第四章代数式（期中知识清单）七年级数学上学期新教材浙教版

第四章 代数式　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 列代数式 1.1 代数式的定义 由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式。这里的运算是指加、减、乘、除、乘方和开方。单独一个数或者一个字母也称代数式。 示例：、、、 都是代数式；、 也是代数式。 2. 代数式的值 2.1 代数式的值的定义 一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫作代数式的值。 示例：当 时，代数式 的值是 。 3. 整式 3.1 单项式 由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式。单独一个数或一个字母也叫单项式。 示例：、、、、、、 都是单项式。 3.2 单项式的系数 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。 示例： 的系数是 ， 的系数是 。 3.3 单项式的次数 一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。 示例： 的次数是 ， 的次数是 。 3.4 多项式 由几个单项式相加组成的代数式叫作多项式。 示例：、、 都是多项式。 3.5 多项式的项与常数项 在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项。 示例：多项式 的项有 、、，其中 是常数项。 3.6 多项式的次数 次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。 示例：多项式 中，次数最高的项 的次数是 ，所以 称为二次多项式。 3.7 整式 单项式和多项式统称整式。 示例：、、、 都是整式。 4. 合并同类项 4.1 同类项 多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项。所有常数项也看作同类项。 示例：、 与 是同类项； 与 是同类项；所有常数项都是同类项。 4.2 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项。 示例：。 4.3 合并同类项的法则 把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 示例：。 5. 整式的加减 5.1 去括号法则 括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项都不变号；括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项都改变符号。 示例：；。 5.2 整式的加减 整式的加减可以归结为去括号与合并同类项。 示例：。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 单项式系数与次数的确定 单项式的系数是数字因数且含它前面的符号，次数是式中所有字母指数的和，两者不能混淆。如 的系数是 ，次数是 。 【使用提醒】 单独一个字母如 ，系数为 、次数为 。 1.2 含 的单项式的次数 圆周率 是常数不是字母，判断单项式次数时不计 的指数。如 的次数是 ， 的次数是 。 1.3 同类项的两个“相同” 判断同类项只看字母种类与相同字母的指数，与系数大小、字母排列顺序无关。如 与 是同类项， 与 不是同类项。 1.4 多项式的次数与常数项 多项式的次数由次数最高的项决定；常数项不含字母，不计入次数判断。如 是二次多项式，常数项是 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 列代数式的步骤 先弄清各量间的运算关系，把“多、少、倍、差、商、平方、立方、几分之几”等词语翻译成运算符号，再按运算顺序列式，先算的整体要加括号。如“ 与 的和的平方”写 。 2.2 求代数式的值的步骤 先把字母的取值代入（负数、分数要加括号），再按运算顺序计算。如 时，。 2.3 合并同类项的步骤 先找出多项式中的同类项（可作记号区分），再把同类项的系数相加、字母和字母的指数不变。如 。 2.4 整式加减的步骤 先按去括号法则去括号，再合并同类项。如 。 3. 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 先化简再求值 求值前先合并同类项、去括号化简，再代入，计算更简便 先化为 再代入 代入负数加括号 字母取负数、分数时整体加括号，防符号出错 时 写 同类项作记号 用下划线等标记不同组同类项，防止漏项、漏号 中 项、 项分别合并 去括号先定符号 括号前是负号时，去括号后括号里每项都变号 4. 常见考试模型 4.1 增长（减少）率模型 公式： 原量为 ，每次增长（减少）率为 ，则增长一次后为 ，减少一次后为 。 限定： 减少率 ；“翻一番”即增加 倍（变为原来的 倍）。 示例： 预计明年产值增长 ，设今年产值为 万元，则明年为 万元。 4.2 打折销售模型 公式： 原价 按 折出售，售价为 （四折即按原价的 出售）。 限定： “几折”指按原价的百分之几十出售。 示例： 上衣原价 元，按四折销售，售价为 元。 4.3 图形周长、面积模型 公式： 把不规则图形拆分成规则图形（长方形、半圆等），周长相加、面积相加。 限定： 表示长度、面积的字母取值均为正数。 示例： 花坛由长方形和两个半圆组成，周长 ，面积 。 4.4 数字问题（两位数表示）模型 公式： 十位数字为 、个位数字为 的两位数表示为 。 限定： 、 均为 的整数，且 。 示例： 个位数字是 、十位数字是 的两位数表示为 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：列代数式时运算顺序搞错、漏加括号 典例： 用代数式表示“ 与 的差的 倍”。 错解：。 正解：“ 与 的差”是整体，应先算差、再取 倍，故为 。 原因： 审题遗漏、运算顺序不清。学生把“ 与 的差的 倍”与“ 的 倍与 的差”（）混为一谈，根源是没有抓住“的”字前面的部分是先算的整体，先算的部分必须加括号。 易错点 2：单项式的系数漏掉负号 典例： 写出单项式 的系数。 错解： 的系数是 。 正解： 单项式的系数是数字因数且包含它前面的符号，所以 的系数是 。 原因： 概念理解不完整。学生只看到数字“”而忽略了前面的负号，根源是对“系数是数字因数”中“含符号”这一要求记忆不全，把系数与绝对值混为一谈。 易错点 3：判断同类项只看字母、忽略指数 典例： 判断 与 是不是同类项。 错解： 是同类项（因为都含字母 、）。 正解： 不是同类项。同类项要求“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同”： 中 的指数是 、 的指数是 ，而 中 的指数是 、 的指数是 ，指数不同，故不是同类项。 原因： 概念理解错误。学生只盯住“字母相同”这一半条件，忽略了“相同字母的指数也相同”这另一半，根源是记同类项定义不完整，把“字母相同”当成了充分条件。 易错点 4：代数式求值时负数、分数不加括号 典例： 当 时，求 的值。 错解：。 正解： 把 整体代入，。 原因： 符号处理失误。学生把字母 直接换成 后忘了加括号，写成 被理解成“ 的平方的相反数”；根源是代入负数（或分数）时没有养成“整体加括号”的习惯，导致负号与指数的作用范围出错。 易错点 5：去括号时括号前是负号只变第一项 典例： 化简 。 错解：。 正解： 括号前是“”号，去括号后括号里各项都改变符号：。 原因： 条件遗漏。学生只给第一项 变了号，漏掉了 、 两项的变号，根源是记法则只记了开头，没有贯彻“各项都改变符号”中这个“都”字。 易错点 6：误把分母含字母的代数式当作整式 典例： 判断 是不是整式。 错解： 是整式。 正解： 不是整式。整式是单项式与多项式的统称，分母中含字母的代数式既不是单项式也不是多项式，故不是整式；而 、 分母是数，是整式。 原因： 概念理解错误。学生看到分数线就当作“式”，没有区分“分母是数”与“分母含字母”： 等价于 是单项式（整式），而 分母含字母，不属于整式范畴。 学科网（北京）股份有限公司 $