精品解析：福建省连城县第一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

连城一中2026-2027学年上期高二月考1数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 命题人：卢彦妃 审题人：华玉珍 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意，设直线的倾斜角为， 则斜率，故 因为，所以. 2. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. 19 B. 51 C. 69 D. 87 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 则. 3. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项及前n项和求解即得. 【详解】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长分别为，前n项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得， 所以谷雨日影长为（尺）. 故选：C 4. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可. 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为. 故选：B. 5. 已知数列中，，，则（   ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出数列的前几项，根据规律总结数列是以3为周期的周期数列，即可根据周期求出答案． 【详解】，， 则， ， ， ， 即，， 故数列是以3为周期的周期数列， 则， 故选：A． 6. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用构造等比数列的方法结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以．所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以，所以． 7. 已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，数列单调递减，， 所以，即，解得. 8. 瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的顶点坐标，求得重心坐标，结合外心的性质设的外心的坐标，由求得坐标，然后写出欧拉线方程. 【详解】因为的顶点为，所以其重心为， 因为线段的垂直平分线方程为，所以可设的外心为， 则，即，解得，， ，故该三角形的欧拉线方程为，即. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 过点和的直线l的一个方向向量为 B. 过点且倾斜角为的直线方程为 C. 过两点的直线方程为 D. 过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用直线的方向向量的定义、直线方程的表示形式一一判断求解. 【详解】对A，,所以, 所以是直线l的一个方向向量，A正确； 对B，过点且倾斜角为的直线方程为，即，B正确； 对C，因为两点式方程中，， 所以过两点的直线不一定能表示为两点式方程，C错误； 对D，过点且在x轴、y轴上截距相等且等于0时，直线方程为； 过点且在x轴、y轴上截距相等且不等于0时，设方程为， 则，解得，所以直线方程为，D错误； 故选:AB. 10. 已知直线，，则（    ） A. 恒过点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，不经过第三象限 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，将直线的方程化为，再由可求得定点对于选项B，C可通过直线一般式方程时两直线平行垂直的条件求解；对于选项D，将直线化为斜截式，再根据斜率和截距建立不等式可以求解 【详解】直线，则， 由，得，所以恒过定点，所以A错误； 由可得：，所以.当时，成立.B正确； 由可得：，，所以C错误； 由，当时，，不过第三象限； 当时，，不过第三象限，只需要，解得， 所以的取值范围为，所以D正确； 故选：BD. 11. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 令，为数列的前项和，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：因为，所以直接将代入的表达式计算即可. B：如果，那么利用推导，再验证时是否满足所得通项，确定最终的表达式. C：先根据写出的表达式，因为是等差乘等比型数列，所以用错位相减法计算前项和. D：先写出的表达式，利用放缩法将放缩为可裂项相消的形式，再通过裂项相消求和后与不等式右侧比较. 【详解】因为，所以当时，； 当时，，对也成立， 所以，所以选项A错误，选项B正确； 对C，，则① 则②， ①②得：， 即，所以选项C正确； 对D，， 所以，所以选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的通项公式为，则中最小项的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由通项公式得，，根据二次函数的性质确定最小项的值. 【详解】由，又，而， 当时，，当时，， 所以中最小项的值为. 故答案为： 13. 已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【解析】 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 14. 已知数列满足，且数列的前项和为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】应用得出，再应用裂项相消法计算求解. 【详解】若，则； 若，则. 所以，，即. 又也满足，所以. 由于， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形的三个顶点分别为、、； （1）求边上中线的方程， （2）过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 【答案】（1） （2）直线的方程为； 【解析】 【分析】（1）首先求的中点坐标，再求直线方程； （2）根据垂直关系求直线的斜率，再求直线方程；联立直线和的方程，求交点坐标. 【小问1详解】 设边上的中点为点，且、， 则，即， 边上的中线为，，所以直线, 所以边上中线的方程为； 【小问2详解】 ， 因为，所以，则， 所以直线的方程为， 直线，整理为：， 联立，得，， 则点的坐标为. 16. 已知为等差数列，为各项均为正数的等比数列， （1）求和的通项公式； （2）求 的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题目条件结合等差数列的通项公式基本量运算和等比数列通项公式基本量运算求解即可； （2）结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，由分组求和法可得答案. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为， 由题意可知，，可得，， 所以，． 【小问2详解】 结合（1）可得： . 17. 已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． （1）求直线的方程； （2）若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出直线，的交点坐标，再设直线为，将交点坐标代入求出，从而可求出直线的方程； （2）设直线l交直线，分别于点，则有，，，从而可求出两点的坐标，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程. 【小问1详解】 由题意设直线，的交点坐标为，则，得， 所以直线，的交点坐标为， 由题意设直线为，则，得， 所以直线的方程为； 【小问2详解】 设直线l交直线，分别于点， 因为为的中点，所以， 因为，， 所以，即， 由，解得， 所以，所以， 所以， 所以直线的方程为，即. 18. 某林业公司种植速生林木参与碳交易，到年年底该公司速生林木的保有量为万立方米，速生林木年均增长率，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐万立方米制作筷子.设从年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米， （1）直接写出与之间的递推关系； （2）求数列的通项公式； （3）若要实现速生林木保有量较年底的保有量翻两番的规划目标，求正整数的最小值. （参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据题意直接得递推公式，通过构造等比数列，求得通项公式，最后列出不等式，利用参考数据求的最小值. 【小问1详解】 根据题意，，即 【小问2详解】 年即第年年底的速生林木保有量， 设，则， ，解得， 故， 则为等比数列，公比，首项为， 故，即 【小问3详解】 数列是递增数列，当时，即，即，其中 由参考数据可知，，， 因此满足不等式的正整数的最小值为 19. 已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 （1）证明：数列是等比数列； （2）设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证． （2）运用错位相减求和法求，根据数列单调性处理不等式恒成立（此处注意根据的奇偶分类讨论），进而求出实数的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 即对任意的正整数恒成立， 当为偶数时，因为在为增函数， 所以； 当为奇数时，对任意的正整数恒成立， 所以，解得． 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 连城一中2026-2027学年上期高二月考1数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 命题人：卢彦妃 审题人：华玉珍 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（　　） A. B. C. D. 2. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. 19 B. 51 C. 69 D. 87 3. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 4. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列中，，，则（   ） A. 1 B. C. D. 6. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8. 瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 过点和的直线l的一个方向向量为 B. 过点且倾斜角为的直线方程为 C. 过两点的直线方程为 D. 过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 10. 已知直线，，则（    ） A. 恒过点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，不经过第三象限 11. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 令，为数列的前项和，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的通项公式为，则中最小项的值为_________. 13. 已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 14. 已知数列满足，且数列的前项和为，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形的三个顶点分别为、、； （1）求边上中线的方程， （2）过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 16. 已知为等差数列，为各项均为正数的等比数列， （1）求和的通项公式； （2）求 的前n项和. 17. 已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． （1）求直线的方程； （2）若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 18. 某林业公司种植速生林木参与碳交易，到年年底该公司速生林木的保有量为万立方米，速生林木年均增长率，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐万立方米制作筷子.设从年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米， （1）直接写出与之间的递推关系； （2）求数列的通项公式； （3）若要实现速生林木保有量较年底的保有量翻两番的规划目标，求正整数的最小值. （参考数据：，，，） 19. 已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 （1）证明：数列是等比数列； （2）设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $