第27章 反比例函数：反比例函数基础题型方法-讲义 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

反比例函数综合-讲义 目录 一、反比例函数的定义和图像 1、反比例函数的定义 2、反比例函数解析式的求法 二、反比例函数的定义和图像 1、反比例函数图像与增减性 2、反比例函数图像的对称性 三、反比例函数的模型 1、模型 2、面积模型 3、中点模型 4、双线模型 5、面积模型变形 知识梳理 一、反比例函数的定义和图像 1、反比例函数的定义 一般地，如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示为（k为常数，k≠0）的形式，则称y为x的反比例函数，其中k是比例系数. 【注】 ①自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. ②其他形式：xy=k（k≠0）. 2、 反比例函数解析式的求法 （1） 反比例函数的解析式（k≠0）中，只有一个系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的解析式，因此利用待定系数法即可确定反比例函数的解析式. （2） 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设反比例函数的解析式为（k≠0）； ②把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； ③解这个方程求出待定系数k； ④将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式. 【注】反比例函数的解析式（k≠0）也可以变形为k=xy（k≠0）的形式，因此可以通过k=xy快速的计算出k的值. 二、反比例函数的定义和图像 【注】 ①叙述反比例函数的变化规律时，一定要加上“在每一个象限内”. ②由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图象和x轴、y轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势. 三、反比例函数的模型 典例剖析 题型一、反比例函数的定义和图像 类型1、反比例函数的定义 【例1】下列函数是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的形式为（为常数，）， ∴只有是反比例函数. 【变式1-1】下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：反比例函数的一般形式为（为常数，）， A、分母为，不符合反比例函数形式，不是关于的反比例函数； B、符合反比例函数形式； C、是正比例函数； D、是二次函数． 【变式1-2】已知反比例函数则下列各点不在该函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由得． A、B、C选项中点的横纵坐标乘积均为6，在函数图象上． D选项：，不在函数图象上． 【变式1-3】反比例函数的图象经过点，当时，的值是_________． 【答案】 【分析】先利用已知点坐标求出反比例函数解析式，再代入求解的值． 【详解】解：把代入，得， 解得 ， ∴反比例函数解析式为 ， 把代入，得， 解得 ． 类型2、反比例函数解析式的求法 【例2】如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点．求一次函数和反比例函数的解析式. 【答案】一次函数解析式为； 反比例函数解析式为； 【分析】用待定系数法求函数解析式即可； 【详解】解：将代入得，， 解得， 一次函数解析式为； 将代入得，， ， 反比例函数解析式为； 【变式2-1】一个反比例函数的图象经过点．求该反比例函数的解析式． 【答案】该反比例函数的解析式为． 【分析】利用待定系数法求反比例函数的解析式即可． 【详解】解：把代入， 则， 解得， 则该反比例函数的解析式为． 【变式2-2】如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点．求反比例函数的表达式. 【答案】反比例函数的表达式为 ； 【分析】因为点A在一次函数图象上，所以将A点横坐标代入一次函数表达式可求出a的值，得到A点坐标．因为A点在反比例函数图象上，所以将A点坐标代入反比例函数表达式可求出k的值，得到反比例函数表达式． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上, 将代入一次函数解析式： ， ∴点的坐标为。 又∵点在反比例函数的图象上， 将代入得： ， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 【变式2-3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．求一次函数和反比例函数的解析式. 【答案】一次函数，反比例函数 【分析】将点代入反比例函数可得，再令得到点，然后代入即可得一次函数解析式； 【详解】解：点在反比例函数上， ，解得， 反比例函数， 令，则，解得， 故， 把，代入一次函数， 联立得， 解得， 所以一次函数； 题型二、反比例函数的定义和图像 类型1、反比例函数图像与增减性 【例3】若点都在反比例函数的图象上，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出，，的值后比较大小． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 【变式3-1】反比例函数的图象经过（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】反比例函数的图象位置取决于比例系数k的符号，当时，图象位于第二、四象限． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象经过第二、第四象限． 【变式3-2】对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】结合反比例函数的图象与性质，分和两种情况讨论自变量的取值范围. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小. 当时，对应第一象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. 当时，对应第三象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. ∴的取值范围是或. 【变式3-3】对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【答案】A 【分析】由反比例函数解析式确定的正负，结合其图象性质与点坐标验证判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象位于第一、三象限，故B错误． ∵时，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，A正确； 当时，随的增大而减小，D错误． ∵当时，， ∴图象不经过点，故C错误． 类型2、反比例函数图像的对称性 【例4】若点在反比例函数的图象上，则下列各点中也在该图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点在函数的图象上，则横纵坐标之积等于2．由于点在函数的图象上，则，据此逐项判断横纵坐标之积是否等于2即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． A、，故点不在该反比例函数图象上； B、，故点不在该反比例函数图象上； C、，故点在该反比例函数图象上； D、，故点不在该反比例函数图象上． 【变式4-1】一次函数和反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为________． 【答案】 【分析】一次函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两个交点关于原点对称，根据原点对称点的坐标特征即可求解． 【详解】解：∵一次函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两个函数图象的交点也关于原点中心对称， ∵已知其中一个交点坐标为， ∴另一个交点为关于原点的对称点，坐标为． 【变式4-2】关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 【答案】D 【分析】根据反比例函数的解析式，将点的坐标代入解析式中，可判断A； 根据反比例函数的解析式，可得出其图象的位置，可判断B； 根据反比例函数的解析式，结合增减性，可判断C； 根据反比例函数的解析式，可判断其对称性，可判断D． 【详解】解：反比例函数， 当时，， ∴点不在它的图象上， 故A错误； ∵， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大反而减小， 故B错误，C错误； 由反比例函数的对称性可知，图象的两个分支关于原点对称，故D正确． 【变式4-3】点在函数图象上，下列说法正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为反比例函数解析式为， 所以该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， 故A选项不符合题意； 因为反比例函数的图象不关于y轴对称， 故B选项不符合题意； 因为点在函数图象上， 则， 所以， 所以点和点都在图象上， 故C选项符合题意； 当时，， 故D选项 不符合题意． 题型三、反比例函数的模型 类型1、模型 【例5】如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知，结合已知面积求出，再根据图象所在的象限确定的符号． 【详解】解：， ， ． 由图象可知，反比例函数图象位于第二象限， ， ． 【变式5-1】如图，的一条边轴于点A，且．若某反比例函数图象的一支经过点B，则该反比例函数的表达式为_________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标原点围成的三角形面积为，结合图象所在象限确定k的符号即可求解． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， ∵点B在反比例函数图象上，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象的一支在第二象限， ∴， ∴， ∴该反比例函数的表达式为． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，求出，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解：如图， 根据正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点关于原点对称， ∴． ∵，， ， ， ， 是等腰三角形， 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得， ， ∴， ∵反比例函数的图象位于二、四象限 ． 【变式5-3】如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】连接，，设交轴于点，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到 ，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到， ，进而求解即可． 【详解】连接，，设交轴于点． ∵轴，点在轴上， ∴． ∵轴， ∴轴． ∵点在图象上，点在图象上， ∴，． ∴． 类型2、面积模型 【例6】如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数系数的几何意义可得，即，再根据为中点可得，进而求出矩形面积． 【详解】解：设点的坐标为 ∵点在反比例函数的图象上 ∴ 由图可知， ∴ ∵是的中点 ∴ ∴． 【变式6-1】如图，反比例函数上两点，的横坐标分别为m，，则的面积是______． 【答案】6 【分析】过点作轴，过点作轴，垂足分别为、，根据已知条件可求，，再利用求面积． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，垂足分别为、， 、两点在反比例函数的图象上，且、的横坐标分别是，， ∴，， ． 【变式6-2】如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 【答案】9 【分析】过点A作于点E，设，求得，，得到，于是得到结论． 【详解】解：过点A作于点E，设． ， ∵点A是的中点， ， ∵   的图象经过点A， ， ． ∵点D在反比例函数的图象上， ， ， ． 【变式6-3】如图，正比例函数的图象交反比例函数的图象于点．将正比例函数的图象向上平移3个单位长度与的图象交于点B． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式求出即可； （2）求出平移后的直线的解析式，进而求出点的坐标，作轴，轴，推出的面积等于梯形的面积，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴； （2）解：∵把直线向上平移3个单位长度得到， ∴联立， 解得：或， ∴， 作轴，轴，则：， 则：， ∴ ． 类型3、中点模型 【例7】如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，反比例函数的图象经过点A和点B，且点B为的中点．则的面积为（     ） A．l B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，得到，推出，根据，得到，据此计算即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， ， ， ， ， 的边在y轴上，点B为的中点， ， ， ∵反比例函数的图象经过点A和点B， ， ， ， ， ． 【变式7-1】如图，平行四边形的顶点，在函数的图象上，边与轴交于点，轴于点．若，则平行四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，得到，；根据三角形的面积公式，求出，根据点在函数图象上，求出，最后根据，求出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，； ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，则点的坐标为________，当，则_______ ． 【答案】 【分析】先根据求出的值，即可确定点的坐标，进而求出的值，再由求出的长，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式7-3】如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为， 轴，轴， 点的坐标为，点的坐标为， 的长度为， 点在线段上，且， ， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同， 点的坐标为， ， 整理得：， 解得：， ， ， 为直角三角形， ， ， ． 类型4、双线模型 【例8】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】B 【分析】延长交y轴于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为3，四边形的面积为11，即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． 【变式8-1】如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 【变式8-2】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式8-3】如图，点A是函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与函数的图象分别交于点B，C，OA与BC交于点D．下列结论中正确的是（     ） A．AB与AC一定相等 B．△AOB与△AOC的面积一定相等 C．OB与OC一定相等 D．△BOC与△ABC的面积一定相等 【答案】B 【分析】根据反比例函数中的几何意义与方程思想将点的坐标设出来，利用点与点之间的距离求线段进行求解． 【详解】解：如图所示，延长交轴于点，延长交轴于点， ∵点在反比例函数图像上，点在反比例函数的图像上，且轴，轴， ∴， ∵， ∴； 设点，则点， A，，不确定， ∴之间的关系无法确定，不符合题意； B，，符合题意； C，∵， ∴， ∵不确定， ∴之间的关系无法确定，不符合题意； D，∵， ， ∴不符合题意． 类型5、面积模型变形 【例9】如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，则图中______． 【答案】 【分析】由、均为正三角形，可得同位角，推出；两条平行线间距离处处相等，因此点、点到直线的距离相等，与同底、等高，故面积相等，即，再设，结合等边三角形三线合一得到底、高，由点在双曲线上得，代入三角形面积公式即可求出，进而得到的数值． 【详解】解：和均为正三角形， ， ， 点和点到的距离相等， 又和有相同的底边， ， 过点作， 设点， 是等边三角形， ， ， 点在双曲线上， ， ． 【变式9-1】如图，两个反比例函数 和 （ 其中 ） 在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点， 交于点，轴于点， 交于点，则四边形的面积是_____． 【答案】/ 【分析】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数k值的意义，求出四边形的面积和的面积即可得出答案． 【详解】∵ ∴四边形的面积为：， 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【答案】4 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到即可求出答案． 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 【变式9-3】如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 【答案】 【分析】分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $