精品解析：福建省三明第一中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

三明一中2026-2027学年高一上学期10月月考 数学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则下列式子表示不正确的有（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，是实数，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设集合，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 5. 若，，则与的大小关系为 A. B. C. D. 6. 已知，，，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 8. 设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A. 0 B. C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 11. 整数集合中，被3除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记作，其中，即，以下判断正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则整数属于同一个类 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的取值范围为________． 13. 已知，则解析式为__________，定义域为__________. 14. 已知函数，若正数，满足，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）设命题：，命题：，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数的解析式为 （1）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2）求的值 （3）解不等式 17. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 18. 已知函数. （1）若的解集为，求不等式的解集； （2）若且在上恒成立，求实数的取值范围. 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中2026-2027学年高一上学期10月月考 数学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则下列式子表示不正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合与元素、集合与集合的关系即可求解. 【详解】已知集合，即， 所以，，，，故ABD正确，C错误. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得. 【详解】根据命题的否定的定义：“，”的否定是“，”. 故选：. 3. 设，是实数，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D. 考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质. 4. 设集合，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】由求解并验证即可； 【详解】由题意可得：，解得：或， 当时，，，不符合舍去， 当时，，，符合， 故 ， 故选：D 5. 若，，则与的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作差后因式分解，即可判断大小. 【详解】因为，， 所以，即,选A. 【点睛】本题考查作差法比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题. 6. 已知，，，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，，，且， 所以（当且仅当时取等）． 7. 为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【详解】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得， 即， 解得． 8. 设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】由题意可知，集合的非空真子集的个数为， 集合中的每一个元素在其非空真子集中出现的次数为次， 所以的所有子集中的所有元素之和为， 所以． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两个函数的定义域与对应关系是否相同进行判断. 【详解】选项A：两函数的定义域均为，对应关系也相同，是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，定义域不相同，两函数不是同一函数. 项C：由可知两函数是同一函数. 选项D：由，可知两函数对应关系不相同，不是同一函数. 10. 已知，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】用特殊值法和不等式的性质一一求解即可. 【详解】对于A，，取，，，不满足， 选项A错误； 对于B，，取，，，不满足， 选项B错误； 对于C，，，，， 选项C正确； 对于D，，，， ，， 选项D正确. 故选：CD. 11. 整数集合中，被3除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记作，其中，即，以下判断正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则整数属于同一个类 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题干的定义，通过计算可判断A，通过推理判断B和D，通过举特殊值可判断C. 【详解】对于A，，即，故A正确； 对于B，因任意一个整数除以3，所得余数只能为0或1或2，即， 反之，集合中任一数都是整数，即，所以，故B正确； 对于C，当时，，但，故C错误； 对于D，，不妨令，，，， 则，因，于是得，即，因此整数属于同一个类，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】由得， 又， 所以， 即的取值范围为. 13. 已知，则解析式为__________，定义域为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用换元法即可求解. 【详解】， 令故， 故，， 故答案为：； 14. 已知函数，若正数，满足，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用条件得到，结合条件求的范围，设，则，结合对勾函数性质求的范围可得结论. 【详解】， ， 即，得，，因为，所以， 所以，设，则， 故， 由对钩函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）设命题：，命题：，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集运算即可求解； （2）根据题意，推出是的真子集，分类讨论和即可求解. 【小问1详解】 若，则，又， 所以. 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，，解得； 当时，则有，解得； 综上所述，实数的取值范围为． 16. 已知函数的解析式为 （1）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2）求的值 （3）解不等式 【答案】（1），最大值为4 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【小问1详解】 根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． 【小问2详解】 ，，， 即. 【小问3详解】 当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 17. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 【答案】（1） （2）这批无人机使用4年后更新年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元。 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而解不等式即可求解； （2）由题意可得，进而结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，，， 令，得，即， 则，解得， 因此，要保证配送站每日利润不为负数，每单配送费的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，年平均总费用为， 当且仅当，即时等号成立， 则这批无人机使用4年后更新，可以使年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元. 18. 已知函数. （1）若的解集为，求不等式的解集； （2）若且在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系列式求出，再代入求解不等式. （2）求出的关系，再由表示并利用一元二次不等式恒成立列式求解. 【小问1详解】 不等式，由不等式的解集为， 得且的两根为，则，解得， 不等式为，即，即， 解得，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由，得，将代入， 得对任意的恒成立， （i）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意； （ii）当，即时，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 【答案】（1）， （2） 点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下： 因为点是点的“上位点”，所以， 因为， 所以，所以点是点的“下位点”， 因为， 所以，所以点是点的“上位点”； 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”； （3）4039 【解析】 【分析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得出点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为； （2）由点是点的“上位点”得出，然后利用作差法得出与、的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论； （3）先由推导出，结合（2）中的结论，可得，，满足条件，可得出的最小值. 【小问1详解】 由， 根据题意的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若正整数满足条件，在，时恒成立， 即， 所以所以， 所以，在，时恒成立， 所以， 又由（2）中的结论可知，，时，满足条件， 因此，的最小值为4039． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $