29.1.2 过三点的圆 第1课时 过三点的圆 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十九章 圆 29.1.2 过三点的圆 第1课时 过三点的圆 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 确定圆的条件 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 三角形的外接圆与外心 8. 对接中考 1. 通过探究过一点、两点、三点作圆的过程，理解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握三角形外接圆、外心、内接三角形的定义. 2. 会用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆、作三角形的外接圆，发展空间概念和空间想象力. 学习目标 知识回顾 圆的定义 1. 在一个平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 P 所形成的图形叫作圆. 其固定的端点 О 叫作圆心，线段 OP 叫作半径. 以点 O 为圆心的圆，记作⊙ О ，读作“圆 О ”. 2. 圆心为、半径为的圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合． 点和圆的位置关系分三种(设⊙ O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP=d)： 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 图示 对应关系 点P在圆外 点P在圆上 点P在圆内 新课导入 我们知道两点确定一条直线，那么几个点可以确定一个圆呢？ 新课讲解 知识点1 确定圆的条件 探究 (1) 经过一个点 A 能不能作圆？如果能，这样的圆能作出多少个？ · · · · · A 经过一个点 A 作圆，只要以点 A 以外任意一点为圆心，以这一点与点 A 的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个. 作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小. 对于经过已知点作圆的问题，当圆心确定后，半径也就随之确定，因此作圆的问题又转化为确定圆心的问题. 思考 作圆的关键是什么？要确定什么？ 新课讲解 探究 (2) 经过两个点 A，B 能不能作圆？如果能，所作圆的圆心的位置有什么特点？ · · · · A B 经过两个点 A，B 作圆，由于所作圆的圆心到 A，B 两点的距离相等，所以圆心在线段 AB 的垂直平分线上，这样的圆也可以作出无数个. 新课讲解 探究 (3) 经过不在同一条直线上的三个点 A，B，C 能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ D E G F A B C O 经过不在同一条直线上的三个点 A，B，C 作圆，因为所作的圆要经过 A，B，C 三点，其圆心应满足到这三个点的距离都相等， 所以所作圆的圆心既要在线段 AB 的垂直平分线上，又要在线段 BC 的垂直平分线上， 所作圆的圆心就是这两条垂直平分线的交点. 由作法可知，线段 AB，BC 的垂直平分线有且只有一个交点，所以⊙O的圆心是确定的，进而其半径也是确定的. 因此，经过 A，B，C 三点可以作一个并且只可以作一个圆. 新课讲解 确定圆的条件 (2) 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 不能忽略这个前提条件 有且只有 (1) 已知圆心、半径，可以确定一个圆 . 经过不在同一条直线上的任意四点不一定能作出圆，要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，如果第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上；否则，第四个点不在圆上. 拓展 新课讲解 例 1. 如图，在平面直角坐标系中，一圆弧过正方形网格的格点 A，B，C，已知点A的坐标是(3，5)，则该圆弧所在圆的圆心 P 的坐标是__________. 解：连接AB，BC，线段AB，BC 的垂直平分线的交点即为圆心P，如图所示，观察图形可知点P恰好为正方形网格的格点，点P的坐标是(-1，0). (1，0) P 新课讲解 归纳 确定圆心的基本方法 一找点：在圆弧上任意找三点. 二作弦：任意连接其中两点作弦，共作两条弦. 三定圆心：分别作这两条弦的垂直平分线，它们的交点就是这段圆弧所在圆的圆心. 新课讲解 例 B 2. 已知线段，则经过， 两点且半径为 的圆有( ) A. 0个 B. 2个 C. 1个 D. 无数个 解：如图，作线段的垂直平分线，再分别以， 为圆心，为半径作弧，弧与垂直平分线有两个交点， ，这两个交点就是所求圆的圆心，所以经过， 两点且半径为 的圆有两个. 新课讲解 练一练 1. 如图 ， 点 A， B， C 在同一条直线上， 点 D在直线 AB 外，则经过其中的任意三个点，最多可画出圆的个数是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆， 点 A， B， C， D均在直线 l 上，则在这 四个点中任取三个点都不能确定一个圆， 所以可从这四个点中任取两个点，再加上点 P 即可确定一个圆． 所以能确定圆的三个点分别是： P， A， B； P， A， C； P， A， D； P， B， C；P， B， D； P， C， D，共 6 组．所以最多可画出圆的个数为 6 ． D 新课讲解 练一练 2. 你知道如何将一个如图所示的破损的圆盘复原吗？ 解：修复方法： (1) 在圆弧上任取三点A，B，C； (2) 作线段AB，BC的垂直平分线，其交点O即为圆心； (3) 以点O为圆心，OC长为半径作圆. ⊙O即为所求. A B C O 新课讲解 知识点2 三角形的外接圆与外心 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形 . (1) 定义： 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心 . (2) 性质： 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形外接圆的半径. 1. 三角形的外接圆： 2. 三角形的外心  新课讲解 1. 一个三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合，即这些三角形的外心都是这个圆的圆心. 2. 要弄清“接”是指三角形各顶点在圆上，“外”是指圆在三角形外. 注意 三角形外接圆的作法： 1. 作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点； 2. 以该交点为圆心，交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可. 新课讲解 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 位置 外心在三角形的内部. 外心是直角三角形斜边的中点. 外心在三角形的外部. 联系 外心在三角形的内部 ⇔ 三角形为锐角三角形. 外心在三角形最长边中点处⇔ 三角形为直角三角形. 外心在三角形的外部 ⇔三角形为钝角三角形. 三角形外心的位置 新课讲解 例 解：如图，∵ 在 △ABC 中，AB=AC=13 cm， ∴ 过 A 作 ADBC 于点 D，AD 所在直线即为 BC 的垂直平分线. 作 AB 的垂直平分线 l 交 AD 于点 O，以点 O 为圆心，OA 长为半径作 ⊙O，⊙O 即为 △ABC 的外接圆. 连接 OB，设 OA=OB=R cm. 由作图可知，BDBC10=5 (cm). 在  中，由勾股定理，得 AD=12 (cm), ∴ OD=AD-OA=(12-R) cm. 在 △OBD 中，由勾股定理，得 即 ，解得 R. ∴ △ABC 的外接圆半径的长度为 . 3. 如图，在△ABC 中，AB=AC =13 cm，BC =10 cm，求△ABC 外接圆半径的长度. 新课讲解 例 4. 如图，点是的外心，， ，垂足分别为，，点，分别是，的中点，连接.若 ，则 ___. 2 解：连接，如图. 点是 的外心， 是 三边垂直平分线的交点. ，， 为 的中点，为的中点， 是 的中位线， 点，分别是，的中点， 是的中位线. . 新课讲解 练一练 1. 有下列说法： ① 任何一个圆都只有一个内接三角形； ② 钝角三角形的外心在三角形的内部； ③ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点； ④ 三角形的外心到三角形三条边的距离相等； ⑤ 外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形. 其中正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 新课讲解 练一练 A. B. 5 C. 6.5 D. 8 2. 一个三角形的一边长为12，另外两边长是一元二次方程 的两根，则这个三角形外接圆的半径是 ( ) C 解：， ，解得，， 这个三角形的三边长为5，12， ，， 这个三角形是直角三角形. 这个三角形外接圆的半径是6.5. 课堂小结 过三点的圆 确定圆的条件 三角形的外接圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形. 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形的外接圆的半径. 当堂小练 1. 如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？ A B C D 解：先沿CD作一条直线，保持AB两端在圆上，旋转这个工具到另外一个位置，再沿CD作一条直线，两条直线的交点即为圆心. 当堂小练 2. 判断下列说法是否正确. (1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆. ( ) (2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形. ( ) (3) 经过三点一定可以确定一个圆. ( ) (4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. ( ) 无数个. 不共线的三点. 当堂小练 A A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 3. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 ，，，，，， 均在小正方形的顶点上，则 的外心是 ( ) 当堂小练 A 4. 如图，，是的直径，是 上的一点，连接，下列三角形中，外心是点 的是 ( ) A. B. C. D. 当堂小练 5. 在联欢晚会上，有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 D 当堂小练 6. 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长. A B C 解：如图 ，作 BC 的垂直平分线交BC 于点D，作 AC 的垂 直平分线交BC 的垂直平分线于点 O，以点 O为圆心， OA 长为半径作圆，⊙O即为所求. ∵ △ABC是边长为 2的等边三角形， ∴ AB=BC，∠ABC=60，∠ODB=90，BD=， ∴ 点 B 在 AC 的垂直平分线上， ∴ OBDABC， ∴ ODOB. 在 Rt△OBD 中，， ∴ ， 解得 OB，故⊙O的半径长为 . 当堂小练 · 7. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，BC=8. (1) 尺规作图：用直尺和圆规作出 △ABC 的外接圆(只保留作图痕迹，不写作法和证明)； (2) 求△ABC 外接圆的半径. 解：(1) 如图，作 AC，BC 的垂直平分线 l1，l2 交于点O，以点 O 为圆心， OA（或 OB，OC）长为半径作圆，则 ⊙O 即为 △ABC 的外接圆. D l2 l1 O (2) 如图 ，记直线 l2 与 BC 的交点为 D，连接 OB. 由 (1) 中作图可知，BD=CD=BC=4，∠ADB=， ∴ 由勾股定理可得，AD=2. 设 OB=x，则 OA=x，OD=x-2. 由勾股定理得，， 即 ，解得 x=5，故 △ABC 外接圆的半径为 5. 当堂小练 8. 已知直线，点，，设点为直线 上一动点，当点的坐标为________时，过，， 三点不能作出一个圆． 解：由题意可知，当，， 三点共线时，过这三点不能作出一个圆. 设直线的解析式为，将点 ， 的坐标分别代入，得 解得 直线的解析式为．解方程组 得 当点的坐标为时，过，， 三点不能作出一个圆． 对接中考 1. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是 ( ) C 对接中考 2. “连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案.图①为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈.图②为另一件连弧纹镜（残件）的示意图. (1) 若将图②中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“____连弧纹镜”； 七 (2) 请用无刻度的直尺与圆规，补全图②中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”（保留作图痕迹，不写作法）. 解：如图. 拓展与延伸 1. 在平面直角坐标系中，若，， 三点可以确定一个圆，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. D 解：设直线的解析式为， 则 解得 直线的解析式为， 当 时，， 点在直线上， ，， 三点可以确定一个圆时， . 拓展与延伸 解：(1) 如图，点 即为所求. 2. 如图，破残的圆形轮片上有三点 ，， . (1) 请用直尺和圆规画出该轮片的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2) 若是等腰三角形，底边 ，腰，求圆片的半径 . (2) 如图，连接交于点.连接， . ，， 易知， ，， . 在中， ，解得 . $