14.1 全等三角形及其性质 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

人教版数学八年级上册 @PLWT 14.1　全等三角形及其性质 本课学习路径 活动 1 情境感知 活动 2 抽象概念 活动 3 全等三角形 活动 4 对应元素 活动 5 表示方法 活动 6 变换与全等 活动 7 对应性质 应用与小结 会解题 本课主线：从"完全重合"出发，认识全等三角形， 学会找对应元素、用性质求边角。 活动 1 观察各组图形，它们之间有怎样的关系？ 每组中的两个图形，形状相同、大小也相同 —— 把它们放在一起， 能够完全重合。 思考：现实生活中，还有这样的图形吗？ 活动 1 生活中，这样的例子随处可见。 它们有一个共同特点：形状相同、大小相同， 与摆放的位置、方向无关。 把这样的两个图形抽象出来，就是今天要研究的"全等形"。 活动 2 从这些例子中，可以抽象出全等形的概念。 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 核心 判一判：下面两组图形是不是全等形？为什么？ （1）形状相同但大小不同，不是全等形；（2）大小相同但形状不同，也不是全等形。 活动 3 把 △ABC 叠到 △DEF 上，完全重合说明什么？ 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 核心 注意："完全重合"包含两层含义 —— 形状相同、大小相同，二者缺一不可。 活动 4 把两个全等三角形叠一叠，重合的部分叫什么？ 对应顶点 重合的顶点 对应边 重合的边 对应角 重合的角 填一填：点A和____、点B和____、点C和____是对应顶点； 　　　　AB和____、BC和____、AC和____是对应边； 　　　　∠A和____、∠B和____、∠C和____是对应角。 活动 5 两个三角形全等，可以用符号简记。 △ABC ≌ △DEF 读作"△ABC 全等于 △DEF"，符号"≌"读作"全等于"。 注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 易错 所以 △ABC ≌ △DEF 同时告诉我们：A→D，B→E，C→F， 对应元素就藏在这六个字母的顺序里。 活动 6 平移、翻折、旋转后，两个三角形全等吗？ 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变了， 但形状、大小都没有改变 —— 变换前后的两个图形全等。 平移、翻折、旋转统称为全等变换。 活动 7 全等三角形最核心的结论，就是它的性质。 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 重点 几何语言： ∵ △ABC ≌ △DEF（已知） ∴ AB = DE，BC = EF，AC = DF 　（全等三角形的对应边相等）； 　∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F 　（全等三角形的对应角相等）。 性质的作用：已知一组三角形全等，就能得到三组相等的边、三组相等的角。 方法提炼 找对应元素，除了看符号，还有三个窍门。 ① 规范法 按书写顺序读：对应顶点的 字母写在对应位置上， 如 △ABC ≌ △DEF，则 A→D，B→E，C→F。 ② 位置法 公共边一定是对应边； 公共角一定是对应角； 对顶角一定是对应角。 ③ 大小法 最大边（角）对最大边（角）， 最小边（角）对最小边（角）； 对应角的对边是对应边。 口诀：长对长、短对短，公共边角先认准。 口诀 例题精讲 运用"对应角相等"求角的度数 如图，△ABC ≌ △BAD，点A 和点B、点C 和点D 是对应顶点，∠BAC = 65°，∠ABC = 26°，AC、BD 的延长线相交于点E。求 ∠CBD，∠AEB 的度数。 解： ∵ △ABC ≌ △BAD， ∴ ∠ABD = ∠BAC = 65° 　　　（全等三角形的对应角相等）。 ∴ ∠CBD = ∠ABD − ∠ABC = 65° − 26° = 39°。 在 △AEB 中，∠AEB + ∠BAE + ∠ABE = 180°， ∴ ∠AEB = 180° − ∠BAE − ∠ABE 　　　　 = 180° − 65° − 65° = 50°。 思路：先由全等得对应角相等，再把所求角放到三角形中，用内角和求解。 例题精讲 由全等直接求边和角 已知：如图，△ABC ≌ △DEF。 （1）若 DF = 10 cm，则 AC 的长为 ________； （2）若 ∠A = 100°，则 ∠D 的度数为 ________； （3）若 ∠A = 100°，∠B = 30°，求 ∠F 的度数。 解：（1）AC = DF = 10 cm； 　　　（2）∠D = ∠A = 100°； 　　　（3）∵ △ABC ≌ △DEF， 　　　　　∴ ∠D = ∠A = 100°，∠E = ∠B = 30°。 　　　　　在 △DEF 中，∠D + ∠E + ∠F = 180°， 　　　　　∴ ∠F = 180° − 100° − 30° = 50°。 例题精讲 把"对应边相等"转化为线段和差 如图，△ABC ≌ △DEF，∠A = 70°，∠B = 50°，BF = 4，EF = 7。 求 ∠E 的度数和 CF 的长。 解：∵ △ABC ≌ △DEF， 　　∴ ∠E = ∠B = 50°（对应角相等）， 　　　 BC = EF = 7（对应边相等）。 　　∵ 点 B、F、C、E 在同一条直线上， 　　∴ CF = BC − BF = 7 − 4 = 3。 　　∴ ∠E = 50°，CF = 3。 关键：把"对应边相等"转化为线段的和差关系。 例题精讲 辨析对应顶点，判断结论正误 如图，△ABC ≌ △CDA，AB 和 CD、BC 和 DA 是对应边，则下列结论错误的是（　　） A. ∠BAC = ∠DCA　　　B. AB ∥ CD C. ∠BCA = ∠DCA　　　D. BC ∥ DA 解：∵ AB 和 CD、BC 和 DA 是对应边， 　　∴ A 与 C、B 与 D 是对应顶点， 　　　AC 与 CA 是对应边。 　　∴ ∠BCA = ∠DAC，而不是 ∠DCA。 　　∵ ∠BAC = ∠DCA（内错角）， 　　∴ AB ∥ CD；同理可得 BC ∥ DA。 　　∴ 结论错误的是 C。 提醒：判断对应角，要先看对应顶点，不能只看图形的位置。 课堂练习 先找准对应元素，再写结论。 1. 如图，△ABC ≌ △BDE，∠A 和 ∠EBD、∠C 和 ∠E 是对应角。说出这两个三角形的对应边和另一组对应角。 解：对应边：AB和BD，AC和BE，BC和DE； 　另一组对应角：∠ABC和∠D。 2. 如图，△OCA ≌ △OBD，C 与 B、A 与 D 是对应顶点。说出图中相等的边和角。 解：相等的边：AC=DB，AO=DO，CO=BO； 　相等的角：∠C=∠B、∠A=∠D、 　　　　　∠AOC=∠DOB。 课堂练习 会用性质，也要会辨析概念。 3. 如图，△ABC ≌ △AED，AB = 6，AC = 2，∠B = 25°。求 △ADE 中其他角和边。 解：∵ △ABC ≌ △AED， 　　∴ ∠E = ∠B = 25°（对应角相等）， 　　　 AC = AD = 2，AB = AE = 6。 4. 下列说法正确的是（　　） A. 面积相等的两个三角形一定全等 B. 周长相等的两个三角形一定全等 C. 能够完全重合的两个三角形一定全等 D. 形状相同的两个三角形一定全等 答案：C 注意：全等要求形状、大小都相同。 易错 中考对接 这三道中考题，考的都是"对应"两个字。 1.（2024·山东济南·中考真题）如图，已知 △ABC ≌ △DEC， 　∠A = 60°，∠B = 40°，则 ∠DCE 的度数为（　　） A. 40°　B. 60°　C. 80°　D. 100° 解：在 △ABC 中，∠ACB = 180° − 60° − 40° = 80°； ∵ △ABC ≌ △DEC，∴ ∠DCE = ∠ACB = 80°。故选 C。 2.（2024·四川成都·中考真题）如图，△ABC ≌ △CDE，若 ∠D = 35°， 　∠ACB = 45°，则 ∠DCE 的度数为 ______。 解：∵ △ABC ≌ △CDE，∠ACB = 45°， ∴ ∠CED = ∠ACB = 45°；又 ∠D = 35°， ∴ ∠DCE = 180° − 35° − 45° = 100°。 3.（2023·四川成都·中考真题）如图，△ABC ≌ △DEF，B、E、C、F 　依次在同一直线上，BC = 8，CE = 5，则 CF = ______。 解：由全等三角形的性质得 EF = BC = 8。 ∴ CF = EF − CE = 8 − 5 = 3。 模型总结 全等三角形在图中，常以三种"姿态"出现。 平移型：沿一边平移 —— 公共边为对应边； 翻折型：沿公共边翻折 —— 公共边为对应边，公共角为对应角； 旋转型：绕公共顶点旋转 —— 公共顶点为对应顶点，对顶角为对应角。 课堂小结 全等形：能够完全重合的两个图形 全等三角形：能够完全重合的两个三角形 表示方法 用"≌"连接两个三角形 对应顶点写在对应位置 对应元素 对应顶点、对应边、对应角 （公共边、角优先） 基本性质 对应边相等， 对应角相等 找对应元素：规范法（看字母顺序）· 位置法（公共边、公共角、对顶角） 大小法（长对长、短对短）；对应角的对边是对应边。 必记 我亲历了什么：动手叠一叠、变一变，发现全等与位置无关。 我知道了什么：全等形、全等三角形的概念与性质。 我会什么：能找出对应元素，并用性质求边、求角。 课后作业 分层作业：先过关，再挑战。 A 层（必做） 教材 P31 习题 14.1 第 1、2、3 题。 B 层（选做） 教材 P31 习题 14.1 第 4、5 题； 思考：把两个全等三角形按不同方式摆放，你能摆出多少种位置关系？ 分别对应平移、翻折、旋转中的哪一种变换？ 书写提示：先写"∵ △… ≌ △…"，再写对应边、对应角， 最后在括号中注明理由（全等三角形的对应边/角相等）。 感 谢 聆 听！ $