精品解析：江西吉安市第八中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

八年级数学练习 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（　　） A. B. 3.14 C. 0.1010010001 D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是分数，属于有理数； B、3.14是有限小数，即分数，属于有理数； C、0.1010010001是有限小数，即分数，属于有理数； D、是无理数； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2. 以2，3为直角边的直角三角形斜边长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出第三边长即可． 【详解】以2，3为直角边的直角三角形斜边长为， 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根及平方根的运算，掌握算术平方根和平方根的区别和联系成为解题的关键． 根据算术平方根及平方根的性质逐项化简即可解答． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项正确，符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 在△ABC中，AB＝13 cm，AC＝20 cm，BC边上的高为12 cm，则△ABC的面积是 A. 126 cm2 或66 cm2 B. 66 cm2 C. 120 cm2 D. 126cm2 【答案】A 【解析】 【分析】此题分两种情况：∠B为锐角或∠B为钝角已知AB、AC的值，利用勾股定理即可求出BC的长，利用三角形的面积公式得结果． 【详解】当∠B为锐角时（如图1）， 在Rt△ABD中， cm， 在Rt△ADC中， cm， ∴BC=21， ∴S△ABC= BC•AD=×21×12=126cm2； 当∠B为钝角时（如图2）， 在Rt△ABD中， cm， 在Rt△ADC中， cm， ∴BC=CD-BD=16-5=11cm， ∴S△ABC=BC•AD=×11×12=66cm2； 故答案为：126或66． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题的关键． 5. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长. 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为： 每一个直角三角形的面积为： 故选D 【点睛】本题考查勾股定理的运用，稍有难度；利用大正方形与小正方形、直角三角形面积之间的等量关系是解答本题的关键. 6. 如图，在四边形中，，，点C是边上一点，，．．下列结论；①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】证明，由全等三角形的性质可得出，．再由图形的面积可得出①②⑤正确． 【详解】解：，， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， 故①②正确； ，， 四边形的面积是； 故③错误； 梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积， ， ，， 故④错误，故⑤正确 故①②⑤共3个正确，③④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 7. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 8. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；根据这两个条件得，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为：． 9. 如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则_________米． 【答案】1.5## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中， 由勾股定理得到（米），     故答案为：1.5． 10. 如图，在中，，，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，再根据a所在数轴上的位置即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ． 11. 如图，将一个边长分别为 8，16 的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，得到EC=AE，∠AEF=∠CEF，推出AE=AF=CE，勾股定理求出AE，得到BE，作EG⊥AF于点G，根据勾股定理求出EF． 【详解】解：根据折叠的性质知，EC=AE，∠AEF=∠CEF， ∵AD∥BC， ∴∠AFE=∠CEF， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF=CE， 由勾股定理得，AB2+BE2=AE2即82+（16-AE）2=AE2， 解得，AE=AF=10，BE=6， 作EG⊥AF于点G， 则四边形AGEB是矩形，有AG=6，GF=4，GE=AB=8，由勾股定理得EF=4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了矩形与翻折，勾股定理，等角对等边证明边相等，熟记翻折的性质是解题的关键． 12. 小亮在一张长为，宽为的矩形纸片上，剪了一个腰长为的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），则这个等腰三角形的底边为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】等腰三角形腰的位置不明确，需要根据勾股定理分三种情况分别计算底边的长度：（1）两腰在矩形相邻的两边上；（2）一腰在矩形的宽上；（3）一腰在矩形的长上． 【详解】解：设，． （1）如图①所示，当时，为底边． ． （2）如图②所示，当时，为底边． 根据题意可知． ． ． （3）如图③所示，当时，为底边． 根据题意可知． ． ． 综上所述，等腰三角形的底边为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查勾股定理，能够根据题意进行分类讨论是解题的关键． 三、解答题（共5小题，每题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解得． 14. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，二次根式的乘法运算，先利用乘法公式与单项式乘以多项式计算乘法运算，再合并同类项，最后把，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 15. 已知a+1的算术平方根是3，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2.求： （1）a，b，c的值； （2）a+4b﹣4c的平方根． 【答案】（1）8，9，7 （2）±4 【解析】 【分析】（1）根据平方根和立方根的概念分别计算出a、b、c即可； （2）利用（1）的结论直接求值即可． 【小问1详解】 解：∵a+1的算术平方根是3， ∴a+1=9， ∴a=8； ∵-27的立方根是b-12， ∴b-12=-3， ∴b=9； ∵c-3的平方根是±2， ∴c-3=4， ∴c=7； 即a，b，c的值分别为8，9，7； 【小问2详解】 由（1）知，a+4b-4c=8+4×9-4×7=16， ∴a+4b-4c的平方根是±4． 【点睛】本题主要考查平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键． 16. 下面是两个由边长为1的小正方形组成的的正方形网格．请只用无刻度的直尺在网格中各画一个斜边长为5的直角三角形． 要求：（1）所画的直角三角形不全等；（2）直角三角形的顶点均为网格中小正方形的顶点． 【答案】 如图，，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查的是作直角三角形，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先作一个直角边长分别为3，4的直角三角形，再利用勾股定理与勾股定理的逆定理作一个直角边长为，的直角三角形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴符合题意； ∵，，， ∴，， ∴， ∴符合题意． 17. 实数在数轴上的对应点位置如图所示，化简： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算：先根据数轴得到，则，再计算立方根和算术平方根以及绝对值，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ． 四、解答题（共3小题，每题8分，共24分） 18. 如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处， （1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离； （2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？ 【答案】（1）蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是cm； （2）蚂蚁的平均速度是5米/秒 【解析】 【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可； （2）作点E关于点B的对称点，再根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示， ∵圆柱形玻璃容器，高12cm，底面周长为24cm， ∴， ∴． 答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是cm； 【小问2详解】 解：4秒钟后蜂蜜下滑了4cm到点E， 作点E关于点B的对称点， ∴蚂蚁所走的最短路程就是， ∵，， ∴蚂蚁所走的路程， ∴蚂蚁的平均速度（米/秒）． 答：蚂蚁的平均速度为5米/秒． 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键． 19. 求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题． 小芳： 解：原式， 小亮： 解：原式＝． （1）______的解法是错误的； （2）求代数式的值，其中． 【答案】（1）小亮 （2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方式可知，再利用二次根式的性质及绝对值的性质即可解答； （2）根据完全平方式可知，再利用二次根式的性质及绝对值的性质即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴代数式， ∴小亮的解法错误， 故答案为小亮． 【小问2详解】 解：∵， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方式，二次根式的性质，绝对值的性质，掌握二次根式的性质及绝对值的性质是解题的关键． 20. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得． （1）试说明：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：，，， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）根据垂线性质得到，根据同角的余角相等得到，即可证明，从而得到结论； （2）根据勾股定理求出的长，由（1）可知，利用求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， ， ． 五、解答题（共2小题，每题9分，共18分） 21. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点． （1）试说明：； （2）若，求的面积； （3）在（2）的条件下，若点为线段上任一点，于于．求的值． 【答案】（1） 证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴ （2） （3）4 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）先利用勾股定理求出，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 【阅读材料】 像，，，…， 两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，…，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 （1）的有理化因式为______； （2）化简：； （3）①如图1是的正方形网格，每个小正方形边长都为1，三个顶点都在格点上，则点A到边的距离为______； ②如图2，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，求点P到边的距离． 【答案】（1） （2） （3）①② 【解析】 【分析】（1）直接利用材料中的定义求解即可； （2）先对分母进行有理化，再求解即可； （3）①先求出的长度，再利用面积法求解； ②连接，作，垂足为D，作，垂足为E，作，垂足为F再表示出的面积，求出P点到各边的距离即可． 【小问1详解】 ∵ ∴的有理化因式为； 【小问2详解】 ① ； 【小问3详解】 设中边上的高为h， ∴，即 ∴ ∴点A到边的距离为； ②连接，作，垂足为D，作，垂足为E，作，垂足为F ∵平分，， ∴ ∵平分，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的有理化运算，解题关键是读懂题意，理解有理化因式的概念并能正确运用它解决实际问题，本题涉及了三角形的面积公式和角平分线的性质，学生应牢记相关概念，并能正确运用等面积法建立方程． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 问题探究： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： （1）图1中，的取值范围是 ； 方法运用： （2）如图2，是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．试说明：； （3）如图3，在△ABC中，为的中点，．试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：延长到，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3），理由如下： 延长到，使，连接、． ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，在中，由三角形三边的关系得到，据此求解即可 （2）延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质解答； （3）延长到，使，连接、，，得到，，再根据勾股定理解答． 【详解】解：（1）是中线， ， 又，， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系，等角对等边，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学练习 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（　　） A. B. 3.14 C. 0.1010010001 D. 2. 以2，3为直角边的直角三角形斜边长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在△ABC中，AB＝13 cm，AC＝20 cm，BC边上的高为12 cm，则△ABC的面积是 A. 126 cm2 或66 cm2 B. 66 cm2 C. 120 cm2 D. 126cm2 5. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 6. 如图，在四边形中，，，点C是边上一点，，．．下列结论；①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 7. 的算术平方根是______． 8. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 9. 如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则_________米． 10. 如图，在中，，，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是_______________． 11. 如图，将一个边长分别为 8，16 的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是___________． 12. 小亮在一张长为，宽为的矩形纸片上，剪了一个腰长为的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），则这个等腰三角形的底边为__________． 三、解答题（共5小题，每题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）解方程：． 14. 先化简，再求值：，其中，． 15. 已知a+1的算术平方根是3，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2.求： （1）a，b，c的值； （2）a+4b﹣4c的平方根． 16. 下面是两个由边长为1的小正方形组成的的正方形网格．请只用无刻度的直尺在网格中各画一个斜边长为5的直角三角形． 要求：（1）所画的直角三角形不全等；（2）直角三角形的顶点均为网格中小正方形的顶点． 17. 实数在数轴上的对应点位置如图所示，化简： ． 四、解答题（共3小题，每题8分，共24分） 18. 如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处， （1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离； （2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？ 19. 求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题． 小芳： 解：原式， 小亮： 解：原式＝． （1）______的解法是错误的； （2）求代数式的值，其中． 20. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得． （1）试说明：； （2）求的长． 五、解答题（共2小题，每题9分，共18分） 21. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点． （1）试说明：； （2）若，求的面积； （3）在（2）的条件下，若点为线段上任一点，于于．求的值． 22. 【阅读材料】 像，，，…， 两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，…，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 （1）的有理化因式为______； （2）化简：； （3）①如图1是的正方形网格，每个小正方形边长都为1，三个顶点都在格点上，则点A到边的距离为______； ②如图2，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，求点P到边的距离． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 问题探究： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： （1）图1中，的取值范围是 ； 方法运用： （2）如图2，是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．试说明：； （3）如图3，在△ABC中，为的中点，．试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $