第21讲 原函数与导函数混合还原问题（1考点+13题型） 讲义-2027届高三数学一轮复习

第21讲 原函数与导函数混合还原问题 目录 Part 1 考点突破 【考点1：原函数与导函数混合还原的常用构造模型】 Part2 题型探究 【题型1：利用 x 构造型】 【题型2：利用 eˣ 构造型】 【题型3：利用 sinx、cosx 构造型】 【题型4：利用含参指数构造型】 【题型5：利用幂、对数构造型】 【题型6：利用一次函数构造型】 【题型7：复杂型：与 x 乘除构造型】 【题型8：复杂型：与幂函数型】 【题型9：复杂型：与 sinx、cosx 结合型】 【题型10：复杂型：基础型添加因式型】 【题型11：复杂型：二次构造】 【题型12：综合构造】 【题型13：找出原函数】 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：原函数与导函数混合还原的常用构造模型】 1、对于，构造， 2、对于，构造 3、对于，构造， 4、对于，构造 5、对于，构造， 6、对于，构造 7、对于，构造， 8、对于，构造 9、对于，构造， 10、对于，构造 11、对于，构造， 12、对于，构造 13、对于，构造 14、对于，构造 15、；；； 16、；． 这类题的共同特征是：题目给的式子把导函数和原函数混在一起（比如导函数加原函数大于零），要求你判断原函数本身的性质。破解办法就一个字——凑：把给定的式子看成某个乘积或者商的导数。几个常用模型要记牢：导函数加原函数，对应 e 的 x 次方乘 f(x)；导函数减原函数，对应 f(x) 除以 e 的 x 次方；x 乘导函数加原函数，对应 x 乘 f(x)。看到混合式先往这几个模型上套，套上了单调性直接就出来。 Part 2 题型探究 【题型1：利用 x 构造型】 【例1】（2026·黑龙江·模拟预测）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 所以在上单调递减； 因为，所以， 由，得，即， 所以，解得，所以不等式的解集是． 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令， 则， 所以在R上递增， 又， 则不等式等价于， 所以，即不等式的解集为. 【题型2：利用 eˣ 构造型】 【例2】（2026·江苏无锡·期中）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为等价于， 构造，，原不等式即为， 因为，则， 可知在定义域内单调递增，且， 则不等式的解集为， 所以不等式的解集为. 【变式2】已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， ∴在R上单调递增.又，则. ∵等价于，即， ∴，即所求不等式的解集为，故选A. 【题型3：利用 sinx、cosx 构造型】 【例3】已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，所以，由有：，当，，所以在单调递增， 又，所以，即，故A错误； 又，所以，即，故B错误； 又，所以，即，故C正确； 由，所以，即，故D错误. 故选：C 【变式3】已知函数在上单调递减，为其导函数，若对任意都有，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵函数在上单调递减 ∴时， ∵对任意都有 ∴，且 令，则， ∴在上单调递增， ∴，即 ∵， ∴选项A,B,C不一定成立 由以上分析可得 故选：D 【题型4：利用含参指数构造型】 【例4】（2026·广东东莞一模）已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，已知不等式，则，即， 设，求导得， 函数是实数集上的减函数， 又，即， ，故不等式的解集为． 【变式4】已知函数的定义域为，，，且对于、，当时都有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】构造函数，其中， 则， 故函数在上为减函数， 由可得，即， 因为，则，所以，，解得. 对于、，当时都有， 不妨设，则，所以，函数在上为增函数， 则对任意的，，则，可得恒成立， 因此，所求不等式的解集为. 【题型5：利用幂、对数构造型】 【例5】（2025秋·江西萍乡·高三统考期末）已知是定义在R上的奇函数,是其导函数.当x≥0时, 且,则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 可得 因为当x≥0时, ， 所以在上递增， 又因为是定义在R上的奇函数， 所以的图像关于对称，如图， 所以在R上递增， 又因为，所以， 则等价于， 所以，即的解集是， 故选：C. 【变式5】（2025·全国·高三专题练习）已知函数 的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 则， 所以在上单调递增， , 等价于, 即， 即， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【题型6：利用一次函数构造型】 【例6】（2025·漠河市高级中学）已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则 又上，，则，即函数在上单调递减， 又是定义在上的奇函数，则函数为上的奇函数，故在上单调递减， 又,，即 可得：，解得：.故选：B. 【变式6】（2025·全国高三专题练习）已知定义在上的函数满足，对恒有，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，又因为对恒有 所以恒成立，所以在R上单减. 又，所以的解集为故选：B 【题型7：复杂型：与 x 乘除构造型】 【例7】（2025·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习（理））已知定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，所以在R上单调递减； 由，得，即，所以，解得.故选：A. 【变式7】（2025秋·山西太原·高三山西大附中校考期末）设定义R在上的函数，满足任意，都有，且时，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，任意，都有，所以是周期为的周期函数. 所以. 构造函数， 所以在区间上单调递增，所以， 即，也即. 故选：A 【题型8：复杂型：与幂函数型】 【例8】（2025秋·陕西·高三校联考期末）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数，，则， 所以在上单调递减，从而， 即，则. 故选：A. 【变式8】（2025春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）设定义在上的奇函数的导函数为，已知，当时，，则不等式的解集为________． 【答案】 【详解】令，取，则函数为偶函数， 当时，，故，即， 由偶函数性质知，函数在是严格减函数，在是严格增函数， 又，故等价于或， 解得． 故答案为： 【题型9：复杂型：与 sinx、cosx 结合型】 【例9】（2026·云南大理·模拟）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由，设， ，所以函数在上单调递减， 即，得，所以，所以不等式的解集为 【变式9】（2026·福建龙岩二模）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以设， 则， 所以在上为增函数， 又因为，，， ，所以，即，故选C 【题型10：复杂型：基础型添加因式型】 【例10】（2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 所以的大小关系为. 【变式10】（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则，即. 【题型11：复杂型：二次构造】 【例11】（2026·山东青岛·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵对数函数定义域上单调递增，且，所以， ， 令函数，，且， 则导数，当时，，函数单调递减， ∴，即， ∴. 【变式11】（2026·河北衡水·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，， 又，，令，则， 当时，，单调递减， 所以，即， 所以，所以，所以， 又，．所以，所以，故A正确. 【题型12：综合构造】 【例12】（2025·贵州贵阳·高三月考（理））已知是函数的导数，且满足对恒成立，，是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先令，求导，根据题意，得到在区间上单调递增，再由题意，得到，进而可得出结果. 【详解】令，则， 因为对恒成立，所以对恒成立，∴在区间上单调递增； 又∵，是锐角三角形的两个内角，∴，∴，∴， 因此，即，∴.故选：C. 【题型13：找出原函数】 【例13】（2025·陕西渭南·高三期末（理））已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】构造函数,则,因为,故, 因此可得在上单调递减，由于，故，故选：A 【变式13】（2025·全国·高三专题练习）已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造函数， 在时恒成立， 所以在时单调递增， 所以，即，所以， 故选:C. Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．（2025·全国·高三专题练习）是定义在上的函数，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．在上有极大值 B．在上有极小值 C．在上既有极大值又有极小值 D．在上没有极值 【答案】D 【详解】解：根据题意，，故， 又，得，故， 令， 则， 即， 记， 所以， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以，即，即， 所以在上单调递增，故在上没有极值. 故选项ABC说法错误，选项D说法正确. 故选：D 2．（2025秋·陕西汉中·高三统考期末）已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， ∴在上单调递减. 又，则. ∵等价于，即， ∴，即所求不等式的解集为. 故选：B． 3．（2025春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，函数的定义域为， 因为 所以， 故 故在R上单调递减， 又因为 所以，， 所以不等式可化为， 所以， 所以的解集为 故选：B. 4．（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，则． 令，则， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 则， 则，即．故． 5．（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则. 当时，则，可得，所以在上单调递减. 因为，且， 所以，即． 6．（2026·四川广元·三模）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，故在上单调递增， 又，故当时，， 则，即，故， ， ，故； 综上可得. 7．（2026•罗湖区校级模拟）设定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（x）﹣f（x）＞0，且f（2）＝e2，则不等式的解集为（　　） A．（﹣∞，e4） B．（e2，+∞） C．（0，e4） D．（0，e2） 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，再结合已知条件将不等式进行转化，最后根据函数单调性求解不等式． 【解答】解：设，求导得， 因为f'（x）﹣f（x）＞0，且ex＞0，所以g'（x）＞0，所以g（x）在R上单调递增， 因为f（2）＝e2，则， 对于不等式，因为， 所以不等式可化为，即． 令，则不等式进一步化为，即g（t）＜g（2）， 因为g（x）在R上单调递增，所以g（t）＜g（2），等价于t＜2，即， 解不等式，两边同时乘以2得lnx＜4，根据对数函数的单调性，可得0＜x＜e4． 所以不等式的解集为（0，e4）． 故选：C． 8．（2026春•高坪区校级月考）已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f′（x），且f′（x）＜f（x），则（　　） A．f（2026）＜f（2025） B．f（2026）＞ef（2025） C．ef（2026）＜f（2025） D．f（2026）＜ef（2025） 【答案】D 【分析】令，求导可得g（x）的单调性，利用单调性化简即可求得． 【解答】解：令，则求导得， 因为f′（x）＜f（x），所以f′（x）﹣f（x）＜0， 所以g′（x）＜0在R上恒成立，所以函数g（x）在R上单调递减， 所以g（2025）＞g（2026），即， 化简得f（2026）＜ef（2025）． 故选：D． 9．（2026秋•山西月考）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足xf′（x）＜1，则下列不等式一定成立的是（　　） A．f（2）＜2f（1） B．f（4）＜2f（2） C．f（2）﹣f（1）＞ln2 D．f（4）﹣f（2）＜ln2 【答案】D 【分析】令g（x）＝f（x）﹣lnx，求导，得到g（x）的单调性，则g（1）＞g（2）＞g（4），即f（2）﹣f（1）＜ln2，f（4）﹣f（2）＜ln2，得到答案． 【解答】解：因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），故由xf′（x）＜1得，， 令g（x）＝f（x）﹣lnx（x＞0）， 则， 所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，则g（1）＞g（2）＞g（4）， 即f（1）﹣ln1＞f（2）﹣ln2＞f（4）﹣ln4，即f（2）﹣f（1）＜ln2，f（4）﹣f（2）＜ln2． 故选：D． 【提升通关练】 10．（2025·广东·东莞市东华高级中学高三期末）已知函数为上的偶函数，且对于任意的满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：偶函数对于任意的满足， 令，则，即为偶函数． 又，故在区间上是减函数， 所以， 即，故B正确； ，故A错误； ，故C错误； ，故D错误；故选：B． 11．已知定义在上的函数的导函数为，且对于任意的，都有，则（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意：构造函数， 则在恒成立， 所以在单调递减， 所以 所以， 即 故， ，， 故选：A 12．（2025·辽宁·大连市第四十八中学高三期中）设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，任意，有，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，定义域为， 因为函数为奇函数，所以， 则函数是定义在上的奇函数，， 因为任意的，有， 所以当时，，则在上单调递增， 则函数是上的奇函数并且单调递增， 由， 因为，所以,，即，所以， 又因为，因此.故选：C. 13．（2026·山东淄博·期中）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 则， 因为，所以，所以为定义在上的减函数， 因为为奇函数， 所以，，， ，即，即，故， 所以不等式的解集为. 14．（2026·福建福州一模）设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 因为，所以， 故在上单调递减， 因为，所以， 因为，所以，即， 故不等式的解集为. 15．（2026春•濂溪区校级期中）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＜f′（x）﹣2，则（　　） A．f（2026）﹣ef（2025）＜2（e﹣1） B．f（2026）﹣ef（2025）＞2（e﹣1） C．f（2026）﹣ef（2025）＞2（e+1） D．f（2026）﹣ef（2025）＜2（e+1） 【答案】B 【分析】构造函数，利用导函数判断函数的单调性，然后利用函数单调性即可得． 【解答】解：令函数，又f（x）＜f′（x）﹣2， 那么导函数， 所以g（x）是增函数， 那么可得g（2026）＞g（2025）， 即， 因此f（2026）+2＞（f（2025）+2）e，即f（2026）﹣ef（2025）＞2（e﹣1）． 故选：B． 16．（2025秋•商丘期末）已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f′（x），且f（x）＜f′（x），则（　　） A．f（2026）＞f（2025） B．f（2026）＞ef（2025） C．ef（2026）＜f（2025） D．f（2026）＜e2f（2025） 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数结合已知确定单调性，进而比较大小即得． 【解答】解：令函数，由题f（x）＜f′（x）， 则，函数F（x）在R上单调递增， 则F（2026）＞F（2025），即，因此f（2026）＞ef（2025）． 故选：B． 17．（2024春•仁寿县校级期末）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）＜0，且f（2）＝2，则f（ex）﹣ex＞0的解集为（　　） A．（﹣∞，ln2） B．（0，ln2） C．（ln2，+∞） D．（ln2，2） 【答案】A 【分析】由导数公式得出，从而得出函数的单调性，将不等式f（ex）﹣ex＞0可化为，利用单调性解不等式即可． 【解答】解：令h（x），则h'（x），所以函数h（x）在区间（0，+∞）上单调递减， 不等式f（ex）﹣ex＞0可化为，即ex＜2，解得x＜ln2． 故选：A． 【培优通关练】 18．（2025·江苏·高三阶段练习）已知定义在的函数的导函数为，且满足成立，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，所以在上是减函数， 所以，即，A错； ，即，B正确； ，即，C错； 的正负不确定，因此与大小不确定，D不能判断．故选：B． 19．（2022·湖北·高二阶段练习）奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于x的不等式的解集为（　　） A．（，π） B． C． D． 【答案】D 【详解】解：令，因为当时，有， 所以，当时，，所以，函数在(内为单调递减函数， 所以，当时，关于的不等式可化为， 即，所以； 当时，，则关于的不等式可化为，即 因为函数为奇函数，故，也即 所以，即，所以，．综上，原不等式的解集.故选：D． 20．定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足，且，则满足不等式的实数的范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】由题得：， 即，从而（其中为常数），，又， ，因为的定义域为R，且，则为偶函数， 又因为，当时，， 因为均在上单调递增，则在上单调递增，则，结合， 则在上恒成立，且仅在时取等号， 则可判断是偶函数且在单调递增，，解得或， 故选：B． 21．设函数在上的导函数为，且，则下面的不等式在上恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数，则， 因为，则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，即，则， 由，令，则，即. 综上所述在实数集上恒成立. 故选：C． 22．（2026•龙湖区校级开学）已知实数a，b，c满足clna＝c•eb＝1，则下列关系式中不可能成立的是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【答案】D 【分析】由题意可得，令，则，作出的函数图象，根据图象即可判断． 【解答】解：因为clna＝c•eb＝1，所以， 令，则， 作出的函数图象，如图， 当t＞t2时，，故A可能成立； 当t1＜t＜t2时，，故B可能成立； 当0＜t＜t1时，，故C可能成立； 所以不可能成立的是D． 故选：D． 23．（2026春•商水县期中）已知函数f（x）＝x3﹣2x2+ax+3在区间（1，2）上单调递减，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣4，1] D．[﹣4，1） 【答案】B 【分析】由题意可知，对任意的x∈（1，2），f′（x）≤0恒成立，即a≤﹣3x2+4x，求出函数y＝﹣3x2+4x在（1，2）上的值域，即可得出实数a的取值范围． 【解答】解：因为f（x）＝x3﹣2x2+ax+3，则f′（x）＝3x2﹣4x+a， 由题意可知，对任意的x∈（1，2），f′（x）≤0恒成立，即a≤﹣3x2+4x， 因为函数y＝﹣3x2+4x在（1，2）上单调递减，故y＝﹣3x2+4x∈（﹣4，1），所以a≤﹣4， 即a的取值范围是（﹣∞，﹣4]． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $第21讲原函数与导函数混合还原问题 目录引 Contents Part1考点突破 【考点1：原函数与导函数混合还原的常用构造模型】 Part2题型探究 【题型1：利用×构造型】 【题型2：利用ex构造型】 【题型3：利用sinx、cosx构造型】 【题型4：利用含参指数构造型】 【题型5：利用幂、对数构造型】 【题型6：利用一次函数构造型】 【题型7：复杂型：与×乘除构造型】 【题型8：复杂型：与幂函数型】 【题型9：复杂型：与sinx、cosx结合型】 【题型10：复杂型：基础型添加因式型】 【题型11：复杂型：二次构造】 【题型12：综合构造】 【题型13：找出原函数】 Part3分层通关 Part1 考点突破 【考点1：原函数与导函数混合还原的常用构造模型】 1、对于f'(+f)>0（<0),构造8(x)=xfw 2、对于f"+()>0（K0),构造8(：=x·f) 3对于倒->0←0，特造8国=但 4、对于x·"(x)-f(x)>0(<0).构造&(-) 上 5、对于∫"()+f)>0(K0),构造g)=e,f), 6、对于f'四+f)>0K0),构造8()=.fx) 入对于/国>0（←0，胸造8： ex 8、对于'()-四>0K0),构造 (x)=J(x) ebx 9、对于sinx.'(x)+cosx·f)>0(K0),构造()=f)sinx, 10.对于sinx-cosxf≥0K0.梅洛=时 sinx 11、对于cosx·f'()--sinx.f()>0(0),构造8()=f)cosx, 12、对于cosx")+sin·f)>0(K0),构造 (x)=I(x) cosx 13、对于/)-f>kK0),构造gx)=fx+k 14、对于血+型00 构造8)=lhx·fx) 15、f')+c=[f()+cx';f'()+g'()=[fx)+g(x.f'(x)-g'(x)=[fx)-gx f'g)-fxg'田=/9 16、f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=[f(x)g(x); g(x) g(x) 这类题的共同特征是：题目给的式子把导函数和原函数混在一起（比如导函数加原函数大 于零)，要求你判断原函数本身的性质。破解办法就一个字一一凑：把给定的式子看成 某个乘积或者商的导数。几个常用模型要记牢：导函数加原函数，对应e的x次方乘 fx):导函数减原函数，对应fx)除以e的x次方：x乘导函数加原函数，对应x乘 fx)。看到混合式先往这几个模型上套，套上了单调性直接就出来。 Part2 题型探究 【题型1：利用×构造型】 【例1】(2026黑龙江模拟预测)已蜘知定义在0+w)上的函数f(),f代(~是因)的号 函数，满足()f)<0,且)=2，则不等式)2<0 解集是( A.（-∞，1) B,（-∞，2) c.(0,+∞) D.（+o∞) 【变式1】(2026重庆模拟预测)已知定义在R上的函数（冈的导函数为（四）若对任 意xeR,都有(+1>0，且2)-2，则不等式()>-的解集为() A.（0,-2) B.(-2,+o) c.(0,2) D.(2,+o) 【题型2：利用e2构造型】 【例2】(2026-江苏无锡期中)已知函数/()的导函数为/0)-2026， 若对任意的 xeR,都有()f"() 则不等式/()2026e 的解集为( ) 2026 2026 A.(0,+o) C.(-o,0) -0, e2 【变式2】已知定义在R上的函数 满足+>0，且有)=3，则 f(x f(x)>3e3- 的解集为( A.(3,+∞) B.(,+o∞) C.（-,3) D.（o,) 【题型3：利用sinx、cosx构造型】 【到31已如日老最数f付数.月到mw恤(.则 列不等式一定成立的是( B.co c. D29fma10 【变式3】已知函数y在(0，上单调递减，f()为其导函数，若对任意xe(0,受都有 f)<f()anx,则下列不等式一定成立的是（ A.f>fg D.孕>r爱 【题型4：利用含参指数构造型】 【例41(2026广东东莞一模)已知函数（冈是函数9的导函数，f0=e,对任意 实数‘都有()-f(x)小>0 则不等式ef(小e 的解集为() A.（-∞，) B.(e,+∞) c.(e) D.（,+o) 【变式4】已知函数 的定义城为R,f)f)>3,f04,且对于. f(G-f(>0 x2∈R,当≠x2时都有x-x ,则不等式n[f()-3>x-l的解集为 【题型5：利用幂、对数构造型】 【例5】(2023秋江西萍乡高三统考期末)己知∫(x)是定义在R上的奇函数，∫(x)是其 导函数当0时，f(x)->0,且2)=3，则/()≥(x+)的解集是() A.[-2,+∞) B.[-2,2] C.[2,+o∞) D.（-0,-2] 【变式5】(2023全国高三专题练习)已知函数f()的导函数为'(x),若对任意的 x>0, 都有f() x,且fe)=3,则不等式f)>2nx+1的解集为( ) A.(e,+o) B.(2e,+o) c.(0,e) D.(0,2e) 【题型6：利用一次函数构造型】 【例6】(2023漠河市高级中学)已知)是定义在R上的奇函数，f()是函数四 的导函数且在[0，+切）上f()<1,若f(2020-m）-fm)22020-2m,则实数m的 取值范围为() A.[-1010,1010] B.[1010,+o） c.（-∞，-1010] D (-o,-1010]U1010,+∞) 【变式6](2023全国高三专题练习)已知定义在R上的函数()满足0)=3，对 xER恒有f(K2,则f()≥2x+1 的解集为() A.[1,+) B.（-o,] C.(1,+o) D.（∞，1) 【题型7：复杂型：与×乘除构造型】 【例7】(2023江西瑞金市第三中学高三阶段练习（理）)已知定义在R上的函数f(x) 的导函数为f'(),若对任意的实数x,不等式f"(x)+f()<0恒成立，且()=3，则不 等式f(e)<3e的解集为( A.(-o,0) B.(-0,-1) C.n3,+o) D.(（1,+∞)》 【变式7】(2023秋山西太原·高三山西大附中校考期末)设定义R在上的函数y=f(x), 满足任意x∈R,都有f(x+4)=f(x),且x∈(0,4]时，f'(x)>f(),则f(2021). f(2022)f(2023) 的大小关系是( A.f(2021）<2022f2023) f202）<f(2021<f2023 3 f(2023)f(2022) <f(2021) D f(202 3 3 2<f(2021)<f(2022 【题型8：复杂型：与幂函数型】 【例8】(2023秋·陕西·高三校联考期末)定义在(0，+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x), 且f'(x)<4f(x)恒成立，则( ) A.16f①)>4f(N2)>f(2) B.16f0)>f2)>4f(2) C.16f)<4f(2)<f(2) D.16f①<f(2)<4f2) 【变式8】(2023春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习)设定义在R上的奇 函数f(x)的导函数为f"(x),已知f(-2)=0,当x>0时，3f(x)+f'(x)>0,则不等式 f(x)>0的解集为 【题型9：复杂型：与sinx、cosx结合型】 0π 【例】(2026云南大理模拟)已知f'()是定义域为”2)的函数f(x)的导函数，且 f'(x)sinx+f(x)cosx<0,则不等式 (x)sinx 2 6 的解集为 【变式9】(2026福建龙岩二模)设函数 是定义在，)上的函数f(的导函数， 则a,b, c的大小关系是( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 【题型10：复杂型：基础型添加因式型】 【例10】(2026辽宁三模)设a=ml.3,b=0.3,c=e3-1,则a,b,c的大小关系为 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 【变式10】(2026广西河池三模)已知a=2,b=】 2n3 2’ e 9的大小顺序为 ( ) A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.a<b<c 【题型11：复杂型：二次构造】 【例1】(2026-山东青岛模拟预测)已知a=h2026 1 b= 2025, 2025, c-h2025 2026, 则 A.b>c>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 【变式11】(2026河北衡水模拟预测)已知a=ln2024,b=3°，c=e3,则( A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D c<b<a 【题型12：综合构造】 【倒四可&6=e5f须86)小= 模型 【变式12】(2023贵州贵附高=月考（理）已知儿0是函数 的导数，且满足 (+/(>0对c[0恒成立，A,B是锐角三角形的两个内角，则下列不等武一定 成立的是( f(sin A)f(sin B) f(sinA)、f(sinB) A esin B esin B esin B f(cos 4)f(sin B) f(cosA)、f(sinB) e吻a ecos. 【题型13：找出原函数】 【例13】(2023陕西渭南高三期末（理）)己知定义在R上的函数f(x)的导函数为 f'(),对任意x∈R满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论一定正确的是( ) A.e2f(2)>e3f(3) B.e2f(2)<e3f(3) c.e3f(2)>e2f(3) D.e3f(2)<e2f(3) 【变式13】(2023全国高三专题练习)已知函数f(x)在x>0上可导且满足 f(x)f(x)>0,则下列不等式一定成立的为( ) A.f(2)>ef(3) B.f(3)<ef(2) c.f(3)>ef(2) D.f(2)<ef(3) Part3分层通关 【基础通关练】 1,(2023全国高三专题练习)f(x)是定义在R上的函数，满足2f(x)+f'(x)=xe, 八)=。，测下列流法正的是《 A.f(x)在R上有极大值 B.f(x)在R上有极小值 C.f(x)在R上既有极大值又有极小值 D.f(x)在R上没有极值 2.(2023秋陕西汉中·高三统考期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f'(x)>0, 且有f(2)=2,则f(x)>2e2的解集为( ) A.（-o,1) B.（-0,2) C.(1,+o) D.(2,+o) 3.(2023春广东惠州高三校考阶段练习)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为∫(x), 且3f(x)+f(x)<0,fm2)=1,则不等式fx)e3>8的解集为( A.(-00,2) B.(-o,n2) C (In2,+0) D.(2,+∞) 4.(2026湖南湘源三模)已知a=lh26=e,c=。,则( 2 ) A.b>a>c Bb>c>a C.c>b>a D.a>b>c i,b=In2 2ln3 5.(2026陕西榆林三模)己知a= 9的大小顺序为() A.b<c<a Bb<a<c C.c<a<b D.a<b<c 6.(2026因则广元三模)已知a=n56-行， =2-sim2 5 ,则a’b,c的大小关 系为() A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 7.(2026·罗湖区校级模拟)设定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),若f(x)-f ()>0,且f2)=e,则不等式fx)<x的解集为() A.(-∞，e4) B.(e2,too) C.(0,e4) D.(0,e2) 8.(2026春·高坪区校级月考)已知定义在R上的函数f(x),其导函数为(x),且f (x)≤f(x),则() A.f(2026)<f(2025) B.f(2026)>ef(2025) C.ef(2026)<f(2025) D.f(2026)<ef(2025) 9.(2026秋·山西月考)设定义在(0，+o)上的函数∫(x)的导函数f(x)满足f (x)<1,则下列不等式一定成立的是() A.f(2)<2f(1) B.f(4)<2f(2) C.f(2)-f(1)>2 D.f(4)-f(2)<12 【提升通关练】 10.(2023广东东莞市东华高级中学高三期末)己知函数y=∫(0)为R上的偶函数，且 对于仁忘的xe[0)满足/os+sm<0:则下列不等式成立的足< A. B. c.到 D.vir-3)n) 1.已知定义在0，受上角同数国的号西数为了，且时对于在意的xe0孕，都有 f()cosx<fx)sinx,则() A.f孕>f孕 B2f?<5/孕 c.5f?<f頌 D.5f爱<f 12.(2023辽宁大连市第四十八中学高三期中)设奇函数f(y)的定义域为22)且 )的周象是连优不间话，任意0.有了因x+n0:若 2/0例)<f得eas-,则n的取值范围是〈 ) A.（受 B.(到 D. ππ 32 13.(2026山东淄博期中)定义在R上的函数闪的导函数为 ,若对任意实数七， 都有)>f(因，且/()+202 为奇函数，则不等式f+2026e<0 的解集为 A.（-0,0) B.(0,+o) p信 14,(2026福建福州模)设定义在R上的函数f四的导西数为（冈，若 f)f(国>2，f0)=202.则不等式f(>2024.e+2 (其中e为自然对数的底 数)的解集为() A.（-∞，0) B.(0,+oo) C.(2026,+∞) D.（-∞，0U(2026,+o) 15.(2026春·濂溪区校级期中)已知定义在R上的函数∫(x)满足f(x)<f(x)-2, 则() A.f(2026)-ef(2025)<2(e-1) B.f(2026)-ef(2025)>2(e-1) C.f(2026)-ef(2025)>2(e+1) D.f(2026)-ef(2025)<2(e+1) 16.(2025秋·商丘期末)已知定义在R上的函数f(x),其导函数为(x),且f(x) <(x),则() A.f(2026)>f(2025) B.(2026)>ef(2025) C.ef(2026)<f(2025) D.f(2026)<ef(2025) 17.(2024春·仁寿县校级期末)已知定义在(0，+o)上的函数f(x)满足xf(x)-f (x)<0,且f(2)=2,则f(e)-e>0的解集为() A.(-∞，2) B.(0,n2) C.(ln2,+o) D.(12,2) 【培优通关练】 18.(2023江苏高三阶段练习)已知定义在0， 的函数f(x)的导函数为f(x),且满 足f'(x)sinr-f(x)cosr<0成立，则下列不等式成立的是( ) A.母) B.f(gki)c.5r(} D.得r(得 19.(2022湖北高二阶段练习)奇函数f()定义域为(-π，0)(0，π)，其导函数是f'(x), 当0x<元时，有(x)sinx-fx)cosr<0,则关于x的不等式f()kV2f sinr的解集 为() A(子， B.（--(a)c.（oD （o 20定义在R上的匿数网的导函数为r调起因回-(+水+e,具 2 f(0)=0 (2)>f(t-1) ,则满足不等式 的实数的范围为( A-1<1< c.-写1< D.1<写或> 21.设函数f()在R上的导函数为f'(w),且2f()+f"()>x,则下面的不等式在R上恒 成立的是( A.f(x)>0 B.f(x)<0 c.> D.号 22.(2026龙湖区校级开学)己知实数a,b,c满足cma=ce=1,则下列关系式中不可 能成立的是() A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 23.(2026春·商水县期中)己知函数f(x)=x3-2x2++3在区间(1,2)上单调递减， 则a的取值范围是() A.(-∞，1]B.(-∞，-4C.(-4,1] D.[-4,1)