14.2.1 全等三角形的判定1（SAS）课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十四章 全等三角形 14.2.1 全等三角形的判定1（SAS） 新知引入 1.什么是全等三角形？ 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形． 2.全等三角形有什么性质？ 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 反过来，如果想要判定两个三角形全等，是否必须满足这六个条件？能不能只用其中一部分条件完成判定呢？ 新知探究 ①只给一条边时: ②只给一个角时: 结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等. 只给一个条件： 一条边对应相等 一个角对应相等 2. 给出两个条件： ①一边一内角： ②两内角： ③两边： 2cm 2cm 4cm 4cm 30° 30° 30° 30° 30° 50° 50° 结论:只给出两个条件时，都不能保证所画的两个三角形一定全等． 新知探究 如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？ ①两边一角； ②两角一边； ③三边； ④三角； 满足上述六个条件中的三个，能保证△ABC与△A′B′C′ 全等吗？ 新知探究 探究2 如图，直观上，如果∠A，AB，AC的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了.也就是说，在△A'B'C'与△ABC中，如果∠A'=∠A，A'B'=AB，A'C'=AC，那么△A'B'C'≌△ABC.这个判断正确吗? 新知探究 A′ D E B′ C′ 说明：这两个三角形全等． 画法： （1） 画∠DA'E =∠A； （2）在射线A'D上截取A'B'=AB，在射线A'E上截取A'C'=AC； （3）连接B'C'． 在证明线段相等或角相等时，可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决. 必须是两边“夹角” 由探究2可以得到以下基本事实： 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 （简写“边角边”或 “SAS”）． 几何语言: 在△ABC 与 △A'B'C'中， ∴△ABC ≌△A'B'C' (SAS) 新知归纳 例1 如图，AC=AD，AB平分∠CAD，求证∠C=∠D. 证明：∵AB平分∠CAD， ∴∠1=∠2. 在△ABC和△ABD中 ∴△ABC≌△ABD(SAS) ∴∠C=∠D. 1 2 典例精析 格式要求： ①指明范围 ③得出结论 指出所用判定方法 全等三角形的对应字母要写在对应的位置，顺序不能错 ②三个条件必须按照 边 角 边 的顺序进行书写 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SAS)． AB = DE， ∠A=∠D， AC = DF， 新知归纳 解：在△ACB和△DCE中， ∴△ACB≌△DCE(SAS). ∴AB=DE ∴量出DE的长就是A，B的距离. 1.如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到点E，使CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么? 1 2 新知应用 解： ∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF， ∴BF=CE. 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE(SAS). ∴∠A=∠D. 2.如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证∠A=∠D. 新知应用 证明的书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来； ④写出结论：写出全等结论. 思考 我们知道，如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等.如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗? B A C C′ 这说明，两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 即AB=AB ，AC=AC′，∠B=∠B，但△ABC与△ABC′不全等. 新知探究 用“SAS”判定三角形全等 ①基本事实 先寻找两组相等边，再找两边之间的夹角； 利用 SAS 证明全等后，可以进一步推导出线段相等、角相等. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 （简写 “边角边”或 “SAS”）． ③易错提醒 必须是两边夹角； 两边及其中一边的对角（SSA）不能判定两个三角形全等． ②解题思路 课堂总结 1. 如图，AB＝CD，要根据“SAS”判定△ABC≌△CDA， 需要补充一个条件为 ⁠. ∠BAC＝∠DCA(或AB∥CD)　 2.如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，要用“边角边”证明△ABC≌△DEF，可以添加的条件是（　　） A．∠A＝∠D B．AC∥DF C．BE＝CF D．AC＝DF C 随堂练习 3.如图，点C是线段AB的中点，AD＝BE，∠A＝∠B．求证：∠D＝∠E． 证明： ∵点C是线段AB的中点 ∴AC＝BC 在△DAC与△EBC中 ∴△DAC≌△EBC（SAS） ∴∠D＝∠E． 随堂练习 4. 如图，D是△ABC的边AC上一点，点E在AC的延长线上，ED＝AC，过点E作EF∥AB，并截取EF＝AB，连接DF. 求证：△EFD≌△ABC. 证明：∵EF∥AB ∴∠E＝∠A 在△EFD和△ABC中， ∴△EFD≌△ABC(SAS) 随堂练习 5.如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD．求证：△ABC≌△AED．   证明：∵∠BAE＝∠CAD ∴∠BAE+∠1＝∠CAD+∠1 即∠BAC＝∠EAD 在△ABC与△AED中 ∴△ABC≌△AED（SAS）． 1 随堂练习 6. 如图，已知BC＝AD，DE＝CA，∠ECB＝65°，∠D＝115°.求证：△ABC≌△EAD. 证明：∵∠ECB＝65° ∴∠1＝180°－∠ECB ＝180°－65°＝115° 又∵∠D＝115° ∴∠1＝∠D 在△ABC和△EAD中 ∴△ABC≌△EAD(SAS) 随堂练习 1 7. 如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C. 求证：∠A=∠D. 证明： ∵BE=CF ∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE. 在△ABF和△DCE中 ∴△ABF≌△DCE(SAS) ∴∠A=∠D. A D B E F C 随堂练习 8. 如图，AB＝AC，BE＝CF. 求证：∠B＝∠C. 证明：∵AB＝AC，BE＝CF ∴AB－BE＝AC－CF，即AE＝AF 在△AFB和△AEC中 ∴△AFB≌△AEC(SAS) ∴∠B＝∠C 随堂练习 9. 如图 ，已知∠1 =∠2，AC =DB，求证∠ABD=∠DCA. 证明：在△ABC与△DCB中， ∴△ABC≌△DCB(SAS) ∴∠ABC=∠DCB ∴∠ABC-∠1=∠DCB-∠2 即∠ABD=∠DCA. 随堂练习 证明： ∵AB//DE， ∴∠A=∠D ∵AF=DC ∴AF+FC=DC+CF即AC=DF 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（SAS） ∴∠1=∠2 ∴BC//EF 10. 如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB//DE，AB=DE，AF=DC.求证：BC//EF. B A D E C F 随堂练习 1 2 证明三角形全等要善于挖掘图中隐藏的相等的边和角， 其中出现相等的边的情况有：①公共边，②线段的中点，③等边加减等边； 出现相等的角的情况有：①公共角，②对顶角，③角平分线，④等角加减等角，⑤平行线的性质，⑥垂直，⑦余角、补角的性质，⑧全等三角形的性质. 因为全等三角形的对应边相等、对应角相等，所以在证明线段相等或角相等时，可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决. 方法总结 $