10.1.1平方根算术平方根 教学设计 2026-2027学年华东师大版八年级上册数学

10.1.1 平方根（算术平方根） 课题名称 10.1.1 平方根（算术平方根） 课型 新授课 教学资源 课件 教学内容解析 内容 算术平方根 内容解析 《算术平方根》是在学生学习了平方根的概念和性质的基础上的继续学习，是平方根的第二课时。算术平方根是第十章数的开方的重要组成部分，也是“数与代数”领域的基础知识。不仅是下节学习立方根和实数的基础，而且为今后学习二次根式、一元二次方程、勾股定理等奠定基础，起着承上启下的作用。学生通过学习算术平方根的概念和表示方法，进一步体会乘方与开方的互逆关系，培养符号意识和数感。 目标与目标解析 单元整体目标 数的开方是初中数学“数与代数”领域的重要基础内容，本章在学生已经学习了有理数及其运算的基础上，学习平方根、立方根和实数的概念。本章的重点是平方根和算术平方根的概念，因为这些知识是学习二次根式、实数和方程的基础，在以后的学习中经常要用到。对于符号意识和数感的培养，在本章，不仅要求学生理解平方根的概念，还要求掌握算术平方根的表示方法，会求非负数的算术平方根。逐步深入地让学生完成从有理数到实数的数系扩展，是本章的一个难点。 对应课标： ①了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 ②了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。 ③了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。 课时目标 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；会求非负数的算术平方根。 2.经历从平方根到算术平方根的抽象过程，培养学生的符号意识和抽象思维能力，体会算术平方根的双重非负性。 3.感受数学符号的简洁美。在自主探索和合作交流的过程中，激发学生学习数学的兴趣，培养学生实事求是的科学态度。 课时目标解析 达成目标1的标志是：学生能说出算术平方根的概念，并能正确用根号表示，会求非负数的算术平方根。 达成目标2的标志是：学生能理解算术平方根的双重非负性，能区分平方根和算术平方根。 达成目标3的标志是：学生能感受根号符号的简洁美，养成规范书写的习惯。 学情分析 已有的知识、认知水平 从认知结构的角度，八年级的学生已经学习了平方根的概念和性质，知道正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。学生已经具备了一定的符号意识和逆向思维能力。但学生在学习算术平方根时，容易混淆平方根和算术平方根，也容易忽略算术平方根的双重非负性，需要重点突破。 困惑点或探索点 算术平方根的双重非负性，以及平方根与算术平方根的区别和联系。 教学 重难点 教学重点 算术平方根的概念和表示方法，会求非负数的算术平方根。 教学难点 算术平方根的双重非负性，平方根与算术平方根的区别。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：我们上节课知道了正数有两个平方根，一正一负。但在实际问题中，比如正方形的边长，我们只需要那个正的平方根。这就是我们今天要学习的算术平方根。 学什么：理解算术平方根的概念；掌握算术平方根的表示方法（）；理解算术平方根的双重非负性；会求非负数的算术平方根；知道平方根和算术平方根的区别与联系。 怎么学：通过复习平方根的概念引入，让学生从正数的两个平方根中引出正的那个。采用讲练结合的方式，让学生掌握算术平方根的表示和求法。通过对比辨析，让学生区分平方根和算术平方根。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 复习回顾 情境导入 复习引入 师：上节课我们学习了平方根，大家来回忆一下： 1. 什么是平方根？ 生：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。 2. 平方根有什么性质？ 生：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 3. 求下列各数的平方根： （1）25 （2）100 （3）0.64 生： （1）25的平方根是±5； （2）100的平方根是±10； （3）0.64的平方根是±0.8。 师：很好。我们来看上节课的实际问题： 学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，边长应取多少？ 生：5分米。 师：为什么不取-5分米呢？ 生：因为边长不能是负数。 师：非常好！在实际问题中，我们经常只需要那个正的平方根。这个正的平方根，就是我们今天要学习的——算术平方根。 学生回忆起平方根的概念和性质，能正确求一个数的平方根。 感受到实际问题中只需要正的平方根，体会学习算术平方根的必要性。 通过复习平方根和实际问题引入，让学生体会算术平方根的现实意义，激发学生的学习兴趣。 概念探究 算术平方根的概念和表示 一、算术平方根的定义 师：我们刚才知道，正数a有两个平方根，一正一负，它们互为相反数。 师：我们把正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。 记作：，读作“根号a”。 其中a叫做被开方数。 师：规定：0的算术平方根是0，记作 = 0。 强调： 1. 算术平方根是平方根中正的那一个； 2. 正数a的算术平方根是，平方根是±； 3. 被开方数a必须是非负数，即a≥0； 4. 算术平方根本身也是非负数，即≥0。 这就是算术平方根的双重非负性。 二、平方根与算术平方根的联系和区别 师：我们来对比一下平方根和算术平方根： 联系： 1. 具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的那个； 2. 存在条件相同：都是只有非负数才有； 3. 0的平方根和算术平方根都是0。 区别： 1. 定义不同：平方根是所有平方等于a的数，算术平方根是其中正的那个； 2. 个数不同：正数有两个平方根，只有一个算术平方根； 3. 表示方法不同：平方根表示为±，算术平方根表示为； 4. 结果不同：平方根一正一负，算术平方根一定是非负的。 三、例题讲解 例1：求下列各数的算术平方根： （1）100 （2） （3）0.0001 （4）0 解： （1）因为10² = 100，所以100的算术平方根是10，即 = 10； （2）因为()² = ，所以的算术平方根是，即 = ； （3）因为0.01² = 0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即 = 0.01； （4）因为0² = 0，所以0的算术平方根是0，即 = 0。 例2：下列各式是否有意义？为什么？ （1） （2） （3） （4） 解： （1）有意义，因为3>0； （2）没有意义，因为-3<0，被开方数不能是负数； （3）有意义，因为0的算术平方根是0； （4）有意义，因为(-3)²=9>0。 注意：负数没有算术平方根，所以根号下的数必须是非负数。 学生能说出算术平方根的概念和表示方法。 学生能理解算术平方根的双重非负性。 学生能正确求非负数的算术平方根。 引导学生从平方根中引出算术平方根的概念，培养学生的抽象概括能力。 通过对比平方根和算术平方根，加深学生对概念的理解。 通过例题和判断题，让学生掌握算术平方根的求法和有意义的条件。 课堂练习 知识巩固 例3：求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 解： （1） = 9 （2） = 0.5 （3） = （4） = 0 例4：判断下列说法是否正确？ （1）5是25的算术平方根； （2）±4是16的算术平方根； （3）-6是(-6)²的算术平方根； （4）0的算术平方根是0。 解： （1）正确； （2）错误，16的算术平方根是4，不是±4； （3）错误，(-6)²=36，36的算术平方根是6，不是-6； （4）正确。 例5：x取何值时，下列各式有意义？ （1） （2） 解： （1）要使有意义，必须x+1≥0，即x≥-1； （2）要使有意义，必须2x-3≥0，即x≥。 思考： （1）算术平方根等于它本身的数是什么？ 生：0和1。因为=0，=1。 （2）算术平方根可能是负数吗？ 生：不可能，算术平方根一定是非负的。 （3）被开方数可以是负数吗？ 生：不可以，负数没有算术平方根。 师：非常好！大家要记住算术平方根的双重非负性：被开方数非负，结果也非负。 学生能熟练求非负数的算术平方根。 学生能判断一个式子是否有意义。 学生能准确理解算术平方根的双重非负性。 题目设置由易到难层层递进，不仅巩固和掌握算术平方根的概念和表示，熟练求算术平方根，而且培养学生的运算能力和逻辑推理能力。 反思总结 学生为主体发言总结 师：本节课主要学习了算术平方根的相关知识，请同学们一起回忆一下： 1. 什么是算术平方根？怎么表示？ 2. 算术平方根有什么性质？什么是双重非负性？ 3. 平方根和算术平方根有什么区别和联系？ 本节课还有哪些疑惑？说一说！ 学生主动思考总结，养成归纳整理的好习惯 通过回顾课堂学习的主要内容和过程，夯实基础知识的落实，通过思考本节学习经验和反思困惑深化理解，强化分析问题和解决问题的能力。 板书设计 10.1.1 平方根（算术平方根） 1. 定义： 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。 记作：，读作“根号a” 规定：0的算术平方根是0，= 0 2. 双重非负性： （1）被开方数a ≥ 0 （2）算术平方根 ≥ 0 3. 平方根与算术平方根的区别： 平方根：±（两个，一正一负） 算术平方根：（一个，非负） 注意：负数没有算术平方根 提纲挈领,重点突出. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $