精品解析：山西怀仁市第一中学校2026-2027学年高二上学期第二次月考数学试题

怀仁一中高二年级2026-2027学年第一学期第二次月考 数学试题 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量与共线，则（ ） A. 3 B. 9 C. -3 D. -9 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量共线求得，进而得到. 【详解】因为共线，所以，所以，，所以． 故选：A 2. 已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点斜式方程求解即可. 【详解】直线在轴上的截距为，点在直线上， 又直线的斜率为,根据点斜式方程得即. 故选：B. 3. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先判断时两直线是否垂直确定充分性，再由两直线垂直求出的值判断必要性. 【详解】当时，两直线分别为和， 根据两直线垂直的判定条件可得：， 所以两直线垂直，充分性成立， 若两直线垂直，则，即， 求解可得或，所以必要性不成立. 所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 如图，空间四边形OABC中，、分别是OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，则，则（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合空间向量的运算法则可得，据此确定的值即可. 【详解】由向量的运算法则有： ，① ，② ，③ 又，，∴①＋②＋③，得， 故可得x＝，y＝，z＝. 故选:D. 5. 已知点，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点P的坐标，通过求出直线PA、PB的斜率结合图像，判断k的取值范围. 【详解】直线恒过点， 则直线PA斜率，直线PB斜率， 若直线与线段AB相交，结合图象得k的取值范围是. 故选：B． 6. 如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的运算及投影向量的定义求解即可. 【详解】 设正方体的棱长为1，，，，则，， ∵，， ∴， ∴向量在向量上的投影向量是. 故选：D． 7. 在棱长为的正四面体中，平面于，是的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】如下图所示： 在正四面体中，平面于，则为等边三角形的中心， 且，， 因为平面，平面，所以，， 则， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如上图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 对于A选项，，， 所以，，所以，，A对； 对于B选项，，， 所以，，B错； 对于C选项，，，C对； 对于D选项， ，即，D对. 故选：B. 8. 在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将三棱锥补全为长方体，利用勾股定理求出长方体的长宽高，再以点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法计算即可. 【详解】如图所示，将三棱锥补全为长方体，设长方体的长宽高分别为， 则有，解得， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 故， 所以， 则当时，取得最小值， 此时. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：将三棱锥补全为长方体，是解决本题的关键. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 是等腰直角三角形 D. 与平行的单位向量的坐标为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用空间向量模长、夹角的坐标运算及单位向量的概念依次判断各项的正误. 【详解】A：，则，对； B：，， 则，，所以，对； D：与平行的单位向量为，即或，对； C：根据A、B的分析过程，知三条边长各不相等，所以不是等腰直角三角形，错. 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D. 过两点的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】求出直线的斜率判断A；求出直线的横纵截距计算判断B；举例说明判断CD. 【详解】对于A，直线的斜率为，其倾斜角为，A正确； 对于B，直线交轴分别于点， 该直线与坐标轴围成三角形面积为，B正确； 对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意， 即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C错误； 对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D错误. 故选：AB 11. 如图，正方体的棱长为3，E，F分别为棱上的点，且，平面AEF与棱交于点G，若点P为正方体内部（含边界）的点，满足，则（ ） A. 点P的轨迹为四边形AEGF及其内部 B. 当时，点P的轨迹长度为 C. 当时， D. 当时，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取上一点H，使得，证得四边形为平行四边形，结合空间向量基本定理可知，可判定A正确；当时，得到，得到P的轨迹长度为线段EG的长，可判定B正确；当时，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合，可判定C错误；当时，由，可得，求得平面的一个法向量为和，结合向量的夹角公式，以及二次函数的性质，即可求解. 【详解】对于A中，取上一点H，使得，连接EH，FH，HB， 可得且，且， 所以四边形和四边形是平行四边形，所以， 所以四边形为平行四边形， 因为，由空间向量基本定理可知，所以在四边形内（或边界上），所以A正确； 对于B中，当时，，所以，即， 所以P在线段EG上，点P的轨迹长度为线段EG的长，所以，所以B正确； 对于C中，当时，可得点P为线段AF的中点， 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，可得， 则，可得， 所以不成立，所以C错误； 对于D中，当时，，分别取的中点， 连接，在线段上，, 由，可得， 平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 所以， 设，因为，则， 则，代入可得， 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用空间向量的坐标运算可得结果. 【详解】由题意知，，，所以. 故答案为：. 13. 已知直线l过点，在两坐标轴的截距之和为4，则直线l的一般式方程为______． 【答案】或． 【解析】 【分析】设直线的方程为，根据条件列方程组求得或，代入直线方程化为一般式方程即可. 【详解】由题意，设直线l的方程为，则，即， 解得或，所以直线l的一般式方程为或， 故直线l的一般式方程为或. 故答案为：或 14. 已知正四面体中，，是的中点，延长至，使得，点在线段上(不包含端点)，则直线与夹角的余弦值的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】选取为基底，用基底表示向量，，将直线与直线的夹角转化为两条直线的方向向量的夹角，由公式求解即可. 【详解】如图所示， 可设，选取为基底， 由题意知，， 而， 从而 ， ， 所以， 设，因为，所以， 而，因为， 设，则， 所以， 由解得 故直线与夹角的余弦值的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（共5题，共77分，15题13分，16，17题15分，18，19题17分） 15. 已知的三个顶点，，. （1）求边AB上的中线所在直线的一般式方程； （2）求边AB上的高所在直线的斜截式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出边AB的中点，再由点斜式方程求直线方程即得； （2）利用两直线的垂直求得边AB上的高线的斜率写出直线方程，化成斜截式方程即得. 【小问1详解】 设是边AB的中点，则即得， 边AB上的中线CD的斜率为故其方程为,即得 ， 故边AB上的中线所在直线的一般式方程为； 【小问2详解】 ，，，边AB上的高所在直线的斜率， 边AB上的高所在直线的方程为,其斜截式方程. 16. 如图，在直三棱柱中，，，是线段上靠近的三等分点，分别是线段，的中点． （1）求证：⊥平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：在中，因为分别为线段的中点，所以， 因为，所以， 又因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得，再由三棱柱为直三棱柱，得到平面，证得，根据线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，根据向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，且平面， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，由， 可得， 因为是线段上靠近的三等分点，且，所以, 又因为分别是线段的中点，可得， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面夹角为，可得， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知直线l：． （1）证明：直线l恒过第二象限； （2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的一般式方程． 【答案】（1）证明如下： 因为直线方程为：， 因为，所以，解得， 所以直线恒过点， 而点在第二象限，所以直线l恒过第二象限； （2）， 【解析】 【分析】（1）直线含参先求出定点，进而可证明； （2）直线过定点求面积的最值，可将直线直接设为截距式，再利用基本不等式求出其面积最小值及直线方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线l为， 因为在直线上，所以， 又， 所以，两边同时平方得：，， 当且仅当，即，时取等号， 所以的面积为，即S的最小值为， 此时直线方程为，化简得：. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，点 在棱上，且． （1）证明：平面； （2）若底面 ，直线与直线所成角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：在线段上取一点 ，使得，连接、，如下图所示： 在中， 、 分别为线段、上的点，且， 所以，且， 又因为，则，即且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）在线段上取一点 ，使得，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以点 为坐标原点， 、 、所在直线分别为、 、轴建空间直角坐标系，利用空间向量法求出的长，再利用空间向量法额可求得平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面 ，， 以点 为坐标原点， 、 、所在直线分别为、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点， ，， 由题意可得，解得， ，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 易知平面的一个法向量为，所以，， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 19. 如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点. （1）若，证明：平面； （2）是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 因为平面， 如图，以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、、，. 因为，设点，则， 则，解得，则， 设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得. 因为，所以， 因为平面，所以，平面. （2）存在，与平面所成角的正弦值为，理由如下： 设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，得. 设，则， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，可得， 假设平面平面，则. 由，解得，所以. 设与平面所成的角为， 则， 所以存在，使平面平面，此时与平面所成角的正弦值为. 【解析】 【分析】（1）以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用空间向量法可证得结论成立； （2）设，根据空间向量法结合平面平面，可求出的值，然后利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁一中高二年级2026-2027学年第一学期第二次月考 数学试题 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量与共线，则（ ） A. 3 B. 9 C. -3 D. -9 2. 已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，空间四边形OABC中，、分别是OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，则，则（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知点，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是( ) A. B. C. D. 6. 如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为的正四面体中，平面于，是的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 是等腰直角三角形 D. 与平行的单位向量的坐标为或 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D. 过两点的直线方程为 11. 如图，正方体的棱长为3，E，F分别为棱上的点，且，平面AEF与棱交于点G，若点P为正方体内部（含边界）的点，满足，则（ ） A. 点P的轨迹为四边形AEGF及其内部 B. 当时，点P的轨迹长度为 C. 当时， D. 当时，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，则__________. 13. 已知直线l过点，在两坐标轴的截距之和为4，则直线l的一般式方程为______． 14. 已知正四面体中，，是的中点，延长至，使得，点在线段上(不包含端点)，则直线与夹角的余弦值的取值范围为____________. 四、解答题（共5题，共77分，15题13分，16，17题15分，18，19题17分） 15. 已知的三个顶点，，. （1）求边AB上的中线所在直线的一般式方程； （2）求边AB上的高所在直线的斜截式方程. 16. 如图，在直三棱柱中，，，是线段上靠近的三等分点，分别是线段，的中点． （1）求证：⊥平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知直线l：． （1）证明：直线l恒过第二象限； （2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的一般式方程． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，点 在棱上，且． （1）证明：平面； （2）若底面 ，直线与直线所成角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点. （1）若，证明：平面； （2）是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $