贵州省2027届高三数学一轮复习知识清单

2027 届高考数学知识点与基础公式复习综合资料 2027 届高考数学 知识点 · 基础公式 · 重难点 · 易错点 复 习 综 合 资 料 依据《普通高中数学课程标准》与新高考全国卷考纲编写 适用：贵州 2027 届高三一轮复习　·　学生自学 / 教师备课两用 目 录 目 录 I 第一章　预备知识：集合、常用逻辑用语与不等式 5 1.1 考纲要求速览 5 1.2 核心公式与结论库 5 1.3 重难点精讲 6 一、充分必要条件的「集合化」判断 6 二、基本不等式使用的「一正二定三相等」 6 1.4 易错点清单 6 第二章　函数与导数 7 2.1 考纲要求速览 7 2.2 核心公式与结论库 7 2.3 重难点精讲 8 一、恒成立问题与参数分离 8 二、含 、 的常用放缩（压轴题储备） 8 2.4 易错点清单 9 第三章　三角函数与解三角形 9 3.1 考纲要求速览 9 3.2 核心公式与结论库 9 3.3 重难点精讲 10 一、由图象求 的解析式 10 二、解三角形中的「边角互化」策略选择 10 3.4 易错点清单 11 第四章　平面向量与复数 11 4.1 考纲要求速览 11 4.2 核心公式与结论库 11 4.3 重难点精讲 12 一、数量积的两种求法选择 12 二、复数运算中「模」的技巧 12 4.4 易错点清单 12 第五章　数列 13 5.1 考纲要求速览 13 5.2 核心公式与结论库 13 5.3 重难点精讲 14 一、由 求 的「分段检验」 14 二、三种求和方法的选择信号 14 5.4 易错点清单 14 第六章　立体几何 15 6.1 考纲要求速览 15 6.2 核心公式与结论库 15 6.3 重难点精讲 16 一、证明题的「定理完整书写」训练 16 二、建系的规范与法向量的求法 16 6.4 易错点清单 16 第七章　解析几何 17 7.1 考纲要求速览 17 7.2 核心公式与结论库 17 7.3 重难点精讲 18 一、直线与圆锥曲线大题的「程序化解题」 18 二、定点与定值问题的处理思路 19 7.4 易错点清单 19 第八章　统计与概率 19 8.1 考纲要求速览 19 8.2 核心公式与结论库 20 8.3 重难点精讲 21 一、概率大题的三类主干模型 21 二、统计图表与数字特征的读法 21 8.4 易错点清单 21 第九章　计数原理与排列组合 22 9.1 考纲要求速览 22 9.2 核心公式与结论库 22 9.3 重难点精讲 23 一、排列组合应用题的「先分组、再分配」 23 二、二项式定理的「赋值法」体系 23 9.4 易错点清单 23 补充一　「三个二次」的关系与区间根分布 23 核心公式与结论库 23 易错点清单 24 补充二　函数图象的变换全表 24 核心公式与结论库 24 易错点清单 25 补充三　函数模型及其应用 25 常用模型与结论库 25 易错点清单 26 补充四　数列求通项的完整方法谱 26 方法体系与适用条件 26 易错点清单 27 补充五　立体几何的切接模型与内切球 27 核心公式与结论库 27 易错点清单 28 补充六　轨迹方程的求法 28 方法体系 28 易错点清单 29 补充七　导数进阶：原函数与导函数的关系、隐零点 29 核心结论库 29 易错点清单 30 补充八　概率统计补充：随机模拟、决策与表述规范 30 核心结论库 30 易错点清单 31 补充九　考纲查漏补缺：易漏公式与性质速查 31 一、函数性质的完整表述 31 二、基本初等函数图象与性质补充 31 三、解析几何补充：圆与圆、抛物线四种方程 32 四、数列与概率统计补充 32 五、立体几何补充：直观图 33 2027 届高考数学知识点与基础公式复习综合资料 — — 学科网（北京）股份有限公司 第一章　预备知识：集合、常用逻辑用语与不等式 1.1 考纲要求速览 考点 考纲要求 集合的含义与运算 了解集合的含义；理解交、并、补的运算；会用 Venn 图解决实际问题 充分必要条件 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义 量词与命题 理解全称量词与存在量词；能写出含一个量词的命题的否定 不等式性质 掌握不等式的基本性质，会用性质比较大小 基本不等式 掌握基本不等式 及其应用（最值、条件等式） 1.2 核心公式与结论库 公式/结论 内容 集合交并补 ；； 集合关系恒等式 ； 集合元素个数 含参数子集个数 含 个元素的集合有 个子集、 个真子集、 个非空真子集 命题否定的转换 「」的否定是「」；「且」的否定为「或」 充要条件的集合表述 甲 乙 对应「甲对应集合 乙对应集合」；两个集合互不包含则既不充分也不必要 不等式性质关键三条 （乘负数变号）；； 基本不等式 时 ，当且仅当 取等；变形： 和定积最大/积定和最小 （定）时 ；（定）时 （均需 ） 常用放缩配凑 ； 一元二次不等式解法 ：先看判别式，两根 时解集为 分式不等式 ；切勿随意去分母，除非先确定 的符号 1.3 重难点精讲 一、充分必要条件的「集合化」判断 处理充要条件最稳妥的方法是把条件翻译成集合：设甲对应集合 、乙对应集合 。若 ，则甲是乙的充分不必要条件；若 ，则甲是乙的必要不充分条件。遇到含参数的条件（如「：」）时，先写出两个集合，再按包含关系列不等式组求参数范围，这是选择题与填空题中的高频考法。 二、基本不等式使用的「一正二定三相等」 使用 求最值必须同时验证三个条件：各项为正（一正）、和或积为定值（二定）、等号能够取到（三相等）。其中「三相等」最容易被忽略——例如在 的约束下用 就取不到等号（等号要求 ），此时应改用对勾函数 的单调性分析：增区间 、，减区间 、。 1.4 易错点清单 避坑 1　空集是任何集合的子集：讨论「」求参数时，若 可能为空集，必须先令 检验，再讨论非空情形。 Comment by 数学教研组: 命题视角：含参数子集问题近三年全国卷小题高频，空集讨论常作为第（2）问埋点。建议配套一道 A⊆B 求参数的限时题，训练「先空后非空」的讨论顺序。 避坑 2　描述法中的代表元素决定集合类型： 是数集（）， 是 ， 是点集（抛物线），三者完全不同。 Comment by 数学教研组: 课堂处理：三组集合让学生口头抢答辨析，比抄笔记印象深刻；此点也是函数题审题的第一道关。 避坑 3　 只否定结论不否定条件，且存在量词与全称量词互换；「」的否定是「」。 Comment by 数学教研组: 讲评提示：可预告与第二章恒成立问题的联系——「存在性命题为假」最终都落到否定转化，此处打牢，后面少返工。 避坑 4　含等号不等式的否定要用严格不等号： 的否定是 ，不是 。 Comment by 数学教研组: 让学生自答：a=1 时 x²−2x+1≤0 成立吗？用具体数检验端点，比记结论更可靠。 避坑 5　基本不等式取不到等号时结论错误：求最值前先解 是否落在定义域内。 Comment by 数学教研组: 补充例证：x>2 时求 x+4/x 的最小值，先让学生套基本不等式，再发现等号取不到，体验一次错误更有效。 避坑 6　分式不等式不能直接去分母： 的解是 或 ，不是 或 。 Comment by 数学教研组: 变式建议：配 (x−1)/(x−2)≤0 一题，重点讲含等号端点的归属，检验学生是否真懂「分母非零」。 ◆ 教师使用建议 本章适合安排在一轮复习最前两周，建议以「公式默写＋20 分钟小题限时练」滚动推进；充要条件与基本不等式可与后续导数、函数章节串联命题。 易错点 1、6 建议制成课前 3 分钟口头纠错卡，反复出现的错误才记得住。 第二章　函数与导数 2.1 考纲要求速览 考点 考纲要求 函数概念与性质 理解函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性的概念，会判断并应用 指数、对数、幂函数 理解三种基本初等函数的图象与性质，会进行指数、对数运算 函数零点 理解零点存在定理，会用二分法思想估计零点，会判断零点个数 导数及其几何意义 理解导数的几何意义（切线斜率），会求简单函数的导数 导数的应用 会用导数研究函数单调性、极值、最值，能解决恒成立与零点综合问题 2.2 核心公式与结论库 公式/结论 内容 基本初等函数导数 ；；；；；； 导数四则运算法则 ；；（复合函数链式法则） 切线方程 曲线 在点 处的切线：；「在」用该点导数，「过」需设切点 单调性与导数 增（逆不真）； 恒成立且不恒为 0 单调递增 极值判定 为极值点 且 在 两侧变号；注意「」不能推出「 是极值点」（反例 ） 零点存在定理 在 连续且 在 内至少有一个零点（不能保证唯一，唯一性需结合单调性） 指数对数运算律 ；；；换底公式 ； 常用函数图象结论 与 关于 对称； 恒过 ； 恒过 单调性常用复合判断 与 同增则 增，、（同增异减）单调性需逐层判断 奇偶性运算结论 奇 奇 偶；奇 奇 奇；偶 偶 偶；复合函数 的奇偶性由 与 共同决定 2.3 重难点精讲 一、恒成立问题与参数分离 「 对 恒成立 （）」「 恒成立 」。能分离参数时优先分离（转化为求函数最值），不能分离时用「最值定位＋分类讨论」。若不等式两端均含 （如 恒成立），常改用同构或必要条件探路：先由特殊值（如 ）缩小 的范围，再证明充分性。 二、含 、 的常用放缩（压轴题储备） 公式/结论 内容 切线放缩 （）；（），均当且仅当 （或 ）取等 常用变形 ；； 指对互化同构 型，可转化为 的单调性比较 2.4 易错点清单 避坑 1　切线问题先分清「在某点处」与「过某点」：过点 的切线若 不在曲线上，必须设切点 联立求解，通常有两解。 Comment by 数学教研组: 板书建议：把「在某点处」「过某点」两类切线并列写条件差异，讲评时各配一题；过点型通常两解，漏解是主要失分形态。 避坑 2　单调区间不能用「∪」连接： 在 和 上分别递减，不能写成「单调递减区间为 」。 Comment by 数学教研组: 批改提醒：学生答卷写「(−∞,0)∪(0,+∞)」按概念错误扣分，务必在第一次作业就纠正到位。 避坑 3　复合函数定义域看内层： 的定义域是 的范围，不是 的范围。 Comment by 数学教研组: 此点在复合函数求导与抽象函数中反复出现，可让学生互出小题检验。 避坑 4　对数运算法则混用：，这是学生最顽固的错误。 Comment by 数学教研组: 对策：每天课前 1 分钟口算三道对数运算，连续一周；顽固错误只能靠高频低量矫正。 避坑 5　极值点要求导数在此点两侧变号： 且不变号时 不是极值点（如 在 ）。 Comment by 数学教研组: 用 y=x³ 与 y=x² 对比画图，学生自己指出差别，比直接给结论有效。 避坑 6　含参二次函数在区间上的最值要按对称轴与区间的位置关系分类讨论，漏掉「对称轴在区间内」或动区间情形都会出错。 Comment by 数学教研组: 建议配一道 a<0 与动区间同时出现的综合题，让学生体会「讨论顺序」本身就是得分结构。 避坑 7　零点个数问题必须同时考虑图象走势（趋于 或 的方向），只验证一个区间内有零点不够。 Comment by 数学教研组: 零点个数问题的规范是「存在性＋唯一性」两段论证，讲评时给出完整书写范例。 ◆ 教师使用建议 导数公式表建议要求学生考前默写过关；切线放缩表可留作二轮培优专题，一轮复习中只需渗透 与 。 恒成立问题是与高考导数大题衔接的核心，建议本章精讲题选 2 道「含参分类讨论」＋1 道「分离参数」，逐步过渡到同构。 第三章　三角函数与解三角形 3.1 考纲要求速览 考点 考纲要求 任意角与弧度制 了解任意角、弧度制概念，能进行弧度与角度互化 三角函数定义与图象 理解同角三角函数基本关系；掌握 等图象及「五点法」作图 诱导公式与恒等变换 会推导诱导公式，掌握两角和差与二倍角公式，能进行简单恒等变换 函数 理解 对图象的影响，会由图象求解析式 正弦、余弦定理 掌握两个定理，能解三角形并解决测量类实际问题 3.2 核心公式与结论库 公式/结论 内容 弧长与扇形面积 （ 为弧度）； 同角关系 ； 诱导公式口诀 奇变偶不变，符号看象限：；； 和差公式 ；； 二倍角公式 ；； 降幂公式 ；（化简求值、研究周期必用） 辅助角公式 ，其中 正弦定理 （ 为外接圆半径）；面积 余弦定理 ；；变式 射影定理 三角形常用结论 ；大边对大角；； 时 3.3 重难点精讲 一、由图象求 的解析式 顺序固定：先由最高最低点求 、；再由相邻最高点（或相邻零点）间距求周期 ，得 （）；最后代「特殊点」定 ，代点时优先选最高点或上升段零点，并注意 或指定范围的取舍。平移变换口诀「左加右减只对 本身」： 左移 得 ，而不是 。 二、解三角形中的「边角互化」策略选择 化简含边角混合的等式时，统一化为角还是统一化为边？经验法则：出现 这类和差结构优先化角（利用 整体代换）；出现 这类二次结构优先化边（配余弦定理）；出现 直接用射影定理得 。判断三角形形状时，化角后注意提取公因式并讨论因子为零的情形，避免漏解。 3.4 易错点清单 避坑 1　已知三角函数值求角时必须限定区间并讨论： 在 上有两解 与 。 Comment by 数学教研组: 训练方式：限定区间求角做成 6 题口答小卷，覆盖两解、一解、无解三种形态。 避坑 2　使用正弦定理解三角形时，已知两边及一边的对角可能出现两解、一解或无解，需用「大边对大角」检验，这是选择题判断解的个数的高频考法。 Comment by 数学教研组: 命题提示：「两解判定」适合放在选择题选项设置（问解的个数），可自编一道。 避坑 3　平移 的函数时伸缩量容易漏乘： 的图象右移 个单位才得到 。 Comment by 数学教研组: 让学生亲手在坐标纸上作两次平移图，动笔一次胜过十遍口诀。 避坑 4　降幂后求对称轴、对称中心，先化成 的标准形式再套结论：对称轴令 ；对称中心令 。 Comment by 数学教研组: 对称轴与对称中心的结论可整理成卡片随身背；注意 ω>0 的前提要写全。 避坑 5　三角形解应用题注意方位角、仰角的图示方向，画图错误直接导致边角关系错误。 Comment by 数学教研组: 课前可播一张实际测量场景照片，先让学生标出仰角，再进入计算。 避坑 6　余弦定理求出的角是钝角还是锐角要由所在边的相对长短确认，防止「锐角三角形」前提被默认。 Comment by 数学教研组: 配一题：三边 2、3、4，先判最大角钝锐再求，体验「大边对大角」的检验作用。 ◆ 教师使用建议 本章公式量最大，建议发「公式默写卷」分三次过关：同角与诱导、和差倍角、正余弦定理。 解三角形大题的命题热点是「边角互化＋面积或周长最值」，精讲题建议各配一道，其中最值问题与基本不等式联动，可与第一章呼应。 第四章　平面向量与复数 4.1 考纲要求速览 考点 考纲要求 平面向量的概念与线性运算 理解向量的几何表示与加减、数乘运算及其几何意义 向量的分解与坐标运算 理解平面向量基本定理，掌握坐标表示下的线性运算 数量积及其应用 掌握数量积的定义与运算律，会用数量积求模长、夹角、判断垂直 复数的概念与四则运算 理解复数相等的条件，掌握代数形式的四则运算及几何意义 4.2 核心公式与结论库 公式/结论 内容 共线（平行） ；坐标表示 垂直 ；坐标表示 数量积 ；坐标表示 模与夹角 ；（） 投影向量 在 上的投影向量为 平面向量基本定理 若 不共线，则 且分解唯一 模不等式 （三点共线时右侧取等） 重要向量恒等式 ； 复数四则运算 ； 共轭与模 ；；； 为实数， 为纯虚数（ 非实数时） 复数分类 ： 为实数； 为虚数； 且 为纯虚数 复数几何意义 点 向量 ； 即 的长度 4.3 重难点精讲 一、数量积的两种求法选择 坐标法：建系后把所有向量用坐标表示，直接套 ，适合规则图形（正方形、直角三角形、圆内接图形）。基底法：选两个不共线向量作基底（常取一组邻边），把目标向量分解后代入运算律展开，适合斜三角形、一般平行四边形。高考向量小题中最值问题（如 的最值）的通用思路是把动点投影到固定方向：数量积 「 在固定方向上的投影」「固定向量的模」，从而把问题降为一维。 二、复数运算中「模」的技巧 求 时不必通分展开，直接用 ；求 可理解为复平面上点 到点 的距离，复数与几何结合的轨迹问题（圆、线段垂直平分线）常由此秒解。 4.4 易错点清单 避坑 1　数量积不满足结合律： 是与 共线的向量，一般不等于 ，消去律在向量中不成立。 Comment by 数学教研组: 辨析题素材：设 a、b 为相互垂直的单位向量，让学生算 (a·b)·b 与 a·(b·b)，一算便知不等。 避坑 2　向量夹角是共起点后的夹角，范围 ；由 判钝角时还要排除 （反向共线）的情况。 Comment by 数学教研组: 可配新高考卷同型辨析题作为讲评例题，正反两个方向各验一次。 避坑 3　平行与垂直的坐标公式不能记混：平行是「交叉相乘相等」（），垂直是「对应相乘求和为零」。 Comment by 数学教研组: 口诀板书：「平行交叉积、垂直顺积和」，让学生复述三遍再做题。 避坑 4　复数除法必须分母实数化，直接把分母当实数去除是典型错误。 Comment by 数学教研组: 配两道对比题：一道需实数化、一道分母恰为实数，让学生说清区别。 避坑 5　「虚数」「纯虚数」条件不同：纯虚数要求 且 两者同时满足，求参数时需对 、 列组并检验边界。 Comment by 数学教研组: 命题常用「z 为纯虚数」设参，边界 a=0、b≠0 各埋一个错选项。 避坑 6　复数 满足 为实数（）且 为虚数时，；忘记验证 为虚数这一前提会导致解不唯一。 Comment by 数学教研组: 本条结论可升级为一道填空题：已知 z 为虚数且 z+2/z 为实数，求 |z|；讲评时强调验证前提这一步。 ◆ 教师使用建议 向量与复数在高考卷中一般各占「1 小题」，向量侧重数量积与最值，复数侧重四则运算与几何意义，建议合并为一个复习单元共 2 课时。 投影向量是新教材明确要求的表述，命题中出现过，务必让学生规范书写 。 第五章　数列 5.1 考纲要求速览 考点 考纲要求 数列的概念 了解数列是一种特殊函数，理解数列的通项公式与递推公式 等差数列 理解等差数列的概念，掌握通项公式与前 项和公式，了解其与一次函数的联系 等比数列 理解等比数列的概念，掌握通项公式与前 项和公式（注意 的讨论） 数列求和与方法 掌握分组求和、裂项相消、错位相减等求和方法 数学归纳法思想（选学） 了解归纳推理，能用递推关系进行简单归纳猜想 5.2 核心公式与结论库 公式/结论 内容 等差通项 ； 等差求和 （关于 的二次函数，无常数项） 等差中项与性质 ；若 、 等差，则 等差； 仍成等差 等比通项 （，） 等比求和 时 ； 时 等比性质 若 、 等比，则 、 等比； 成等比（需 ） 裂项相消模板 ；； 错位相减适用 型（ 等差、 等比），如 ，求和后系数检验 项 常见结论 ； 递推构造 设 ，解 构造等比数列； 型常两边同除 取倒数 5.3 重难点精讲 一、由 求 的「分段检验」 当已知 （或 与 的关系式）求通项时，标准流程是：当 时，；再单独验证 时 是否满足该表达式。若满足则合并写成一个式子，若不满足则必须分段书写。只写 不检验 是高考解答题第一问的常规扣分点。 二、三种求和方法的选择信号 通项能拆成两块相加（如 ）用分组求和；通项是分式且分母为等差乘积（如 ）用裂项相消，注意裂开后剩余 或 项、剩余项要成对书写；通项是「等差 等比」（如 ）用错位相减，写出 与 两式相减后，务必逐项核对公比与指数，最后用 代入检验。 5.4 易错点清单 避坑 1　等比数列求和忘记讨论 ，直接套公式，这是解答题必扣分点。 Comment by 数学教研组: 等比求和的 q=1 讨论建议纳入书写规范评分：作业中漏讨论直接标红，形成肌肉记忆。 避坑 2　等比数列各项非零、公比非零：由「 是等比数列」求参数时，须检验 且 。 Comment by 数学教研组: 易忽略点是「隐含等比」：由 S₂ₙ−Sₙ 成等比反推时同样要检验非零，可出判断题。 避坑 3　 与 的关系式 只对 成立， 要单独验证。 Comment by 数学教研组: 建议固定四步板书：写出适用范围→代 n≥2→验 n=1→下结论（合并或分段）。 避坑 4　裂项相消后「消不干净」：消项时前后各多留一项，建议写出首尾各两项再求和核对。 Comment by 数学教研组: 裂项检验口令：「首尾各留两项」，要求学生求和前先写出剩余项再合并。 避坑 5　错位相减最后一步除以 时符号易错，且所得通项须用 回代检验。 Comment by 数学教研组: 错位相减建议两周一轮滚动练，训练目标：五分钟内全对一道。 避坑 6　数列单调性问题： 对一切 成立才是递增，由 解出的式子对每个 都要成立，不能只代几个特殊值。 Comment by 数学教研组: 配一题：aₙ₊₁−aₙ=nλ 型递增条件含 n 的讨论，体会「对一切 n 成立」的含义。 ◆ 教师使用建议 数列在贵州新高考卷中的大题位置稳定为解答题第一或第二道，难度中档，求和方法（错位相减为主）是必练题型。 「 与 关系」「分段检验」建议在板书中固定书写格式，规范学生答题步骤。 第六章　立体几何 6.1 考纲要求速览 考点 考纲要求 空间几何体 认识柱、锥、台、球的结构特征，会求表面积与体积 位置关系判定 理解线线、线面、面面平行与垂直的判定定理及性质定理，会用定理进行推理论证 空间角 会求异面直线所成角、线面角、二面角（含向量方法） 空间向量法 会用空间向量解决平行、垂直论证与空间角的计算 6.2 核心公式与结论库 公式/结论 内容 柱体体积 （底面积 高）； 锥体与台体 ；； 球 ；；球的截面圆半径 （ 为球心到截面距离） 外接球常用结论 正方体外接球 （ 为棱长）；长方体 ；直棱柱/圆柱外接 型；正三棱锥底面外接圆半径 平行传递 （公理 4）；线面平行 直线平行于过交点的面内某直线 线面平行判定与性质 面外线平行于面内线 线面平行；线面平行 过该线的平面与已知面的交线平行于该线 面面垂直判定 线面垂直 线垂直于面内所有直线；一个平面过另一个平面的垂线 两面垂直 线面角 斜线与平面所成角 满足 （垂线段与斜线段之比）；向量法 （ 为法向量） 二面角（向量法） ，结果的正负需结合二面角是锐角还是钝角判定 异面直线所成角 ，取绝对值（角范围为 ） 常见三视图还原数据 正（主）俯视定长、正侧视定高、俯侧视定宽；旋转体轴线方向优先判断 6.3 重难点精讲 一、证明题的「定理完整书写」训练 立体几何解答题的证明部分按定理要素给分：用线面平行判定定理，需写全「直线在平面外、直线在平面内、两线平行」三个条件；用线面垂直判定定理，需写全「两条相交直线、均在面内、均与该线垂直」。缺一个条件即失分。建议训练学生在草稿上按「条件 定理名称 结论」三段式列提纲再誊写。 二、建系的规范与法向量的求法 建系前必须证明（或说明）三条两两垂直的直线的存在性，例如「因为 ，，以 为原点……」；不能默认垂直。求平面法向量按固定程序：设 ，列 、，令某一坐标为具体值（常令 ）解出其余坐标。求出二面角的余弦后，必须判断实际二面角是锐还是钝（可观察图形或取棱上一点验证），避免符号错误。 6.4 易错点清单 避坑 1　异面直线所成角取值范围 ，不能为 或钝角；线面角范围 ；二面角范围 。三种角的范围必须区分记忆。 Comment by 数学教研组: 三行表格式记忆卡让学生自填自测；填空题考范围几乎是送分点，不该丢。 避坑 2　向量法求线面角用 ，求二面角用 （不加绝对值、需判号），公式混用是向量法最大失分点。 Comment by 数学教研组: 符号判定的实操：取棱上一点作草图验证，讲评时示范一遍完整流程。 避坑 3　外接球问题先辨模型：「墙角模型」（三条棱两两垂直）与「轴截面模型」（旋转体、直棱柱）公式不同，套错模型得完全不同的答案。 Comment by 数学教研组: 外接球专题建议 1 课时，三类模型各一题，先辨模型再套公式，作为固定程序训练。 避坑 4　台体体积公式中的 项容易漏；圆锥侧面展开图弧长等于底面周长，不是等于母线长。 Comment by 数学教研组: 台体公式可由锥体体积差推导一遍，理解了就不易漏 √(SS′) 项。 避坑 5　体积变换（等体积法求点到面的距离）中，把三棱锥换底换顶点时，高的对应关系容易找错，建议画出换底后的草图确认。 Comment by 数学教研组: 等体积法画草图的习惯要从平时作业抓起，考试时来不及补。 避坑 6　证明面面垂直必须先证线面垂直，直接说「因为两角互补所以面面垂直」属于跳步论证，不合定理要求。 Comment by 数学教研组: 证明题按定理要素给分，建议印发「定理要素清单」贴在错题本首页。 ◆ 教师使用建议 立体几何解答题在新高考卷固定为「证明＋计算」结构，向量法可全程通用，建议要求学生证明部分用几何推理、计算部分用向量法，两条腿走路。 外接球建议单独设一个专题课时，把「墙角、垂面、轴截面」三类模型各配一题。 第七章　解析几何 7.1 考纲要求速览 考点 考纲要求 直线与方程 理解斜率概念，掌握点斜式等方程形式，会求两直线交点与距离 圆与方程 掌握圆的标准方程与一般方程，能判断直线与圆、圆与圆的位置关系 椭圆 理解椭圆的定义、标准方程及几何性质（范围、对称性、顶点、离心率） 双曲线 理解双曲线的定义、标准方程及渐近线、离心率等性质 抛物线 理解抛物线的定义、标准方程，会用焦点弦性质解题 直线与圆锥曲线 能判断位置关系，会处理弦长、中点、定点定值等综合问题 7.2 核心公式与结论库 公式/结论 内容 斜率与两直线关系 ；平行 且不重合；垂直 （斜率存在时） 三种距离 两点间 ；点线距 ；平行线间 圆的方程 标准式 ；一般式 （），圆心 ，半径 直线与圆位置 判别式法或 与 比较： 相交； 相切； 相离。弦长 （几何法优先） 椭圆 ：，；焦点弦 双曲线 ：，；渐近线 ；共渐近线系 ；定义 抛物线 ：焦点 ，准线 ；定义 ；通径长 焦点弦结论（抛物线） 过焦点的弦 ：，；；以 为直径的圆与准线相切 弦长公式 直线 与曲线交于 、： 中点弦（点差法） 椭圆中 为弦端点、 为中点：；双曲线中 （斜率存在时） 面积常用 （ 为焦点到弦的距离）；直线与圆锥曲线所围三角形面积常用「底 高」拆分 7.3 重难点精讲 一、直线与圆锥曲线大题的「程序化解题」 标准流程五步：设直线（注意斜率不存在的情形，通常单列）→ 联立方程化为关于 的一元二次方程 → 写判别式 与韦达定理 、 → 把目标量（弦长、面积、向量数量积、定值）用 、 表示 → 代入化简并收尾（验证判别式、说明结论成立）。联立后二次项系数是否为零、判别式是否成立，这两处是阅卷的「过程分」检查点，必须显式书写。 二、定点与定值问题的处理思路 定值问题：先把目标表达式用韦达定理表示为含参数的式子，若化简后参数消去即为定值。定点问题：先取特殊位置（如弦水平或垂直）算出「猜想定点」，再设一般直线 ，证明其恒过该点（通常表现为「目标式 某关系与 无关」）。特殊值探路＋一般性证明是通法，也符合阅卷的采分逻辑。 7.4 易错点清单 避坑 1　椭圆中 与双曲线中 最易混记，建议先记「椭圆 最大、双曲线 最大」。 Comment by 数学教研组: 对比表：a²、b²、c² 关系，离心率范围，渐近线有无，三列并排背，考前再默一遍。 避坑 2　焦点位置决定分母大小：椭圆焦点在 轴时 项分母为 （较大），双曲线焦点在 轴时 项系数为正；含参数方程先判断焦点位置再套性质。 Comment by 数学教研组: 含参数方程先定焦点是硬性第一步，讲评时把跳过此步的答卷作反例展示。 避坑 3　直线方程设 已默认排除竖直线，凡涉及直线与圆锥曲线相交的题目，必须讨论斜率不存在的情况。 Comment by 数学教研组: 斜率不存在的情形通常单列一小段书写，训练学生形成「先说斜率存在性」的起手式。 避坑 4　联立消元后的二次方程，二次项系数与判别式 是交点存在的前提，韦达定理必须在「有根」的前提下使用。 Comment by 数学教研组: 阅卷实证：Δ 与二次项系数两项约占本问三分之一的步骤分，务必显式书写。 避坑 5　抛物线焦点弦中 为正、 为负，符号记反则结论全错。 Comment by 数学教研组: 符号记忆：x₁x₂ 为正、y₁y₂ 为负，可让学生自己推导一遍加深印象。 避坑 6　点到直线距离公式中分子是绝对值，分母是 ，漏平方或漏绝对值是最常见笔误。 Comment by 数学教研组: 此条属笔误类失分，建议用「公式默写卡」每周抽查一次。 避坑 7　中点弦点差法求出的斜率需代回验证判别式，防止出现「弦不存在」的假解。 Comment by 数学教研组: 点差法三步：设点作差→得斜率→回代验 Δ，最后一步不可省。 ◆ 教师使用建议 解析几何大题建议按「第一问定义与方程、第二问弦长或面积、第三问定点定值」分层训练，第一问人人过关，第三问面向尖子生。 弦长公式与韦达定理的书写模板可印成答题卡样例，供学生誊写模仿。 第八章　统计与概率 8.1 考纲要求速览 考点 考纲要求 抽样方法与统计图表 理解简单随机抽样、分层随机抽样；会读频率分布直方图、百分位数 样本的数字特征 会求平均数、中位数、众数、方差与标准差，理解其统计含义 成对数据 了解相关系数与回归分析、独立性检验的基本思想（ 列联表） 随机事件与概率 理解事件的关系与运算、古典概型、独立事件与条件概率 分布列与数字特征 掌握离散型随机变量的分布列、期望、方差、二项分布与超几何分布 正态分布 了解正态分布的对称性，会用对称性求概率 8.2 核心公式与结论库 公式/结论 内容 频率分布直方图 小矩形面积 频率， 各矩形面积 ；中位数左右两侧面积各为 平均数与方差 ；；线性变换 时 ， 百分位数 分位数：从小到大排，位置 （非整数则取下一项，整数则取该位与下一位的平均） 古典概型 ；条件概率 独立与全概率 独立 ；全概率公式 （ 构成完备事件组）；贝叶斯 二项分布 次独立重复试验成功 次：；， 超几何分布 件中 件次品，取 件次品数 ：；与二项分布的区别是「不放回」 期望方差性质 ；；两独立变量 两点分布 ， 正态分布 ：；对称性 ； 越小越「瘦高」 独立性检验 （ 列联表）， 越大关联越强，与临界值比较下结论 回归直线 恒过样本中心 ；， 越接近 1 线性相关越强 8.3 重难点精讲 一、概率大题的三类主干模型 新高考概率大题的主流模型：其一是全概率与贝叶斯（如「先抽盒再抽球」两阶段试验），关键画「分支树状图」，每个分支标概率；其二是二项分布与超几何分布的辨析——放回（或独立重复）用二项，不放回用超几何；其三是分布列与决策（求 后比较方案收益），须先正确列出 的所有取值再逐个求概率，求和检验是否为 1。 二、统计图表与数字特征的读法 频率分布直方图中，平均数取「各组中点值 频率」加权；中位数按面积平分确定；众数取最高矩形的底边中点。方差比较稳定性时，平均数接近才比方差；方差小 稳定，方向不能反。回归直线必过样本中心，这一条常被直接用于求 或 。 8.4 易错点清单 避坑 1　条件概率 与 混淆：前者是「以 发生为新样本空间」中 的概率，分母是 。 Comment by 数学教研组: 区分练习：给四个情境让学生判断该用 P(B|A) 还是 P(AB)，先辨后算。 避坑 2　二项分布与超几何分布不分：题目中「有放回」「独立重复」是二项，「不放回」「从中任取」是超几何。 Comment by 数学教研组: 判断词训练：圈出题目中「有放回/不放回」，作为审题动作固定下来。 避坑 3　互斥与独立是两回事：互斥指不能同时发生；独立指发生与否互不影响。、 互斥且均非零概率时必不独立。 Comment by 数学教研组: 可举 A、B 互斥且概率和小于 1 的反例，说明互斥必不独立。 避坑 4　分布列必须检验 且每个 ；期望算错常因取值遗漏或概率求和不为 1。 Comment by 数学教研组: 分布列答卷规范：取值行、概率行、求和检验行，三行齐全才算完整。 避坑 5　正态分布只利用对称性求概率， 而不是 ；区间概率要与 原则结合。 Comment by 数学教研组: 3σ 原则的三个数值建议考前默写；对称性列式时先画草图定区间。 避坑 6　独立检验结论表述要规范：「有 （或相应置信度）的把握认为二者有关」，不能说「证明二者有关系」或「二者无关」。 Comment by 数学教研组: 结论表述是采分点，给出标准句式让学生抄写一遍并背诵。 避坑 7　方差性质 中加常数 不改变方差，学生常错误地乘在 上。 Comment by 数学教研组: 用数值代入验证：X 服从两点分布，取 a=2、b=3 手算 D(2X+3)，一次算通不再错。 ◆ 教师使用建议 本章是贵州卷解答题「概率统计」位置的出题区，建议主干模型各配一道完整大题限时训练，重点训练「设随机变量—列分布列—求期望—作决策」的完整表述。 列联表卡方公式考场上需现场计算，建议训练学生用「先算 再乘 」的顺序减少运算错误。 第九章　计数原理与排列组合 9.1 考纲要求速览 考点 考纲要求 两个计数原理 理解分类加法与分步乘法计数原理，能根据问题结构选择原理 排列与组合 理解排列、组合的概念，掌握排列数、组合数公式与性质 二项式定理 掌握二项式定理及通项，会用其求特定项、系数和 9.2 核心公式与结论库 公式/结论 内容 分类与分步 分类相加（互斥），分步相乘（独立完成）；「至少/至多」型常用正难则反 排列数 ；全排列 ； 组合数 ；；（组合数性质） 排列组合常用模型 相邻问题「捆绑法」（整体排列再内部排列）；不相邻问题「插空法」；定序问题「除序法」（）；相同元素分组「隔板法」（ 个相同球分给 人每人至少一个：） 二项式定理 ；通项 （） 系数和结论 展开式中系数和 （令 ）；奇偶项系数和各 （令 ） 最大系数 系数最大的项满足 最大： 为偶数时 ， 为奇数时 或 （纯组合系数情形） 常用恒等式 ； 9.3 重难点精讲 一、排列组合应用题的「先分组、再分配」 涉及「把 个不同元素分给 个对象」的问题，先分堆再分配：均匀分堆要除以堆数的阶乘消序（如把 6 人平均分成 3 组有 种），非均匀分堆不除序。分堆完成后再对每组做全排列分配。分组与分配的次序不可颠倒。 二、二项式定理的「赋值法」体系 求特定项用通项：先写出 ，令某次幂满足条件解出 ，注意 必须是非负整数，无解时直接答「不存在」。求系数和用赋值：令变量取 、、 等特殊值构造方程组。若题目是「系数与二项式系数」混合（如 ），务必区分：二项式系数是 ，展开后的系数是 ，两者不相等。 9.4 易错点清单 避坑 1　「至少一个」型问题用对立事件：，逐类讨论「恰好 1 个、恰好 2 个……」既繁琐又易漏。 Comment by 数学教研组: 「至少」型先练对立事件转化，再讲逐类讨论，顺序不能颠倒。 避坑 2　捆绑法把相邻元素视为一个整体后，别忘了整体内部还有排列。 Comment by 数学教研组: 捆绑法书写规范：先写「视整体」，再写内部排列，两步缺一不可。 避坑 3　隔板法只适用于「相同元素、每份至少一个」；允许为空时先「每人预置一个再转化」，元素不同时不能用隔板法。 Comment by 数学教研组: 隔板法前提三问：相同吗？每份非空吗？份数固定吗？三问都过才可用。 避坑 4　组合数公式使用前提 且 ；含参数的组合方程解出后必须回代检验上标不超过下标。 Comment by 数学教研组: 含参组合方程建议配一例：C_x^2=C_x^3 型，解出后回代检验。 避坑 5　二项式通项中 的 与 的结构不同，先确定「谁是 」再写通项； 型要整体平方后再定次数方程。 Comment by 数学教研组: 通项书写先定 a：板书示范「谁是 a、谁是 b、指数怎么分」，再让学生仿写。 避坑 6　「项的系数」与「二项式系数」不同：求「系数最大」时若各系数含非 1 因子，需逐项比较大小而非套用 结论。 Comment by 数学教研组: 配一例 (1+2x)^5 求系数最大项，让学生逐项计算后与「k=n/2」结论对比，体会差异。 ◆ 教师使用建议 计数原理在新高考卷中以小题为主（常与概率结合），训练目标定在「选填满分」：限时练以 10 题一组、每组 15 分钟为宜。 排列组合应用题建议用「模型识别卡」教学：先让学生说判断「分类还是分步、特殊元素还是特殊位置」，再动笔算，纠正见题就算的习惯。 补充一　「三个二次」的关系与区间根分布 核心公式与结论库 公式/结论 内容 三者关系主线 二次函数 的图象（抛物线）与 轴交点的横坐标，就是方程 的实数根，也是不等式 或 解集的端点。解不等式先想图象，不要死记解集形式 判别式与根 ： 两不等实根； 两相等实根； 无实根（此时不等式的解集为 或 ） 韦达定理 ，（存在实根即 的前提下使用） 根的分布——两根都大于 （对应「对称轴在 右侧且 点函数值为正」） 根的分布——两根都小于 根的分布——一根大于 一根小于 只需 （即 落在两根之间， 与开口方向异号），无需判别式 区间上的最值 对称轴在区间内：最值在顶点处取得；对称轴在区间外：最值在区间端点取得。含参时按「对称轴与区间的位置关系」分类 定轴动区间 / 动轴定区间 两类讨论结构相同：把对称轴相对区间的位置分「左、内、右」三段（必要时细分为两段内），逐段写出最值表达式 易错点清单 避坑 1　用韦达定理前必须先保证 ，「设两根直接用韦达定理」而不验判别式是解答题最大失分点。 避坑 2　「一根大于 一根小于 」只需一个不等式 ，写成三条件组反而多余，但漏掉开口方向 的符号会错。 避坑 3　含参二次不等式「解集为 」要按开口方向讨论： 时需 ； 时需单独处理（ 时变一次或常函数）。 ◆ 教师使用建议 此专题建议在复习不等式与函数之间插入 1 课时，是导数含参讨论与解析几何韦达定理使用的共同基础。 补充二　函数图象的变换全表 核心公式与结论库 公式/结论 内容 平移变换 ： 左移 个单位， 右移 个单位（「左加右减」只作用于 本身）；： 上移， 下移 伸缩变换 ：纵坐标变为原来的 倍；：横坐标变为原来的 倍（ 缩短） 对称变换（翻折） ：关于 轴对称；：关于 轴对称；：关于原点对称 绝对值翻折 ：把 轴下方部分沿 轴翻折上去；：保留 轴右侧部分并作关于 轴的对称（右侧为准） 关于直线对称 的图象关于直线 对称；特例 关于 对称 关于点对称 图象关于点 对称 周期性信号 周期 ； 周期 ；对称轴与对称中心相邻距离 周期的四分之一（三角函数专用） 图象变换两规则 多个变换时遵循「平移只对 本身」： 由 左移 得到；或先平移后伸缩与先伸缩后平移路径不同，需分开书写 易错点清单 避坑 1　平移量与 的关系： 左移量是 而不是 ，必须先提取系数。 避坑 2　 与 方向相反：前者「右定左翻」，后者「下翻上」，混用是选择题高频错误。 避坑 3　周期性结论 推出周期 ，不是 ；用两次该式验证：。 ◆ 教师使用建议 建议配 4 道小题限时：平移判断、双翻折、对称性与周期联合、由变换写解析式，各考一个方向。 补充三　函数模型及其应用 常用模型与结论库 公式/结论 内容 一次与二次模型 路程、利润、面积问题：、；利润型注意「分段定价」与顶点最值，开口方向由系数实际意义确定 增长（衰减）模型 等差增长 ；等比增长 ；持续增长率 ： 年后 （翻番问题： 取对数估算） 指数对幂比较 当 ：指数函数 增长最快，幂函数 次之，对数函数 最慢；比较模型时先用该结论定趋势，再取中间点验证 对数模型 pH、震级、分贝等「刻度型」量：，真数变化为原来的 倍时 增加 分段函数模型 出租车计价、水电阶梯价、纳税分段：分段点处函数值必须相等（连续性检验），求最值时逐段求再比较 拟合与检验 给数据选模型：散点图呈直线用一次；呈「爆炸」用指数；先增后减用二次（顶点法）或对勾型；判断标准看残差是否随机（衔接统计章回归分析） 易错点清单 避坑 1　应用题先写函数定义域：实际问题中 为年份差取正整数、长度取正数，定义域直接决定最值能否在端点取得。 避坑 2　增长率问题中「翻一番」是乘 2 不是加 2；「第 年」与「 年后」的计数起点不同，需按题意核对第一年的值。 避坑 3　分段函数最值要逐段比较，不能只取某一段的顶点。 ◆ 教师使用建议 新高考应用题常以「背景新、模型旧」命题，训练重点是「文字→变量关系→模型」的翻译过程，建议精讲 2 道（指数型＋分段型）完整书写。 补充四　数列求通项的完整方法谱 方法体系与适用条件 公式/结论 内容 累加法 且 可求和：（，首项单独验证） 累乘法 且 可求积：；注意 是否恒正、能否约分 构造等比（） 设 ，解得 ，则 是公比为 的等比数列 取倒数（） 两边取倒数：，化为线性递推再用构造法 同除指数幂 型：两边同除 或 ，把右边化为等差结构 待定系数升级 ：设 ，比较系数解 利用 关系 凡题目给出 与 混合关系：一律代 ，消去 或消去 化为纯递推， 单独验证 易错点清单 避坑 1　累加、累乘的最后一步是把 代入检验通项是否含 ，不满足就分段书写。 避坑 2　取倒数法要求 ：若递推中可能出现零项，需先说明或分情况。 避坑 3　构造法求出的 为零时退化为等比数列本身，不必强分两类，直接说明即可。 ◆ 教师使用建议 方法谱建议让学生做「方法识别卡」：见差型用累加、商型用累乘、线性型用构造、分式型用倒数。识别准确比计算更重要。 补充五　立体几何的切接模型与内切球 核心公式与结论库 公式/结论 内容 内切球（正三棱锥） 正三棱锥内切球半径 ；由等体积法： 变形即得（任何锥体通用 ） 内切球（一般体） 任意多面体内切球（若有）：，即 ；柱体通用 不成立，柱体用 直接分析 等体积法求内切球 把多面体分割为以内心为顶点、各面为底的小锥体，体积之和等于原体积——这是处理「无公式可套」切接问题的通法 正棱锥数据链 正 棱锥：底面边长 、边心距 、外接圆半径 ；高 、斜高 ：，侧棱 球与多面体切接判断要点 球内切于锥：球心在各面距离相等处（高线上）；球外接于锥：球心在各顶点距离相等处（外接圆圆心与顶点确定的垂线上）。切接问题先画轴截面 轴截面法核心 旋转体问题（圆锥内切球、圆柱外接球等）全部转化为平面图形：圆锥轴截面为等腰三角形，其内切圆即内切球截面，用「等面积法」求内切圆半径： 易错点清单 避坑 1　内切球公式 只对「球与所有面都相切」的锥体成立，柱体不能照搬（圆柱内切球 等于底面半径）。 避坑 2　轴截面上的圆只是球的截面，画图时标注清楚「截面」，防止把平面圆半径当成球半径之外的量混用。 避坑 3　切接问题先定球心位置（等距点），再建方程：列「球心到各切点距离 」或「球心到各顶点距离 」，不要凭感觉套结论。 ◆ 教师使用建议 与第六章外接球专题合并为「切接球」一课时：外接球三类模型＋内切球等体积法，各配一题。 补充六　轨迹方程的求法 方法体系 公式/结论 内容 直接法 动点满足的几何条件直接翻译为坐标方程：设 ，列等式化简。注意化简前后的等价性与定义域限制 定义法 动点轨迹符合椭圆、双曲线、抛物线、圆的定义时，直接设标准方程，用待定系数求参数；优先于直接法（省去化简） 相关点法（代入法） 动点 随已知轨迹上的点 变动：先用 表示 ，代入 所满足的方程 参数法 引入参数 写出 ，消参得普通方程；注意消参后 的范围（由参数范围反推） 交轨法 动点是两条动直线的交点：联立两直线方程（含参数），消去参数即得轨迹 检验要点 轨迹方程要「去杂」：排除使几何条件无意义的点（如与定点重合、使斜率不存在的位置），并在最后用一句话说明「除去哪些点」 易错点清单 避坑 1　定义法用椭圆、双曲线定义时，先检验常数与 的大小：椭圆需 ，双曲线需 ，否则轨迹是线段、射线或不存在。 避坑 2　相关点法最后必须写「 的轨迹范围如何限制 的轨迹」，范围丢失是普遍扣分点。 避坑 3　求出方程后回代检验：取轨迹上特殊点验证是否满足原始几何条件。 ◆ 教师使用建议 轨迹方程是第七章大题第一问的常客（尤其定义法），建议与圆锥曲线定义复习同步进行，配「定义法＋相关点法」各一题。 补充七　导数进阶：原函数与导函数的关系、隐零点 核心结论库 公式/结论 内容 原函数与导函数图象关系 上升； 是 的拐点候选。由 图象读 图象：极值点对应 的零点（变号）；单调增区间对应 在 轴上方 「增函数的导数不一定恒正」 在 递增 且 不在任一子区间恒为 0。反例 ： 但仍递增 隐零点处理 的根 可显式表示为「显零点」；若方程 不可解（如 ），设零点为 ，满足 ：后续运算把 当「已知数」参与代换消元，即「设而不求、整体代换」 隐零点整体代换示范 ，，故极小值 ；若还需 范围，由 零点存在定理定位 隐零点必须「设＋定位」两步：找区间 使 ，说明零点存在且唯一（结合单调性），再代换 常用估算储备 ，，；端点效应与「必要条件探路」常依赖这些数值 易错点清单 避坑 1　隐零点代换后若式子中同时残留 与 ，说明代换不彻底，应把 全部换成 （或反之）。 避坑 2　「」与「 递增」的细节：允许个别孤立点导数为零，但不允许 在子区间上恒为零。 避坑 3　设隐零点后必须用零点存在定理说明其存在（及唯一性），直接「设 的根为 」而不定位，按论证不完整扣分。 ◆ 教师使用建议 本专题面向冲 130+ 的学生，建议二轮复习安排；隐零点务必让学生亲手完整写一遍「设—定位—代换—还原」四步。 补充八　概率统计补充：随机模拟、决策与表述规范 核心结论库 公式/结论 内容 随机模拟（蒙特卡洛思想） 用随机数/计算机模拟代替理论计算：；模拟次数越大估计越准。适用：几何概型、复杂古典概型的估计 模拟题书写三步 ① 设计试验（明确用什么随机数代表什么事件，如 内随机数 表示「命中」）；② 记录频数；③ 用频率估计概率 决策题规范 比较方案：列分布列 → 分别求 → 若期望相同再比 （方差小更稳定）→ 结合风险偏好下结论；结论须回应题目实际问题，不能只写数字 期望决策常用句式 「，故从平均收益角度方案一更优；但 ，方案一收益波动大，风险厌恶者宜选方案二」 正态分布应用 ：，，；质量控制在 外判「小概率异常」 正态与二项结合 大样本下二项分布 可用正态 近似估计概率（了解思想即可，计算仍以精确公式为准） 易错点清单 避坑 1　随机模拟写法必须交代「随机数的生成方式与事件的对应规则」，只写「用计算机模拟」按表述不全扣分。 避坑 2　期望大不等于一定优选：题目若强调「风险」「稳定」，需结合方差作答；期望与方差结论方向矛盾时，应分对象（冒险型/保守型）给建议。 避坑 3　正态概率题先画对称草图再列式， 用错方向会差一倍。 ◆ 教师使用建议 决策类大题的评分重点是「分布列完整＋期望正确＋结论回应设问」，建议印发一份满分解答样例供学生对照书写。 补充九　考纲查漏补缺：易漏公式与性质速查 本部分对前九章进行地毯式查漏，收录易被遗漏但考纲明确要求的公式与性质，逐条对照新高考考纲整理。 一、函数性质的完整表述 公式/结论 内容 单调性的定义（证明题依据） 任取 且 ，若 ，则 在 上递增。定义法证明按「取值—作差—变形—定号—结论」五步书写，变形常用因式分解或通分，目标是化为「(正负已定的因式)×()」结构 函数值域求法汇总 ① 配方法（二次型）；② 图象法；③ 换元法（含 型设 ，注意 ）；④ 分离常数法（ 型化 ）；⑤ 单调性法；⑥ 基本不等式法；⑦ 导数法（闭区间最值） 零点的三个等价 的零点 方程 的实数根 函数 图象与 轴交点的横坐标（零点不是「点」，是实数） 图象识读三步 ① 定性：奇偶性、定义域截断；② 定量：特殊点（过定点、端点、零点）；③ 定趋势：增减区间、渐近线、界性。与图象相关结论见「补充二」 二、基本初等函数图象与性质补充 公式/结论 内容 正切函数 定义域 ；周期 ；奇函数；增区间 ；无极值；图象为被渐近线隔开的若干支 幂函数 图象特征 ：过 、，增长越来越快（如 ）；：上凸增长（如 ）；：不过原点，双曲线型递减，过 ，以坐标轴为渐近线；所有幂函数都过 指数函数图象要点 增、 减；恒过 ；底数互为倒数的两图象关于 轴对称； 越大（）图象越「陡」 对数函数图象要点 恒过 ；与同底指数函数互为反函数（关于 对称）； 时 三、解析几何补充：圆与圆、抛物线四种方程 公式/结论 内容 圆与圆位置关系 设圆心距 ： 外离； 外切； 相交； 内切； 内含（ 且 时重合）。公切线条数分别为 4、3、2、1、0 条 两圆交点弦（公共弦） 两圆方程直接相减消去二次项，得公共弦所在直线方程；公共弦长用弦心距＋勾股求 抛物线四种标准方程 ：焦点 ，开口向右；：焦点 ，开口向左；：焦点 ，开口向上；：焦点 ，开口向下。四种情形准线均在开口反方向、距顶点 处；焦点到准线距离均为 点关于直线对称 点 关于直线 的对称点 ：由 解出（垂直＋中点在轴上两个条件） 常见的对称结论 点 关于 轴 、 轴 、原点 、直线 、 、 、 对称 四、数列与概率统计补充 公式/结论 内容 等差数列前 项和最值 时 有最大值：求非负项结束的位置，即解 且 ；或用二次函数 求顶点（ 取正整数） 等比数列与函数观点 等差通项 为一次型；等比通项 为指数型； 成等差 对立事件与互斥事件的概率 对立：（二者必有一真一假、不能同真同假）；互斥：（可同假不可同真）；对立必互斥，互斥不一定对立 分层随机抽样 按各层个体数比例分配样本：第 层抽取 个；抽样比 各层相同；各层样本平均数的加权平均 几何概型 ；与随机模拟结合命题（见补充八） 五、立体几何补充：直观图 公式/结论 内容 斜二测画法要点 ① 与 轴平行的长度不变；② 与 轴平行的长度减半；③ （或 ）； 保持 ， 轴方向长度不变 直观图与原图面积关系 水平放置的平面图形：（常考逆推：由直观图面积还原原图面积乘 ） 六、易错点清单 避坑 1　「零点」是实数不是点： 时称 是零点，不能说「点 是零点」。 避坑 2　值域问题用换元法时，新元的范围必须重算：设 后 ，函数在 上的单调区间随之改变。 避坑 3　圆与圆相交的判定用 ，两个不等式缺一不可；只写 会把内切、内含误判为相交。 避坑 4　抛物线开口方向与焦点位置对应：开口向右焦点才在正 轴上，四种方程不要张冠李戴。 避坑 5　正切函数没有最值、没有减区间；「 在 上递增」是错误说法（每支分别递增）。 避坑 6　斜二测画法中「横不变、纵减半」只对与坐标轴平行的线段成立，斜线段长度按平行投影计算，不能直接减半。 避坑 7　对立事件是「全集分两半」，互斥是「不相交」：、 对立 互斥；反之不成立，判断时看是否「非此即彼」。 本速查表建议作为一轮复习收尾的「过筛子」材料：让学生先自查勾选已掌握项，教师只精讲未勾选部分；每届高考前一周可再发一遍用于最后排查。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027 届高考数学 知识点 · 基础公式 · 重难点 · 易错点 复 习 综 合 资 料 依据《普通高中数学课程标准》与新高考全国卷考纲编写 适用：贵州 2027 届高三一轮复习　·　学生自学 / 教师备课两用 目 录 目 录 I 第一章　预备知识：集合、常用逻辑用语与不等式 5 1.1 考纲要求速览 5 1.2 核心公式与结论库 5 1.3 重难点精讲 6 一、充分必要条件的「集合化」判断 6 二、基本不等式使用的「一正二定三相等」 6 1.4 易错点清单 7 第二章　函数与导数 7 2.1 考纲要求速览 7 2.2 核心公式与结论库 7 2.3 重难点精讲 8 一、恒成立问题与参数分离 8 二、含 、 的常用放缩（压轴题储备） 9 2.4 易错点清单 9 第三章　三角函数与解三角形 9 3.1 考纲要求速览 9 3.2 核心公式与结论库 10 3.3 重难点精讲 11 一、由图象求 的解析式 11 二、解三角形中的「边角互化」策略选择 11 3.4 易错点清单 11 第四章　平面向量与复数 12 4.1 考纲要求速览 12 4.2 核心公式与结论库 12 4.3 重难点精讲 13 一、数量积的两种求法选择 13 二、复数运算中「模」的技巧 13 4.4 易错点清单 13 第五章　数列 14 5.1 考纲要求速览 14 5.2 核心公式与结论库 14 5.3 重难点精讲 15 一、由 求 的「分段检验」 15 二、三种求和方法的选择信号 15 5.4 易错点清单 15 第六章　立体几何 16 6.1 考纲要求速览 16 6.2 核心公式与结论库 16 6.3 重难点精讲 17 一、证明题的「定理完整书写」训练 17 二、建系的规范与法向量的求法 17 6.4 易错点清单 17 第七章　解析几何 18 7.1 考纲要求速览 18 7.2 核心公式与结论库 18 7.3 重难点精讲 19 一、直线与圆锥曲线大题的「程序化解题」 19 二、定点与定值问题的处理思路 20 7.4 易错点清单 20 第八章　统计与概率 20 8.1 考纲要求速览 20 8.2 核心公式与结论库 21 8.3 重难点精讲 22 一、概率大题的三类主干模型 22 二、统计图表与数字特征的读法 22 8.4 易错点清单 22 第九章　计数原理与排列组合 23 9.1 考纲要求速览 23 9.2 核心公式与结论库 23 9.3 重难点精讲 24 一、排列组合应用题的「先分组、再分配」 24 二、二项式定理的「赋值法」体系 24 9.4 易错点清单 24 补充一　「三个二次」的关系与区间根分布 25 核心公式与结论库 25 易错点清单 25 补充二　函数图象的变换全表 26 核心公式与结论库 26 易错点清单 26 补充三　函数模型及其应用 27 常用模型与结论库 27 易错点清单 27 补充四　数列求通项的完整方法谱 28 方法体系与适用条件 28 易错点清单 28 补充五　立体几何的切接模型与内切球 28 核心公式与结论库 28 易错点清单 29 补充六　轨迹方程的求法 30 方法体系 30 易错点清单 30 补充七　导数进阶：原函数与导函数的关系、隐零点 30 核心结论库 30 易错点清单 31 补充八　概率统计补充：随机模拟、决策与表述规范 31 核心结论库 31 易错点清单 32 补充九　考纲查漏补缺：易漏公式与性质速查 32 一、函数性质的完整表述 32 二、基本初等函数图象与性质补充 33 三、解析几何补充：圆与圆、抛物线四种方程 33 四、数列与概率统计补充 34 五、立体几何补充：直观图 35 2027 届高考数学知识点与基础公式复习综合资料 — — 学科网（北京）股份有限公司 第一章　预备知识：集合、常用逻辑用语与不等式 1.1 考纲要求速览 考点 考纲要求 集合的含义与运算 了解集合的含义；理解交、并、补的运算；会用 Venn 图解决实际问题 充分必要条件 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义 量词与命题 理解全称量词与存在量词；能写出含一个量词的命题的否定 不等式性质 掌握不等式的基本性质，会用性质比较大小 基本不等式 掌握基本不等式 及其应用（最值、条件等式） 1.2 核心公式与结论库 公式/结论 内容 集合交并补 ；； 集合关系恒等式 ； 集合元素个数 （现行教材采用 记号） 含参数子集个数 含 个元素的集合有 个子集、 个真子集、 个非空真子集 命题否定的转换 「」的否定是「」；「且」的否定为「或」 充要条件的集合表述 甲 乙 对应「甲对应集合 乙对应集合」；两个集合互不包含则既不充分也不必要 不等式性质关键三条 （乘负数变号）；； 基本不等式 时 ，当且仅当 取等；变形： 和定积最大/积定和最小 （定）时 ；（定）时 （均需 ） 常用放缩配凑 ； 一元二次不等式解法 ：先看判别式，两根 时解集为 分式不等式 ；切勿随意去分母，除非先确定 的符号 1.3 重难点精讲 一、充分必要条件的「集合化」判断 处理充要条件最稳妥的方法是把条件翻译成集合：设甲对应集合 、乙对应集合 。若 ，则甲是乙的充分不必要条件；若 ，则甲是乙的必要不充分条件。遇到含参数的条件（如「：」）时，先写出两个集合，再按包含关系列不等式组求参数范围，这是选择题与填空题中的高频考法。 二、基本不等式使用的「一正二定三相等」 使用 求最值必须同时验证三个条件：各项为正（一正）、和或积为定值（二定）、等号能够取到（三相等）。其中「三相等」最容易被忽略——例如在 的约束下用 就取不到等号（等号要求 ），此时应改用对勾函数 的单调性分析：增区间 、，减区间 、。 1.4 易错点清单 避坑 1　空集是任何集合的子集：讨论「」求参数时，若 可能为空集，必须先令 检验，再讨论非空情形。 避坑 2　描述法中的代表元素决定集合类型： 是数集（）， 是 ， 是点集（抛物线），三者完全不同。 避坑 3　 只否定结论不否定条件，且存在量词与全称量词互换；「」的否定是「」。 避坑 4　含等号不等式的否定要用严格不等号： 的否定是 ，不是 。 避坑 5　基本不等式取不到等号时结论错误：求最值前先解 是否落在定义域内。 避坑 6　分式不等式不能直接去分母： 的解是 或 ，不是 或 。 第二章　函数与导数 2.1 考纲要求速览 考点 考纲要求 函数概念与性质 理解函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性的概念，会判断并应用 指数、对数、幂函数 理解三种基本初等函数的图象与性质，会进行指数、对数运算 函数零点 理解零点存在定理，会用二分法思想估计零点，会判断零点个数 导数及其几何意义 理解导数的几何意义（切线斜率），会求简单函数的导数 导数的应用 会用导数研究函数单调性、极值、最值，能解决恒成立与零点综合问题 2.2 核心公式与结论库 公式/结论 内容 基本初等函数导数 ；；；；；； 导数四则运算法则 ；；（复合函数链式法则） 切线方程 曲线 在点 处的切线：；「在」用该点导数，「过」需设切点 单调性与导数 增（逆不真）； 恒成立且不恒为 0 单调递增 极值判定 为极值点 且 在 两侧变号；注意「」不能推出「 是极值点」（反例 ） 零点存在定理 在 连续且 在 内至少有一个零点（不能保证唯一，唯一性需结合单调性） 指数对数运算律 ；；；换底公式 ； 常用函数图象结论 与 关于 对称； 恒过 ； 恒过 单调性常用复合判断 与 同增则 增，、（同增异减）单调性需逐层判断 奇偶性运算结论 奇 奇 偶；奇 奇 奇；偶 偶 偶；复合函数 的奇偶性由 与 共同决定 2.3 重难点精讲 一、恒成立问题与参数分离 「 对 恒成立 （）」「 恒成立 」。能分离参数时优先分离（转化为求函数最值），不能分离时用「最值定位＋分类讨论」。若不等式两端均含 （如 恒成立），常改用同构或必要条件探路：先由特殊值（如 ）缩小 的范围，再证明充分性。 二、含 、 的常用放缩（压轴题储备） 公式/结论 内容 切线放缩 （）；（），均当且仅当 （或 ）取等 常用变形 ；； 指对互化同构 型，可转化为 的单调性比较 2.4 易错点清单 避坑 1　切线问题先分清「在某点处」与「过某点」：过点 的切线若 不在曲线上，必须设切点 联立求解，通常有两解。 避坑 2　单调区间不能用「∪」连接： 在 和 上分别递减，不能写成「单调递减区间为 」。 避坑 3　复合函数定义域看内层： 的定义域是 的范围，不是 的范围。 避坑 4　对数运算法则混用：，这是学生最顽固的错误。 避坑 5　极值点要求导数在此点两侧变号： 且不变号时 不是极值点（如 在 ）。 避坑 6　含参二次函数在区间上的最值要按对称轴与区间的位置关系分类讨论，漏掉「对称轴在区间内」或动区间情形都会出错。 避坑 7　零点个数问题必须同时考虑图象走势（趋于 或 的方向），只验证一个区间内有零点不够。 第三章　三角函数与解三角形 3.1 考纲要求速览 考点 考纲要求 任意角与弧度制 了解任意角、弧度制概念，能进行弧度与角度互化 三角函数定义与图象 理解同角三角函数基本关系；掌握 等图象及「五点法」作图 诱导公式与恒等变换 会推导诱导公式，掌握两角和差与二倍角公式，能进行简单恒等变换 函数 理解 对图象的影响，会由图象求解析式 正弦、余弦定理 掌握两个定理，能解三角形并解决测量类实际问题 3.2 核心公式与结论库 公式/结论 内容 弧长与扇形面积 （ 为弧度）； 同角关系 ； 诱导公式口诀 奇变偶不变，符号看象限：；； 和差公式 ；； 二倍角公式 ；； 降幂公式 ；（化简求值、研究周期必用） 辅助角公式 ，其中 正弦定理 （ 为外接圆半径）；面积 余弦定理 ；；变式 射影定理 三角形常用结论 ；大边对大角；； 时 3.3 重难点精讲 一、由图象求 的解析式 顺序固定：先由最高最低点求 、；再由相邻最高点（或相邻零点）间距求周期 ，得 （）；最后代「特殊点」定 ，代点时优先选最高点或上升段零点，并注意 或指定范围的取舍。平移变换口诀「左加右减只对 本身」： 左移 得 ，而不是 。 二、解三角形中的「边角互化」策略选择 化简含边角混合的等式时，统一化为角还是统一化为边？经验法则：出现 这类和差结构优先化角（利用 整体代换）；出现 这类二次结构优先化边（配余弦定理）；出现 直接用射影定理得 。判断三角形形状时，化角后注意提取公因式并讨论因子为零的情形，避免漏解。 3.4 易错点清单 避坑 1　已知三角函数值求角时必须限定区间并讨论： 在 上有两解 与 。 避坑 2　使用正弦定理解三角形时，已知两边及一边的对角可能出现两解、一解或无解，需用「大边对大角」检验，这是选择题判断解的个数的高频考法。 避坑 3　平移 的函数时伸缩量容易漏乘： 的图象右移 个单位才得到 。 避坑 4　降幂后求对称轴、对称中心，先化成 的标准形式再套结论：对称轴令 ；对称中心令 。 避坑 5　三角形解应用题注意方位角、仰角的图示方向，画图错误直接导致边角关系错误。 避坑 6　余弦定理求出的角是钝角还是锐角要由所在边的相对长短确认，防止「锐角三角形」前提被默认。 第四章　平面向量与复数 4.1 考纲要求速览 考点 考纲要求 平面向量的概念与线性运算 理解向量的几何表示与加减、数乘运算及其几何意义 向量的分解与坐标运算 理解平面向量基本定理，掌握坐标表示下的线性运算 数量积及其应用 掌握数量积的定义与运算律，会用数量积求模长、夹角、判断垂直 复数的概念与四则运算 理解复数相等的条件，掌握代数形式的四则运算及几何意义 4.2 核心公式与结论库 公式/结论 内容 共线（平行） ；坐标表示 垂直 ；坐标表示 数量积 ；坐标表示 模与夹角 ；（） 投影向量 在 上的投影向量为 平面向量基本定理 若 不共线，则 且分解唯一 模不等式 （三点共线时右侧取等） 重要向量恒等式 ； 复数四则运算 ； 共轭与模 ；；； 为实数， 为纯虚数（ 非实数时） 复数分类 ： 为实数； 为虚数； 且 为纯虚数 复数几何意义 点 向量 ； 即 的长度 4.3 重难点精讲 一、数量积的两种求法选择 坐标法：建系后把所有向量用坐标表示，直接套 ，适合规则图形（正方形、直角三角形、圆内接图形）。基底法：选两个不共线向量作基底（常取一组邻边），把目标向量分解后代入运算律展开，适合斜三角形、一般平行四边形。高考向量小题中最值问题（如 的最值）的通用思路是把动点投影到固定方向：数量积 「 在固定方向上的投影」「固定向量的模」，从而把问题降为一维。 二、复数运算中「模」的技巧 求 时不必通分展开，直接用 ；求 可理解为复平面上点 到点 的距离，复数与几何结合的轨迹问题（圆、线段垂直平分线）常由此秒解。 4.4 易错点清单 避坑 1　数量积不满足结合律： 是与 共线的向量，一般不等于 ，消去律在向量中不成立。 避坑 2　向量夹角是共起点后的夹角，范围 ；由 判钝角时还要排除 （反向共线）的情况。 避坑 3　平行与垂直的坐标公式不能记混：平行是「交叉相乘相等」（），垂直是「对应相乘求和为零」。 避坑 4　复数除法必须分母实数化，直接把分母当实数去除是典型错误。 避坑 5　「虚数」「纯虚数」条件不同：纯虚数要求 且 两者同时满足，求参数时需对 、 列组并检验边界。 避坑 6　复数 满足 为实数（）且 为虚数时，；忘记验证 为虚数这一前提会导致解不唯一。 第五章　数列 5.1 考纲要求速览 考点 考纲要求 数列的概念 了解数列是一种特殊函数，理解数列的通项公式与递推公式 等差数列 理解等差数列的概念，掌握通项公式与前 项和公式，了解其与一次函数的联系 等比数列 理解等比数列的概念，掌握通项公式与前 项和公式（注意 的讨论） 数列求和与方法 掌握分组求和、裂项相消、错位相减等求和方法 数学归纳法思想（选学） 了解归纳推理，能用递推关系进行简单归纳猜想 5.2 核心公式与结论库 公式/结论 内容 等差通项 ； 等差求和 （关于 的二次函数，无常数项） 等差中项与性质 ；若 、 等差，则 等差； 仍成等差 等比通项 （，） 等比求和 时 ； 时 等比性质 若 、 等比，则 、 等比； 成等比（需 ） 裂项相消模板 ；； 错位相减适用 型（ 等差、 等比），如 ，求和后系数检验 项 常见结论 ； 递推构造 设 ，解 构造等比数列； 型常两边同除 取倒数 5.3 重难点精讲 一、由 求 的「分段检验」 当已知 （或 与 的关系式）求通项时，标准流程是：当 时，；再单独验证 时 是否满足该表达式。若满足则合并写成一个式子，若不满足则必须分段书写。只写 不检验 是高考解答题第一问的常规扣分点。 二、三种求和方法的选择信号 通项能拆成两块相加（如 ）用分组求和；通项是分式且分母为等差乘积（如 ）用裂项相消，注意裂开后剩余 或 项、剩余项要成对书写；通项是「等差 等比」（如 ）用错位相减，写出 与 两式相减后，务必逐项核对公比与指数，最后用 代入检验。 5.4 易错点清单 避坑 1　等比数列求和忘记讨论 ，直接套公式，这是解答题必扣分点。 避坑 2　等比数列各项非零、公比非零：由「 是等比数列」求参数时，须检验 且 。 避坑 3　 与 的关系式 只对 成立， 要单独验证。 避坑 4　裂项相消后「消不干净」：消项时前后各多留一项，建议写出首尾各两项再求和核对。 避坑 5　错位相减最后一步除以 时符号易错，且所得通项须用 回代检验。 避坑 6　数列单调性问题： 对一切 成立才是递增，由 解出的式子对每个 都要成立，不能只代几个特殊值。 第六章　立体几何 6.1 考纲要求速览 考点 考纲要求 空间几何体 认识柱、锥、台、球的结构特征，会求表面积与体积 位置关系判定 理解线线、线面、面面平行与垂直的判定定理及性质定理，会用定理进行推理论证 空间角 会求异面直线所成角、线面角、二面角（含向量方法） 空间向量法 会用空间向量解决平行、垂直论证与空间角的计算 6.2 核心公式与结论库 公式/结论 内容 柱体体积 （底面积 高）； 锥体与台体 ；； 球 ；；球的截面圆半径 （ 为球心到截面距离） 外接球常用结论 正方体外接球 （ 为棱长）；长方体 ；直棱柱/圆柱外接 型；正三棱锥底面外接圆半径 平行传递 （公理 4）；线面平行 直线平行于过交点的面内某直线 线面平行判定与性质 面外线平行于面内线 线面平行；线面平行 过该线的平面与已知面的交线平行于该线 面面垂直判定 线面垂直 线垂直于面内所有直线；一个平面过另一个平面的垂线 两面垂直 线面角 斜线与平面所成角 满足 （垂线段与斜线段之比）；向量法 （ 为法向量） 二面角（向量法） ，结果的正负需结合二面角是锐角还是钝角判定 异面直线所成角 ，取绝对值（角范围为 ） 常见三视图还原数据 正（主）俯视定长、正侧视定高、俯侧视定宽；旋转体轴线方向优先判断 6.3 重难点精讲 一、证明题的「定理完整书写」训练 立体几何解答题的证明部分按定理要素给分：用线面平行判定定理，需写全「直线在平面外、直线在平面内、两线平行」三个条件；用线面垂直判定定理，需写全「两条相交直线、均在面内、均与该线垂直」。缺一个条件即失分。建议训练学生在草稿上按「条件 定理名称 结论」三段式列提纲再誊写。 二、建系的规范与法向量的求法 建系前必须证明（或说明）三条两两垂直的直线的存在性，例如「因为 ，，以 为原点……」；不能默认垂直。求平面法向量按固定程序：设 ，列 、，令某一坐标为具体值（常令 ）解出其余坐标。求出二面角的余弦后，必须判断实际二面角是锐还是钝（可观察图形或取棱上一点验证），避免符号错误。 6.4 易错点清单 避坑 1　异面直线所成角取值范围 ，不能为 或钝角；线面角范围 ；二面角范围 。三种角的范围必须区分记忆。 避坑 2　向量法求线面角用 ，求二面角用 （不加绝对值、需判号），公式混用是向量法最大失分点。 避坑 3　外接球问题先辨模型：「墙角模型」（三条棱两两垂直）与「轴截面模型」（旋转体、直棱柱）公式不同，套错模型得完全不同的答案。 避坑 4　台体体积公式中的 项容易漏；圆锥侧面展开图弧长等于底面周长，不是等于母线长。 避坑 5　体积变换（等体积法求点到面的距离）中，把三棱锥换底换顶点时，高的对应关系容易找错，建议画出换底后的草图确认。 避坑 6　证明面面垂直必须先证线面垂直，直接说「因为两角互补所以面面垂直」属于跳步论证，不合定理要求。 第七章　解析几何 7.1 考纲要求速览 考点 考纲要求 直线与方程 理解斜率概念，掌握点斜式等方程形式，会求两直线交点与距离 圆与方程 掌握圆的标准方程与一般方程，能判断直线与圆、圆与圆的位置关系 椭圆 理解椭圆的定义、标准方程及几何性质（范围、对称性、顶点、离心率） 双曲线 理解双曲线的定义、标准方程及渐近线、离心率等性质 抛物线 理解抛物线的定义、标准方程，会用焦点弦性质解题 直线与圆锥曲线 能判断位置关系，会处理弦长、中点、定点定值等综合问题 7.2 核心公式与结论库 公式/结论 内容 斜率与两直线关系 ；平行 且不重合；垂直 （斜率存在时） 三种距离 两点间 ；点线距 ；平行线间 圆的方程 标准式 ；一般式 （），圆心 ，半径 直线与圆位置 判别式法或 与 比较： 相交； 相切； 相离。弦长 （几何法优先） 椭圆 ：，；焦点弦 双曲线 ：，；渐近线 ；共渐近线系 ；定义 抛物线 ：焦点 ，准线 ；定义 ；通径长 焦点弦结论（抛物线） 过焦点的弦 ：，；；以 为直径的圆与准线相切 弦长公式 直线 与曲线交于 、： 中点弦（点差法） 椭圆中 为弦端点、 为中点：；双曲线中 （斜率存在时） 面积常用 （ 为焦点到弦的距离）；直线与圆锥曲线所围三角形面积常用「底 高」拆分 7.3 重难点精讲 一、直线与圆锥曲线大题的「程序化解题」 标准流程五步：设直线（注意斜率不存在的情形，通常单列）→ 联立方程化为关于 的一元二次方程 → 写判别式 与韦达定理 、 → 把目标量（弦长、面积、向量数量积、定值）用 、 表示 → 代入化简并收尾（验证判别式、说明结论成立）。联立后二次项系数是否为零、判别式是否成立，这两处是阅卷的「过程分」检查点，必须显式书写。 二、定点与定值问题的处理思路 定值问题：先把目标表达式用韦达定理表示为含参数的式子，若化简后参数消去即为定值。定点问题：先取特殊位置（如弦水平或垂直）算出「猜想定点」，再设一般直线 ，证明其恒过该点（通常表现为「目标式 某关系与 无关」）。特殊值探路＋一般性证明是通法，也符合阅卷的采分逻辑。 7.4 易错点清单 避坑 1　椭圆中 与双曲线中 最易混记，建议先记「椭圆 最大、双曲线 最大」。 避坑 2　焦点位置决定分母大小：椭圆焦点在 轴时 项分母为 （较大），双曲线焦点在 轴时 项系数为正；含参数方程先判断焦点位置再套性质。 避坑 3　直线方程设 已默认排除竖直线，凡涉及直线与圆锥曲线相交的题目，必须讨论斜率不存在的情况。 避坑 4　联立消元后的二次方程，二次项系数与判别式 是交点存在的前提，韦达定理必须在「有根」的前提下使用。 避坑 5　抛物线焦点弦中 为正、 为负，符号记反则结论全错。 避坑 6　点到直线距离公式中分子是绝对值，分母是 ，漏平方或漏绝对值是最常见笔误。 避坑 7　中点弦点差法求出的斜率需代回验证判别式，防止出现「弦不存在」的假解。 第八章　统计与概率 8.1 考纲要求速览 考点 考纲要求 抽样方法与统计图表 理解简单随机抽样、分层随机抽样；会读频率分布直方图、百分位数 样本的数字特征 会求平均数、中位数、众数、方差与标准差，理解其统计含义 成对数据 了解相关系数与回归分析、独立性检验的基本思想（ 列联表） 随机事件与概率 理解事件的关系与运算、古典概型、独立事件与条件概率 分布列与数字特征 掌握离散型随机变量的分布列、期望、方差、二项分布与超几何分布 正态分布 了解正态分布的对称性，会用对称性求概率 8.2 核心公式与结论库 公式/结论 内容 频率分布直方图 小矩形面积 频率， 各矩形面积 ；中位数左右两侧面积各为 平均数与方差 ；；线性变换 时 ， 百分位数 分位数：从小到大排，位置 （非整数则取下一项，整数则取该位与下一位的平均） 古典概型 ；条件概率 独立与全概率 独立 ；全概率公式 （ 构成完备事件组）；贝叶斯 二项分布 次独立重复试验成功 次：；， 超几何分布 件中 件次品，取 件次品数 ：；与二项分布的区别是「不放回」 期望方差性质 ；；两独立变量 两点分布 ， 正态分布 ：；对称性 ； 越小越「瘦高」 独立性检验 （ 列联表）， 越大关联越强，与临界值比较下结论 回归直线 恒过样本中心 ；， 越接近 1 线性相关越强 8.3 重难点精讲 一、概率大题的三类主干模型 新高考概率大题的主流模型：其一是全概率与贝叶斯（如「先抽盒再抽球」两阶段试验），关键画「分支树状图」，每个分支标概率；其二是二项分布与超几何分布的辨析——放回（或独立重复）用二项，不放回用超几何；其三是分布列与决策（求 后比较方案收益），须先正确列出 的所有取值再逐个求概率，求和检验是否为 1。 二、统计图表与数字特征的读法 频率分布直方图中，平均数取「各组中点值 频率」加权；中位数按面积平分确定；众数取最高矩形的底边中点。方差比较稳定性时，平均数接近才比方差；方差小 稳定，方向不能反。回归直线必过样本中心，这一条常被直接用于求 或 。 8.4 易错点清单 避坑 1　条件概率 与 混淆：前者是「以 发生为新样本空间」中 的概率，分母是 。 避坑 2　二项分布与超几何分布不分：题目中「有放回」「独立重复」是二项，「不放回」「从中任取」是超几何。 避坑 3　互斥与独立是两回事：互斥指不能同时发生；独立指发生与否互不影响。、 互斥且均非零概率时必不独立。 避坑 4　分布列必须检验 且每个 ；期望算错常因取值遗漏或概率求和不为 1。 避坑 5　正态分布只利用对称性求概率， 而不是 ；区间概率要与 原则结合。 避坑 6　独立检验结论表述要规范：「有 （或相应置信度）的把握认为二者有关」，不能说「证明二者有关系」或「二者无关」。 避坑 7　方差性质 中加常数 不改变方差，学生常错误地乘在 上。 第九章　计数原理与排列组合 9.1 考纲要求速览 考点 考纲要求 两个计数原理 理解分类加法与分步乘法计数原理，能根据问题结构选择原理 排列与组合 理解排列、组合的概念，掌握排列数、组合数公式与性质 二项式定理 掌握二项式定理及通项，会用其求特定项、系数和 9.2 核心公式与结论库 公式/结论 内容 分类与分步 分类相加（互斥），分步相乘（独立完成）；「至少/至多」型常用正难则反 排列数 ；全排列 ； 组合数 ；；（组合数性质） 排列组合常用模型 相邻问题「捆绑法」（整体排列再内部排列）；不相邻问题「插空法」；定序问题「除序法」（）；相同元素分组「隔板法」（ 个相同球分给 人每人至少一个：） 二项式定理 ；通项 （） 系数和结论 展开式中系数和 （令 ）；奇偶项系数和各 （令 ） 最大系数 系数最大的项满足 最大： 为偶数时 ， 为奇数时 或 （纯组合系数情形） 常用恒等式 ； 9.3 重难点精讲 一、排列组合应用题的「先分组、再分配」 涉及「把 个不同元素分给 个对象」的问题，先分堆再分配：均匀分堆要除以堆数的阶乘消序（如把 6 人平均分成 3 组有 种），非均匀分堆不除序。分堆完成后再对每组做全排列分配。分组与分配的次序不可颠倒。 二、二项式定理的「赋值法」体系 求特定项用通项：先写出 ，令某次幂满足条件解出 ，注意 必须是非负整数，无解时直接答「不存在」。求系数和用赋值：令变量取 、、 等特殊值构造方程组。若题目是「系数与二项式系数」混合（如 ），务必区分：二项式系数是 ，展开后的系数是 ，两者不相等。 9.4 易错点清单 避坑 1　「至少一个」型问题用对立事件：，逐类讨论「恰好 1 个、恰好 2 个……」既繁琐又易漏。 避坑 2　捆绑法把相邻元素视为一个整体后，别忘了整体内部还有排列。 避坑 3　隔板法只适用于「相同元素、每份至少一个」；允许为空时先「每人预置一个再转化」，元素不同时不能用隔板法。 避坑 4　组合数公式使用前提 且 ；含参数的组合方程解出后必须回代检验上标不超过下标。 避坑 5　二项式通项中 的 与 的结构不同，先确定「谁是 」再写通项； 型要整体平方后再定次数方程。 避坑 6　「项的系数」与「二项式系数」不同：求「系数最大」时若各系数含非 1 因子，需逐项比较大小而非套用 结论。 补充一　「三个二次」的关系与区间根分布 核心公式与结论库 公式/结论 内容 三者关系主线 二次函数 的图象（抛物线）与 轴交点的横坐标，就是方程 的实数根，也是不等式 或 解集的端点。解不等式先想图象，不要死记解集形式 判别式与根 ： 两不等实根； 两相等实根； 无实根（此时不等式的解集为 或 ） 韦达定理 ，（存在实根即 的前提下使用） 根的分布——两根都大于 （对应「对称轴在 右侧且 点函数值为正」） 根的分布——两根都小于 根的分布——一根大于 一根小于 只需 （即 落在两根之间， 与开口方向异号），无需判别式 区间上的最值 对称轴在区间内：最值在顶点处取得；对称轴在区间外：最值在区间端点取得。含参时按「对称轴与区间的位置关系」分类 定轴动区间 / 动轴定区间 两类讨论结构相同：把对称轴相对区间的位置分「左、内、右」三段（必要时细分为两段内），逐段写出最值表达式 易错点清单 避坑 1　用韦达定理前必须先保证 ，「设两根直接用韦达定理」而不验判别式是解答题最大失分点。 避坑 2　「一根大于 一根小于 」只需一个不等式 ，写成三条件组反而多余，但漏掉开口方向 的符号会错。 避坑 3　含参二次不等式「解集为 」要按开口方向讨论： 时需 ； 时需单独处理（ 时变一次或常函数）。 补充二　函数图象的变换全表 核心公式与结论库 公式/结论 内容 平移变换 ： 左移 个单位， 右移 个单位（「左加右减」只作用于 本身）；： 上移， 下移 伸缩变换 ：纵坐标变为原来的 倍；：横坐标变为原来的 倍（ 缩短） 对称变换（翻折） ：关于 轴对称；：关于 轴对称；：关于原点对称 绝对值翻折 ：把 轴下方部分沿 轴翻折上去；：保留 轴右侧部分并作关于 轴的对称（右侧为准） 关于直线对称 的图象关于直线 对称；特例 关于 对称 关于点对称 图象关于点 对称 周期性信号 周期 ； 周期 ；对称轴与对称中心相邻距离 周期的四分之一（三角函数专用） 图象变换两规则 多个变换时遵循「平移只对 本身」： 由 左移 得到；或先平移后伸缩与先伸缩后平移路径不同，需分开书写 易错点清单 避坑 1　平移量与 的关系： 左移量是 而不是 ，必须先提取系数。 避坑 2　 与 方向相反：前者「右定左翻」，后者「下翻上」，混用是选择题高频错误。 避坑 3　周期性结论 推出周期 ，不是 ；用两次该式验证：。 补充三　函数模型及其应用 常用模型与结论库 公式/结论 内容 一次与二次模型 路程、利润、面积问题：、；利润型注意「分段定价」与顶点最值，开口方向由系数实际意义确定 增长（衰减）模型 等差增长 ；等比增长 ；持续增长率 ： 年后 （翻番问题： 取对数估算） 指数对幂比较 当 ：指数函数 增长最快，幂函数 次之，对数函数 最慢；比较模型时先用该结论定趋势，再取中间点验证 对数模型 pH、震级、分贝等「刻度型」量：，真数变化为原来的 倍时 增加 分段函数模型 出租车计价、水电阶梯价、纳税分段：分段点处函数值必须相等（连续性检验），求最值时逐段求再比较 拟合与检验 给数据选模型：散点图呈直线用一次；呈「爆炸」用指数；先增后减用二次（顶点法）或对勾型；判断标准看残差是否随机（衔接统计章回归分析） 易错点清单 避坑 1　应用题先写函数定义域：实际问题中 为年份差取正整数、长度取正数，定义域直接决定最值能否在端点取得。 避坑 2　增长率问题中「翻一番」是乘 2 不是加 2；「第 年」与「 年后」的计数起点不同，需按题意核对第一年的值。 避坑 3　分段函数最值要逐段比较，不能只取某一段的顶点。 补充四　数列求通项的完整方法谱 方法体系与适用条件 公式/结论 内容 累加法 且 可求和：（，首项单独验证） 累乘法 且 可求积：；注意 是否恒正、能否约分 构造等比（） 设 ，解得 ，则 是公比为 的等比数列 取倒数（） 两边取倒数：，化为线性递推再用构造法 同除指数幂 型：两边同除 或 ，把右边化为等差结构 待定系数升级 ：设 ，比较系数解 利用 关系 凡题目给出 与 混合关系：一律代 ，消去 或消去 化为纯递推， 单独验证 易错点清单 避坑 1　累加、累乘的最后一步是把 代入检验通项是否含 ，不满足就分段书写。 避坑 2　取倒数法要求 ：若递推中可能出现零项，需先说明或分情况。 避坑 3　构造法求出的 为零时退化为等比数列本身，不必强分两类，直接说明即可。 补充五　立体几何的切接模型与内切球 核心公式与结论库 公式/结论 内容 内切球（正三棱锥） 正三棱锥内切球半径 ；由等体积法： 变形即得（任何锥体通用 ） 内切球（一般体） 任意多面体内切球（若有）：，即 ；柱体通用 不成立，柱体用 直接分析 等体积法求内切球 把多面体分割为以内心为顶点、各面为底的小锥体，体积之和等于原体积——这是处理「无公式可套」切接问题的通法 正棱锥数据链 正 棱锥：底面边长 、边心距 、外接圆半径 ；高 、斜高 ：，侧棱 球与多面体切接判断要点 球内切于锥：球心在各面距离相等处（高线上）；球外接于锥：球心在各顶点距离相等处（外接圆圆心与顶点确定的垂线上）。切接问题先画轴截面 轴截面法核心 旋转体问题（圆锥内切球、圆柱外接球等）全部转化为平面图形：圆锥轴截面为等腰三角形，其内切圆即内切球截面，用「等面积法」求内切圆半径： 易错点清单 避坑 1　内切球公式 只对「球与所有面都相切」的锥体成立，柱体不能照搬（圆柱内切球 等于底面半径）。 避坑 2　轴截面上的圆只是球的截面，画图时标注清楚「截面」，防止把平面圆半径当成球半径之外的量混用。 避坑 3　切接问题先定球心位置（等距点），再建方程：列「球心到各切点距离 」或「球心到各顶点距离 」，不要凭感觉套结论。 补充六　轨迹方程的求法 方法体系 公式/结论 内容 直接法 动点满足的几何条件直接翻译为坐标方程：设 ，列等式化简。注意化简前后的等价性与定义域限制 定义法 动点轨迹符合椭圆、双曲线、抛物线、圆的定义时，直接设标准方程，用待定系数求参数；优先于直接法（省去化简） 相关点法（代入法） 动点 随已知轨迹上的点 变动：先用 表示 ，代入 所满足的方程 参数法 引入参数 写出 ，消参得普通方程；注意消参后 的范围（由参数范围反推） 交轨法 动点是两条动直线的交点：联立两直线方程（含参数），消去参数即得轨迹 检验要点 轨迹方程要「去杂」：排除使几何条件无意义的点（如与定点重合、使斜率不存在的位置），并在最后用一句话说明「除去哪些点」 易错点清单 避坑 1　定义法用椭圆、双曲线定义时，先检验常数与 的大小：椭圆需 ，双曲线需 ，否则轨迹是线段、射线或不存在。 避坑 2　相关点法最后必须写「 的轨迹范围如何限制 的轨迹」，范围丢失是普遍扣分点。 避坑 3　求出方程后回代检验：取轨迹上特殊点验证是否满足原始几何条件。 补充七　导数进阶：原函数与导函数的关系、隐零点 核心结论库 公式/结论 内容 原函数与导函数图象关系 上升； 是 的拐点候选。由 图象读 图象：极值点对应 的零点（变号）；单调增区间对应 在 轴上方 「增函数的导数不一定恒正」 在 递增 且 不在任一子区间恒为 0。反例 ： 但仍递增 隐零点处理 的根 可显式表示为「显零点」；若方程 不可解（如 ），设零点为 ，满足 ：后续运算把 当「已知数」参与代换消元，即「设而不求、整体代换」 隐零点整体代换示范 ，，故极小值 ；若还需 范围，由 零点存在定理定位 隐零点必须「设＋定位」两步：找区间 使 ，说明零点存在且唯一（结合单调性），再代换 常用估算储备 ，，；端点效应与「必要条件探路」常依赖这些数值 易错点清单 避坑 1　隐零点代换后若式子中同时残留 与 ，说明代换不彻底，应把 全部换成 （或反之）。 避坑 2　「」与「 递增」的细节：允许个别孤立点导数为零，但不允许 在子区间上恒为零。 避坑 3　设隐零点后必须用零点存在定理说明其存在（及唯一性），直接「设 的根为 」而不定位，按论证不完整扣分。 补充八　概率统计补充：随机模拟、决策与表述规范 核心结论库 公式/结论 内容 随机模拟（蒙特卡洛思想） 用随机数/计算机模拟代替理论计算：；模拟次数越大估计越准。适用：几何概型、复杂古典概型的估计 模拟题书写三步 ① 设计试验（明确用什么随机数代表什么事件，如 内随机数 表示「命中」）；② 记录频数；③ 用频率估计概率 决策题规范 比较方案：列分布列 → 分别求 → 若期望相同再比 （方差小更稳定）→ 结合风险偏好下结论；结论须回应题目实际问题，不能只写数字 期望决策常用句式 「，故从平均收益角度方案一更优；但 ，方案一收益波动大，风险厌恶者宜选方案二」 正态分布应用 ：，，；质量控制在 外判「小概率异常」 正态与二项结合 大样本下二项分布 可用正态 近似估计概率（了解思想即可，计算仍以精确公式为准） 易错点清单 避坑 1　随机模拟写法必须交代「随机数的生成方式与事件的对应规则」，只写「用计算机模拟」按表述不全扣分。 避坑 2　期望大不等于一定优选：题目若强调「风险」「稳定」，需结合方差作答；期望与方差结论方向矛盾时，应分对象（冒险型/保守型）给建议。 避坑 3　正态概率题先画对称草图再列式， 用错方向会差一倍。 补充九　考纲查漏补缺：易漏公式与性质速查 本部分对前九章进行地毯式查漏，收录易被遗漏但考纲明确要求的公式与性质，逐条对照新高考考纲整理。 一、函数性质的完整表述 公式/结论 内容 单调性的定义（证明题依据） 任取 且 ，若 ，则 在 上递增。定义法证明按「取值—作差—变形—定号—结论」五步书写，变形常用因式分解或通分，目标是化为「(正负已定的因式)×()」结构 函数值域求法汇总 ① 配方法（二次型）；② 图象法；③ 换元法（含 型设 ，注意 ）；④ 分离常数法（ 型化 ）；⑤ 单调性法；⑥ 基本不等式法；⑦ 导数法（闭区间最值） 零点的三个等价 的零点 方程 的实数根 函数 图象与 轴交点的横坐标（零点不是「点」，是实数） 图象识读三步 ① 定性：奇偶性、定义域截断；② 定量：特殊点（过定点、端点、零点）；③ 定趋势：增减区间、渐近线、界性。与图象相关结论见「补充二」 二、基本初等函数图象与性质补充 公式/结论 内容 正切函数 定义域 ；周期 ；奇函数；增区间 ；无极值；图象为被渐近线隔开的若干支 幂函数 图象特征 ：过 、，增长越来越快（如 ）；：上凸增长（如 ）；：不过原点，双曲线型递减，过 ，以坐标轴为渐近线；所有幂函数都过 指数函数图象要点 增、 减；恒过 ；底数互为倒数的两图象关于 轴对称； 越大（）图象越「陡」 对数函数图象要点 恒过 ；与同底指数函数互为反函数（关于 对称）； 时 三、解析几何补充：圆与圆、抛物线四种方程 公式/结论 内容 圆与圆位置关系 设圆心距 ： 外离； 外切； 相交； 内切； 内含（ 且 时重合）。公切线条数分别为 4、3、2、1、0 条 两圆交点弦（公共弦） 两圆方程直接相减消去二次项，得公共弦所在直线方程；公共弦长用弦心距＋勾股求 抛物线四种标准方程 ：焦点 ，开口向右；：焦点 ，开口向左；：焦点 ，开口向上；：焦点 ，开口向下。四种情形准线均在开口反方向、距顶点 处；焦点到准线距离均为 点关于直线对称 点 关于直线 的对称点 ：由 解出（垂直＋中点在轴上两个条件） 常见的对称结论 点 关于 轴 、 轴 、原点 、直线 、 、 、 对称 四、数列与概率统计补充 公式/结论 内容 等差数列前 项和最值 时 有最大值：求非负项结束的位置，即解 且 ；或用二次函数 求顶点（ 取正整数） 等比数列与函数观点 等差通项 为一次型；等比通项 为指数型； 成等差 对立事件与互斥事件的概率 对立：（二者必有一真一假、不能同真同假）；互斥：（可同假不可同真）；对立必互斥，互斥不一定对立 分层随机抽样 按各层个体数比例分配样本：第 层抽取 个；抽样比 各层相同；各层样本平均数的加权平均 几何概型 ；与随机模拟结合命题（见补充八） 五、立体几何补充：直观图 公式/结论 内容 斜二测画法要点 ① 与 轴平行的长度不变；② 与 轴平行的长度减半；③ （或 ）； 保持 ， 轴方向长度不变 直观图与原图面积关系 水平放置的平面图形：（常考逆推：由直观图面积还原原图面积乘 ） 六、易错点清单 避坑 1　「零点」是实数不是点： 时称 是零点，不能说「点 是零点」。 避坑 2　值域问题用换元法时，新元的范围必须重算：设 后 ，函数在 上的单调区间随之改变。 避坑 3　圆与圆相交的判定用 ，两个不等式缺一不可；只写 会把内切、内含误判为相交。 避坑 4　抛物线开口方向与焦点位置对应：开口向右焦点才在正 轴上，四种方程不要张冠李戴。 避坑 5　正切函数没有最值、没有减区间；「 在 上递增」是错误说法（每支分别递增）。 避坑 6　斜二测画法中「横不变、纵减半」只对与坐标轴平行的线段成立，斜线段长度按平行投影计算，不能直接减半。 避坑 7　对立事件是「全集分两半」，互斥是「不相交」：、 对立 互斥；反之不成立，判断时看是否「非此即彼」。 $