精品解析：江苏省南通市海门区2026-2027学年高三上学期第一次调研测试数学试题

高三第一次调研测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面，，直线，满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 一个高为的圆锥被平行于底面的平面所截，截得的上半部分圆锥的底面半径为1、高为，则截去该圆锥后，所得圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 过点可以作曲线的两条切线，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，点在边上，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域为，若，，为奇函数，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 在上单调递增 C. 的图象向右平移个单位得到的图象 D. 与的图象有3个不同的交点 10. 在正方体中，为的中点，点满足，，则（ ） A. 当时， B. 当时，平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 平面截正方体的截面可为五边形 11. 已知函数，（，，），则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最小值为_____． 13. 设函数，在的图象大致如图所示，则的最小正周期为_____． 14. 已知一个底面边长为5的正四棱柱容器内能完全放入半径分别为1和2的两个小球，则这个容器的高的最小值为_____．（容器壁的厚度忽略不计） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 16. 已知函数是奇函数，． （1）求的值； （2）若对于任意，都有，求实数的取值范围． 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，，． （1）求； （2）点是的中点，延长至点，连接，，． （i）若，，求的长度； （ii）若，求面积的最大值． 18. 如图，等腰梯形中，，，．，为垂足，将沿折起，记点翻折后对应的点为，为的中点． （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积的最大值； （3）当四棱锥的体积最大时， （ⅰ）求平面和平面夹角的余弦值； （ⅱ）设，分别是直线，上的动点，求线段长度的最小值． 19. 已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合． （1）设，求集合； （2）设，集合，试判断“对任意，”是“为奇函数”的_____条件（从下面选择一个），并说明理由； ①充分不必要 ②必要不充分 ③充分必要 ④既不充分也不必要 （3）设，，若对任意，，，都有，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三第一次调研测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】由可得，即，所以， 则. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 对于A选项，若，则，故A错误； 对于B选项，若，则，故B错误； 对于C选项，若，，且，则，，故，故C错误； 对于D选项，因为，且函数在上单调递增，所以，故D正确. 3. 已知平面，，直线，满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由线面关系分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】因为，由面面垂直的判定定理可知“”“”，故充分性满足； 由“”，且，不一定得到“”，有可能线面平行或者直线在平面内，故必要性不满足；则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 一个高为的圆锥被平行于底面的平面所截，截得的上半部分圆锥的底面半径为1、高为，则截去该圆锥后，所得圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据相似比求解圆台上下底面半径，再利用勾股定理求解圆台的母线长，最后根据圆台的侧面积公式求解． 【详解】平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥与原大圆锥为相似几何体，对应线段成比例． 已知小圆锥底面半径，高，原大圆锥高， 设大圆锥底面半径为， 则相似比为：， 代入，解得， 即圆台的上底面半径为1，下底面半径为2． 小圆锥母线长为：， 大圆锥母线长为：， 因此圆台的母线长． 由圆台侧面积公式为， 可得． 故所得圆台的侧面积为 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】化简已知： ， 分子分母分别用诱导公式化简： ， ， ， ， 原式： ， 分子分母同除以：， 代入， . 6. 过点可以作曲线的两条切线，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性与极值、函数零点与方程解的对应关系，重点是过点的切线方程的构造，将切线条数问题转化为函数图像交点个数问题. 【详解】解：设切点坐标为对函数进行求导得， 因此在切点处的斜率为，切线方程为 因为切线过点，所以 令则与有两个交点. 令单调递减，令单调递增， 当时，有极大值，即最大值， 当时， 当时， 要使有两个不同的实数根，则所以选C. 7. 在中，，点在边上，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，则，， 由，得， 三角形面积公式：，， 由得， 约去，，代入得， 化简得， 又， 所以， 所以，即. 8. 已知函数及其导函数的定义域为，若，，为奇函数，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性及对称性，结合简单复合函数的导函数推导求解即可. 【详解】令，则，即，所以，A正确. 由，得， 所以，即的周期. ，B正确. 因为为奇函数，所以，即， 所以的图象关于点中心对称，所以. 对求导得，，即， 则，所以，故的周期. 令，则，所以，D正确. 可知，，无法得到，故C不一定成立. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 在上单调递增 C. 的图象向右平移个单位得到的图象 D. 与的图象有3个不同的交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入检验可判断A；由正弦函数性质计算可判断B；根据图象平移变换可判断C；作出函数图象，通过图象可判断D. 【详解】对于A，因为，所以的图象关于对称，故A正确； 对于B，令，，解得，， 因为，所以在上单调递增，故B正确； 对于C，的图象是由的图象向右平移个单位得到，故C错误； 对于D， 令，因为，，， ，， 所以在同一坐标系下作出函数在区间的图象以及的图象如下： 由图象可知，与的图象有3个不同的交点，故D正确. 10. 在正方体中，为的中点，点满足，，则（ ） A. 当时， B. 当时，平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 平面截正方体的截面可为五边形 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，通过方向向量与法向量分析平行与垂直，使用三棱锥的体积公式求解. 【详解】设正方体棱长为2，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ，，，，，，，，，，故， 当时，，，，故与不垂直，选项A错误； 当时，，设平面的一个法向量为，，，则，令，得，，， 因为，所以，又平面，故平面，选项B正确； 因为，平面，平面，所以平面， 点在线段上，则点到平面的距离是定值，又底面的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，选项正确； 平面与正方体的面相交，最多可与正方体的4个面相交，得到四边形截面，无法得到五边形，选项错误. 11. 已知函数，（，，），则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A求证；B作差法求证；C结合B选项证明；D利用并结合B选项. 【详解】因为，且的定义域为， 所以的图象关于对称，故A正确； 因为， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以， 故，故B正确； 不妨设，若，，则， 则 ， 故C错误； 不妨设，若，，则， 故， 则 由C选项可知，，故， 故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由换底公式以及对数的运算可得，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得且， 由换底公式可得， 则，即，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 13. 设函数，在的图象大致如图所示，则的最小正周期为_____． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数图象得到最小正周期的范围，进而求出，代入特殊点后得到，解不等式，得到的取值范围，进而求出的值，求出最小正周期. 【详解】由图知，即，所以，解得， ，即，所以，即， 又因为， 所以，，所以，， 因为，所以，此时，所以. 14. 已知一个底面边长为5的正四棱柱容器内能完全放入半径分别为1和2的两个小球，则这个容器的高的最小值为_____．（容器壁的厚度忽略不计） 【答案】4 【解析】 【分析】由题知，当两球的球心都在体对角线上，且两球分别与对应的三个面相切，两球外切时，容器的高最小，结合球心所在平面的截面图即可求出此时容器的高. 【详解】设正四棱柱为， 由题知，当两球的球心，都在体对角线上，且球与过点的三个面相切，球与过点的三个面相切，球与球外切时，容器的高最小，如图一所示； ，设球与相切于点，球与相切于点， 、分别等于球、球的半径，、. 底面是边长为5的正方形，，在和中得出、. 由图一可得平面的平面图如图二所示； 连接、，过点作的垂线交于点，， 在中， 这个容器的高的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差的正余弦公式及辅助角公式求解即可. （2）根据同角的三角函数关系、诱导公式及二倍角公式求解即可. 【小问1详解】 由，得， 整理得，即， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以. 故 . 16. 已知函数是奇函数，． （1）求的值； （2）若对于任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求解即可； （2）首先要判断函数的单调性，利用奇函数的性质将不等式进行转化，再根据函数的单调性转化为代数不等式组，最后求解恒成立问题，综合得到参数范围. 【小问1详解】 是奇函数， 则 可得或 当时，对数无意义，舍去； 当时，定义域为，关于原点对称，符合题意，所以. 【小问2详解】 由（1）可得，定义域为， 在上单调递减，且为增函数， 在上单调递减，又是奇函数， 由，可得， ， ； 由，可得， 在上单调递增，则，； 由可得， 而在上单调递减，在上单调递增，则. 综上所述，，则实数的取值范围为. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，，． （1）求； （2）点是的中点，延长至点，连接，，． （i）若，，求的长度； （ii）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）（ii）面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）由三角形的内角和性质，诱导公式以及两角和与两角差的余弦公式即可求解； （2）（i）由点是的中点，，余弦定理以及三角形全等即可求解； （ii）由正弦定理，三角形的面积公式化简，再由三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，故. 【小问2详解】 （i）由余弦定理可得，在中，， 将，，代入可得，解得（）， 即，因为，点是的中点， ，，， 所以，所以. （ii）因为，即，因此， 在中，由正弦定理，可得，， 的面积为， 化简可得， 即， 由辅助角公式可得，， 当时，即，取得最大值，因此. 18. 如图，等腰梯形中，，，．，为垂足，将沿折起，记点翻折后对应的点为，为的中点． （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积的最大值； （3）当四棱锥的体积最大时， （ⅰ）求平面和平面夹角的余弦值； （ⅱ）设，分别是直线，上的动点，求线段长度的最小值． 【答案】（1）证明：作于点，取中点，连接 因为,,, 所以四边形为矩形，故, 又，所以为等腰直角三角形，且， 所以， 因为分别为中点， 所以且, 又且, 所以且，四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面, 所以平面. （2） （3）（i）;(ii) 【解析】 【分析】（1）作于点，利用梯形为等腰梯形可得，，取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形得到，从而证得平面； （2）设点到平面距离为，那么， 在翻折过程中，由于，，所以平面， 又平面，所以平面平面，故点到平面的距离即为中DE边上的高，当时，取最大值，,进而求得四棱锥的体积的最大值； （3）当四棱锥的体积最大时，，又，故平面，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， (i)求出平面和平面的法向量，再求出夹角的余弦值； （ii）直线，为异面直线，线段长度取最小值时，线段为直线，的公垂线段，易证为直线，的公垂线段，故线段长度取最小值为1. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点到平面距离为，那么， 在翻折过程中，由于，，所以平面， 又平面，所以平面平面， 故点到平面的距离即为中DE边上的高， 当时，取最大值，， 所以四棱锥的体积的最大值为. 【小问3详解】 当四棱锥的体积最大时，，又， 故平面，由（2）得，平面，那么以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则, （i）设平面法向量为，那么， 取，则为平面的一个法向量，取为平面法向量， 设平面和平面夹角为，则， 所以平面和平面夹角的余弦值为； （ii）直线，为异面直线，线段长度取最小值时，线段为直线，的公垂线段， 由（i）得，平面，平面， 所以，又，故平面， 又平面，所以， 又，所以，故为直线，的公垂线段， 所以线段长度取最小值为. 19. 已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合． （1）设，求集合； （2）设，集合，试判断“对任意，”是“为奇函数”的_____条件（从下面选择一个），并说明理由； ①充分不必要 ②必要不充分 ③充分必要 ④既不充分也不必要 （3）设，，若对任意，，，都有，求实数的值． 【答案】（1） （2）②必要不充分 （3） 【解析】 【分析】(1)利用的定义可知，求解出不等式即求出集合； （2）由函数奇偶性可知，若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数，结合的定义即可判断； （3）若对任意，，，都有即，那么 即 ，故导函数在上单调递减，构造函数，利用导数即可求解实数的值. 【小问1详解】 由题意可得，，所以，解得； 【小问2详解】 ②必要不充分 对任意，，即对任意，与同解， 不充分理由如下： 若，那么为非奇非偶函数，， 显然有与同解 必要性理由如下： 若为奇函数，则，，所以为偶函数， 故,所以，故， 即“对任意，”是“为奇函数”的必要条件. 【小问3详解】 若对任意，，，都有即， 那么 即，故导函数在上单调递减, 设，那么 在上恒成立， 令，则， 当时，，在上单调递减， 又，故此时即无法恒成立，不符合题意； 当时，令得 ；令得 ； 在处取得极大值也是最大值， 所以， 令，则，令得 ；令得 ； 在处取得极小值也是最小值，即， 又，故， 综上，实数的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $