14.1 全等三角形及其性质 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十四章 全等三角形 14.1 全等三角形及其性质 观察下列图片中图形的形状、大小有什么共同特征? 对开的两扇大门 图中的基本图案 同种颜色三角形 风车的叶片 都是由形状、大小相同的图形组成的. 新知引入 下列各组图形，猜想形状与大小有什么特点？ （1） （2） （3） 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合. 新知探究 能够完全重合的两个图形叫作全等形. 观察下面四组图形，它们是不是全等图形？为什么？ （1） （2） 两个图形的形状相同 、大小相等,它们就是全等形 （3） （4） 新知应用 A B C E D F 能够完全重合的两个三角形,叫全等三角形. 注意：书写全等式时要求把对应顶点字母放在对应的位置上。 “全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于” 记作:△ABC≌△DEF 读作 :△ABC全等于△DEF 新知探究 △ABC≌△DEF △ABC和△DEF全等 对应关系已确定 对应关系不确定 辨析区分 A B C D E F 互相重合的边叫做对应边 互相重合的顶点叫做对应顶点 互相重合的角叫做对应角 A D B E C F AB与DE BC与EF AC与DF ∠A与∠D ∠B与∠E ∠C与∠F △ABC≌△DEF 新知探究 1.如图， △ABC≌△DCB，指出所有的对应边和对应角。 O D C B A 解：∵△ABC≌△DCB ∴AB与DC，BC与CB，AC与DB是对应边 ∠A与∠D，∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DBC是对应角 变式:若上图中△ABO≌△DCO，试写出这两个三角形中相等的边和相等的角 解：∵△ABO≌△DCO ∴AB=DC，BO=CO，AO=DO ∠A=∠D，∠ABO=∠DCO，∠AOB=∠DOC 新知应用 寻找对应元素的规律 （1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）两个全等三角形最大（小）的边是 对应边，最大（小）的角是对应角。 （5）对应角所对的边为对应边；对应边 所对的角为对应角； A B O C D 新知归纳 新知探究 A B C F D E D B C A (2)翻折:把△ABC沿直线BC 翻折180°,得到△DBC A C B E D (3)旋转 一个图形经过平移、翻折、旋转后，______变了，但______、 ______都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形______. 位置 形状 大小 全等 (1)平移:把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF 把 △ABC 沿直线BC平移，得到△DEF，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？ A B C F D E 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等. ∵△ABC ≌△DEF，（已知） ∴AB =DE，BC = EF，AC = DF （全等三角形的对应边相等）. ∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F （全等三角形的对应角相等）. 几何语言： 新知探究 如图，△ABC 和△DEF全等，对应边上的高、中线，对应角的平分线有什么关系？ 对应边上的高、中线，对应角的平分线相等. 全等三角形的面积、周长相等吗？ 相等. 新知探究 例1：如图,△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应顶点, ∠BAC=65°，∠ABC=26°，AC，BD的延长线相交于点E.求∠CBD，∠E的度数. A B C D E 解：∵△ABC ≌ △BAD ，且∠BAC=65° ∴∠ABD =∠BAC = 65°. ∴∠CBD =∠ABD –∠ABC = 65°–26°= 39°. 在△AEB 中，∠E +∠BAE +∠ABE =180°， ∴∠E =180°–∠BAE–∠ABE =180°–65°–65°= 50°. 典例精析 解：∵∠A =100°，∠B =30°， 　　∴∠C =180°-∠A -∠B 　　　　 =180°-100°-30°=50°． ∵△DEF ≌△ABC ， ∴∠F =∠C =50° （全等三角形的对应角相等）． 如图，△ABC ≌△DEF.若∠A =100°，∠B =30°，求∠F的度数. A B C D E F 新知应用 变换 特殊 定义 能够完全重合的两个三角形 性质 对应 全 等 三 角 形 全 等 形 表示 △ABC≌△DEF 注意对应 对应顶点→对应边→对应角 全等三角形对应边相等 全等三角形的判定 逆向 全等三角形对应角相等 平移 翻折 旋转 课堂总结 　　1.如图，△OCA ≌△OBD，点C 和点B，点A与点D是对应点，则下列结论错误的是（ ）． （A） ∠COA =∠BOD ； （B） ∠A =∠D ； （C） CA =BD ； （D） OB =OA ． D C B O A D 随堂练习 2.如图，长方形ABCD沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，AD=7cm，DAM=15°，则AN= cm，NAB= . 7 60° 随堂练习 3. 如图，△ABC≌△DEF，点A，D，B，E在同一直线上，AB＝7， BD＝3，则BE的长是 . 4　 证明：∵△ABC≌△ADE， ∴∠CAB＝∠EAD ∴∠CAB－∠3＝∠EAD－∠3 即∠1＝∠2. 4. 如图，已知△ABC≌△ADE. 求证：∠1＝∠2. 随堂练习 3 5．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=50°,∠B=30°,BF=2,求∠DFE的度数和EC的长． 解：∵∠A=50°,∠B=30° ∴∠ACB=180°-∠A-∠B =180°-50°-30°=100° ∵△ABC≌△DEF ∴∠DFE=∠ACB=100°，EF=BC ∴EF-CF=BC-CF,即EC=BF ∵BF=2 ∴EC=BF=2 随堂练习 6. 如图，△ABC≌△ADE，点E在BA的延长线上，AC＝4，AD＝3. (1)求BE的长； (2)求证：∠BAD＝∠CAE. (1)解：∵△ABC≌△ADE，且AC＝4，AD＝3 ∴AE＝AC＝4，AB＝AD＝3. ∴BE＝AB＋AE＝3＋4＝7. (2)证明： ∵△ABC≌△ADE ∴∠1＝∠2 ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3 即∠BAD＝∠CAE. 随堂练习 1 2 3 7. 如图，△ABC≌△ADE，点E在边BC上，AB与DE交于点F. (1)求证：∠CAE＝∠BAD； (2)若∠BAD＝35°，求∠BED的度数. (1)证明：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE ∴∠BAC－∠1＝∠DAE－∠1 即∠CAE＝∠BAD (2)解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠D＝∠B. ∵∠3是△ADF和△BFE的外角，且∠BAD＝35° ∴∠3＝∠D＋∠2，∠3＝∠B＋∠BED ∴∠BED＝∠2＝35°. 随堂练习 2 1 3 8. 如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，且点B，E，C在同一条直线上，试判断AE和DE的关系，并证明你的结论． 解：AE＝DE，AE⊥DE.证明如下： 在Rt△ABE中，∠A＋∠1＝90° ∵Rt△ABE≌Rt△ECD， ∴AE＝DE，∠A＝∠2 ∴∠2＋∠1＝90° ∴∠AED＝180°-90°=90° 即AE⊥DE. 随堂练习 1 2 9．如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB是锐角，∠B=30°,∠ACD=60°，延长BA交DE于点F，交CE于点G． (1)判断直线BF与CE是否垂直？请说明理由； (2)若AC//DE，求∠DCE的度数． 解：（1）BF⊥CE，理由如下： ∵△ABC≌△DEC ∴∠1=∠2 ∴∠1+∠3=∠2+∠3 即∠BCG=∠ACD=60° ∵∠B=30° ∴∠BGC=180°−∠B−∠BCG =180°−30°−60°=90° ∴BF⊥CE （2）∵△ABC≌△DEC ∴∠E=∠B=30° ∵AC//DE， ∴∠3=∠E=30° ∴∠2=∠ACD−∠3 =60°−30°=30° 即∠DCE=30° 随堂练习 1 2 3 10.如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F. (1)当DE=8，BC=5时，求线段AE的长. (2)已知D=35°，C=60°，求DBC与AFD的度数. 解：(1)∵△ABC≌△DEB，DE=8，BC=5 ∴AB=DE=8，BE=BC=5. ∴AE=AB-BE=8-5=3. A B C D F E (2)∵△ABC≌△DEB，D=35°，C=60. ∴DBE=C=60°，A=D=35°，ABC=DEB. ∴ABC=180°-A-C=180°-35°-60°=85°. ∴DBC=ABC-DBE=85°-60°=25°. ∵ABC=85°，∴DEB=85°， ∴AED=180°-DEB=180°-85°=95° ∴AFD=A+AED=35°+95°=130°. 随堂练习 $