第六单元多边形的面积（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

第六单元 多边形的面积（单元举一反三讲义） 单元知识点梳理 一、 核心面积公式汇总 本单元的核心在于理解图形间的转化关系（割补法、拼摆法）。请务必熟记以下公式，并注意字母表示与文字描述的对应。 图形名称 面积公式 (文字) 面积公式 (字母) 逆运算求底/高 平行四边形 面积 = 底 × 高 三角形 面积 = 底 × 高 ÷ 2 梯形 面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 记忆口诀： 平行四边形，底高相乘积； 三角形梯形，别忘除以二。 二、 关键概念与推导逻辑 1. 转化的思想 · 平行四边形：沿高剪开，平移拼成长方形。长方形的长=平行四边形的底，宽=高。 · 三角形：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半。 · 梯形：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。平行四边形的底=梯形上底+下底，高=梯形的高。 2. “底”与“高”的对应性 · 计算面积时，高必须是对应底边上的高。 · 直角三角形的两条直角边互为底和高。 3. 等底等高的性质 · 同底等高的平行四边形、三角形、梯形，形状可能不同，但面积存在倍数关系。 · 等底等高的两个三角形，面积一定相等（形状不一定相同）。 三、 高频易错点警示 1. 忘记除以2 · 计算三角形和梯形面积时，极易漏掉 ÷2。 · 对策：看到三角形和梯形，第一时间在草稿纸上写下 ÷2。 2. 单位不统一 · 题目中常出现米(m)、分米(dm)、厘米(cm)混用。 · 对策：计算前必须先统一单位，再代入公式。注意面积单位进率是100（如 ）。 3. 数据干扰 · 图形中可能给出多条线段长度，需准确识别哪条是“底”，哪条是对应的“高”。 · 对策：画出垂直符号，确认直角关系。 4. 周长与面积混淆 · 拉框变形问题：长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小（因为高变短了）。 四、 组合图形解题策略 面对不规则多边形，采用以下两种方法： 1. 分割法（加法） · 将组合图形切割成几个基本图形（如三角形+长方形），分别计算后相加。 · 适用：凹字形、L形等。 2. 添补法（减法） · 将组合图形补成一个大的基本图形，减去空白部分的面积。 · 适用：缺角矩形、环形部分等。 解题步骤： 1. 观察图形特征； 2. 选择分割或添补方式； 3. 找出所需数据（注意隐含条件）； 4. 列式计算并检验。 例题讲解 【典型例题】一个平行四边形的底是12cm，高是8cm，面积是( )cm2；与它等底等高的三角形面积是( )cm2。 【典型例题】一个平行四边形和一个三角形等底等高。若它们的面积之差是24平方厘米，则平行四边形的面积是( )平方厘米；若它们的面积之和是24平方厘米，则三角形的面积是( )平方厘米。 【典型例题】一块长方形稻田，它长400米，宽300米，这块稻田的面积是多少公顷？ 【典型例题】一个梯形的广告牌，上底是4米，下底是6米，高是3米。如果给这个广告牌两面刷漆，每平方米用漆0.5千克，一共需要多少千克油漆？ 提升练习 一、填空题 1．一块平行四边形铁板的面积是24平方米，底是8米，高是( )米。 2．一个梯形果园，上底与下底的和是40米，高是25米，这个果园的占地面积是( )平方米。 3．一个梯形的上底增加2厘米，下底减少2厘米，高不变，面积( )。（填“变大”“变小”或“不变”） 4．一个平行四边形面积是40cm2，如果底不变，高扩大到原来的2倍，面积变成( )cm2。 5．在下图的平行四边形中，如果甲的面积是34平方分米，丙的面积是49平方分米，乙的面积是( )平方分米。 6．一个梯形的上底扩大2倍，下底也扩大2倍，它的面积就扩大( )倍。 7．两个完全一样的( )可以拼成一个平行四边形，因此一个( )的面积是所拼平行四边形面积的( )，平行四边形的底与所拼梯形的( )相等，平行四边形的高与所拼梯形的高( )，所以梯形的面积＝( )。 8．李爷爷绕一个正方形果园走了一圈，一共走了3600米，这个果园的面积是( )公顷。 二、选择题 9．如果需要在下面四块地中选一块建一所小学，最合适的是（    ）。 A．300平方米 B．3公顷 C．3平方千米 D．300公顷 10．一个直角梯形下底是6厘米，若上底增加2厘米，则成为一个正方形，这个直角梯形的面积是（    ）。 A．30平方厘米 B．60平方厘米 C．24平方厘米 D．120平方厘米 11．（    ）的占地面积大约是1公顷。 A．1个乒乓球台 B．南京鼓楼区 C．1个篮球场 D．实验小学的操场 12．下面说法正确的是（    ）。 A．足球场的面积大约是7000公顷 B．北京天坛公园的占地面积是273平方米 C．一间会议室的使用面积是80平方米 D．江苏省土地面积大约是1000000平方千米 13．某市准备建一所可容纳2000名学生的学校，要求平均每名学生活动时的占地面积至少为8平方米。下面是四块地的面积，选（    ）的地比较合适。 A．3平方千米 B．3公顷 C．3000平方米 D．300平方米 三、判断题 14．两个面积相等的三角形、形状可能相同，也可能不相同。( ) 15．平行四边形的底和高分别扩大到原来的5倍，它的面积就扩大到原来的10倍。( ) 16．平行四边形的面积等于和它等底等高的三角形面积的2倍，所以任意三角形的面积都小于平行四边形的面积。( ) 17．面积单位间的进率都是100。( ) 18．平行四边形的面积是72平方分米，底是9分米，高是8分米。( ) 四、计算题 19．认真看图，仔细计算下列图形的面积。 五、解答题 20．育才小学的操场长250米，宽80米，这个操场的占地面积是多少公顷？ 21．一块三角形菜地，底是20米，高是15米，这块菜地的面积是多少平方米？ 22．一个长方形的果园，长是400米，宽是250米。现在要给果园的四周围上篱笆，篱笆长是多少米？如果每公顷施肥300千克，这个果园一共需要施肥多少千克？ 23．一个梯形果园，上底是30米，下底是50米，高是40米。如果每棵果树占地4平方米，这个果园一共可以种多少棵果树？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 多边形的面积（单元举一反三讲义） 单元知识点梳理 一、 核心面积公式汇总 本单元的核心在于理解图形间的转化关系（割补法、拼摆法）。请务必熟记以下公式，并注意字母表示与文字描述的对应。 图形名称 面积公式 (文字) 面积公式 (字母) 逆运算求底/高 平行四边形 面积 = 底 × 高 三角形 面积 = 底 × 高 ÷ 2 梯形 面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 记忆口诀： 平行四边形，底高相乘积； 三角形梯形，别忘除以二。 二、 关键概念与推导逻辑 1. 转化的思想 · 平行四边形：沿高剪开，平移拼成长方形。长方形的长=平行四边形的底，宽=高。 · 三角形：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半。 · 梯形：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。平行四边形的底=梯形上底+下底，高=梯形的高。 2. “底”与“高”的对应性 · 计算面积时，高必须是对应底边上的高。 · 直角三角形的两条直角边互为底和高。 3. 等底等高的性质 · 同底等高的平行四边形、三角形、梯形，形状可能不同，但面积存在倍数关系。 · 等底等高的两个三角形，面积一定相等（形状不一定相同）。 三、 高频易错点警示 1. 忘记除以2 · 计算三角形和梯形面积时，极易漏掉 ÷2。 · 对策：看到三角形和梯形，第一时间在草稿纸上写下 ÷2。 2. 单位不统一 · 题目中常出现米(m)、分米(dm)、厘米(cm)混用。 · 对策：计算前必须先统一单位，再代入公式。注意面积单位进率是100（如 ）。 3. 数据干扰 · 图形中可能给出多条线段长度，需准确识别哪条是“底”，哪条是对应的“高”。 · 对策：画出垂直符号，确认直角关系。 4. 周长与面积混淆 · 拉框变形问题：长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小（因为高变短了）。 四、 组合图形解题策略 面对不规则多边形，采用以下两种方法： 1. 分割法（加法） · 将组合图形切割成几个基本图形（如三角形+长方形），分别计算后相加。 · 适用：凹字形、L形等。 2. 添补法（减法） · 将组合图形补成一个大的基本图形，减去空白部分的面积。 · 适用：缺角矩形、环形部分等。 解题步骤： 1. 观察图形特征； 2. 选择分割或添补方式； 3. 找出所需数据（注意隐含条件）； 4. 列式计算并检验。 例题讲解 【典型例题】一个平行四边形的底是12cm，高是8cm，面积是( )cm2；与它等底等高的三角形面积是( )cm2。 【答案】 96 48 【分析】平行四边形的面积＝底×高；三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。 【详解】平行四边形面积：（cm2） 三角形面积：（cm2） 【典型例题】一个平行四边形和一个三角形等底等高。若它们的面积之差是24平方厘米，则平行四边形的面积是( )平方厘米；若它们的面积之和是24平方厘米，则三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】 48 8 【分析】平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，平行四边形面积是与它等底等高三角形面积的2倍，把三角形面积看作1份，与它等底等高的平行四边形面积是2份。 面积差为2－1＝1份，即1份对应24平方厘米，用1份的面积乘2即可得到平行四边形的面积； 面积和为1＋2＝3份，即3份对应24平方厘米，算出1份的面积，即为三角形的面积。 【详解】平行四边形的面积： 24÷（2－1）×2 ＝24÷1×2 ＝24×2 ＝48（平方厘米） 三角形的面积： 24÷（1＋2） ＝24÷3 ＝8（平方厘米） 【典型例题】一块长方形稻田，它长400米，宽300米，这块稻田的面积是多少公顷？ 【答案】12公顷 【分析】长方形面积＝长×宽，再根据10000平方米＝1公顷进行单位换算。 【详解】400×300＝120000平方米＝12公顷 答：这块稻田的面积是12公顷。 【典型例题】一个梯形的广告牌，上底是4米，下底是6米，高是3米。如果给这个广告牌两面刷漆，每平方米用漆0.5千克，一共需要多少千克油漆？ 【答案】千克 【分析】梯形的面积（上底下底）高，据此算出广告牌的面积。因为两面刷漆，所以要面积。用面积乘每平方米的用漆数量，可以求出需要油漆的总数量。 【详解】 （千克） 答：一共需要千克油漆。 提升练习 一、填空题 1．一块平行四边形铁板的面积是24平方米，底是8米，高是( )米。 【答案】3 【分析】根据平行四边形的面积公式：面积底高，变形得到高面积底，代入数据计算。 【详解】（米） 2．一个梯形果园，上底与下底的和是40米，高是25米，这个果园的占地面积是( )平方米。 【答案】500 【分析】本题是关于梯形面积的问题，已知上底与下底的和是40米，即梯形面积公式中的上底＋下底＝40米，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数值即可解答。 【详解】40×25÷2 ＝1000÷2 ＝500（平方米） 3．一个梯形的上底增加2厘米，下底减少2厘米，高不变，面积( )。（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】不变 【分析】梯形的面积＝(上底＋下底)×高÷2，根据题意可知上底与下底的和没有变，高也没有变，所以梯形的面积不变，据此解答。 【详解】上底增加2厘米，下底减少2厘米，则上下底之和没变，高也没变，所以梯形面积不变。 4．一个平行四边形面积是40cm2，如果底不变，高扩大到原来的2倍，面积变成( )cm2。 【答案】80 【分析】平行四边形的面积＝底×高，高扩大到原来的2倍，底不变，根据公式可知，面积扩大为原来的2倍，据此解答。 【详解】（cm2） 故面积变成80cm2。 5．在下图的平行四边形中，如果甲的面积是34平方分米，丙的面积是49平方分米，乙的面积是( )平方分米。 【答案】 【分析】平行四边形的面积底高，三角形的面积底高。观察发现丙的面积是平行四边形的一半。所以丙甲乙。所以用丙减去甲可以求出乙。 【详解】（平方分米） 6．一个梯形的上底扩大2倍，下底也扩大2倍，它的面积就扩大( )倍。 【答案】2 【分析】梯形的面积计算公式为S＝（a＋b）×h÷2，其中a代表上底，b代表下底，h代表高。先计算变化后上下底的和，再代入面积公式得新面积，进而用新面积除以原梯形的面积，即可求出面积变化的倍数。 【详解】设梯形的上底为a，下底为b，高为h，上底扩大2倍后为2a，下底扩大2倍后为2b。 原梯形面积为：S＝（a＋b）×h÷2 变化后的上下底的和为：2a＋2b＝2×（a＋b） 变化后的面积为：2×（a＋b）×h÷2＝2S 面积变化的倍数：2S÷S＝2 7．两个完全一样的( )可以拼成一个平行四边形，因此一个( )的面积是所拼平行四边形面积的( )，平行四边形的底与所拼梯形的( )相等，平行四边形的高与所拼梯形的高( )，所以梯形的面积＝( )。 【答案】 梯形 梯形 一半 上底与下底的和 相等 （上底＋下底）×高÷2 【分析】两个完全一样的梯形通过翻转拼接，能组成一个平行四边形，所以一个梯形的面积是平行四边形面积的一半，在拼接过程中，梯形的上底与另一个梯形的下底拼接在一起，形成平行四边形的底，所以平行四边形的底与所拼梯形的上底与下底之和相等；拼接后，平行四边形的高与梯形的高没有发生变化，因此平行四边形的高与所拼梯形的高相等；平行四边形的面积＝底×高，所以梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。 【详解】两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，因此一个梯形的面积是所拼平行四边形面积的一半，平行四边形的底与所拼梯形的上底与下底的和相等，平行四边形的高与所拼梯形的高相等，所以梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。 8．李爷爷绕一个正方形果园走了一圈，一共走了3600米，这个果园的面积是( )公顷。 【答案】81 【分析】李爷爷绕正方形果园走一圈的路程就是正方形的周长，根据正方形周长＝边长×4，用正方形的周长除以4可求出边长。 再根据正方形面积＝边长×边长，算出果园面积。 最后根据1公顷＝10000平方米进行单位换算。 【详解】果园边长：3600÷4＝900（米） 果园面积：900×900＝810000（平方米） 810000÷10000＝81（公顷） 二、选择题 9．如果需要在下面四块地中选一块建一所小学，最合适的是（    ）。 A．300平方米 B．3公顷 C．3平方千米 D．300公顷 【答案】B 【分析】常用的面积单位：平方米、公顷、平方千米，400米跑道围起来的部分的面积大约是1公顷，2个天安门广场的面积大约是1平方千米。 【详解】A．300平方米大约相当于一间大教室大小，面积太小，不够建小学； B．3公顷大约是3个400米跑道围起来的部分的面积的大小，符合一所小学（教学楼、操场、绿地）的规模； C．3平方千米，大约是6个天安门广场的面积，面积巨大，相当于大型城镇，远远超出小学用地需求； D．300公顷和3平方千米一样大，面积极大，远远超出小学用地需求。 10．一个直角梯形下底是6厘米，若上底增加2厘米，则成为一个正方形，这个直角梯形的面积是（    ）。 A．30平方厘米 B．60平方厘米 C．24平方厘米 D．120平方厘米 【答案】A 【分析】正方形四条边长度相等，且相邻边互相垂直，因此直角梯形的高与下底长度相等，为6厘米；同时上底增加2厘米后变成正方形，说明上底长度等于下底减去2厘米。据此求出上底后，代入梯形面积公式S＝（上底＋下底）×高÷2计算即可求出梯形的面积。 【详解】6－2＝4（厘米） （4＋6）×6÷2 ＝10×6÷2 ＝60÷2 ＝30（平方厘米） 这个直角梯形的面积是30平方厘米。 11．（    ）的占地面积大约是1公顷。 A．1个乒乓球台 B．南京鼓楼区 C．1个篮球场 D．实验小学的操场 【答案】D 【分析】边长是1米的正方形的面积是1平方米，双人课桌面的面积大约是1平方米；边长是100米的正方形的面积是1公顷，1公顷比标准足球场大一些，400米跑道围起来的部分的面积大约是1公顷；1公顷＝10000平方米，据此结合生活实际和数据大小判断各选项。 【详解】1公顷＝10000平方米 A．1个乒乓球台面积仅约几平方米，远小于10000平方米，该选项不符合； B．南京鼓楼区是行政区，面积远大于1公顷，该选项不符合； C．1个标准篮球场面积是28×15＝420（平方米），远小于10000平方米，该选项不符合； D．实验小学的操场占地面积大约为10000平方米，即1公顷。 12．下面说法正确的是（    ）。 A．足球场的面积大约是7000公顷 B．北京天坛公园的占地面积是273平方米 C．一间会议室的使用面积是80平方米 D．江苏省土地面积大约是1000000平方千米 【答案】C 【分析】1公顷是边长为100米的正方形面积，1平方千米是边长为1000米的正方形面积，家里电暖炉桌面的面积约是1平方米，据此结合实际分析解答即可。 【详解】A．标准足球场面积约7000平方米，远小于7000公顷，表述错误。 B．北京天坛公园是大型公园，占地面积约273公顷，不是273平方米，表述错误。 C．一间普通会议室使用面积约80平方米，符合实际，表述正确。 D．江苏省土地面积约10万平方千米，远小于1000000平方千米，表述错误。 13．某市准备建一所可容纳2000名学生的学校，要求平均每名学生活动时的占地面积至少为8平方米。下面是四块地的面积，选（    ）的地比较合适。 A．3平方千米 B．3公顷 C．3000平方米 D．300平方米 【答案】B 【分析】先算出2000名学生至少需要的活动总面积，再根据平方千米平方米，公顷平方米把各选项的面积统一换算为平方米，对比选出面积满足要求且大小合适的地块。 【详解】（平方米） A．平方千米平方米，远大于16000平方米，面积过大； B．公顷平方米，大于16000平方米，符合要求； C．平方米平方米，面积不足； D．平方米平方米，面积不足。 三、判断题 14．两个面积相等的三角形、形状可能相同，也可能不相同。( ) 【答案】√ 【分析】三角形面积＝底×高÷2，面积相等的三角形，底和高的组合可以相同也可以不同，所以形状可能相同也可能不同。 【详解】三角形面积＝底×高÷2，底和高的乘积相等，三角形面积就相等。但是面积相等，底和高的组合可能相同，也可能不同。当底和高的组合相同时，这两个三角形的形状可能相同；当底和高的组合不同时，这两个三角形的形状就不同。因此两个面积相等的三角形，形状可能相同，也可能不相同。故答案为：√。 15．平行四边形的底和高分别扩大到原来的5倍，它的面积就扩大到原来的10倍。( ) 【答案】× 【分析】由题可知，底×高＝原来平行四边形的面积，底×5×高×5＝扩大后平行四边形的面积，据此判断。 【详解】底×5×高×5＝底×高×25，所以它的面积扩大到原来的25倍，原题说法错误。 故答案为：× 16．平行四边形的面积等于和它等底等高的三角形面积的2倍，所以任意三角形的面积都小于平行四边形的面积。( ) 【答案】 【分析】平行四边形面积是等底等高的三角形面积的倍，该结论成立的前提是两者等底等高，缺少这个前提，无法直接判定任意三角形面积都小于平行四边形面积。 举反例找到底和高的取值使得三角形面积不小于平行四边形的面积，即可判断原说法错误。 【详解】举反例验证：取底为、高为的三角形， 面积为： 取底为、高为的平行四边形，面积为： 此时，存在三角形面积大于平行四边形面积的情况。 故答案为： 17．面积单位间的进率都是100。( ) 【答案】× 【分析】举例说明是否有面积单位不是进率100即可判断。 【详解】例如：1公顷＝10000平方米，则公顷和平方米的进率为10000，即面积单位间的进率不都是100。 故答案为：× 18．平行四边形的面积是72平方分米，底是9分米，高是8分米。( ) 【答案】√ 【分析】根据平行四边形面积公式，计算底与高的乘积，和题干给出的面积对比即可判断正误。 【详解】平行四边形面积公式：代入数值计算：（平方分米），计算结果与题干给出的面积一致，说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 19．认真看图，仔细计算下列图形的面积。 【答案】36平方米；10平方厘米；960平方分米 【分析】平行四边形的面积＝底×底对应的高，三角形的面积＝底×底对应的高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可。 【详解】9×4＝36（平方米） 平行四边形的面积是36平方米。 5×4÷2 ＝20÷2 ＝10（平方厘米） 三角形的面积是10平方厘米。 （35＋45）×24÷2 ＝80×24÷2 ＝1920÷2 ＝960（平方分米） 梯形的面积是960平方分米。 五、解答题 20．育才小学的操场长250米，宽80米，这个操场的占地面积是多少公顷？ 【答案】2公顷 【分析】先根据长方形面积＝长×宽，计算出操场的面积是多少平方米，再根据单位换算，1公顷＝10000平方米，将平方米换算成公顷。 【详解】250×80＝20000（平方米） 20000平方米＝2公顷 答：这个操场的占地面积是2公顷。 21．一块三角形菜地，底是20米，高是15米，这块菜地的面积是多少平方米？ 【答案】150平方米 【分析】三角形面积＝底×高÷2，代入数值计算即可。 【详解】20×15÷2 ＝300÷2 ＝150（平方米） 答：这块菜地的面积是150平方米。 22．一个长方形的果园，长是400米，宽是250米。现在要给果园的四周围上篱笆，篱笆长是多少米？如果每公顷施肥300千克，这个果园一共需要施肥多少千克？ 【答案】1300米；3000千克 【分析】长方形的果园四周围上篱笆，求篱笆长度，就是求长方形的周长，用“长方形周长＝（长＋宽）×2”计算，先用“长方形面积＝长×宽”算得长方形果园的面积，根据10000平方米＝1公顷将面积换算成以公顷作单位的数，用每公顷施肥量乘公顷数可算得果园一共需要施肥的数量。 【详解】 （米） （平方米） 100000平方米＝10公顷 （千克） 答：篱笆长是1300米，这个果园一共需要施肥3000千克。 23．一个梯形果园，上底是30米，下底是50米，高是40米。如果每棵果树占地4平方米，这个果园一共可以种多少棵果树？ 【答案】400棵 【分析】梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据求出果园的面积，再用果园的面积÷每棵果树的占地面积求出这个果园一共可以种多少棵果树。 【详解】（30＋50）×40÷2÷4 ＝80×40÷2÷4 ＝3200÷2÷4 ＝1600÷4 ＝400（棵） 答：这个果园一共可以种400棵果树。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $