精品解析：天津市双菱中学2026-2027学年高一年级上学期第一次阶段检测数学试题

2026-2027学年度上学期双菱中学高一年级数学学科第一次阶段检测 一、单选题（每题3分，共27分） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则； C. 若且，则 D. 若，，则 5. 满足条件的集合的个数为（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 6. 的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 7. 设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A. B. C. D. 8. 设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二、填空题 10. 已知集合，则集合A的真子集的个数为______. 11. 集合，，则_______. 12. 若，且，则的最小值为___________． 13. 设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 14. 已知关于的不等式的解集是R，则实数的取值范围是_________． 15. 设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），都有且，则称是“和谐集”，则下列命题： ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集 ②集合是“和谐集” ③若都是“和谐集”，则 ④对任意两个不同的“和谐集”，总有 其中为真命题的是______． 三、解答题 16. 求下列关于x的不等式的解集． （1）； （2）； （3）． 17. 设集合，. （1）若 ，求实数a的取值范围 （2）若，求实数a的取值范围 18. 已知集合，. （1）当时，求和； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. 19. 解答下列各题 （1）若，求的最小值． （2）已知，求的最小值． （3）已知且满足，求的最小值． 20. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求实数a，b的值； （2）若，求关于x的不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期双菱中学高一年级数学学科第一次阶段检测 一、单选题（每题3分，共27分） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得， 所以. 2. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“” 的否定是“”. 3. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】分析充分性： 若成立， 举反例验证：取，，此时，， 但，，显然不成立，即不成立， 因此充分性不成立. 分析必要性： 若成立， 由绝对值的性质：， 因为，所以，即a为正数， 当时，， 又因为，结合，可得， 即， 因为， 所以， 因此必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 4. 下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则； C. 若且，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于ACD，由不等式的性质逐项判断即可，对于B，举例判断即可. 【详解】对于A：由，可知，即，所以，正确； 对于B：取，满足，，此时，错误； 对于C：因为，则，则，又， 所以，正确； 对于D：， 因为，得， 所以，即，正确. 故选：B 5. 满足条件的集合的个数为（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. 6. 的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 7. 设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 8. 设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况进行讨论分析，可得实数m的取值范围. 【详解】当，即时，，此时，符合题意； 当，即时，， 由，得，或. 解得，或. 综上所述，实数m的取值范围为，或，或, 即. 故选：D. 9. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三个二次的关系，得出以及用表示出，代入求解分式不等式即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，得， 故等价于，等价于， 所以解集为或. 故选：A. 二、填空题 10. 已知集合，则集合A的真子集的个数为______. 【答案】7 【解析】 【分析】先求出集合的元素个数，再求解集合的真子集个数. 【详解】因为，所以集合的真子集的个数为. 故答案为：. 11. 集合，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】解方程组，可得. 【详解】由， 所以. 故答案为： 12. 若，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】换元可得，，利用基本不等式“1”的妙用进行求解 【详解】令，则，， 则， 其中， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 13. 设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 【答案】 【解析】 【分析】先求集合，再由，得，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】由，得，， 当时，，满足题意， 当时，，所以或，所以或， 故所求集合为. 14. 已知关于的不等式的解集是R，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过讨论a与0的关系，分析不等式不是二次不等式的情况；若是二次不等式，则利用二次函数的图像与性质得到关于a的不等关系求解即可. 【详解】当a=0时，原不等式变为1>0，恒成立，故不等式的解集是R，所以a=0符合条件； 当a≠0时，要使不等式原不等式的解集为R，则方程无实根， 且二次函数的图象是开口向上的， 即，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了学生对一元二次不等式的解法的掌握与应用，着重考查了一元二次不等式恒成立的等价关系，属中档题. 15. 设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），都有且，则称是“和谐集”，则下列命题： ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集 ②集合是“和谐集” ③若都是“和谐集”，则 ④对任意两个不同的“和谐集”，总有 其中为真命题的是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】命题①可举出实例；命题②③利用集合新定义可进行推导；命题④可举出反例. 【详解】对于①，根据题意是“和谐集”，又是有限集，为真命题； 对于②，设，则，， 所以集合是“和谐集”，为真命题； 对于③，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，真命题； 对于④，取，，都是“和谐集”， 但5不属于，也不属于，所以不是实数集，假命题. 故答案为：①②③ 三、解答题 16. 求下列关于x的不等式的解集． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）移项并通分将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. （2）利用绝对值不等式的解法求解即可. （3）根据判别式即可得到其解； 【小问1详解】 因为，即，所以通分可得， 则，解得， 所以解集为． 【小问2详解】 因为，所以， 则，或， 解得：，或， 所以解集为 【小问3详解】 将不等式化简为， 因为， 所以该不等式无实数解，即解集为. 17. 设集合，. （1）若 ，求实数a的取值范围 （2）若，求实数a的取值范围 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据包含关系得到，利用根的判别式和韦达定理进行求解； （2）分，或，三种情况，结合根的判别式进行求解，得到答案 【小问1详解】 ，， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 【小问2详解】 集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得，将代入方程得，解得， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. 18. 已知集合，. （1）当时，求和； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的交并补运算即可求解； （2）根据充分不必要条件得⫋，分或两种情况即可求解. 【小问1详解】 当时，，， ； ，； 【小问2详解】 ，， 由“”是“”的充分不必要条件， ⫋， 当时，， 当时， ，. 实数的取值范围为. 19. 解答下列各题 （1）若，求的最小值． （2）已知，求的最小值． （3）已知且满足，求的最小值． 【答案】（1）8； （2）5； （3） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为，进而根据基本不等式求解即可； （2）将问题转化为，进而根据基本不等式求解即可； （3）利用，结合1的妙用和基本不等式即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【小问3详解】 因为且满足，所以且满足， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 20. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求实数a，b的值； （2）若，求关于x的不等式的解集. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）原不等式可变形为，分类讨论：、、、，解出对应不等式的解集即可. 【小问1详解】 由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $