正方形．②若，求的面积． （3）如图（2），在中，，其高，，则的长度是______． 【答案】（1）45 （2） ①证明：过点作于， 平分，，， ， 同理可得， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； ②15 （3） 【解析】 【分析】（1）由可得，进而得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （2）①过点作于，由角平分线的性质可得，再证明四边形是矩形即可得出结论； ②证明得，同理得，设，得，又由可得， 得到，在中，利用勾股定理得，得到，即得，再根据三角形面积公式即可求解； （3）如图2所示，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，同理（2）即可求解； 【小问1详解】 解：， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：45； 【小问2详解】 ①略 ②， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， 设， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ； 【小问3详解】 解：如图2所示，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点， 由折叠可得，，，，，，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：2.8． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $