四川省广汉中学2026-2027学年高二上学期10月月考试数学试卷

广汉中学高2025级高二（上）10月练习 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 3．若命题“,”为假命题,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.已知，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A．3 B．1 C．5 D．7 5．下列说法正确的是（    ） A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B．已知点关于x轴的对称点为（2，1，1） C．若，，…，的方差为4，则，，，…，的方差是16 D．若某组数据的频率分布直方图是单峰不对称的，且在左边“拖尾”，则该组数据的平均数大于中位数 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．在斜四棱柱中，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知长方体中，，若棱AD上存在点M，使得，则AB长度的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题中正确的是（    ） A．若，，，是空间任意四点，则有 B．若向量，，满足，则 C．空间中任意三个非零向量都可以构成空间一个基底 D．对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，且），则，，，四点共面 10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（    ） A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 11．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（   ） A． B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．函数有5个零点 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在空间直角坐标系中，已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面的夹角为___________ 13．某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓厚的兴趣．若甲加入理科学社的概率为0.7，加入十三月音乐社的概率为0.3，两个都加入的概率为0.21，则甲只加入其中一个社团的概率为___________ 14．.在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积． 16．（本小题满分15分）在如图所示四棱锥中，已知平面，，，，，为的中点. （1）求证：平面 （2）求证：平面平面 17．（本小题满分15分）2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值以及计算第85百分位数； (2)若样本中年龄在［0,10）的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在［50,60）的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差；附： (3)为进一步了解观众的年龄结构，现采用按比例分层随机抽样的方法从年龄位于分组［40,50），［50,60）的观众中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求2人年龄均在［40,50）的概率． 18．（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． (1)证明：平面； (2)求M到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19.（本小题满分17分）某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有A，B两道题目，比赛按先A题后B题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答对B题得3分，答错得0分．已知学生甲答对A题的概率为，答对B题的概率为，其中，，学生乙答对A题的概率为，答对B题的概率为，且甲、乙各自在答A，B两题的结果互不影响． (1)若甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为． ① 求，的值； ② 在此情况下，求比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率． (2)记甲、乙总得分为5分的概率为，甲、乙总得分为10分的概率为，若，试比较与的大小． 广汉中学高2025级高二（上）10月练习数学参考答案 1.B 解析：因为，所以在复平面对应的点为，位于第二象限， 2．C 解析：已知甲能破译密码的概率为，则甲不能破译密码的概率为，已知乙能破译密码的概率为，则乙不能破译密码的概率为，密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译， 所以密码不能被成功破译的概率为. 故选：C 3．A 解析：易知:,是上述原命题的否定形式,故其为真命题, 则方程有实数根,即. 故选:A. 4. B 【详解】若不能构成空间的一个基底，共面， 存在，使， 即，解得，故选：. 5．C 解析：A，先将数据从小到大排序：1，3，5，6，8，因为， 则第60百分位数为第3位数据和第4位数据的平均数，即第60百分位数为，错误； B，点关于x轴的对称点为（2，1，-1），错误； C，由方差计算公式可得，正确； D，由题意，该组数据的频率分布直方图是左偏态分布，数据大多集中在数值较大的区间，少数数值较小的数据会导致平均数小于中位数，错误. 故选：C. 6．D【详解】依题意，， 所以. 故选：D 7．A 解析：， 则 ． 故选：A. 8．C 解析：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设，，则，，，所以，，因为，所以， 所以，即， 当，时，，所以AB长度的取值范围是，故选C. 9．AD 解析：对于A，，A正确； 对于B，当时，，，，四点可能在一条直线上，B错误； 对于C，空间的三个非零向量有共面与不共面两种可能，当它们共面时，不能作为空间的一个基底，C错误； 对于D，若，则， 化简得，因此，，，四点共面，D正确. 故选：AD 10．ACD 解析：设为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，为事件“第二次取出的球的数字是偶数”， 为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”， 则，，故A正确. ，，故B错误. 而，故C正确. 两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确. 故选：ACD. 11．ACD 解析：为奇函数，故，即①， 又为偶函数，故②，则由①②可得，， 则，则的一个周期为4，在①中令有， 又当时，，则，则， 所以，故A正确； 由②可得，，则，即函数是定义在上的偶函数， 因时，，则是上的增函数，则是上的减函数， 因是的一个周期，则是上的减函数，故B错误； 因为函数是定义在上的偶函数，所以， 所以的图象关于直线对称，故C正确；函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数，由题意得与的图象如下： 当时，，当时，， 当时，，结合图象可知，函数在上存在1个零点， 当时，， 当时，， 由此可得与的图象有5个交点，所以有5个零点，故D正确．故选：ACD． 12．600 设直线l与平面的夹角为，则， 因为，所以 13．/ 解析：设事件甲加入理科学社为，事件甲加入十三月音乐社为， 由已知，，，事件甲同时加入两个社团可表示为， 事件甲只加入其中一个社团可表示为，且事件，互斥， 所以，故答案为：. 14．答案： 15．（1）（2） 解析：（1）由正弦定理可得： 即：   ，由得： （2），的周长为     由余弦定理可得： 的面积： 16.【解析】（1）取的中点，连接，由于，为中点，则且．∵且，∴且，∴四边形MECB是平行四边形，∴.又平面PAB，平面，∴平面． （2）∵平面，平面，∴， 又,故， ∴．∵，平面,∴平面， 又平面，∴平面平面． 17．(1)，第85百分位数为 (2)， (3) 解析：（1）由题意可得，解得， 由频率分布直方图可知的频率为，而的频率为，所以第85百分位数在区间内，设第85百分位数为，则，解得，所以第85百分位数为． （2）由频率分布直方图可知的频率为，的频率为， 所以， （3）由频率分布直方图可知年龄为，的两组观众频率之比为：， 所以按比例用分层随机抽样的方法抽取5人， 则年龄在中的观众应抽取4人，年龄在中的观众应抽取1人； 记的四名学生编号为1、2、3、4，记的一名学生编号为5， 则选出两名学生的可能结果为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10种； 设事件“抽到的两名学生的年龄都来自”， 则事件包含的样本点有12，13，14，23，24，34，共6种， 所以两名学生的年龄均在的概率． 18．（1）在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，，则四边形为平行四边形，，而平面，平面，所以平面． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得，而平面平面，平面平面，平面，则平面，由，得四边形是平行四边形，于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 又，所以到平面的距离， 因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，即. （3）令，，，设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 于是，化简得，又，解得，即，所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 19.(1)①，；② (2) 解析：（1）①由题意得，解得，. ②比赛结束后，甲、乙各自得分可能为0，2，3，5， 记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，且，相互独立， 记比赛后总得分不低于8分为事件E， 则，且，，彼此互斥， 易得，，，， 所以， 所以比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率为． （2）若甲、乙总得分为5分，可知、、、两两互斥， 则， 即， ， 因为，，， ， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $