专题04 磁场 带电粒子在磁场中的运动（期中压轴·复习讲义）高二物理上学期人教版

专题04 磁场 带电粒子在磁场中的运动 目录 【重难考点突破】 1 考点01 安培定则 磁感应强度和磁通量 1 考点02 安培力的大小和方向 5 考点03 安培力作用下的平衡问题 7 考点04 带电粒子在有界磁场中的运动 10 考点05 有关带电粒子在有界磁场中的动态圆问题 17 考点06 复合场中的有关仪器 24 考点07 带电粒子在组合场中的运动 32 考点08 带电粒子在叠加场中的运动 35 【压轴题训练】 40 【重难考点突破】 考点01 安培定则 磁感应强度和磁通量 一、安培定则 1.直线电流的磁场 安培定则：右手握住导线，让伸直的拇指所指的方向与电流方向一致，弯曲的四指所指的方向就是磁感线环绕的方向，如图甲所示。 2.环形电流的磁场 安培定则：如图乙所示，让右手弯曲的四指与环形电流的方向一致，伸直的拇指所指的方向就是环形导线轴线上磁感线的方向。 3.通电螺线管的磁场 安培定则：右手握住螺线管，让弯曲的四指与环形电流的方向一致，伸直的拇指所指的方向就是螺线管内部磁感线的方向，如图丙所示。 　　 二、磁感应强度 1.物理意义：磁感应强度是表示磁场强弱和方向的物理量。 2.大小：当导线方向与磁场方向垂直时B＝。 3.磁感应强度B是一个矢量，它的方向可以有以下几种表述方式： (1)磁感应强度的方向就是该点的磁场方向。 (2)小磁针静止时N极所指的方向。 (3)小磁针N极受力的方向。 三、磁通量 1.磁通量的计算 (1)公式：Φ＝BS。 适用条件：①匀强磁场；②磁场与平面垂直。 (2)若磁场与平面不垂直，应为平面在垂直于磁感线方向上的投影面积，Φ＝BScos θ。式中Scos θ即为平面S在垂直于磁场方向上的投影面积，也称为“有效面积”(如图所示)。 2.磁通量的正、负 (1)磁通量是标量，但有正、负，当磁感线从某一面上穿入时，磁通量为正值，则磁感线从此面穿出时即为负值。 (2)若同时有磁感线沿相反方向穿过同一平面，且正向磁通量大小为Φ1，反向磁通量大小为Φ2，则穿过该平面的合磁通量Φ＝Φ1－Φ2。 3.磁通量的三点提醒 (1)磁通量有正、负，但磁通量不是矢量而是标量。 (2)当有方向相反的磁场(磁感应强度分别为B和B′)穿过同一个平面时，磁通量的大小等于磁感线相抵消之后剩余的磁感线的条数，即净条数。 (3)线圈内磁通量的大小与线圈匝数无关。 【例题1-1】空间内有一正方体区域，三根彼此绝缘的通电长直导线沿、、固定，电流大小相等，方向如图。已知通电长直导线在空间某点产生磁场的磁感应强度大小与电流强度成正比、与该点到直导线的距离成反比。若沿的通电导线在点产生磁场的磁感应强度大小为，下列说法正确的是（　　） A．点的磁感应强度大小为 B．点的磁感应强度方向沿 C．点的磁感应强度大小为 D．点的磁感应强度方向沿 【答案】C 【详解】以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系。设正方体的棱长为。由题意可知，直导线在某点产生磁场的磁感应强度大小 通电导线到点的距离为，其在点产生的磁场大小为，则有 AB．计算点的磁感应强度：导线中电流沿轴正方向，到点的距离为，根据安培定则，其在点产生的磁感应强度大小为，方向沿轴负方向； 导线中电流沿轴正方向，到点的距离为（最近点为），其在点产生的磁感应强度大小为，方向沿轴正方向； 导线中电流沿轴正方向，到点的距离为（最近点为），其在点产生的磁感应强度大小为，方向沿轴负方向。 由矢量叠加原理可知，点的磁感应强度大小为 合磁场的方向在平面内，而连线具有方向的分量，显然不沿方向，故AB错误； CD．计算点的磁感应强度：导线中电流沿轴正方向，在点产生的磁感应强度大小为，方向沿轴负方向； 导线中电流沿轴正方向，到点的距离为（最近点为），其在点产生的磁感应强度大小为，方向沿轴正方向； 导线中电流沿轴正方向，到点的距离为（最近点为），其在点产生的磁感应强度大小为，方向沿轴正方向。 这三个分磁场方向两两相互垂直，由矢量叠加原理可知，点的磁感应强度大小为 合磁场的方向在空间中倾斜，各分量大小相等，而方向仅沿轴负方向，两者不共线，因此点的磁感应强度方向不沿，故C正确，D错误。 故选C。 【例题1-2】某地某学习小组利用智能手机中的磁传感器测量了地磁场的磁感应强度。如图所示建立直角坐标系，手机显示屏所在平面为平面，测量时轴正向保持竖直向上，后图像保持稳定。下列说法正确的是（    ） A．该学习小组在南半球进行的实验 B．地球内部磁场方向由地理南极指向地理北极 C．稳定后轴的正方向指向东边 D．当地地磁场的磁感应强度大小约为 【答案】C 【详解】A．由题可知，地磁场的竖直分量在北半球（z轴）向下（z轴的负方向），南半球竖直向上，而图中z轴的磁感应强度方向为负，说明该学习小组在北半球，故A错误； B．由于地磁场的北极在地理的南极附近，而磁体外部的磁场方向总是从北极指向南极，而磁体内部的磁感线从南极指向北极，因此地球内部磁场为从地理北极指向地理南极，故B错误； C．由于稳定后，，，因此此时x轴指向地理上的南方，则y轴正向指向东方，故C正确； D．根据矢量的合成可知，该地的磁感应强度大小为，故D错误。 故选C。 【例题1-3】如图所示，空间直角坐标系中有一个三棱柱，线段、相等，长度为，线段、、、、相等，长度为。该空间存在匀强磁场，通过面的磁通量为，通过面的磁通量，通过的磁通量为，则匀强磁场的磁感应强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】匀强磁场中，磁通量公式（是垂直于磁场方向的投影面积）。三棱柱的三个互相垂直的面，磁通量分别对应磁场的三个分量，总磁感应强度是各分量的矢量和。 面（平面）： 面（平面）： 面（平面）： 磁通量等于磁感应强度分量乘以对应垂直面的面积，， 总磁感应强度大小故选B。 考点02 安培力的大小和方向 一、安培力的方向 用左手定则判定：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心垂直进入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。 二、安培力的大小 1.公式F＝IlBsin θ中B对放入的通电导线来说是外加磁场的磁感应强度，不必考虑导线自身产生的磁场对外加磁场的影响。 2.公式F＝IlBsin θ中l指的是导线在磁场中的“有效长度”， 弯曲导线的有效长度l，等于连接两端点直线的长度(如图所示)；相应的电流沿l由始端流向末端。 3.公式F＝IlBsin θ中θ是B和I方向的夹角： (1)当θ＝90°时，即B⊥I，sin θ＝1，公式变为F＝IlB。 (2)当θ＝0°时，即B∥I，F＝0。 【例题2-1】如图所示，用电阻率为，横截面积为S，粗细均匀的电阻丝折成一个圆形框架。A、B为框架上的两点，。A、B两点与一个电动势为E，内阻忽略不计的电源相连。垂直于竖直框架平面有一个磁感强度为B、方向水平向里的匀强磁场。这个框架受到的安培力的合力大小和方向为（    ） A．，竖直向上 B．，竖直向上 C．，竖直向下 D．，竖直向下 【答案】A 【详解】根据左手定则判断圆形框架受到的安培力一定竖直向上；设下方圆弧电阻为r，则上方圆弧电阻为3r，圆形框架的半径为R，其中二者并联总电阻为 由欧姆定律而有效长度为，根据安培力公式故选A。 【例题2-2】某圆形单匝线圈半径0.04m，在三条对称设置的竖直线悬挂下静止于水平面内，线圈中通有大小1A、方向如图的电流。将一圆柱形磁铁放置于线圈正上方，磁铁的中轴线OO′垂直于线圈平面且通过其圆心O，测得线圈导线所在处磁感应强度大小为0.5T，方向与竖直方向成30°，此时线圈中的张力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知线圈导线所在处磁感应强度沿竖直方向的分磁感应强度大小为 选择线圈导线一小微元为对象，其受力如图所示 根据受力平衡可得其中联立可得线圈中的张力大小为故选C。 考点03 安培力作用下的平衡问题 1.安培力作用下导体棒的平衡问题，题目所给出的图形一般为“立体图”，如果把物体的受力直接画在导体棒上，则较为抽象，不利于问题的求解，一般把抽象的立体图转换为直观的“平面图”，即画出“侧视图”。 2.画平面图时应准确标明辅助方向，如磁感应强度B的方向，电流的方向，导体棒端点的名称，磁感应强度B的方向与平面的夹角，磁感应强度B的方向与电流的夹角，线框与水平面或与竖直面之间的夹角等，最后根据安培力方向一定垂直于电流和磁场所决定的平面的特点准确画出安培力的方向。 3.受力分析，然后根据平衡条件列出平衡方程。 【例题3-1】质量均匀分布的直导体棒放置于四分之一光滑圆弧轨道上，其截面如图所示。导体棒中通有电流强度大小为I的电流，空间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场的方向竖直向上。导体棒平衡时，导体棒与圆心的连线跟竖直方向的夹角为，轨道对导体棒的弹力大小为。下列说法正确的是（　　） A．导体棒中电流方向垂直于纸面向外 B．若仅将电流强度I缓慢增大，则逐渐减小 C．若仅将磁感应强度B缓慢增大，则逐渐增大 D．若仅将磁场方向沿逆时针缓慢转过，则逐渐减小 【答案】C 【详解】A．对导体棒受力分析，受重力、支持力和安培力。支持力沿半径指向圆心（左上方），重力竖直向下。要使导体棒平衡，安培力必须水平向右。根据左手定则，磁场竖直向上，安培力水平向右，则电流方向垂直于纸面向里。故A错误； B．根据平衡条件，水平方向竖直方向解得 若仅将电流强度缓慢增大，则增大，逐渐增大。故B错误； C．若仅将磁感应强度缓慢增大，则增大，增大。支持力 因增大且，减小，则逐渐增大。故C正确； D．导体棒受到安培力和弹力的合力始终与重力等大反向，的大小不变，作出矢量图如下图所示   的方向始终与磁场方向垂直，根据矢量图可知若仅将磁场方向沿逆时针缓慢转过90°，先增大再减小，故D错误。 故选C。 【例题3-2】如图甲所示，两根长为夹角为的光滑导轨M、N一端固定在地面上，另一端与电动势为的电源连接，两根导轨形成倾角为的斜面，有匀强磁场垂直斜面。质量为足够长的导体棒P平行于斜面底端放置，垂直斜面的视图如图乙所示，导体棒可静止在导轨的任意位置。已知两导轨的电阻与长度成正比，总电阻均为，与电源连接处靠得很近但彼此绝缘，不计电路其余部分的电阻，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．磁场方向垂直斜面向上 B．导体棒静止在导轨的不同位置时，电流保持不变 C．导体棒静止在导轨的不同位置时，导轨对导体棒的作用力不同 D．匀强磁场的磁感应强度为 【答案】D 【详解】A．对导体棒进行受力分析，导体棒受到重力、导轨的支持力以及安培力作用而能静止在导轨的任意位置，则安培力必须沿斜面向上来平衡重力沿斜面向下的分力，根据左手定则知，磁场方向垂直斜面向下， 故A错误； B．根据题意，舍导体棒静止在导轨的不同位置时的长度分别为，根据欧姆定律，电流 不同，电流不同，故B错误； C．导体棒静止时，受到重力mg、导轨的支持力N和安培力F，根据平衡条件，三个力的合力为零，根据左手定则可知安培力在平行斜面方向上，而导轨对导体棒的作用力垂直于斜面方向上，故与安培力的大小无关，仅与重力垂直斜面的分力有关，故其保持不变，故C错误； D．根据B项分析有对导体棒，根据平衡条件联立解得故D正确。故选D。 考点04 带电粒子在有界磁场中的运动 一、解答带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题的三个“关键” 1.圆心的确定 （1）若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。 （2）若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。 （3）若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据R＝计算出轨迹半径R，则在该点沿洛伦兹力方向距离为R的位置为圆心，如图丙。 2.半径的计算 （1）利用动力学方程求半径：由qvB＝m得R＝。 （2）利用几何关系求半径 一般连接粒子的入射点、出射点及圆心构造出三角形，再结合切线、轨迹圆弧对应的弦等辅助线，常用到的几何关系： ①三个角：如图丁所示。 a.粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角：φ＝α。 b.弦切角等于弦所对应圆心角一半：θ＝α。 ②由三角函数或勾股定理求解几何半径。 如图戊所示，由R＝或R2＝L2＋（R－d）2求得R。 3.运动时间的计算 （1）利用圆心角θ、周期T计算：t＝T。 （2）利用弧长、线速度计算：t＝。 二、常见有界磁场 1.直线边界的匀强磁场 （1）圆心的确定：见各图。 （2）运动时间的确定： ①图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝。 ②图b中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝T＝＝。 ③图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝T＝。 2.平行直线边界的匀强磁场 1.圆心、运动半径的确定：见各图及其中的关系式。 2.运动时间的确定： （1）图a中粒子在磁场中运动的时间：t1＝，t2＝＝。 （2）图b中粒子在磁场中运动的时间：t＝。 （3）图c中粒子在磁场中运动的时间：t＝T＝＝。 （4）图d中粒子在磁场中运动的时间：t＝T＝。 3.圆形边界的匀强磁场中 （1）速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角。 （2）速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。 （3）环形磁场：如图丙所示。带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。 【例题4-1】如图所示，平行虚线MN、PQ间有宽度为L、磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为+q的粒子沿着纸面与MN 夹角为θ=37°的方向以速率 v垂直射入磁场中，恰能垂直PQ边界射出磁场；改变粒子入射速度方向和大小，使粒子均以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，不计粒子的重力， 下列说法正确的是（　　） A．粒子射入磁场的速率 v满足 B．粒子以的速率沿纸面不同方向射入磁场时，粒子在磁场中运动的周期变为原来一半 C．粒子以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，则从PQ边界射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为 D．粒子以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，则从 PQ边界射出范围的长度为 【答案】C 【详解】A．速度为的粒子沿着纸面与 夹角为的方向垂直射入磁场时，洛伦兹力提供向心力，在磁场中做圆周运动轨道半径为 洛伦兹力提供向心力有 解得，A错误； B．根据周期公式 洛伦兹力提供向心力 解得周期 从周期表达式可以看出周期只与磁感应强度，粒子质量和粒子电荷量有关，而这些物理量均未发生变化，所以周期不变，B错误； C．从A项中洛伦兹力表达式可以看出速度为时，轨道半径 从B选项中洛伦兹力表达式可以看出速度为时，轨道半径 解得 分析知，当粒子在磁场中的弦长为时，圆心角最小，时间最短，设此时圆心角为 则 因此 所以速度为的粒子在磁场中的最短时间为 解得，C正确； D．当粒子平行于边界向下入射时，在边界射出时有最低点，出射点与入射点竖直方向的距离为 当出射方向与边界相切时，在上有最高点，出射点与入射点竖直方向距离为 所以从边界射出范围为，D错误。 故选C。 【例题4-2】如图所示，边长为L的正方形abcd区域内无磁场，abcd区域外存在足够宽的、磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。0时刻，质量为m、电荷量为q的带正电粒子从ab边的中点e以方向垂直于ab边、大小为的速度射入磁场，不计粒子重力，则粒子第n（且n为偶数）次回到e点的时刻为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得粒子运动半径 粒子在磁场中运动的周期，由几何关系可知，粒子每次在磁场中运动的轨迹均为个圆周，转过的圆心角为，则每次在磁场中运动的时间 粒子在无磁场区域（正方形内部）做匀速直线运动，每次运动的距离为正方形边长，则每次在无磁场区域运动的时间 根据粒子运动的对称性可知，粒子每经过次磁场运动和次无磁场区域运动（即半个大周期），会回到点一次。故粒子第次回到点的时刻为 粒子第次（为偶数）回到点，相当于经历了个完整的大周期（每个大周期包含次磁场运动和次直线运动，回到点次），或者直接理解为经历了个“半周期”（每个半周期回到点次）。总时间 故选C。 【例题4-3】如图甲所示，圆心在x轴上的圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，在O点沿x轴正向发射一颗比荷为的带正电粒子，粒子运动过程x、y方向的速度分量随时间变化如图乙、图丙所示，重力不计，则（     ） A．磁场方向垂直纸面向外 B．粒子在穿过磁场过程中速度方向改变了60° C．磁感应强度大小为 D．磁感应强度大小为 【答案】D 【详解】A．根据图像可知，正电粒子进入磁场后轴正方向的速度分量增大，可知进入磁场时正电粒子受到的洛伦兹力向上，由左手定则可知磁场方向垂直于纸面向里，故A错误； B．由图像可知，正电粒子出磁场时，、方向的速度分量分别为， 设此时速度方向与轴夹角为，如图所示 则有 可知 故粒子在穿过磁场的过程中，速度方向改变了，故B错误； CD．设粒子的轨迹圆半径为，根据圆周运动则有 解得 根据洛伦兹力提供圆周运动所需的向心力，有 可知 联立解得，故C错误、D正确。 故选D。 【例题4-4】如下图所示，电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为，现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，下列说法正确的是（　　） A．所加磁场范围的最小面积是 B．所加磁场范围的最小面积是 C．所加磁场范围的最小面积是 D．所加磁场范围的最小面积是 【答案】B 【详解】设粒子在磁场中运动的半径为R，由牛顿第二定律得即电子从y轴穿过的范围为 初速度沿x轴正方向的电子沿OA运动到荧光屏MN上的P点；初速度沿y轴正方向的电子沿OC运动到荧光屏MN上的Q点；由几何知识可得取与x轴正方向成角的方向射入的电子为研究对象，其射出磁场的点为，因其射出后能垂直打到屏MN上，故有，即又因为电子沿x轴正方向射入时，射出的边界点为A点；沿y轴正方向射入时，射出的边界点为C点，故所加最小面积的场的边界是以为圆心、R为半径的圆的一部分，如图中实线圆所围区域，所以磁场范围的最小面积为故B正确。故选B。 考点05 有关带电粒子在有界磁场中的动态圆问题 一、“平移圆”模型 适用 条件 速度大小一定，方向一定，入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹 特点 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与所有入射点的连线平行 应用 方法 将半径R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件 二、“放缩圆”模型 适用条件 速度方向一定，速度大小不同 粒子源发射速度方向一定，速度大小不同的带电粒子进入匀强磁场中，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹特点 轨迹圆圆心共线 如图所示（图中只画出粒子带正电的情境），速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上 应用方法 以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件 三、“旋转圆”模型 适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入的初速度为v0，则圆周运动的半径R＝，如图所示 轨迹特点 轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 应用方法 将一半径R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件 四、磁发散和磁聚焦 1.磁发散：如图1所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。 2.磁聚焦：如图2所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。 【例题5-1】如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入磁场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度为 B．粒子的入射速度为 C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 【答案】B 【详解】AB．粒子进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得 因bc边只有一半区域有粒子射出，由几何关系可知沿ac边进入磁场的粒子运动轨迹恰好与bc边相切，如图中实线所示 由几何关系可得 则粒子的入射速度，故A错误，B正确； C．粒子在磁场中运动的最长轨迹为，故C错误； D．与bc边相切，恰从bc边射出的粒子对应的圆心角最大为，从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为，故D错误。故选B。 【例题5-2】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac，bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径R。一束质量为m、电荷量为q（）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用，在磁场中运动时间最长的粒子，其对应的运动速率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，粒子的运动轨迹如图所示 不论粒子所经轨迹如何，其圆心必在cd连线上，则对应圆心角为平角加上下面的角（如图中和）。根据可知，粒子在磁场中运动的周期相同，要时间最长，则要对应的圆心角最大，即要或最大。显然，在Ⅰ、Ⅱ这两个不同的轨迹圆中，和是圆心角，它们分别等于对应圆周角∠ecd或∠fcd的两倍。即圆周角越大，圆心角会越大。显然，最大的圆周角是从c点引半圆的切线ce所成∠ecd，可知对应不同速率的轨迹最大圆心角为，对应最长时间为，对应的轨迹圆半径为R，根据牛顿第二定律有可得故ABD错误C正确。故选C。 【例题5-3】如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里、大小为，场区足够宽，磁场内有一块足够长平面感光薄板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离处有一个点状的放射源S，它在纸面内均匀的向各个方向发射比荷相等的带正电的粒子，粒子的速度大小都满足，不计重力和粒子间的相互作用，则（　　） A．击中ab板的粒子运动的最长时间为 B．击中ab板的粒子运动的最短时间为 C．ab上被粒子打中的区域的长度为 D．放射源S发射的粒子中有41.7%的粒子可以击中ab板 【答案】C 【详解】A．粒子在磁场中偏转，设偏转半径为，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得粒子运动的周期为因粒子的偏转半径与放射源S到ab板的距离相等，由放射源S竖直向下射出的粒子，轨迹圆与ab板相切，如图所示 可知在击中ab板的粒子中对应的圆心角最大，运动的时间最长，为，故A错误； B．由放射源S沿与竖直方向成向右上方射出的粒子，在击中ab板的粒子中，轨迹圆的弦长最短，对应的圆心角最小，运动的时间最短，如图所示 设圆心角为，因三角形为等边三角形，故，则在磁场中运动的最短时间为，故B错误； C．作出击中ab板左、右两端最远的粒子运动轨迹，如图所示 根据几何关系，可知ab板上被粒子打中的区域长度为MN之间的距离，则有，故C正确； D．由AC项轨迹图，可知沿竖直向上方向射出粒子与ab板相切粒子走过的弧长为周长的，沿竖直向下方向射出粒子与ab板相切粒子走过的弧长为周长的，二者夹角为，即由点射出从竖直向下到竖直向上的右侧的粒子都能击中板，占总发射粒子的50%，故D错误。 故选C。 【例题5-4】如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向内的匀强磁场，O为圆心，AB为水平方向直径，OC为竖直方向半径，D为圆周上一点，且，AB上方有大量质量均为m，电荷量均为的带电粒子水平向右射入磁场，经磁场偏转后所有粒子均从C点射出磁场，不考虑粒子自身重力，则下列说法中正确的是（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．各带电粒子在磁场中运动的时间相同 C．各带电粒子从C点射出时的速度方向相同 D．从D点射入的带电粒子在磁场中运动时会经过圆心O 【答案】D 【详解】A．根据题意结合“磁汇聚”的条件可知，带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为 根据牛顿第二定律可得解得匀强磁场的磁感应强度大小为，故A错误； B．带电粒子在磁场中运动的周期为设带电粒子在磁场中运动的圆心角为，则带电粒子在磁场中运动的时间为 各带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示 由于各带电粒子在磁场中运动的圆心角不同，所以各带电粒子在磁场中运动的时间也不同，故B错误； C．由B选项中的轨迹图像可知，各带电粒子从C点射出时的速度方向不同，故C错误； D．带电粒子在磁场中运动时会经过圆心O的轨迹如图所示 则为等边三角形，且与垂直，所以所以点和点重合，即从D点射入的带电粒子在磁场中运动时会经过圆心O，故D正确。故选D。 考点06 复合场中的有关仪器 一、质谱仪 （1）作用：测量带电粒子质量和分离同位素的仪器。 （2）原理(如图所示) ①加速电场：qU＝mv2。 ②偏转磁场：qvB＝，l＝2r，由以上两式可得r＝ ，m＝，＝。 二、回旋加速器 （1）构造 如图所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源。 （2）原理 交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子被加速一次。 （3）最大动能 由qvmB＝、Ekm＝mvm2得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关。 （4）总时间 粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总时间t＝T＝·＝。 三、电磁叠加场中的各类仪器 装置 原理图 规律 共性规律 速度选 择器　 若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动 稳定平衡时电荷所受电场力和洛伦兹力平衡，即q＝qvB 磁流体 发电机 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电荷，两极板间电压为U时稳定，q＝qv0B，U＝v0Bd 电磁流 量计　 当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差(U)达到最大，由q＝qvB，可得v＝ 霍尔 元件 当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，b、a间的电势差(U)就保持稳定，由qvB＝q，可得U＝vBd 【例题6-1】如图所示，空间某区域存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为；匀强磁场与电场方向垂直，磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的带正电粒子，从点以初速度水平向右射入，恰好沿直线经过点，a、b两点间距为。不计粒子重力，电场与磁场的范围足够大，下列说法正确的是（　　） A．仅改变粒子的电性，粒子无法沿直线经过点 B．仅改变粒子入射方向（从点水平向左射入），粒子仍可沿直线经过点 C．仅改变粒子初速度的大小，粒子一定无法经过点 D．仅改变粒子初速度的大小，若，粒子一定经过点 【答案】D 【详解】A．正电粒子受到竖直向下的电场力和竖直向上的洛伦兹力，粒子在复合场中做匀速直线运动，有 仅改变粒子电性，则所受的电场力方向向上，洛伦兹力向下，但仍满足 故仅改变粒子的电性，粒子仍沿直线经过点，A错误； B．从点水平向左射入，粒子所受的电场力向下，由左手定则可知洛伦兹力向下，故粒子所受的合外力竖直向下，故粒子不可能可沿直线经过点，B错误； CD．若只改变粒子速度大小，则电场力与洛伦兹力不再等大，故粒子不在做匀速直线运动，设粒子速度变为，可将速度分解为，满足 则可将粒子的速度所对应的洛伦兹力分力平衡电场力而做匀速直线运动，另一个分速度产生的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 匀速圆周运动的周期为 联立解得粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 即粒子一边做圆周运动，一边沿方向以做匀速直线运动，则当满足 时粒子仍从b点离开，联立解得当时粒子仍从b点离开，C错误；D正确。 故选D。 【例题6-2】如图为某质谱仪的示意图，由竖直放置的速度选择器、偏转磁场构成。由三种不同粒子组成的粒子束以某速度沿竖直向下的方向射入速度选择器，该粒子束沿直线穿过底板上的小孔O进入偏转磁场，最终三种粒子分别打在底板MN上的、、点，已知底板MN上下两侧的匀强磁场方向均垂直纸面向外，且磁感应强度的大小分别为、，速度选择器中匀强电场的电场强度的大小为E，不计粒子的重力以及它们之间的相互作用，则（　　） A．速度选择器中的电场方向向右，且三种粒子电性可正可负 B．三种粒子打在MN上时速度不相等 C．如果三种粒子的电荷量相等，则打在点的粒子质量最大 D．如果三种粒子电荷量均为，且、点的间距为，则打在、两点的粒子质量差为 【答案】D 【详解】A．粒子在速度选择器中受力平衡；由粒子在偏转磁场中的偏转方向，左手定则判断三种粒子均带正电，粒子向下运动时洛伦兹力水平向左，故电场力水平向右，电场方向向右，但粒子只能带正电，电性不可负，故A错误； B．粒子匀速通过速度选择器，速度均为；进入偏转磁场后洛伦兹力始终不做功，速度大小保持不变，故打在上时速度大小全部相等，故B错误； C．由半径公式，若电荷量相等，半径与质量成正比。点半径更大，对应粒子质量最大，打在点的粒子质量最小，故C错误； D．、两点间距等于轨迹直径之差 代入速度选择器结论 得 整理得质量差，故D正确。 故选D。 【例题6-3】回旋加速器的工作原理示意图如图所示。D1和D2是中空的两个半径为r的D形金属盒，分别与一频率为f、电压为U的高频交流电源两极相接，两盒放在恒定的磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面向下，粒子源置于盒的圆心A附近。两盒间的狭缝很小，粒子在D形盒内做匀速圆周运动，当其到达两盒间的缝隙时，缝隙中的交变电场恰好使粒子被加速，且加速过程中不考虑重力的影响。忽略粒子在电场中运动的时间，忽略相对论效应，下列说法正确的是（　　） A．无论加速的是何种粒子，粒子出D形盒时的动能都相同 B．粒子飞出回旋加速器的速度为πfr C．粒子在加速器中加速的次数为 D．粒子第n次加速前后轨迹半径之比为∶ 【答案】D 【详解】A．粒子在D形盒内做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有 粒子飞出时轨道半径，解得最大速度为 粒子的回旋频率满足 联立解得 因此满足回旋共振条件的不同粒子飞出时速度相同，但其质量可能不同，由可知动能不一定相同，故A错误； B．由A选项的分析可知，粒子飞出回旋加速器的速度为，故B错误； C．粒子每经过一次狭缝，电场力做功为qU，设粒子共被加速次，根据动能定理有 代入，解得 由，解得，故C错误； D．粒子第次加速后的动能满足 粒子在D形盒内做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有 联立解得 同理可得第次加速后的轨道半径为 因此，故D正确。 故选D。 【例题6-4】磁强计可以测量磁感应强度。如图所示，霍尔元件是磁强计的核心部件，将其放在与它垂直的匀强磁场中，当通有恒定电流时，在元件的前、后两个侧面a、b之间会产生稳定的霍尔电压，进而得到匀强磁场磁感应强度大小。已知霍尔元件三边长度分别为、、，单位体积内载流子个数为，载流子的电荷量为。下列说法正确的是（　　） A．前侧面a比后侧面b的电势低 B．每个载流子受到的洛伦兹力大小为 C．霍尔电压大小为 D．为提高磁强计的灵敏度S（），可适当增大 【答案】C 【详解】A．电流水平向左，载流子带负电，根据左手定则可知，载流子在通过长方形霍尔元件时将偏向后侧面b，所以前侧面a比后侧面b的电势高，故A错误； B．设载流子定向移动的速度为，沿电流方向霍尔元件的横截面积为 根据电流的微观表达式 可知 则每个载流子受到的洛伦兹力大小为，故B错误； C．根据洛伦兹力等于电场力可得 霍尔电压大小为 将代入，联立解得，故C正确； D．根据 可知磁强计的灵敏度 故减小可以提高灵敏度，故D错误。 故选C。 【例题6-5】磁流体发电机的原理如图甲所示，燃烧室在的高温下将气体全部电离成高温等离子体。等离子体经喷管提速后以速度v进入矩形发电通道，发电通道中有垂直于喷射速度方向的匀强磁场，简化后的原理图如图乙所示。已知磁感应强度大小为B，发电通道长为l、宽为b、高为a，高温等离子体的电阻率为ρ，外部电路的总电阻为R。当开关S闭合后，下列说法正确的是（    ） A．发电机产生的电动势 B．回路电流 C．发电机的输出功率 D．为维持等离子体匀速流动，矩形发电通道左右端的压强差 【答案】C 【详解】A．由左手定则可知，发电通道的上极板为正极，下极板为负极，稳定时，洛伦兹力等于静电力，即 所以发电机产生的电动势为，故A错误； B．根据闭合电路欧姆定律可得回路中的电流为，故B错误； C．发电机的输出功率为，故C正确； D．矩形发电通道左右端的压强差为，故D错误。 故选C。 【例题6-6】在核电站中，使用电磁泵来循环冷却剂以维持核反应堆稳定运行。电磁泵的设计示意图如图所示，电磁泵位于垂直纸面向外的匀强磁场（磁感应强度大小为B）中，泵体为长方体（长为L1，宽和高均为L2），上下表面为金属极板。当在泵体的上下表面接电压为U的电源（内阻不计）后，只在两板间的冷却剂中产生自上而下的电流，理想电流表示数为I，通电冷却剂在磁场力的作用下在管道中流动。泵体和冷却剂液面之间的高度差为h，冷却剂的电阻率为ρ，在t时间内抽取冷却剂的质量为m，不计冷却剂在流动中和管壁之间的阻力，工作时泵体内始终充满冷却剂，取重力加速度为g，则（　　） A．电磁泵对冷却剂的推力大小为BIL1 B．电磁泵输出的机械功率为 C．质量为m的冷却剂离开泵体时的动能为 D．若接在泵体的上下两表面的电压变为2U，则电流表的读数变为2I（未超出量程） 【答案】C 【详解】A．电磁泵对冷却剂的推力，A错误； BC．电源提供的电功率 液体电阻 电磁泵输出的机械功率 若t时间内抽取冷却剂的质量为m，这部分冷却剂离开泵时的动能 B错误，C正确； D．电磁泵输入的电能小部分转化为内能，绝大部分转化为机械能，是非纯电阻电路，部分电路欧姆定律对电磁泵不适用，所以若接在泵体的上下两表面的电压变为2U，则电流表的读数变为2I（未超出量程）的结论不成立，D错误。故选C。 考点07 带电粒子在组合场中的运动 1.组合场的三种常见情况 （1）磁场与磁场的组合，即强弱或方向不同的磁场分别位于不重叠的区域内； （2）电场与磁场分别位于不重叠的区域内； （3）电场、磁场在同一区域交替出现。 2.电场、磁场中的常见运动（条件）及解法 【例题7-1】如图，真空中有区域I和II，区域I中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，腰长为L的等腰直角三角形CGF区域（区域II）内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O三点在同一直线上，AO与GF垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域I中，只有沿直线AC运动的粒子才能进入区域II。若区域I中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域II中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF边靠近F的三等分点D射出，它们在区域II中运动的时间为t0.若改变电场或磁场强弱，能进入区域II中的粒子在区域II中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．从D点飞出的粒子速度大小为 B．粒子的比荷为 C．若仅将区域I中电场强度大小变为2E，则t > t0 D．若仅将区域II中磁感应强度大小变为，则粒子从GF边出射，出射点距离O点 【答案】D 【详解】A．根据题意可知区域Ⅰ中粒子电场力和洛伦兹力相等，由此可得解得粒子在区域Ⅱ中做匀速圆周运动，速度大小不变，故从D点飞出的粒子速度大小为，故A错误； B．粒子的运动轨迹如图所示 在区域Ⅱ中，粒子受到的洛伦兹力提供向心力，则根据几何关系可知粒子转过的圆心角为，则联立可得粒子的比荷为故B错误； C．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，设进入区域Ⅱ中的速度大小为，则解得在区域Ⅱ中，粒子受到的洛伦兹力提供向心力，则解得则粒子将从GF边离开区域Ⅱ，轨迹的圆心角小于，根据粒子在磁场中的周期公式由于区域Ⅱ中的磁场不变，粒子的比荷也不变，所以周期不变，根据因为粒子在区域Ⅱ中做圆周运动的圆心角减小，所以粒子运动时间减小，则故C错误； D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，设粒子在区域Ⅱ中运动的半径为，根据解得则粒子从GF边出射，粒子在区域Ⅱ中的运动轨迹如图所示，由几何关系可得 根据勾股定理有则出射点与O点的距离故D正确。故选D。 【例题7-2】如题图所示，质量为、带电荷量为的带电粒子（重力不计），从坐标原点以初速度沿轴正方向射入第一象限内的电磁场区域，在，区域内有竖直向上的匀强电场，在区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为，控制电场强度（值有多种可能），可让粒子从NP射入磁场后偏转打到接收器MN上，则（　　） A．粒子从点射入磁场，电场强度满足 B．从中点射入磁场的粒子在磁场中圆周运动半径为 C．从点与从中点射入磁场的粒子打到接收器的两点距离大于 D．粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】D 【详解】A．粒子在电场中做类平抛运动，若粒子从N点射入磁场，则沿轴方向沿轴方向，根据牛顿第二定律根据运动学联立，解得故A错误； B．粒子在电场中做类平抛运动，若粒子从NP中点射入磁场，则，射入磁场时，沿轴的分速度大小为联立，解得射入磁场时的速度大小为粒子在磁场中，根据牛顿第二定律解得故B错误； C．设射入磁场时，速度方向与所在直线的夹角为，根据平抛运动末速度的反向延长线过水平位移的中点，可知若粒子从NP中点射入磁场时此时粒子打到接收器MN的位置与射入磁场两点间的距离为若粒子从N点射入磁场，则射入磁场时沿轴的分速度大小为射入磁场时的速度大小为粒子在磁场中，根据牛顿第二定律解得同理可得此时粒子打到接收器MN的位置与射入磁场两点间的距离为所以，从N点与从NP中点射入磁场的粒子打到接收器MN的两点距离为即从N点与从NP中点射入磁场的粒子打到接收器MN的两点距离等于，故C错误； D．粒子在磁场中运动的周期为可知，粒子在磁场中运动的周期恒定，根据可知，粒子在磁场中运动的圆心角越小，运动时间越短，因为又，当粒子从N点射入磁场时，最小，所以所以故D正确。 故选D。 考点08 带电粒子在叠加场中的运动 1.叠加场：在同一区域电场、磁场、重力场三场共存或其中某两场共存。 2.带电粒子（体）在叠加场中常见的运动形式及特点 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受的合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 电场力与重力平衡，即qE＝mg，洛伦兹力提供向心力 牛顿第二定律、圆周运动的规律 一般曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律等 3.解决叠加场问题的步骤 4.配速法 （1）方法概述：如果带电粒子在叠加场中不做匀速直线运动，即所受合力不为零，粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动比较复杂。可以通过配速的方法，把初速度分解为两个分速度，使其一个方向的分速度对应的洛伦兹力与重力（或电场力，或重力和电场力的合力）平衡，另一个方向的分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样将复杂的曲线运动分解为两个比较常见的运动，即为配速法。 （2）叠加场中几种常见的情况 常见情况 处理方法 初速度为0，且受重力 把初速度0看作向左的速度v1和向右的速度v1两个分速度，其产生的洛伦兹力如图所示 初速度为0，受电场力 把初速度0看作向左的速度v1和向右的速度v1两个分速度，其产生的洛伦兹力如图所示 初速度为0，且受重力和电场力 把初速度0看作斜向右上方垂直于重力、电场力合力方向的速度v1和斜向左下方的速度v1，沿右上方的运动满足受力平衡，沿左下方的运动为匀速圆周运动，如图所示 初速度为v0，且受重力 对粒子的运动配以水平向右的速度v1和斜向左上的速度v2，如图所示，粒子沿水平向右的速度v1所受的洛伦兹力与重力平衡，则粒子做速度大小为v2的匀速圆周运动 【例题8-1】如图所示，空间有一垂直纸面向外、磁感应强度为0.5T的匀强磁场，一质量为0.2kg且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端无初速放置一质量为0.1kg、电荷量q=+0.2C的滑块，滑块与绝缘木板之间的动摩擦因数为0.5，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。t=0时对木板施加方向水平向左，大小为0.6N的恒力F，g=10m/s2。则（     ） A．木板和滑块一直做加速度为2m/s2的匀加速运动 B．滑块最后做速度为9m/s的匀速运动 C．木板最后做加速度为3m/s2的匀加速运动 D．5s末滑块开始做匀速运动 【答案】C 【详解】A．根据牛顿第二定律可得 解得静摩擦力能提供的最大加速度为 开始时木板与滑块一起运动，则有 解得二者共同的加速度为 而滑块向左运动后，由左手定则可知，会受到一个向上的洛伦兹力，设滑块速度为v时，两者开始相对滑动，根据牛顿第二定律，对滑块则有 对木板则有 解得 此后一段时间，滑块做加速运动，速度增大，洛伦兹力增大，所以滑块和木板之间的滑动摩擦力减小，木板做变加速运动，故A错误； B．当滑块受的洛伦兹力大小等于重力时，两者分离，此时则有解得 滑块开始做匀速运动，故B错误； C．此时木板水平方向只受拉力作用，则有 可得 所以木板先做匀加速运动，后做变加速运动，最后做的匀加速运动，故C正确； D．若滑块一直以的加速度运动，速度达到10m/s时，需要用5s的时间，结合上述分析可知，滑块与木板相对滑动后，摩擦力开始减小，滑块加速度开始减小，所以滑块速度达到10m/s所用时间大于5s，故D错误。 故选C。 【例题8-2】数学老师出了这样一道数学题：求单位圆做纯滚动时圆上一点的轨迹方程，小明马上想到，物理中也有这样类似的曲线，记得物理老师说过这种运动是圆周运动和直线运动的合成，当时老师还出了这样一个题。在空间存在一范围足够大的匀强磁场和匀强电场。磁场方向垂直于平面向外，磁感应强度大小为；电场方向为轴正向，电场强度为，一质量为，电荷量为（）的粒子从坐标原点以初速度沿轴正向发射，其运动轨迹如图所示。不计重力，则（　　） A．粒子向轴正向上运动的过程中电势能逐渐增大 B．粒子能到达的最低点距轴距离为 C．运动过程中粒子的最大速度为 D．运动过程中粒子做一次周期性运动沿轴前进 【答案】C 【详解】A．正电荷向y轴正向上运动，沿电场方向运动，电场力做正功，电势能减小，故A错误； B．如图所示 将v0分解为v1和v2，且使v1满足qv1B=qE，即v1引起的洛伦兹力与粒子所受电场力平衡，得 则粒子的运动可以分解成由v1引起的沿x轴正方向的匀速直线运动，和由v2引起的在xOy平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有解得 粒子能到达的最低点距x轴距离解得，故B错误； C．粒子实际的运动就是这两个分运动的合运动，当两个分运动的速度均沿x轴正方向时，粒子的合速度最大，故C正确； D．粒子做圆周运动的周期为运动过程中粒子做一次周期性运动沿轴前进，故D错误。故选C。 【例题8-3】我国紧凑型聚变能实验装置（BEST）预计2027年建成。其部分结构可视为圆柱形真空室，内有水平向右的匀强电场和匀强磁场，如图所示。以圆柱体左侧面圆心为点，轴线为轴建立坐标系，圆柱体右侧面与轴交于点。某比荷为的正离子从点以大小为的初速度沿轴正向运动，最终从点射出，整个过程恰好未与真空室壁接触。已知真空室的半径为，电场强度大小为。不计离子重力，则（　　） A．离子运动时的加速度不变 B．磁场的磁感应强度的大小为 C．离子从运动到点的时间可能是 D．点的坐标可能为 【答案】D 【详解】A．离子在运动过程中受到电场力和洛伦兹力作用，电场力恒定，但洛伦兹力方向随速度方向变化而变化，所以合力变化，加速度变化，故A错误； B．离子在平面内做匀速圆周运动，在轴方向做初速度为零的匀加速直线运动。离子恰好未与真空室壁接触，说明离子在平面内做圆周运动的直径等于圆柱体半径，即解得由洛伦兹力提供向心力结合比荷解得，故B错误； C．离子从点运动到点，说明离子在平面内运动了整数个周期回到轴线，即() 周期所以当时，，不可能是，故C错误； D．离子在轴方向做匀加速直线运动，加速度已知，则，点的坐标当时，，此时点坐标为，故D正确。故选D。 【压轴题训练】 1．电子对湮灭是指正电子和电子以大小相同、方向相反的速度发生正碰后湮灭，产生伽马射线的现象，电子对湮灭是计算机断层扫描（PET）的物理基础。如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，在第Ⅱ象限内一半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形磁场边界分别与x轴和y轴相切于A点和C点，在第Ⅳ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场。一电子以一定的速度从A点沿y轴正方向射入磁场，经C点射入电场，一正电子从y轴上的D点沿x轴正方向射入第Ⅳ象限，它们恰好在到达x轴上的P点时发生正碰从而发生湮灭现象。已知电子到达P点时速度与x轴正方向夹角为60°。电子的质量为m，电荷量为-e；正电子的质量与电子相同，电荷量为e；不计它们所受的重力以及它们间的相互作用。求： (1)电子在第Ⅱ象限圆形磁场区域内运动的速度大小v0； (2)第Ⅰ象限内匀强电场的电场强度的大小E； (3)电子从A点出发与正电子从D点出发的时间间隔Δt。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）设电子的质量为，电子在第II象限的磁场中做匀速圆周运动的半径为，根据几何关系有根据洛伦兹力提供向心力有解得 （2）电子在第I象限内做类平抛运动，根据运动的合成和分解有 设电子在第I象限内的电场中的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 根据运动学规律有解得 （3）电子在第II象限磁场中运动的时间为设电子在第I象限内的电场中运动的时间为，根据运动学规律有解得正电子在第IV象限中运动的速度与电子到达点时的速度大小相等且方向相反，故有设正电子在第IV象限的磁场中做匀速圆周运动的半径为，根据几何关系有，正电子在第IV象限中运动的时间为 电子从点出发与正电子从点出发的时间间隔为解得 2．在核物理实验室的粒子探测实验中，研究人员为分析某未知带电粒子的基本性质，搭建了由匀强电场和匀强磁场组成的组合场探测装置，利用威尔逊云室记录粒子的运动径迹。该装置的空间分布建立在竖直平面内的平面直角坐标系xOy中，x轴上有M、N、P三点，三点的横坐标满足xN-xM=2d，xP=3.2d。在xM≤x≤xN区域内，存在沿y轴正方向的匀强电场；在x≥xP区域内，存在垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一未知粒子从坐标原点O沿与x轴正方向成θ=53°角射入（速度大小未知），在点C（3.2d，-2d）以速度v0垂直于磁场边界射入磁场，并从P点射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子的重力，sin53°=0.8。 (1)求该粒子的比荷； (2)求匀强电场的电场强度E的大小； (3)求M点的横坐标xM； (4)若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子的轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于D点（图中未画出）。求粒子由C点运动到D点的时间t以及D点的纵坐标yD。 【答案】(1)(2)(3)(4)，-d 【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得 根据几何关系可得联立可得 （2）粒子在电场中做类斜上抛运动，水平方向，有， 竖直方向，有，联立解得 （3）粒子在电场中运动时，竖直方向，有则M点的纵坐标为 所以M点的横坐标为 （4）由于阻力作用，粒子速度减小，故半径也减小，但是粒子运动的周期与速度无关，周期为 所以粒子由C点运动到D点的时间为 粒子由C点运动到D点过程中，水平方向上根据动量定理可得， 则D点的纵坐标为 3．如图所示，在平面的第一象限内存在方向沿轴负方向、电场强度大小的有界匀强电场，电场左边界为轴，右边界为抛物线的右半支；第三象限内存在垂直于坐标平面向里、磁感应强度大小的匀强磁场；在电场右边界的抛物线上有一可移动的点状粒子发射器，它可以发射速度大小均为（未知），沿轴负方向的带正电粒子。已知粒子发射器在沿抛物线移动过程中发射的所有带电粒子均可以自坐标原点离开电场，粒子的质量、电荷量，装置置于真空环境中，不计粒子的重力及粒子间相互作用。 (1)求粒子发射器发射粒子的速度大小； (2)证明粒子发射器发射的所有粒子第二次经过轴时都经过同一位置，并求出此位置的坐标。 【答案】(1) (2)见解析，（0，10） 【详解】（1）在电场内有，粒子做类平抛运动，设粒子的出发点坐标为（x，y），根据类平抛运动规律有，，又联立解得 （2）假设粒子发射器发射的所有粒子第二次经过轴时都经过同一位置，设此位置的坐标为（0，y），作出粒子在磁场中运动的轨迹，如图所示 设粒子从电场中射出的速度为v，与水平速度的夹角为，根据几何关系有粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力，则有解得根据几何关系可得代入数据解得即此位置的坐标为（0，10），可知此位置的坐标是一个定值，故假设正确。 4．利用电场和磁场来控制带电粒子的运动轨迹，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图，在xOy平面的第一象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ，P点位于x轴负半轴上，在OP处放有一挡板，其长度为l，厚度不计。在第三和第四象限区域内，以坐标原点O为圆心，半径为l的半圆形区域外存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ。一质量为m，电荷量为q的正粒子以速度垂直于y轴的方向从y轴上的N点进入第二象限，且。已知场强大小，，，不计粒子重力。（仅m、q、l、为已知量） (1)要使该粒子离开第二象限时不打在挡板OP上，求磁场Ⅰ磁感应强度的取值范围； (2)若，粒子进入第三象限后，经过半圆形磁场边界时速度方向与磁场边界线垂直，求该粒子第一次进入第四象限时与坐标原点O的距离。 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）若粒子打在线段上，则 由洛伦兹力提供向心力 得 若粒子刚好打到点，由几何关系得 得 若不打在挡板上，则 由 得 故的取值范围为或 （2）粒子运动轨迹如图： 由 得 由几何关系得 得 三角形中 得速度所在直线与轴的夹角 则粒子在第一位象限做斜抛运动，在方向上，由牛顿第二定律 由运动学公式 得 在方向上， 故该粒子第一次进入第四象限时与坐标原点O的距离为 5．图a所示，平面直角坐标系xOy中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形OBC区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标，BC边与x轴正方向的夹角大小为。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为v，方向与BC边平行的初速度进入电场，经偏转后从A点垂直OB边进入磁场。已知匀强电场场强，不计粒子重力。求： (1)A点的坐标； (2)若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从BC边射出，匀强磁场磁感应强度的大小； (3)若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，交变磁场的磁感应强度和周期的大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）沿电场线反方向，粒子做匀减速直线运动，则有， 根据牛顿第二定律则有 联立解得 对A点 解得 A点的坐标为 （2）粒子进入的磁场中，则有 由牛顿第二定律 由几何关系得， 联立解得 （3）粒子进入的磁场中，由牛顿第二定律 设粒子在的时间内，轨迹的圆心角为。由几何关系得，平行x轴方向 平行y轴方向 联立解得，， 交变磁场每经过的时间，粒子在磁场中轨迹的圆心角为 则 解得 6．如图甲所示的坐标系中区域有沿轴负方向的匀强电场，区域有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度的大小和方向随时间变化的关系如图乙所示，取垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，图中。一足够大的荧光屏垂直于轴放置并可沿轴水平移动。现有一质量，电荷量的带电粒子从电场中的点沿平行轴方向以初速度射入电场，然后从坐标原点进入磁场。已知点到轴的距离，粒子经过点时的速度方向与轴的夹角，以粒子进入磁场时为时刻，不计粒子的重力，求： (1)匀强电场的场强大小； (2)时间内，粒子在磁场中运动时到轴的最远距离； (3)粒子在磁场中运动时到轴的最远距离及带电粒子垂直打在荧光屏上时荧光屏在轴上可能位置的坐标。 【答案】(1) (2) (3)；或   【详解】（1）粒子在匀强电场中，做类平抛运动有，， 联立解得 （2）粒子在O点的速度大小 设在正向磁场内运动的半径大小为，则有 解得 因为 粒子从O点进入磁场后，在时间内在正向磁场内运动了圆周 联立解得 （3）①设在负向磁场内的运动半径为，则， 在时间内在负向磁场内运动了圆周，对应的圆心角为，在时间内在正向磁场内运动了圆周，对应的圆心角也为，粒子就这样周期性的运动下去，轨迹如图所示： 由几何关系有 解得 ②由轨迹可知，在磁场的一个变化周期内，粒子沿水平方向向右移动的距离等于圆心、之间的距离 粒子能垂直打在荧光屏上，有2种情况： （ⅰ）若在轨迹最低点垂直打在荧光屏上，荧光屏在x轴上可能位置的坐标 分析可知只能取，则荧光屏的位置坐标 （ⅱ）若在轨迹最高点垂直打在荧光屏上，荧光屏在x轴上可能位置的坐标 解得 综上可知，荧光屏在x轴上可能位置的坐标为或   7．如图所示的空间直角坐标系中，在区域Ⅰ的空间分布着沿轴正方向的匀强电场，在区域Ⅱ的空间分布着沿轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，有一平行于平面的无限大荧光屏（图中未画出）。在平面内处正下方有速度大小为0的粒子源可发射带正电粒子进入大小可调的加速电场，质量为，电荷量为。当加速电压取最大值时，粒子沿轴正方向以速度进入区域Ⅰ，经过轴上的点进入区域Ⅱ，已知点坐标为，最终打到荧光屏上的点（图中未画出）。不计粒子的重力，忽略磁场边界效应。求： (1)最大加速电压和电场强度大小； (2)当荧光屏处于处时，求点的三维坐标； (3)当荧光屏处于处时，调加速电场的大小，则粒子打在荧光屏上的位置与的关系（可用表示）。 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）粒子在加速电场中运动，根据动能定理 可得加速电场的电压 带电粒子进入电场后，仅受电场力做类平抛运动，则 方向做匀速直线运动，可得运动时间 方向做匀加速直线运动，有 联立得 （2） 带电粒子在匀强磁场中做等距螺旋运动，可分解为沿轴正方向的匀速直线运动和垂直于轴的平面内的匀速圆周运动。粒子在点的速度分量为， 在垂直于轴的平面内，粒子做匀速圆周运动有 解得 周期 粒子在轴正方向做匀速直线运动有 解得，即带电粒子将螺旋转动圈后打到荧光屏上的点 则点x轴坐标，y轴坐标，z轴坐标 点的三维坐标为 （3）调加速电场后，设加速后粒子初速度为，加速过程 结合 可得 粒子在区域Ⅰ的方向位移恒为，加速度不变，因此运动时间恒为 到达y轴时方向位移为 在区域Ⅱ，粒子在轴正方向做匀速直线运动有 解得 因此带电粒子将螺旋转动1圈后打到荧光屏上的轴，粒子打荧光屏上的位置为 8．如图甲，一质量为m足够长的绝缘板静止在光滑水平面上，板的左端有一个质量为m的带电小物块，其电荷量为。距绝缘板左端l到2l之间存在电场和磁场，匀强磁场方向垂直于纸面向里，匀强电场方向竖直向下。现让带电小物块在水平恒力的作用下从静止开始向右运动。小物块到达电、磁场区域的左边界时刻，撤去水平恒力，此时绝缘板的速度大小为。带电小物块从开始运动到前进2l的过程中，速度随位移变化的图像如图乙，其中AB段为直线。已知重力加速度为g，求： (1)小物块到达电、磁场区域的左边界前，绝缘板的加速度a的大小； (2)水平恒力F的大小； (3)电场强度和磁感应强度的大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）根据题意可知，带电小物块进入电、磁场区域之前做匀加速直线运动，结合图乙，由公式 可得，匀加速的时间为 对绝缘木板，由运动学公式 可得，绝缘木板的加速度a的大小为 （2）对带电小物块，由运动学公式 可得，带电小物块的加速度为 设小物块与绝缘板之间的摩擦力为，由牛顿第二定律，对小物块有 对绝缘板有 解得 （3）带电小物块在电场、磁场区域时，有 小物块减速运动的加速度大小为 在时间内速度减少量为 经过t时间速度为 整理得 根据题意可知 解得 由图乙可知 结合（1）中绝缘木板的加速度a的大小为 对绝缘木板有 解得 联立解得 9．如图所示，在竖直平面内，水平轴的上方和下方分别存在方向垂直纸面向外和方向垂直纸面向里的匀强磁场，其中轴上方的匀强磁场磁感应强度大小为，并且在第一象限和第二象限有方向相反、强弱相同的平行于轴的匀强电场，电场强度大小为已知一质量为的带电小球从轴上的位置斜向下与轴负半轴成角射入第一象限，恰能做匀速直线运动。 (1)求出小球所带电荷量及入射的速度大小； (2)为使小球在轴下方的磁场中做匀速圆周运动，需要在轴下方空间加一匀强电场，试求所加匀强电场的电场强度； (3)在满足第问的基础上，若在轴上某段范围内安装有一绝缘弹性薄板，并且调节轴下方的磁场强弱，使进入轴下方的带电小球仅与绝缘弹性板碰撞两次后，从轴上的某一位置返回到轴的上方，然后恰能做匀速直线运动至轴上的位置。假设带电小球与弹性板碰撞时，既无电荷转移，也无能量损失，并且入射方向和反射方向与弹性板的夹角相同。试求出弹性板的最小长度和带电小球从位置出发到返回至位置过程所经历的时间。 【答案】(1)， (2) (3)， 【详解】（1）小球在第一象限中的受力分析如图所示，所以带电小球的电性为负电。 根据平衡条件有 得 又 即 （2）小球若在轴下方的磁场中做匀速圆周运动，必须使得电场力与重力二力平衡，即应施加一竖直向下的匀强电场， 且电场强度大小满足 即 （3）要想让小球恰好与弹性板发生两次碰撞，并且碰撞后返回轴上方空间匀速运动到点，则其轨迹应该如图所示，且由几何关系可知， 联立上述方程解得 即 设在轴下方的磁场磁感应强度为，则满足， 从点运动到点的时间为 联立上式解得 由几何关系可知 在第一象限运动的时间和第二象限中运动的时间相等，且 所以带电小球从点出发至回到点的过程中所经历的总时间为 联立上述方程解得 10．如图所示，在直角坐标系中，y轴竖直，O、A两点间的距离为L，。第一象限内有方向垂直坐标平面水平向里的匀强磁场和沿x轴负方向的匀强电场，第三象限内有方向垂直坐标平面水平向外的匀强磁场和平行纸面的匀强电场，第四象限内有方向沿x轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带负电小球从A点以大小（g为重力加速度大小）的初速度沿做直线运动，小球通过O点后在第三象限内做匀速圆周运动，恰好通过坐标为的B点，已知第四象限内电场的电场强度大小，不计空气阻力。 (1)求第一象限内磁场的磁感应强度大小； (2)第三象限内磁场的磁感应强度大小和大小方向； (3)求小球从通过O点（第一次通过y轴）到第三次通过y轴所用的时间t； (4)在第四象限内运动的过程中到y轴的最大距离。 【答案】(1)(2)，，方向竖直向下(3)(4) 【详解】（1）由题意可知，小球的运动轨迹如图所示， 且小球在第一象限内做匀速直线运动，根据物体的平衡条件有 解得 （2）设小球在第三象限内做匀速圆周运动，重力与电场力等大反向，有 解得，方向竖直向下。设小球轨迹半径为，根据几何关系有 洛伦兹力提供小球做匀速圆周运动所需的向心力，有解得 （3）小球从点运动到点所用的时间解得 设小球通过点时所受合力的方向与竖直向下方向的夹角为，有解得 可见小球所受合力的方向与小球通过点时的速度方向垂直，小球在第四象限内做类平抛运动，设小球在第四象限内运动的加速度大小为，有 设小球从点运动到再次通过轴时所用的时间为，有解得又 解得 （4）将小球通过点时的速度沿水平方向和竖直方向分解，当小球沿水平方向的分速度为零时，小球到轴的距离最大，有其中解得 11．电子束晶圆检测系统利用电子束轰击芯片的特定区域，生成图像，并将图像与数据库对比，可以识别缺陷。如图所示为该检测系统的原理简化图。电子枪连续发出初速度不计的电子，经的电压加速后，从的中点平行于轴进入边长为的正方形偏转区，该区域在平面内且存在沿轴正方向的匀强电场，然后电子恰好能从点进入的长方体控制区，控制区平面位于平面上。控制区之间的距离。半径的圆形晶圆位于平面上，其圆心在轴上。控制区同时存在沿轴负方向的大小可调的匀强磁场和匀强电场。电子的比荷取，不计电子重力，不考虑相对论效应。计算时取3。 (1)求电子刚进入偏转区时的速度； (2)求偏转区匀强电场的大小； (3)要使进入控制区的电子都能打在晶圆上，求匀强磁场的最小值； (4)若某次检测时控制区所加磁场，所加电场，求电子打在晶圆上的位置坐标。 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）电子加速过程由动能定理    解得 （2）电子进入偏转电场后由类平抛运动规律，轴方向有，轴方向有 根据牛顿第二定律有联立解得 （3）电子出偏转电场时，根据速度时间关系可得沿轴负方向速度的大小为 电子沿着轴方向速度大小为 电子进入控制区后在方向做初速度为的匀加速直线运动，在垂直平面上做匀速圆周运动； 在垂直平面上，由洛伦做根据洛伦兹力提供向心力 在垂直平面上做匀速圆周运动周期 控制区磁场越大，周期越小，则电子做圆周运动的轨迹越长（电子圆周运动的转动圈数可能出现大于0.5圈的情况），增加电场可以减少电子在控制区运动时间，则可能会出现电子圆周运动偏转圆心角正好是180°时达到平面情况，要使进入控制区的电子都能打在晶圆上，则要求在不同大小的电场情况下，电子都能打在晶圆上，则要求电子圆周运动轨迹半径小于等于，则可得 （4）控制区加电场后，电子沿方向做匀加速直线运动，由     解得同时做匀速圆周运动的周期半径     电子在控制区运动的时间为电子圆周运动圆心角 故则电子打在晶圆上的位置坐标为 12．如图所示，边长为L=0.9m的正方体OACD−O1A1C1D1空间中存在磁感应强度，方向沿z轴正方向的匀强磁场和电场强度E=1.0N/C，方向沿z轴负方向的匀强电场。极板M、N间是加速电场，一带电量为q=1.0×10−12C的正电粒子在加速电场作用下由静止加速后获得Ek=1.0×10−11J的动能，并从O1点沿y轴正方向进入正方体空间。已知正方体空间外无电场、磁场，粒子重力不计，取π2=10。 (1)判断M极板的极性并求出加速电场的电压大小； (2)假设正方体空间仅有匀强磁场，粒子恰好从C1点射出，求粒子的质量； (3)若粒子质量m0=2×10−14kg，求粒子运动到xOy平面的位置坐标。 【答案】(1)正极；10V (2)4.5×10−14kg (3) 【详解】（1）由题可知，正电的粒子在M、N间做加速运动，则M、N间的电场方向向右，故M板带正电，根据动能定理可得 代入题中数据，解得加速电场的电压 （2）由题可知，粒子进入正方体空间的速度，粒子在磁场中，受到洛伦兹力作用，因此粒子在O1A1C1D1平面内做匀速圆周运动，粒子从C1点离开，则粒子做圆周运动的半径需满足 由洛伦兹力提供向心力可得 解得 代入题中数据，解得 （3）由题可知，粒子进入复合场的速度 结合上述分析可知 故 故如图所示 由几何关系可得，粒子在磁场中旋转了，则 粒子在磁场中运动时间 粒子沿z轴的加速度 速度 位移 粒子从前表面射出时的坐标为，， 粒子出正方体空间后，做匀速直线运动，则有 粒子运动到xOy平面的位置坐标， 故粒子运动到xOy平面的位置坐标为 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 磁场 带电粒子在磁场中的运动 目录 【重难考点突破】 1 考点01 安培定则 磁感应强度和磁通量 1 考点02 安培力的大小和方向 4 考点03 安培力作用下的平衡问题 5 考点04 带电粒子在有界磁场中的运动 6 考点05 有关带电粒子在有界磁场中的动态圆问题 10 考点06 复合场中的有关仪器 13 考点07 带电粒子在组合场中的运动 18 考点08 带电粒子在叠加场中的运动 19 【压轴题训练】 22 【重难考点突破】 考点01 安培定则 磁感应强度和磁通量 一、安培定则 1.直线电流的磁场 安培定则：右手握住导线，让伸直的拇指所指的方向与电流方向一致，弯曲的四指所指的方向就是磁感线环绕的方向，如图甲所示。 2.环形电流的磁场 安培定则：如图乙所示，让右手弯曲的四指与环形电流的方向一致，伸直的拇指所指的方向就是环形导线轴线上磁感线的方向。 3.通电螺线管的磁场 安培定则：右手握住螺线管，让弯曲的四指与环形电流的方向一致，伸直的拇指所指的方向就是螺线管内部磁感线的方向，如图丙所示。 　　 二、磁感应强度 1.物理意义：磁感应强度是表示磁场强弱和方向的物理量。 2.大小：当导线方向与磁场方向垂直时B＝。 3.磁感应强度B是一个矢量，它的方向可以有以下几种表述方式： (1)磁感应强度的方向就是该点的磁场方向。 (2)小磁针静止时N极所指的方向。 (3)小磁针N极受力的方向。 三、磁通量 1.磁通量的计算 (1)公式：Φ＝BS。 适用条件：①匀强磁场；②磁场与平面垂直。 (2)若磁场与平面不垂直，应为平面在垂直于磁感线方向上的投影面积，Φ＝BScos θ。式中Scos θ即为平面S在垂直于磁场方向上的投影面积，也称为“有效面积”(如图所示)。 2.磁通量的正、负 (1)磁通量是标量，但有正、负，当磁感线从某一面上穿入时，磁通量为正值，则磁感线从此面穿出时即为负值。 (2)若同时有磁感线沿相反方向穿过同一平面，且正向磁通量大小为Φ1，反向磁通量大小为Φ2，则穿过该平面的合磁通量Φ＝Φ1－Φ2。 3.磁通量的三点提醒 (1)磁通量有正、负，但磁通量不是矢量而是标量。 (2)当有方向相反的磁场(磁感应强度分别为B和B′)穿过同一个平面时，磁通量的大小等于磁感线相抵消之后剩余的磁感线的条数，即净条数。 (3)线圈内磁通量的大小与线圈匝数无关。 【例题1-1】空间内有一正方体区域，三根彼此绝缘的通电长直导线沿、、固定，电流大小相等，方向如图。已知通电长直导线在空间某点产生磁场的磁感应强度大小与电流强度成正比、与该点到直导线的距离成反比。若沿的通电导线在点产生磁场的磁感应强度大小为，下列说法正确的是（　　） A．点的磁感应强度大小为 B．点的磁感应强度方向沿 C．点的磁感应强度大小为 D．点的磁感应强度方向沿 【例题1-2】某地某学习小组利用智能手机中的磁传感器测量了地磁场的磁感应强度。如图所示建立直角坐标系，手机显示屏所在平面为平面，测量时轴正向保持竖直向上，后图像保持稳定。下列说法正确的是（    ） A．该学习小组在南半球进行的实验 B．地球内部磁场方向由地理南极指向地理北极 C．稳定后轴的正方向指向东边 D．当地地磁场的磁感应强度大小约为 【例题1-3】如图所示，空间直角坐标系中有一个三棱柱，线段、相等，长度为，线段、、、、相等，长度为。该空间存在匀强磁场，通过面的磁通量为，通过面的磁通量，通过的磁通量为，则匀强磁场的磁感应强度大小为（　　） A． B． C． D． 考点02 安培力的大小和方向 一、安培力的方向 用左手定则判定：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心垂直进入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。 二、安培力的大小 1.公式F＝IlBsin θ中B对放入的通电导线来说是外加磁场的磁感应强度，不必考虑导线自身产生的磁场对外加磁场的影响。 2.公式F＝IlBsin θ中l指的是导线在磁场中的“有效长度”， 弯曲导线的有效长度l，等于连接两端点直线的长度(如图所示)；相应的电流沿l由始端流向末端。 3.公式F＝IlBsin θ中θ是B和I方向的夹角： (1)当θ＝90°时，即B⊥I，sin θ＝1，公式变为F＝IlB。 (2)当θ＝0°时，即B∥I，F＝0。 【例题2-1】如图所示，用电阻率为，横截面积为S，粗细均匀的电阻丝折成一个圆形框架。A、B为框架上的两点，。A、B两点与一个电动势为E，内阻忽略不计的电源相连。垂直于竖直框架平面有一个磁感强度为B、方向水平向里的匀强磁场。这个框架受到的安培力的合力大小和方向为（    ） A．，竖直向上 B．，竖直向上 C．，竖直向下 D．，竖直向下 【例题2-2】某圆形单匝线圈半径0.04m，在三条对称设置的竖直线悬挂下静止于水平面内，线圈中通有大小1A、方向如图的电流。将一圆柱形磁铁放置于线圈正上方，磁铁的中轴线OO′垂直于线圈平面且通过其圆心O，测得线圈导线所在处磁感应强度大小为0.5T，方向与竖直方向成30°，此时线圈中的张力大小为（　　） A． B． C． D． 考点03 安培力作用下的平衡问题 1.安培力作用下导体棒的平衡问题，题目所给出的图形一般为“立体图”，如果把物体的受力直接画在导体棒上，则较为抽象，不利于问题的求解，一般把抽象的立体图转换为直观的“平面图”，即画出“侧视图”。 2.画平面图时应准确标明辅助方向，如磁感应强度B的方向，电流的方向，导体棒端点的名称，磁感应强度B的方向与平面的夹角，磁感应强度B的方向与电流的夹角，线框与水平面或与竖直面之间的夹角等，最后根据安培力方向一定垂直于电流和磁场所决定的平面的特点准确画出安培力的方向。 3.受力分析，然后根据平衡条件列出平衡方程。 【例题3-1】质量均匀分布的直导体棒放置于四分之一光滑圆弧轨道上，其截面如图所示。导体棒中通有电流强度大小为I的电流，空间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场的方向竖直向上。导体棒平衡时，导体棒与圆心的连线跟竖直方向的夹角为，轨道对导体棒的弹力大小为。下列说法正确的是（　　） A．导体棒中电流方向垂直于纸面向外 B．若仅将电流强度I缓慢增大，则逐渐减小 C．若仅将磁感应强度B缓慢增大，则逐渐增大 D．若仅将磁场方向沿逆时针缓慢转过，则逐渐减小 【例题3-2】如图甲所示，两根长为夹角为的光滑导轨M、N一端固定在地面上，另一端与电动势为的电源连接，两根导轨形成倾角为的斜面，有匀强磁场垂直斜面。质量为足够长的导体棒P平行于斜面底端放置，垂直斜面的视图如图乙所示，导体棒可静止在导轨的任意位置。已知两导轨的电阻与长度成正比，总电阻均为，与电源连接处靠得很近但彼此绝缘，不计电路其余部分的电阻，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．磁场方向垂直斜面向上 B．导体棒静止在导轨的不同位置时，电流保持不变 C．导体棒静止在导轨的不同位置时，导轨对导体棒的作用力不同 D．匀强磁场的磁感应强度为 考点04 带电粒子在有界磁场中的运动 一、解答带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题的三个“关键” 1.圆心的确定 （1）若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。 （2）若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。 （3）若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据R＝计算出轨迹半径R，则在该点沿洛伦兹力方向距离为R的位置为圆心，如图丙。 2.半径的计算 （1）利用动力学方程求半径：由qvB＝m得R＝。 （2）利用几何关系求半径 一般连接粒子的入射点、出射点及圆心构造出三角形，再结合切线、轨迹圆弧对应的弦等辅助线，常用到的几何关系： ①三个角：如图丁所示。 a.粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角：φ＝α。 b.弦切角等于弦所对应圆心角一半：θ＝α。 ②由三角函数或勾股定理求解几何半径。 如图戊所示，由R＝或R2＝L2＋（R－d）2求得R。 3.运动时间的计算 （1）利用圆心角θ、周期T计算：t＝T。 （2）利用弧长、线速度计算：t＝。 二、常见有界磁场 1.直线边界的匀强磁场 （1）圆心的确定：见各图。 （2）运动时间的确定： ①图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝。 ②图b中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝T＝＝。 ③图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝T＝。 2.平行直线边界的匀强磁场 1.圆心、运动半径的确定：见各图及其中的关系式。 2.运动时间的确定： （1）图a中粒子在磁场中运动的时间：t1＝，t2＝＝。 （2）图b中粒子在磁场中运动的时间：t＝。 （3）图c中粒子在磁场中运动的时间：t＝T＝＝。 （4）图d中粒子在磁场中运动的时间：t＝T＝。 3.圆形边界的匀强磁场中 （1）速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角。 （2）速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。 （3）环形磁场：如图丙所示。带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。 【例题4-1】如图所示，平行虚线MN、PQ间有宽度为L、磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为+q的粒子沿着纸面与MN 夹角为θ=37°的方向以速率 v垂直射入磁场中，恰能垂直PQ边界射出磁场；改变粒子入射速度方向和大小，使粒子均以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，不计粒子的重力， 下列说法正确的是（　　） A．粒子射入磁场的速率 v满足 B．粒子以的速率沿纸面不同方向射入磁场时，粒子在磁场中运动的周期变为原来一半 C．粒子以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，则从PQ边界射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为 D．粒子以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，则从 PQ边界射出范围的长度为 【例题4-2】如图所示，边长为L的正方形abcd区域内无磁场，abcd区域外存在足够宽的、磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。0时刻，质量为m、电荷量为q的带正电粒子从ab边的中点e以方向垂直于ab边、大小为的速度射入磁场，不计粒子重力，则粒子第n（且n为偶数）次回到e点的时刻为（     ） A． B． C． D． 【例题4-3】如图甲所示，圆心在x轴上的圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，在O点沿x轴正向发射一颗比荷为的带正电粒子，粒子运动过程x、y方向的速度分量随时间变化如图乙、图丙所示，重力不计，则（     ） A．磁场方向垂直纸面向外 B．粒子在穿过磁场过程中速度方向改变了60° C．磁感应强度大小为 D．磁感应强度大小为 【例题4-4】如下图所示，电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为，现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，下列说法正确的是（　　） A．所加磁场范围的最小面积是 B．所加磁场范围的最小面积是 C．所加磁场范围的最小面积是 D．所加磁场范围的最小面积是 考点05 有关带电粒子在有界磁场中的动态圆问题 一、“平移圆”模型 适用 条件 速度大小一定，方向一定，入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹 特点 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与所有入射点的连线平行 应用 方法 将半径R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件 二、“放缩圆”模型 适用条件 速度方向一定，速度大小不同 粒子源发射速度方向一定，速度大小不同的带电粒子进入匀强磁场中，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹特点 轨迹圆圆心共线 如图所示（图中只画出粒子带正电的情境），速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上 应用方法 以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件 三、“旋转圆”模型 适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入的初速度为v0，则圆周运动的半径R＝，如图所示 轨迹特点 轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 应用方法 将一半径R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件 4、 磁发散和磁聚焦 1. 磁发散：如图1所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。 2.磁聚焦：如图2所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。 【例题5-1】如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入磁场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度为 B．粒子的入射速度为 C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 【例题5-2】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac，bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径R。一束质量为m、电荷量为q（）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用，在磁场中运动时间最长的粒子，其对应的运动速率为（　　） A． B． C． D． 【例题5-3】如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里、大小为，场区足够宽，磁场内有一块足够长平面感光薄板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离处有一个点状的放射源S，它在纸面内均匀的向各个方向发射比荷相等的带正电的粒子，粒子的速度大小都满足，不计重力和粒子间的相互作用，则（　　） A．击中ab板的粒子运动的最长时间为 B．击中ab板的粒子运动的最短时间为 C．ab上被粒子打中的区域的长度为 D．放射源S发射的粒子中有41.7%的粒子可以击中ab板 【例题5-4】如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向内的匀强磁场，O为圆心，AB为水平方向直径，OC为竖直方向半径，D为圆周上一点，且，AB上方有大量质量均为m，电荷量均为的带电粒子水平向右射入磁场，经磁场偏转后所有粒子均从C点射出磁场，不考虑粒子自身重力，则下列说法中正确的是（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．各带电粒子在磁场中运动的时间相同 C．各带电粒子从C点射出时的速度方向相同 D．从D点射入的带电粒子在磁场中运动时会经过圆心O 考点06 复合场中的有关仪器 一、质谱仪 （1）作用：测量带电粒子质量和分离同位素的仪器。 （2）原理(如图所示) ①加速电场：qU＝mv2。 ②偏转磁场：qvB＝，l＝2r，由以上两式可得r＝ ，m＝，＝。 二、回旋加速器 （1）构造 如图所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源。 （2）原理 交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子被加速一次。 （3）最大动能 由qvmB＝、Ekm＝mvm2得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关。 （4）总时间 粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总时间t＝T＝·＝。 三、电磁叠加场中的各类仪器 装置 原理图 规律 共性规律 速度选 择器　 若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动 稳定平衡时电荷所受电场力和洛伦兹力平衡，即q＝qvB 磁流体 发电机 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电荷，两极板间电压为U时稳定，q＝qv0B，U＝v0Bd 电磁流 量计　 当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差(U)达到最大，由q＝qvB，可得v＝ 霍尔 元件 当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，b、a间的电势差(U)就保持稳定，由qvB＝q，可得U＝vBd 【例题6-1】如图所示，空间某区域存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为；匀强磁场与电场方向垂直，磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的带正电粒子，从点以初速度水平向右射入，恰好沿直线经过点，a、b两点间距为。不计粒子重力，电场与磁场的范围足够大，下列说法正确的是（　　） A．仅改变粒子的电性，粒子无法沿直线经过点 B．仅改变粒子入射方向（从点水平向左射入），粒子仍可沿直线经过点 C．仅改变粒子初速度的大小，粒子一定无法经过点 D．仅改变粒子初速度的大小，若，粒子一定经过点 【例题6-2】如图为某质谱仪的示意图，由竖直放置的速度选择器、偏转磁场构成。由三种不同粒子组成的粒子束以某速度沿竖直向下的方向射入速度选择器，该粒子束沿直线穿过底板上的小孔O进入偏转磁场，最终三种粒子分别打在底板MN上的、、点，已知底板MN上下两侧的匀强磁场方向均垂直纸面向外，且磁感应强度的大小分别为、，速度选择器中匀强电场的电场强度的大小为E，不计粒子的重力以及它们之间的相互作用，则（　　） A．速度选择器中的电场方向向右，且三种粒子电性可正可负 B．三种粒子打在MN上时速度不相等 C．如果三种粒子的电荷量相等，则打在点的粒子质量最大 D．如果三种粒子电荷量均为，且、点的间距为，则打在、两点的粒子质量差为 【例题6-3】回旋加速器的工作原理示意图如图所示。D1和D2是中空的两个半径为r的D形金属盒，分别与一频率为f、电压为U的高频交流电源两极相接，两盒放在恒定的磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面向下，粒子源置于盒的圆心A附近。两盒间的狭缝很小，粒子在D形盒内做匀速圆周运动，当其到达两盒间的缝隙时，缝隙中的交变电场恰好使粒子被加速，且加速过程中不考虑重力的影响。忽略粒子在电场中运动的时间，忽略相对论效应，下列说法正确的是（　　） A．无论加速的是何种粒子，粒子出D形盒时的动能都相同 B．粒子飞出回旋加速器的速度为πfr C．粒子在加速器中加速的次数为 D．粒子第n次加速前后轨迹半径之比为∶ 【例题6-4】磁强计可以测量磁感应强度。如图所示，霍尔元件是磁强计的核心部件，将其放在与它垂直的匀强磁场中，当通有恒定电流时，在元件的前、后两个侧面a、b之间会产生稳定的霍尔电压，进而得到匀强磁场磁感应强度大小。已知霍尔元件三边长度分别为、、，单位体积内载流子个数为，载流子的电荷量为。下列说法正确的是（　　） A．前侧面a比后侧面b的电势低 B．每个载流子受到的洛伦兹力大小为 C．霍尔电压大小为 D．为提高磁强计的灵敏度S（），可适当增大 【例题6-5】磁流体发电机的原理如图甲所示，燃烧室在的高温下将气体全部电离成高温等离子体。等离子体经喷管提速后以速度v进入矩形发电通道，发电通道中有垂直于喷射速度方向的匀强磁场，简化后的原理图如图乙所示。已知磁感应强度大小为B，发电通道长为l、宽为b、高为a，高温等离子体的电阻率为ρ，外部电路的总电阻为R。当开关S闭合后，下列说法正确的是（    ） A．发电机产生的电动势 B．回路电流 C．发电机的输出功率 D．为维持等离子体匀速流动，矩形发电通道左右端的压强差 【例题6-6】在核电站中，使用电磁泵来循环冷却剂以维持核反应堆稳定运行。电磁泵的设计示意图如图所示，电磁泵位于垂直纸面向外的匀强磁场（磁感应强度大小为B）中，泵体为长方体（长为L1，宽和高均为L2），上下表面为金属极板。当在泵体的上下表面接电压为U的电源（内阻不计）后，只在两板间的冷却剂中产生自上而下的电流，理想电流表示数为I，通电冷却剂在磁场力的作用下在管道中流动。泵体和冷却剂液面之间的高度差为h，冷却剂的电阻率为ρ，在t时间内抽取冷却剂的质量为m，不计冷却剂在流动中和管壁之间的阻力，工作时泵体内始终充满冷却剂，取重力加速度为g，则（　　） A．电磁泵对冷却剂的推力大小为BIL1 B．电磁泵输出的机械功率为 C．质量为m的冷却剂离开泵体时的动能为 D．若接在泵体的上下两表面的电压变为2U，则电流表的读数变为2I（未超出量程） 考点07 带电粒子在组合场中的运动 1.组合场的三种常见情况 （1）磁场与磁场的组合，即强弱或方向不同的磁场分别位于不重叠的区域内； （2）电场与磁场分别位于不重叠的区域内； （3）电场、磁场在同一区域交替出现。 2.电场、磁场中的常见运动（条件）及解法 【例题7-1】如图，真空中有区域I和II，区域I中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，腰长为L的等腰直角三角形CGF区域（区域II）内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O三点在同一直线上，AO与GF垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域I中，只有沿直线AC运动的粒子才能进入区域II。若区域I中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域II中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF边靠近F的三等分点D射出，它们在区域II中运动的时间为t0.若改变电场或磁场强弱，能进入区域II中的粒子在区域II中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．从D点飞出的粒子速度大小为 B．粒子的比荷为 C．若仅将区域I中电场强度大小变为2E，则t > t0 D．若仅将区域II中磁感应强度大小变为，则粒子从GF边出射，出射点距离O点 【例题7-2】如题图所示，质量为、带电荷量为的带电粒子（重力不计），从坐标原点以初速度沿轴正方向射入第一象限内的电磁场区域，在，区域内有竖直向上的匀强电场，在区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为，控制电场强度（值有多种可能），可让粒子从NP射入磁场后偏转打到接收器MN上，则（　　） A．粒子从点射入磁场，电场强度满足 B．从中点射入磁场的粒子在磁场中圆周运动半径为 C．从点与从中点射入磁场的粒子打到接收器的两点距离大于 D．粒子在磁场中运动的最短时间为 考点08 带电粒子在叠加场中的运动 1.叠加场：在同一区域电场、磁场、重力场三场共存或其中某两场共存。 2.带电粒子（体）在叠加场中常见的运动形式及特点 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受的合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 电场力与重力平衡，即qE＝mg，洛伦兹力提供向心力 牛顿第二定律、圆周运动的规律 一般曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律等 3.解决叠加场问题的步骤 4.配速法 （1）方法概述：如果带电粒子在叠加场中不做匀速直线运动，即所受合力不为零，粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动比较复杂。可以通过配速的方法，把初速度分解为两个分速度，使其一个方向的分速度对应的洛伦兹力与重力（或电场力，或重力和电场力的合力）平衡，另一个方向的分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样将复杂的曲线运动分解为两个比较常见的运动，即为配速法。 （2）叠加场中几种常见的情况 常见情况 处理方法 初速度为0，且受重力 把初速度0看作向左的速度v1和向右的速度v1两个分速度，其产生的洛伦兹力如图所示 初速度为0，受电场力 把初速度0看作向左的速度v1和向右的速度v1两个分速度，其产生的洛伦兹力如图所示 初速度为0，且受重力和电场力 把初速度0看作斜向右上方垂直于重力、电场力合力方向的速度v1和斜向左下方的速度v1，沿右上方的运动满足受力平衡，沿左下方的运动为匀速圆周运动，如图所示 初速度为v0，且受重力 对粒子的运动配以水平向右的速度v1和斜向左上的速度v2，如图所示，粒子沿水平向右的速度v1所受的洛伦兹力与重力平衡，则粒子做速度大小为v2的匀速圆周运动 【例题8-1】如图所示，空间有一垂直纸面向外、磁感应强度为0.5T的匀强磁场，一质量为0.2kg且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端无初速放置一质量为0.1kg、电荷量q=+0.2C的滑块，滑块与绝缘木板之间的动摩擦因数为0.5，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。t=0时对木板施加方向水平向左，大小为0.6N的恒力F，g=10m/s2。则（     ） A．木板和滑块一直做加速度为2m/s2的匀加速运动 B．滑块最后做速度为9m/s的匀速运动 C．木板最后做加速度为3m/s2的匀加速运动 D．5s末滑块开始做匀速运动 【例题8-2】数学老师出了这样一道数学题：求单位圆做纯滚动时圆上一点的轨迹方程，小明马上想到，物理中也有这样类似的曲线，记得物理老师说过这种运动是圆周运动和直线运动的合成，当时老师还出了这样一个题。在空间存在一范围足够大的匀强磁场和匀强电场。磁场方向垂直于平面向外，磁感应强度大小为；电场方向为轴正向，电场强度为，一质量为，电荷量为（）的粒子从坐标原点以初速度沿轴正向发射，其运动轨迹如图所示。不计重力，则（　　） A．粒子向轴正向上运动的过程中电势能逐渐增大 B．粒子能到达的最低点距轴距离为 C．运动过程中粒子的最大速度为 D．运动过程中粒子做一次周期性运动沿轴前进 【例题8-3】我国紧凑型聚变能实验装置（BEST）预计2027年建成。其部分结构可视为圆柱形真空室，内有水平向右的匀强电场和匀强磁场，如图所示。以圆柱体左侧面圆心为点，轴线为轴建立坐标系，圆柱体右侧面与轴交于点。某比荷为的正离子从点以大小为的初速度沿轴正向运动，最终从点射出，整个过程恰好未与真空室壁接触。已知真空室的半径为，电场强度大小为。不计离子重力，则（　　） A．离子运动时的加速度不变 B．磁场的磁感应强度的大小为 C．离子从运动到点的时间可能是 D．点的坐标可能为 【压轴题训练】 1．电子对湮灭是指正电子和电子以大小相同、方向相反的速度发生正碰后湮灭，产生伽马射线的现象，电子对湮灭是计算机断层扫描（PET）的物理基础。如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，在第Ⅱ象限内一半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形磁场边界分别与x轴和y轴相切于A点和C点，在第Ⅳ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场。一电子以一定的速度从A点沿y轴正方向射入磁场，经C点射入电场，一正电子从y轴上的D点沿x轴正方向射入第Ⅳ象限，它们恰好在到达x轴上的P点时发生正碰从而发生湮灭现象。已知电子到达P点时速度与x轴正方向夹角为60°。电子的质量为m，电荷量为-e；正电子的质量与电子相同，电荷量为e；不计它们所受的重力以及它们间的相互作用。求： (1)电子在第Ⅱ象限圆形磁场区域内运动的速度大小v0； (2)第Ⅰ象限内匀强电场的电场强度的大小E； (3)电子从A点出发与正电子从D点出发的时间间隔Δt。 2．在核物理实验室的粒子探测实验中，研究人员为分析某未知带电粒子的基本性质，搭建了由匀强电场和匀强磁场组成的组合场探测装置，利用威尔逊云室记录粒子的运动径迹。该装置的空间分布建立在竖直平面内的平面直角坐标系xOy中，x轴上有M、N、P三点，三点的横坐标满足xN-xM=2d，xP=3.2d。在xM≤x≤xN区域内，存在沿y轴正方向的匀强电场；在x≥xP区域内，存在垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一未知粒子从坐标原点O沿与x轴正方向成θ=53°角射入（速度大小未知），在点C（3.2d，-2d）以速度v0垂直于磁场边界射入磁场，并从P点射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子的重力，sin53°=0.8。 (1)求该粒子的比荷； (2)求匀强电场的电场强度E的大小； (3)求M点的横坐标xM； (4)若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子的轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于D点（图中未画出）。求粒子由C点运动到D点的时间t以及D点的纵坐标yD。 3．如图所示，在平面的第一象限内存在方向沿轴负方向、电场强度大小的有界匀强电场，电场左边界为轴，右边界为抛物线的右半支；第三象限内存在垂直于坐标平面向里、磁感应强度大小的匀强磁场；在电场右边界的抛物线上有一可移动的点状粒子发射器，它可以发射速度大小均为（未知），沿轴负方向的带正电粒子。已知粒子发射器在沿抛物线移动过程中发射的所有带电粒子均可以自坐标原点离开电场，粒子的质量、电荷量，装置置于真空环境中，不计粒子的重力及粒子间相互作用。 (1)求粒子发射器发射粒子的速度大小； (2)证明粒子发射器发射的所有粒子第二次经过轴时都经过同一位置，并求出此位置的坐标。 4．利用电场和磁场来控制带电粒子的运动轨迹，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图，在xOy平面的第一象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ，P点位于x轴负半轴上，在OP处放有一挡板，其长度为l，厚度不计。在第三和第四象限区域内，以坐标原点O为圆心，半径为l的半圆形区域外存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ。一质量为m，电荷量为q的正粒子以速度垂直于y轴的方向从y轴上的N点进入第二象限，且。已知场强大小，，，不计粒子重力。（仅m、q、l、为已知量） (1)要使该粒子离开第二象限时不打在挡板OP上，求磁场Ⅰ磁感应强度的取值范围； (2)若，粒子进入第三象限后，经过半圆形磁场边界时速度方向与磁场边界线垂直，求该粒子第一次进入第四象限时与坐标原点O的距离。 5．图a所示，平面直角坐标系xOy中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形OBC区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标，BC边与x轴正方向的夹角大小为。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为v，方向与BC边平行的初速度进入电场，经偏转后从A点垂直OB边进入磁场。已知匀强电场场强，不计粒子重力。求： (1)A点的坐标； (2)若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从BC边射出，匀强磁场磁感应强度的大小； (3)若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，交变磁场的磁感应强度和周期的大小。 6．如图甲所示的坐标系中区域有沿轴负方向的匀强电场，区域有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度的大小和方向随时间变化的关系如图乙所示，取垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，图中。一足够大的荧光屏垂直于轴放置并可沿轴水平移动。现有一质量，电荷量的带电粒子从电场中的点沿平行轴方向以初速度射入电场，然后从坐标原点进入磁场。已知点到轴的距离，粒子经过点时的速度方向与轴的夹角，以粒子进入磁场时为时刻，不计粒子的重力，求： (1)匀强电场的场强大小； (2)时间内，粒子在磁场中运动时到轴的最远距离； (3)粒子在磁场中运动时到轴的最远距离及带电粒子垂直打在荧光屏上时荧光屏在轴上可能位置的坐标。 7．如图所示的空间直角坐标系中，在区域Ⅰ的空间分布着沿轴正方向的匀强电场，在区域Ⅱ的空间分布着沿轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，有一平行于平面的无限大荧光屏（图中未画出）。在平面内处正下方有速度大小为0的粒子源可发射带正电粒子进入大小可调的加速电场，质量为，电荷量为。当加速电压取最大值时，粒子沿轴正方向以速度进入区域Ⅰ，经过轴上的点进入区域Ⅱ，已知点坐标为，最终打到荧光屏上的点（图中未画出）。不计粒子的重力，忽略磁场边界效应。求： (1)最大加速电压和电场强度大小； (2)当荧光屏处于处时，求点的三维坐标； (3)当荧光屏处于处时，调加速电场的大小，则粒子打在荧光屏上的位置与的关系（可用表示）。 8．如图甲，一质量为m足够长的绝缘板静止在光滑水平面上，板的左端有一个质量为m的带电小物块，其电荷量为。距绝缘板左端l到2l之间存在电场和磁场，匀强磁场方向垂直于纸面向里，匀强电场方向竖直向下。现让带电小物块在水平恒力的作用下从静止开始向右运动。小物块到达电、磁场区域的左边界时刻，撤去水平恒力，此时绝缘板的速度大小为。带电小物块从开始运动到前进2l的过程中，速度随位移变化的图像如图乙，其中AB段为直线。已知重力加速度为g，求： (1)小物块到达电、磁场区域的左边界前，绝缘板的加速度a的大小； (2)水平恒力F的大小； (3)电场强度和磁感应强度的大小。 9．如图所示，在竖直平面内，水平轴的上方和下方分别存在方向垂直纸面向外和方向垂直纸面向里的匀强磁场，其中轴上方的匀强磁场磁感应强度大小为，并且在第一象限和第二象限有方向相反、强弱相同的平行于轴的匀强电场，电场强度大小为已知一质量为的带电小球从轴上的位置斜向下与轴负半轴成角射入第一象限，恰能做匀速直线运动。 (1)求出小球所带电荷量及入射的速度大小； (2)为使小球在轴下方的磁场中做匀速圆周运动，需要在轴下方空间加一匀强电场，试求所加匀强电场的电场强度； (3)在满足第问的基础上，若在轴上某段范围内安装有一绝缘弹性薄板，并且调节轴下方的磁场强弱，使进入轴下方的带电小球仅与绝缘弹性板碰撞两次后，从轴上的某一位置返回到轴的上方，然后恰能做匀速直线运动至轴上的位置。假设带电小球与弹性板碰撞时，既无电荷转移，也无能量损失，并且入射方向和反射方向与弹性板的夹角相同。试求出弹性板的最小长度和带电小球从位置出发到返回至位置过程所经历的时间。 10．如图所示，在直角坐标系中，y轴竖直，O、A两点间的距离为L，。第一象限内有方向垂直坐标平面水平向里的匀强磁场和沿x轴负方向的匀强电场，第三象限内有方向垂直坐标平面水平向外的匀强磁场和平行纸面的匀强电场，第四象限内有方向沿x轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带负电小球从A点以大小（g为重力加速度大小）的初速度沿做直线运动，小球通过O点后在第三象限内做匀速圆周运动，恰好通过坐标为的B点，已知第四象限内电场的电场强度大小，不计空气阻力。 (1)求第一象限内磁场的磁感应强度大小； (2)第三象限内磁场的磁感应强度大小和大小方向； (3)求小球从通过O点（第一次通过y轴）到第三次通过y轴所用的时间t； (4)在第四象限内运动的过程中到y轴的最大距离。 11．电子束晶圆检测系统利用电子束轰击芯片的特定区域，生成图像，并将图像与数据库对比，可以识别缺陷。如图所示为该检测系统的原理简化图。电子枪连续发出初速度不计的电子，经的电压加速后，从的中点平行于轴进入边长为的正方形偏转区，该区域在平面内且存在沿轴正方向的匀强电场，然后电子恰好能从点进入的长方体控制区，控制区平面位于平面上。控制区之间的距离。半径的圆形晶圆位于平面上，其圆心在轴上。控制区同时存在沿轴负方向的大小可调的匀强磁场和匀强电场。电子的比荷取，不计电子重力，不考虑相对论效应。计算时取3。 (1)求电子刚进入偏转区时的速度； (2)求偏转区匀强电场的大小； (3)要使进入控制区的电子都能打在晶圆上，求匀强磁场的最小值； (4)若某次检测时控制区所加磁场，所加电场，求电子打在晶圆上的位置坐标。 12．如图所示，边长为L=0.9m的正方体OACD−O1A1C1D1空间中存在磁感应强度，方向沿z轴正方向的匀强磁场和电场强度E=1.0N/C，方向沿z轴负方向的匀强电场。极板M、N间是加速电场，一带电量为q=1.0×10−12C的正电粒子在加速电场作用下由静止加速后获得Ek=1.0×10−11J的动能，并从O1点沿y轴正方向进入正方体空间。已知正方体空间外无电场、磁场，粒子重力不计，取π2=10。 (1)判断M极板的极性并求出加速电场的电压大小； (2)假设正方体空间仅有匀强磁场，粒子恰好从C1点射出，求粒子的质量； (3)若粒子质量m0=2×10−14kg，求粒子运动到xOy平面的位置坐标。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $