山东省青岛第五十八中学2026-2027学年高二上学期10月份月考数学试题

高二试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.直线x+√5y-1=0的倾斜角是（) A B. 3 C.2n 3 D 6 2.己知直线x+my+2m-1=0和直线mx+y+1=0平行，则实数m的值为() A.-1 B.0 C.1 D.-1或1 3.若圆E:x2+y=4与圆F:x2+(y-a}=1仅有一条公切线，则实数a的值为() A.3 B.+3 C.1 D.1 4.方程x2+2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（) A.1,+∞）B.(（1,2） C. D.(0,1) 5.某地A,B两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为A(0,0),B(-2,0),一条河所在直线的方程为 x+2y-5=0.若在河上建一座供水站P,则P到A,B两点距离之和的最小值为() A.42 B.32 C.43 D.48 6.直线：a-y+4+2k=0与曲线y=√4-x有两个交点，则实数k的取值范围是（) A因k=明B{团k<-}c{因1sk<}D{-1s< 7已知点在椭图号+卡-1a>6>0上，片，马是桶圆的左，右焦点，若所限：2，且△P35的面 积为√5，则a的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 8在平面直角坐标系中，已知点4-1,0,8(2,0)，圆C6c-2+0-m-0m>0,在圆上有在点P满 足|PA=2PB|,则实数m的取值范围是（ [95海原 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9.如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角日=60° 的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是() A椭圆的长轴长为8B.椭圆的离心率为 2 C.椭圆的离心率为；D.椭圆的一个方程可能为二+上=1 6416 10.己知直线1：xcosa+ysina=1与圆0：x2+y2=6交于A,B两点，则(） A.线段AB的长度为定值 B.圆O上总有4个点到1的距离为2 C.线段AB的中点轨迹方程为x+y了-1D.直线1的倾斜角为5+a 11.已知直线1：x+y-4=0和圆O:x2+y2=4,点A是直线1上的一个动点，点D是圆O上的一个动点， 过点A作圆O的两条切线，切点分别为B,C，则下列说法正确的是() A.cos∠BAC的最大值为5 B.当|AOBC|最小时，直线BC的方程为x+y-2=0 C.若圆0上总存在点D,使得∠OAD=30°，则A的横坐标的取值范围是[0,4] D.定点(3,3)到动直线BC距离最大值为2√2 第川卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.过点(1,2)且与圆x2+y2=1相切的直线的方程是 13.2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱 桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度AB=100米，拱高OP=10米， 在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱 MN的高度是米.（注意：V10≈3.162) MO 14.已知直线4：x+y=0(k∈R)与直线l2:x-y+2k-2=0相交于点A,点B是圆(x+2)+(y+3)=2 上的动点，则AB的最大值为 2 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知圆O:x2+y2=2,点T(-4,2),动点S满足|STP+|SOP=20 (1)求动点S的轨迹方程； (2)设动点S的轨迹与圆O交于M,N两点，求|N|. 16.(本小题满分15分) 已知△ABC的顶，点B(5,1),AB边上的高所在的直线4的方程为x-2y-1=0,角A的平分线所在直线 1的方程为2x-y-1=0 (1)求直线AB的方程； （2)求点A的坐标； (3)求直线AC的方程， 17.(本小题满分15分) 已知动烟P与调B(x+V5+y=相切，且与图F(x-5+y=相内切，记圆心P的 轨迹为曲线C (1)求C的方程； (2)已知直线N的斜率存在，且直线MN的方程为：y=kx+m,其中k,m满足如下关系式： 47a1n +(m-1)+4=0,过曲线C上且不在直线MN上的点A(2,1), 作AD⊥N,D为垂足 (i)证明直线N过定点并求出； (ⅱ)判定是否存在定点Q,使得引DQ为定值，存在的话求出，不存在的话说明理由. 3 18.（本小题满分17分) 巴知钢E手+芳=1a>60)的高心峰为三。E上的点到丙点的距胸之利为4 2 (1）求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点M(xo,yo)(x,≠0)在椭圆E上，直线xx+2yoy-4=0与直线y=2, y=-2分别交于点A,B.设AOAM与△OBM的面积分别为S1,S2 (i)证明直线x,x+2yoy-4=0与椭圆E相切，并求出切点； (iⅱ)比较 S与0A的大小 S,OBI 19.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=maxx-x-}为两点A(x,y),B(x,)的“切此 雪夫距离”，又设点P及直线1上任意一点Q,称(P,Q)的最小值为点P到1的“切比雪夫距离”，记作 d(P,) (1)已知点P(3,1)和点R(-1,4),直线1：x=1,求d(P,R)和d(P,); 3-25 (2)已圆C:x+y2-2x-3=0和圆E:(c-0+(0-a+2分=4 (①）若两周心的切比雪夫距离4C,)一分，列断胸C和侧E的位置关系： (i)若a>0,圆E与x轴交于M,N两点，其中点M在圆C外，且d(M,N)=3,过点M任作 一条斜率不为0的直线与圆C交于A,B两点，记直线AN为I,直线BN为1， 证明：d(M,l)=d(M,12). 20.(附加题)（本题共10分，每小题各5分） (1)已知直线：y=√3x+4,动圆O:x2+y2=r21<r<2),菱形ABCD的一个内角为60， 顶点A,B在直线1上，顶点C,D在圆O上.当r变化时，菱形ABCD的面积S的取值范围为 (2)在直角坐标平面上，若一个过原点且半径为”的圆完全落在区域y≥x4内，则”的最大值为 4 高二学参考答案 一、单选题答案 1--4:DACD:5---8:ACBB 二、多选题答案 9:BD:10:AC:11:BCD 三、填空题 12:x=1或3x-4y+5=0;13:6.48:14:5+2√5 四、解答题： 15.(1)设S(x,y),因1ST2+1S0=20, 所以(x+4)2+(y-2)2+x2+y2=20, 化简得x2+y2+4x-2y=0. 即动点S的轨迹方程x2+y2+4x-2y=0. (2)小问详解： 由(1)知动点S的轨迹是以(-2,1)为圆心，以V5为半径的圆. 由父+y+4-2y=0,二式相减得4x-2y+2=0 x2+y2=2. 即直线MN的方程为2x-y+1=0. 因为点O到直线MN的距离d= 22+(-102 所以MN=2 =65 5 16、解：(1)AB边上的高所在的直线（的方程为x-2y-1=0, 所以直线B上的高的斜率无-行，直线B的斜率为(=-2。 所以直线AB的方程为y-1=-2(x-5),整理得2x+y-11=0. (2)角A的平分线所在直线1，的方程为2x-y-1=0. 2x+y-11=0 x=3 所以 2x-y-1=0 y=5 故43,5). 2 图点6关于直线2x-y-山0的对称点B(3,B与A(3,5)的斜率g号AB的酸 方程：2x-11y+49=0.所以直线AC的方程为2x-11y+49=0。 17,（1)椭圆c的方程为+上-1. 63 20低：0太-2X1m-2m+5=0,化简整理得， 2k2+1 4k2+8am+3r2-2m-1=(2k+m-1)(2k+3m+1)=0, m=1-2或m=-2水+1」 3 当m=1-2k时，y=x-2k+1,过定点A(2,1),不符合题意，舍去： 当m=2站时，=点，过定点写 3 3 (i)AD⊥MN,.点D在以AB为直径的圆上， 故当点0为，4的中点，即O}时，D0-2,为定值 3 所以，存在定点@C3,使程D0为定宜，且该完值为 3 184)由稀圆可知，2a=4,所以a=2,又e=9-5,所以e=2,2=d-c2=2, a 2 故椭圆B的方程为女+上-1： 42 xox+2yoy-4=0 (2)(i)联立 ,消去x得， 42 整理得，(2x号+4)y2-16y+16-4x号=0①， 又5+5=1，所以2+4好=8,16-4x=8听， 42 故①式可化简为8y2-16yy+8y好=0，即(y-%)=0,所以y=, 所以直线x,x+2yoy-4=0与椭圆相切，M为切点 S- OA (ii)法一：设A(x,y),B(x2,2),易知，当x=x2时，由对称性可知， S,OB 故设x2<x<x,易 S=AM_-为_-西 S2 BM2-Xo-x2 联立 xx+2y-4=0 y=2 ，解得x= 4-40,八=2， xx+2yy-4=0 联立 y=-2 4=0,解得5=4+4，乃=-2， Xo 6 4-40-x04-4y-6 所以8=-龙=。 S2-x2x0- 4+4y%x7-4y-4 Xo =2-4%= 2-Yo Γ-2y6-4.2+0 （4-4y0 2 +4 V4(1-%)2+x号 V4(1-%)2+4-26 6-4+42- OB 2 4+4y% +4 V4(1+%)}+x号 V4(1+%)2+4-2 V6+4+42+% 故 SOA S2 OB (i)法二：不妨设A(x,y),B(x2,2),易知，当x=x2时，由对称性可知， S.OA S,OB 故设x2<x。<X, =0,解得5=44，=2， xox+2yoy-4=0 联立 y=2 联立 xox+2yoy-4=0 0,解得5=4+4，乃=-2， y=-2 若x=0,则。=1，x=±V2,x2=±4V2, 由对称性，不妨取。=V2,x,=4V2，则A(0,2),B4V2,-2,MV2,) 2,V2 tan∠BOM=N2,tan∠BOM=2.4。=V2,所以∠AOM=∠BOM, 1-2x2 -X 24 同理，当x2=0时，∠AOM=∠BOM, 当5+0时，则ka是=2头=，，ka上=2=22，w=点，又 x4-4y%2-2y x24+4y%2+2y 6+5=1,所以号+2%=4， 42 > x0_y% 所以m∠40M=,k-2-2%5=-5+2%-2=-4-2。=2 1+kkow1+。。x0 x(%-2) x(y-2）x 2-2y%x0 + tan∠BOM=kaw-ka= 02+2y =x6+26+2y0=4+2%。=2 1+komkon1+0× (y+2）x(+2）x x气2+2y0 则tan∠AOM=tan∠BOM,即∠AOM=∠BOM, 所以g-lb4 OM sin∠4oMO4 S2 OB OM sin∠BOM OB y=2 M y=-2 B 19.【详解】(1)P(3,1),R(-1,4),3-(-1)川=4，I1-4=3,所以dPR)=4, 直线1方程为x=1,Q(1,t)是1上一点，3-1=2， 当|t-1|≤2，即-1≤t≤3时，d(P,Q)=2, 当t-1|>2,即t<-1或t>3时，dEQ)=t-1, 所以d(PQ)的最小值是2，所以d(P)=2; (2)(i)圆C标准方程是(x-1)2+y2=4,圆心为C(1,0),半径为2， 圆E的圆心为E(aa-),半径为， d(C,E)=maxfla-1l,a= 若a-1=克则a=域a= a=时，h-引=1，d(CE)=1不合题意，a=时，a-引=0，d(C,)=满足题意， 8 此时E(,0),CE到==-2，因此两圆内切： 若a-引=，则a=1或a=2, a=2时，1a-1=1,d(C,)=1不合题意，a=1时，1a-1=0,d(C,)=满足题意，此时E(1,-), C四=2，两圆内切。 所以圆C和圆E内切： ()圆E与x轴交于M,N两点，则方程c-a+(-a+}=空 即x2-2ax+2a2-3a-4=0(*)有两个不等的实数解， 所以△=4a2-4(2a2-3a-4>0,解得-1<a<4,又a>0,所以0<a<4, dM,N)=3,方程(*)的两解为x1,x2,则x1-2=3, 由韦达定理有x1+X2=2a,X1X2=2a2-3a-4, 所以x1-x2=(&1+x)2-4x1x=4a2-4(2a2-3a-4④)=9，解得a=或a=-(舍去)， a=时方程(*)为x2-7x+10=0,解得x1=2,为2=5，交点为(20)和(5,0)， 点M在圆C外，则MC>2,因此M(5,0),N(2,0), 设直线AB的方程为y=k(X-5),设A(&1,y1),B(&2,y2), (e-日-0%a+k的x-e+1ox+e5-到0. △=(2+10k22-41+k2)25k2-3)>0,-<k<9, 3 1+k2,X1X2=252-3 X1+X2=2+10k2 1+k2 k1+k2=h十2=k1-5)+k2-=k2x2-7x+x2)+20 x1-2x2-21-2 x2-2 (x1-2)(x2-2) k120 =0, (x1-2)(x2-2) 所以k1=-k2,因此直线L,l2关于x轴对称， 直线11上任意一点Qxo,yo)与直线l2上点Q'(xo,-yo)关于x轴对称，它们是一一对应的关系， d(M,Q)=max{lxo -51,lyol3,d(M,Q)=max{lxo-51,|-yol}=max{lxo-51,lyol}d(M,Q), (d(M,Q)IQE1}=d(M,Q)IQE123, 所以dM,Q)的最小值与dM,Q)的最小值相等，即d(M,l1)=dM,2). 9 AY 1 B E 20.(①)【答案】0，)u(9,6V 【详解】因为菱形ABCD有一个内角为60°，所以，△ACD或△BCD为等边三角形，不妨设为等边三角 形，如图3 4y1 B D 图3 因为圆心O到直线1的距离为2>r,所以，直线1与⊙0相离. 设1CDy=V3x-b 则直线1与cD的距离d 又圆心0到直线CD的距离为号，故CD=2,rP-()P=V4r2-b 由d=91cD1→到-9V4r2-b→b2-2b+4=3r2 因为1<2，所以，3<b2-2b+4<12→-2<b<1或1<b<4. 又S=2SAAD=2×9CDP=2×(号=90-，而函数S在区间(2.1小、区间1.4)内分别单调 递减，故菱形ABCD的面积s的取值范围是0，)U(9,6V, ②【答案】9 10 【详解】由对称性，为求r的最大值，可设圆的方程为x2+y-)2= 由题意，知对任意x∈[-r,]均有 r-V2-x2>x4.令x=cos0 只需对0<日<进行讨论，此时， r-vr2-r2cos20=rcos0 →r-Isin0≥r4cos40 →r≤2器-0u时 注意到， (1-sin0)(1+sin0)2 =(2-2sin0)(1+sim0)1+sin0)≤兮×()， 其等号在sin0=时取到 手是，*自府≤9 反过来，当r<时，圆x2+(-)=r完全落在y≥×内. 综上，所求r的最大值为9 故答案为3 11