精品解析：山东临沂第四中学2026-2027学年高二上学期阶段性测试数学试题

临沂四中高二年级阶段性测试（数学） （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 2. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 3. 已知向量 ，则（　　） A. B. 5 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】向量 ，则. 4. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 5. 已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 6. 已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直时，直线与平面的法向量共线，即可得解. 【详解】若直线平面，则直线与平面的法向量共线， 因此，当时，即为A选项，对于选项B、C、D，找不到满足条件的，故B、C、D错误. 故选：A. 7. 如图，函数图象上两点A，C关于原点对称，点A的横坐标为，过点A，C分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为，，，.将图象沿x轴折叠，得到一个二面角，若，则二面角的平面角的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】设二面角的大小为，对两边平方化简可得答案. 【详解】由题意可得，，设二面角的大小为， 因为，所以， 所以，因为，所以. 8. 在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足、则下列结论错误的是（ ） A. 点M可以是线段BC的中点 B. 点M的轨迹长度为 C. 存在点M，使得点B到平面的距离为 D. 任意点平面，都有平面 【答案】C 【解析】 【分析】对几何体建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求出点坐标所满足的方程，结合题目关于在三棱柱表面的信息，确定点的轨迹，再结合选项逐项分析. 【详解】 根据题干信息，以点为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，,,设点，故，， 由于，则，即； A：当点M是线段BC的中点时，此时点的坐标为，显然满足， 因此本选项结论正确； B：连接，， 所以， 所以，且两直线在平面内，所以面， 则三角形的三边就是的轨迹， 由于，， ，所以三角形的周长为，因此本选项说法正确； C：假设存在点M，使得点B到平面的距离为， ， 设平面的法向量为， ，取， 因为， 所以当时，得， 当时，得， 当时，， 所以点B到平面的距离为， 当时， 点B到平面的距离为， 解得：，显然假设不存在，所以不存在点M，使得点B到平面的距离为，因此本选项说法错误； D：任意点平面，此时，所以， ， 因为，平面， 所以都有平面，因此本选项说法正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论. 【详解】直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，， 由倾斜角定义知，，，，故C正确； 由，知，，，，故B正确； 故选：BC 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. 向量，的夹角为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AB，由空间向量垂直，平行坐标表示可判断选项正误；对于C，由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【详解】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确. 故选：BD 11. 已知空间四面体OABC，则（ ） A. 当，则点P在平面ABC内 B. 若该四面体的棱长都为a，则异面直线OA，BC间的距离为 C. 若M为AB中点，则直线OC上存在点N，使得 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据四点共面的结论分析判断；对于B：将正四面体嵌套在正方体内，结合正方体的性质分析判断；对于C：分类讨论点N是否与点O重合，结合异面直线的判定定理分析判断；对于D：根据空间向量的数量积运算结合向量垂直分析判断. 【详解】对于A：若，且， 所以四点共面，即点P在平面ABC内，故A正确； 对于B：若该四面体的棱长都为a，可知四面体OABC为正四面体， 将其嵌套在正方体内，如图所示：可知正方体的棱长为，异面直线OA，BC间的距离即为正方体的棱长，故B正确； 对于C：因为点N在直线OC上， 若点N与点O重合，则，不满足； 若点N与点O不重合，则平面OBC，平面，， 可知为异面直线，不满足； 综上所述：直线OC上不存在点N，使得，故C错误； 对于D：若，， 则 即 ， 即 ∴， 可得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点P(－2，－1)和点Q(3，a)的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a＝____. 【答案】4 【解析】 【详解】由题意，得tan45°＝，解得a＝4. 13. 如图，在四面体中，为的重心，是上一点，，以为空间的一个基底，则______. 【答案】 【解析】 【详解】根据向量减法的三角形法则，. 用基底表示： 由得， 所以， 代入， 整理得：. 用基底表示：因为是的重心，重心分中线的比为， 取的中点，则， 所以. 因此. 14. 达•芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的边长为1，则点到直线的距离是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得△的三条边长，在三角形中求边边上的高线即可. 【详解】根据题意，延长交于点，连接，如下所示： 在△中，容易知：； 同理，， 满足，设点到直线的距离为，由等面积法可知： ，解得，即点到直线的距离是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面直角坐标系内两点，. （1）当直线的倾斜角为锐角时，求m的取值范围； （2）若直线的一个方向向量为，求m的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，倾斜角为锐角时斜率大于，解分式不等式得到的取值范围； （2）已知直线的方向向量，可得直线斜率，结合斜率表达式建立方程，解方程求出的值. 【小问1详解】 设直线的倾斜角为，因为倾斜角为锐角， 所以直线的斜率， 又， 即，解得， 即的取值范围为. 【小问2详解】 因为直线的一个方向向量为， 所以斜率， 结合两点斜率公式有，解得. 16. 已知向量，，. （Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值. 【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ） 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据可求得,再根据垂直的数量积为0求解即可. (Ⅱ)根据共面有,再求解对应的系数相等关系求解即可. 【详解】解：(Ⅰ)因为,所以. 且. 因为向量与垂直, 所以. 即. 所以实数和的值分别为和. (Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）. 因为, 所以 所以实数的值为. 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题. 17. 在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）把沿BD翻折，使得平面平面BCD，如图（2）． （1）求证：； （2）若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离． 【答案】（1）证明：在直角梯形ABCD中，，，， 所以，， ∴， ∴， ∵平面平面BCD，平面平面，平面BCD， ∴平面ABD，又∵平面ABD， ∴； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面ABD，然后利用线面垂直的性质即得； （2）利用坐标法，求出平面ACD的法向量，然后利用点到平面的距离的向量求法即得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由题知，如图以D为原点，DB，DC所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系， 由条件可得，，，， ∴，， 设平面ACD的法向量，则，， ∴，即， 令，可得平面ACD的一个法向量为），又， ∴点M到平面ACD的距离为． 18. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）求四边形的面积； （2）求与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用基底法求出长度，再通过向量数量积计算与夹角的余弦值，进而求出正弦值，代入平行四边形面积公式求解. （2）先证明平面，确定与平面所成角为，再通过向量模长公式分别计算、，代入三角函数公式求解即可. 【小问1详解】 设， 因为且，， 所以，，又， ∴， ，即， 所以， 所以； 【小问2详解】 连接，交于点H，连接， ∵菱形，∴， 又，所以. 又，，平面，所以平面. ∴为与平面所成的角， 又， ， ∴， 又，， ∴，所以， 所以与平面所成角的余弦值为. 19. 如图，已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧面MAD是等边三角形，，N为侧棱MC上一点． （1）证明：平面平面ABCD； （2）求MC与平面BMD所成角的正弦值； （3）过A，N两点的平面分别交线段MD，MB于E，F两点，且平面AENF，是否存在点N，使得平面AENF与平面ABCD夹角为？若存在，求的值：若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：连接BD，因，所以， 侧面MAD是等边三角形，所以，又，故， 由题意得平面MAD，平面MAD，可得平面MAD， 又因平面ABCD，所以平面平面ABCD. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）通过计算边长利用勾股定理逆定理证明，进而由面面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，通过向量法求平面的法向量，进而计算MC与平面BMD所成角的正弦值； （3）引入参数​，利用向量法表示相关点坐标，结合 平面得到法向量满足的条件，再由平面夹角为列出方程解得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AD的中点O，的中点，连接PO，OM，因为侧面MAD是等边三角形，所以， 由（1）知平面平面ABCD，平面平面，则平面ABCD， 在平面ABCD内，由，易得， 以AD中点O为坐标原点，分别以OA，OP，OM所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面BMD的一个法向量为， 则，令，则， 所以为平面BMD的一个法向量， 又，设MC与平面BMD所成角为， 则， 所以MC与平面BMD所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因为平面AENF，平面平面，平面MBD， 所以，假设存在点N，使得平面AENF与平面ABCD夹角为， 设，则， 设平面AENF的一个法向量为，由， 则， 令，则，所以为平面AENF的一个法向量， 因为z轴⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量， 设平面AENF与平面ABCD夹角为 可得， 化简得：，又因解得， 所以存在点N，使得平面AENF与平面ABCD夹角为，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂四中高二年级阶段性测试（数学） （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 2. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量 ，则（　　） A. B. 5 C. D. 4 4. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，函数图象上两点A，C关于原点对称，点A的横坐标为，过点A，C分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为，，，.将图象沿x轴折叠，得到一个二面角，若，则二面角的平面角的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 8. 在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足、则下列结论错误的是（ ） A. 点M可以是线段BC的中点 B. 点M的轨迹长度为 C. 存在点M，使得点B到平面的距离为 D. 任意点平面，都有平面 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. 向量，的夹角为 D. 向量在向量上的投影向量为 11. 已知空间四面体OABC，则（ ） A. 当，则点P在平面ABC内 B. 若该四面体的棱长都为a，则异面直线OA，BC间的距离为 C. 若M为AB中点，则直线OC上存在点N，使得 D. 若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点P(－2，－1)和点Q(3，a)的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a＝____. 13. 如图，在四面体中，为的重心，是上一点，，以为空间的一个基底，则______. 14. 达•芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的边长为1，则点到直线的距离是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面直角坐标系内两点，. （1）当直线的倾斜角为锐角时，求m的取值范围； （2）若直线的一个方向向量为，求m的值. 16. 已知向量，，. （Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值. 17. 在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）把沿BD翻折，使得平面平面BCD，如图（2）． （1）求证：； （2）若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离． 18. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）求四边形的面积； （2）求与平面所成角的余弦值. 19. 如图，已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧面MAD是等边三角形，，N为侧棱MC上一点． （1）证明：平面平面ABCD； （2）求MC与平面BMD所成角的正弦值； （3）过A，N两点的平面分别交线段MD，MB于E，F两点，且平面AENF，是否存在点N，使得平面AENF与平面ABCD夹角为？若存在，求的值：若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $