专题02有理数的运算（知识&考点&公式&9高频&10易错&7重难&2模型，期中知识清单）七年级数学上学期新教材浙教版

专题02有理数的运算 目录 识记类 思维导图 知识清单(7类) 考点清单(7类) 公式清单(6类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(9类) 易错题型清单(10类) 重难题型清单(7类) 答题类 解题模型清单(2类) 答题技巧清单 知识点01有理数的加法 1.有理数加法法则 ①同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 例：(-2)+(-3)=-(2+3)=-5 ②异号两数相加，绝对值不相等：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 例：(-7)+4=-(7-4)=-3 ③互为相反数的两个数相加得0。例：5+(-5)=0 ④一个数同0相加，仍得这个数。例：0+(-9)=-9 2.加法运算律 加法交换律：a+b=b+a，交换加数位置，和不变 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，先把其中几个相加，和不变 3.简便计算常用思路 相反数结合、同号结合、凑整结合、分母相同结合 知识点02有理数的加法 1.减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 符号表示：a-b=a+(-b) 减法→加法两步变：①减号变加号；②减数变为它的相反数，被减数不变。 例：3-5=3+(-5)；(-4)-(-6)=(-4)+6 2.有理数加减混合运算 所有减法统一转化为加法，写成省略加号的和式。 例：(-3)+(-5)(-7)+(+2)=-3-5+7+2，读作：负3、负5、正7、正2的和。 知识点03有理数的乘法 1.乘法法则 ①两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 例：(-3)×(-4)=12；(-3)×4=-12 ②任何数与0相乘，积为0。 2.多个有理数相乘 几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正；负因数个数是奇数时，积为负(奇负偶正) 只要有一个因数是0，乘积就是0。 3.乘法运算律 ①交换律：ab=ba ②结合律：(ab)c=a(bc) ③分配律：a(b+c)=ab+ac，可正向、逆用ab+ac=a(b+c) 知识点04有理数的除法 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。0没有倒数。 2.除法法则 法则1：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不等于0的数都得0。 法则2：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 3.乘除混合运算：全部转化为乘法，再计算。 知识点05有理数的乘方 1.乘方概念：表示n个a相乘。a：底数；n：指数；结果叫幂。 例：(-2)³=(-2)×(-2)×(-2) 2.幂的符号规律 ①正数的任何正整数次幂都是正数 ②负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负数 ③0的正整数次幂等于0 3.科学记数法 把一个数表示成a×10n(1≤|a|<10，n为整数)的形式，这种记数方法叫做科学记数法。 知识点06有理数的混合运算 运算顺序： 1.先乘方→再乘除→最后加减 2.同级运算(只有加减/只有乘除)，从左到右依次计算 3.有括号，先算括号里面：小括号→中括号→大括号 4.可以灵活使用运算律简化计算。 注意事项 1.不要跳步!符号出错是混合运算最常见丢分点。坚持：先定符号，再算绝对值。 2.不要凭感觉改变运算顺序，乘除优先级高于加减。 3.负数参与乘方、乘除，记得带上符号。 知识点07近似数 1.准确数：与实际完全符合的数。如班级45人。 2.近似数：与实际接近的数，由四舍五入得到。 3.科学记数法：把数写成a×10”，其中1≤|a|<10，n是整数。 大数：n=整数位数-1。例：56000=5.6×10⁴ 4.精确度：近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。例：3.14精确到百分位；2.4万精确到千位。 考点01有理数的加法 考点内容：有理数加法法则；加法交换律、加法结合律；利用运算律简便计算。 常见考法： ①根据加法法则，进行同号、异号两数相加计算； ②判断互为相反数相加的结果，掌握一个数加0仍得这个数； ③运用加法运算律，采用相反数结合、同号结合、凑整结合进行简算； ④实际问题中用有理数加法求和。 考点02有理数的减法 考点内容：有理数减法法则；加减混合运算；省略加号的和式。 常见考法： ①将减法转化为加法：a-b=a+(-b)； ②加减混合运算统一写成省略加号和括号的和的形式； ③加减混合运算的计算，区分运算符号与性质符号； ④利用减法求差值，解决实际增减问题。 考点03有理数的乘法 考点内容：有理数乘法法则；多个有理数相乘符号规律；乘法交换律、结合律、分配律。 常见考法： ①两数相乘，利用“同号得正，异号得负”计算； ②多个非0因数相乘，根据负因数个数判断符号(奇负偶正)；存在因数为0则积为0； ③乘法分配律正向、逆用简便运算，警惕漏乘； ④判断乘法运算律的变形是否正确。 考点04有理数的除法 考点内容：倒数的概念；有理数除法两种法则；乘除混合运算。 常见考法： ①求一个非0数的倒数，记住0没有倒数； ②两数相除符号判断，除法转化为乘法(乘倒数)； ③0除以任何不为0的数得0，牢记0不能作为除数； ④乘除同级运算，从左向右依次计算，不可随意改变运算顺序。 考点05有理数的乘方 考点内容：乘方、底数、指数、幂的概念；幂的符号规律；区分(-a)n与-an。 常见考法： ①识别底数与指数，把乘方还原成乘法算式； ②根据底数正负、指数奇偶，判断幂的正负； ③辨析(-2)⁴和-2⁴的底数、意义、结果差异； ④简单乘方求值。 考点06有理数的混合运算 考点内容：有理数混合运算顺序；运算律在混合运算中的综合运用。 常见考法： ①牢记运算优先级：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左往右；有括号先算括号内(小→中→大)； ②混合运算分步计算，先定符号，再算绝对值； ③综合运用运算律简化混合运算； ④混合运算改错，识别运算顺序、符号类错误。 考点07科学记数法、近似数 考点内容：科学记数法定义；准确数、近似数；近似数的精确度。常见考法： ①把大数写成a×10n”的形式，掌握1≤|a|<10；把科学记数法还原成原数； ②区分准确数与近似数； ③判断近似数精确到哪一位，带“万”单位近似数要还原原数判断精确度； ④根据精确度对数字四舍五入取近似值。 一、有理数加法 1.加法交换律： 2.加法结合律： 二、有理数减法 减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数 三、有理数乘法 1.乘法交换律： 2.乘法结合律： 3.乘法分配律：逆用： 四、有理数除法 1.倒数定义：若，的倒数为。满足 2.除法法则 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数 五、有理数乘方 a：底数，n：:指数，结果叫幂 六、科学记数法：a×10”，其中1≤|a|<10，n为整数 辨析01有理数加减符号法则混淆误区 加法符号法则与乘除符号法则不能混用。同号两数相加是绝对值相加，而异号相加是大绝对值减小绝对值。“同号得正，异号得负”只适用于乘法、除法，不能用于加法。 辨析02减法没有交换律 减法不满足交换律，；加减混合移动数字时，必须连同数字前面的性质符号一起移动。减法运算本质是转化成加法再计算。 辨析03乘方底数括号易错辨析 区分(-a)n”与-an”。(-a)n”底数是-a，n个-a相乘，-an”底数是a，表示an”的相反数。负数、分数作底数，不加括号时，符号或分母不属于底数。例：(-2)⁴=16，-2⁴=-16。 辨析04在运算中的多重限制 0没有倒数，0不能作除数；0可以做被除数，0除以任何不为0的数结果为0；0的正整数次幂等于0。 辨析05乘除同级运算顺序误区 乘除属于同级运算，必须从左往右依次计算，不能随意添加括号改变运算顺序。例：,不能写成 辨析06乘法分配律漏乘、负号错误 ，括号外的数要乘括号内每一项。当括号外是负数时，分配后每一项都要变号。易错：,正确结果：。 辨析07科学记数法a的取值范围 科学记数法形式a×10n”,必须满足1≤la|<10。不能写成0.5×10⁵或12×10³。负数的科学记数法，负号写在整个式子前面。 辨析08近似数精确度判断误区 带”万、亿”单位或者科学记数法形式的近似数，判断精确度需要还原成原数，看末位数字所在数位。例：2.4×10⁴还原为24000,数字4在千位，精确到千位，不是十分位。 辨析09有理数混合运算顺序易错 运算优先级：乘方最高，其次乘除，最后加减，有括号先算括号内(小括号一中括号一大括号)。不能先算加减再算乘方、乘除。计算坚持：先定符号，再算绝对值。 辨析10多个有理数相乘符号判断 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数个数决定，奇负偶正；只要有一个因数是0,乘积直接为0,不需要再判断负号。 【题型一】有理数加法中符号问题 【例1】（26-27七年级上·河北唐山·期中）在计算时，按照有理数加法法则，需转化成（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数加法法则，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 【详解】解：． 【变式1-1】（26-27七年级上·浙江杭州·期中）两个数的和是负数，则这两个数（     ） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．至少有一个为负数 【答案】D 【分析】利用有理数加法的符号规律，结合反例排除错误选项，或从反面推导正确结论． 【详解】解：两个正数的和为正数，故A错误； 取两数为和，和为是负数，但两数一正一负，故B错误； 取两数为和，和为是负数，两数同为负数；取两数为和，和为是负数，有一个数为0，故C错误； 若两个数均为非负数，则它们的和必为非负数，与两数和为负数矛盾，则这两个数至少有一个为负数，故D正确． 【变式1-2】（25-26七年级上·天津·期中）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号：转化为； 第二个减号：转化为； 因此，原式转化为： 故选B． 【变式1-3】（25-26七年级上·广东中山·期中）将改写成省略加号的和的形式应为__________． 【答案】 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 【题型二】有理数加减混合运算（计算题） 【例2】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）计算下列各式． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则． （1）先去括号，然后进行有理数加减运算即可； （2）利用有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）先统一成分数，再利用有理数加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先将减法转化为加法，再利用有理数的加法法则计算即可； （2）先将小数化为带分数，再所有的带分数进行拆分，紧接着将减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律，将同分母分数结合进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2-3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）有理数的加减运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加减的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）去括号运算即可； （2）把小数变成分数运算即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ． 【题型三】有理数加减运算中简便运算 【例3】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3-1】（25-26六年级上·山东东营·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)（或） (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算． （1）利用加减法中的简便运算计算即可． （2）把小数转化成分数，再利用加减法中的简便运算计算即可． （3）利用加减法中的简便运算计算即可． （4）利用加减法中的简便运算计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （或） （3）解： （4）解： 【变式3-2】（25-26七年级上·辽宁辽阳·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-3】用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）按照加法交换律和结合律计算； （2）凑整，同分母的先相加； （3）分数与小数的互化，凑整，同分母的先相加. 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式． 【点睛】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。 【题型四】有理数乘法运算律 【例4】（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用乘法分配律展开计算乘法，最后算加减法即可． 【详解】解： ． 【变式4-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）简算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律（含逆运算）是解题的关键． （1）将998转化为，利用乘法分配律简化计算； （2）提取公因数23，利用乘法分配律的逆运算，先计算括号内的分数运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4-2】（25-26七年级上·吉林松原·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，观察式子，运用有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 【变式4-3】（25-26七年级上·陕西渭南·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘法分配律，先利用乘法分配律去括号，然后计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 【题型五】有理数乘除的混合运算 【例5】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （2）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （3）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式5-1】（25-26七年级上·广东河源·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键 （1）先算乘除，再算加减即可； （2）将除法化为乘法，然后利用乘法分配律展开并计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式5-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)80 (3) (4) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数加减乘除及乘方运算法则，根据运算顺序求解是解决问题的关键． （1）先根据变号法则去括号，再进行加减计算； （2）根据除一个数等于乘它的倒数将除法改为乘法，再按乘法法则计算； （3）根据除一个数等于乘它的倒数将除法改为乘法，再根据乘法分配律计算； （4）先计算乘方，绝对值，乘法，最后进行加减计算． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 【变式5-3】（25-26七年级上·新疆和田·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握分数的乘除法法则、符号规则以及带分数与假分数的相互转换是解题的关键．解题时需先将带分数转换为假分数，并将除法转换为乘法．注意符号规则：负负得正，最后通过约分简化得到结果． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【题型六】含乘方的有理数混合运算 【例6】（25-26七年级上·浙江台州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算以及有理数乘方逆运算，解题的关键是熟练运用运算律和乘方逆运算法则． （1）利用加法结合律，将同分母的分数结合起来进行计算； （2）利用有理数乘方逆运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-1】（25-26七年级上·广西桂林·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握乘法的运算法则是解题的关键，按有理数的乘方运算法则运算即可． 【详解】原式 ． 【变式6-2】（26-27七年级上·四川·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2)3 (3) (4) 【分析】（1）按照加法结合律求解即可； （2）先将除法变为乘法，再按顺序进行计算即可； （3）按照乘法分配律进行展开计算即可； （4）先算乘方，再按照乘法分配律去括号，最后按顺序进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式6-3】（26-27七年级上·贵州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ， ， ． 【变式6-4】（26-27七年级上·江西·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2)2 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型七】利用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例7】（26-27七年级上·广西·期中）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：亿． 【变式7-1】（26-27七年级上·四川·期中）九绵高速是四川省唯一的一条全国绿色公路建设典型示范工程项目，全长，起于九寨沟县郭元乡，止于绵阳市游仙区张家坪，该高速公路2025年将全线通车，其总投资约41000000000元，将41000000000用科学记数法表示应是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将41000000000用科学记数法表示应是． 【变式7-2】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）截止到今年2月中旬，全国新冠疫苗接种总人数超过12.6亿人，疫苗覆盖率近．12.6亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：12.6亿． 【变式7-3】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法的一般形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：∵亿，∴亿， 故选D． 【题型八】求一个数的近似数 【例8】（25-26七年级上·湖南湘西·期中）把5.8965精确到百分位是（用四舍五入法取近似数）__________． 【答案】 【详解】解：∵千分位上的数字是， ∴把精确到百分位是（用四舍五入法取近似数）． 【变式8-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）用四舍五入法将近似数精确到个位的结果是_____． 【答案】 【详解】解：根据四舍五入法则，的十分位数字为，需向个位进，因此（精确到个位）． 【变式8-2】（25-26七年级上·北京·期中）圆周率是无限不循环小数，因此在进行计算时往往会取它的近似值，按四舍五入法对圆周率π精确到0.001取近似值为__________． 【答案】3.142 【分析】精确到0.001即看万分位的数字，将万分位的数字进行四舍五入即可． 【详解】解：对圆周率π精确到0.001取近似值为3.142． 【变式8-3】（25-26七年级上·广东梅州·期中）用四舍五入法，把精确到十分位的近似数是_____． 【答案】 【详解】解：用四舍五入法，把精确到十分位的近似数是． 【题型九】求近似数的精确度 【例9】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期中）精确到___________位． 【答案】千 【分析】将科学记数法表示的数还原为原数，根据最后一个有效数字所在的数位确定精确位数. 【详解】解：先还原为原数，， 原数中最后一个有效数字位于千位， 因此精确到千位. 【变式9-1】（25-26六年级上·山东烟台·期中）由四舍五入法得到的近似数精确到______位． 【答案】百 【分析】根据用科学记数法表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看原近似数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 【详解】解：∵， ∴还原后的最后一个8在百位， ∴近似数精确到百位． 【变式9-2】（25-26七年级上·河南开封·期中）我国最长河流长江长度约为米，这个数是近似数它精确到__位． 【答案】十万 【分析】本题考查了近似数及精确度问题，确定精确度时认清最后一个有效数字在原数中的数位是解题的关键． 把化为原数，再确定所在数位，即可得答案． 【详解】解：， ∵在十万位， ∴精确到十万位． 故答案为：十万． 【变式9-3】（25-26八年级上·江苏镇江·期中）近似数2.03亿精确到__________位 【答案】百万 【分析】本题考查了精确度，熟练掌握精确度由所得近似数的最后一位有效数字在该数中的位置决定，是解题的关键． 近似数的精确度由最后一位有效数字所在的数位决定．对于以亿为单位的数，需先转换为整数形式，再确定最后一位有效数字对应的数位． 【详解】解：近似数． 最后一位有效数字是3，位于百万位上， 因此精确到百万位． 故答案为：百万． 【题型一】判断有理数运算中计算过程是否正确并改正 【例1】48．（26-27七年级上·广西南宁·期中）计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小敏的计算过程，回答下列问题： (1)小敏在进行第二步计算时，运用的运算律是：___________． (2)请指出她从第___________步开始出现错误． (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)加法交换律和加法结合律； (2)三； (3)解：原式 【分析】（1）观察小敏的计算过程发现小敏在第二步计算时，她把、、、交换并结合在一起即可得答案． （2）观察小敏的计算过程发现小敏在第二步的时，计算错误，即可得她从第三步开始出错． （3）根据加法交换律和结合律对题目计算式进行计算得，再正确计算每一个括号，最后计算加法即可得答案． 【详解】（1）解：观察小敏的计算过程发现小敏在第二步计算时，她把、、、交换并结合为：， ∴小敏在进行第二步计算时，运用的运算律是：加法交换律和加法结合律． （2）解：观察小敏的计算过程发现小敏在第二步的时，计算错误， ∴她从第三步开始出现错误． （3）略 易错警示 容易忽略运算顺序，跳步计算；符号错误是最高发错误；分配律漏乘括号内部分项，看到错题先核对运算顺序，再检查符号。 【变式1-1】（25-26七年级上·山西忻州·期中）阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； (4)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)有理数减法法则 (2) (3)二；写成了 (4) 【分析】（1）根据“减法变加法（减一个数等于加它的相反数）”确定第一步的变形依据； （2）第二步调整数的位置，对应加法交换律； （3）检查步骤中符号是否正确，发现第二步，将误写为； （4）先通过加法交换律调整数的顺序，再用结合律分组计算（小数与小数结合、分数与分数结合），最终得出结果． 【详解】（1）解：有理数的减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）． （2）解：加法交换律：； （3）解：从第二步开始出错，错误原因是：将误写为，符号处理错误； （4）解： ． 【变式1-2】（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）判断下列计算过程是否正确，若不正确，请说明从哪一步开始出现错误，并给出正确的解答过程．       ①      ②      ③ 【答案】第①步开始错误， 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 第①步开始错误，应为；根据有理数的运算法则逐步计算即可． 【详解】解：第①步开始错误， ． 【变式1-3】（25-26七年级上·全国·期中）（1）小马虎在计算时，误将“＋”看成了“”结果得47，求的值． （2）阅读并解决问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ①计算过程中，第一步把原式化成的形式，体现了数学的思想．为了计算简便，第二步应用的加法运算律．    ②根据以上的解题技巧计算下列式子． 【答案】（1）；（2）①省略加号和括号，转化，交换律和结合律；② 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算． （1）根据题意先求出的值，再计算即可； （2）①根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得答案； ②仿照题意利用加法的交换律和结合律简便计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）①计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式，体现了数学的转化思想，为了计算简便，第二步应用了加法的交换律和结合律． 故答案为：省略加号和括号，转化，交换律和结合律； ② ． 【题型二】根据两个数的乘法判断与正负求代数式 【例2】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知，且，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘法法则，代数式求值，由绝对值和乘方的意义求出和的可能值，再根据确定和具体值，最后代入代数式计算即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴或， 又∵， ∴与异号， ∴，或，， ∴或， 故选：． 易错警示 两数乘积大于 0，两数同号（同为正或同为负），不要默认都是正数；乘积小于 0 则两数异号，做题要分两种情况讨论，不要漏情况。 【变式2-1】（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）已知且，则的值等于（   ） A．2或 B．2或8 C．8或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，根据绝对值的意义，结合有理数乘法的符号法则，同号为正，确定的值，再代入运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或． 故选：C． 【变式2-2】（25-26七年级上·广西梧州·期中）定义一种新运算符号“”，满足：，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，求一个数的绝对值，解题的关键是掌握新定义法则． 根据新运算“Θ”的定义，先计算内部运算，再计算结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-3】（25-26七年级上·河南南阳·期中）定义：对于一个有理数，我们把称为的相伴数．若，则；若，则．计算的结果为（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数的混合运算等知识点．根据相伴数的定义计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ． 故选：A． 【题型三】倒数、绝对值、相反数的综合解答题 【例3】（25-26七年级上·广东肇庆·期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是绝对值等于5的数． (1)完成填空：______，______，______． (2)求的值． 【答案】(1)0，1， (2)24 【分析】本题考查了相反数、倒数和绝对值的性质和已知式子的值求代数式． （1）根据相反数、倒数和绝对值的性质求出、、m的值即可； （2）由（1）中计算的、、m的值代入原式进行计算，其中需分情况讨论m的值，最终计算出原式的值． 【详解】（1）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴，， 又∵m是绝对值等于5的数， ∴， ∴， 故答案为：0，1，． （2）解：由（1）知，，，， ∴原式 ， 当时，， 当时，， ∴原式的值为24． 易错警示 0没有倒数；绝对值等于一个正数的数有两个（一正一负），容易漏掉负的那个；区分相反数、倒数概念，不要把互为相反数的和与互为倒数的积记混。 【变式3-1】（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知与互为相反数，与互为倒数，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握相反数和绝对值以及倒数的定义是解题的关键． （）根据与互为相反数，得到，根据与互为倒数，得到，于是得到； （）由题知，根据题意得到，再根据绝对值的定义得到．于是得到结论． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∵与互为倒数， ∴， ∴； （2）解：由题知， ∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 若，则； 若，则， ∴的值为或． 【变式3-2】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求的值． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，可以得到，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2， ， ∴ ． 【变式3-3】（25-26七年级上·江西上饶·期中）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，m的绝对值等于2，p是最大的负整数． (1)直接写出，，m，p的值； (2)求的值． 【答案】(1)1，0，， (2) 【分析】本题主要考查了倒数、相反数、绝对值以及有理数的加减混合运算等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据题意即可求解； （2）分类讨论当时，当时，两种情况即可求解． 【详解】（1）解：，b互为倒数，c，d互为相反数， ，， 的绝对值等于2， ， 而p是最大的负整数， ； （2）当时， ， 当时， ， 则的值为． 【题型四】判断有理数乘法运算过程是否正确并改正 【例4】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算： 解： 第一步 第二步 第三步 【答案】 解：原解题步骤从第一步开始出现错误， 正确解答过程如下： 原式 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律的符号运算规则是解题的关键．利用乘法分配律将分别与括号内的数相乘，再进行加减运算． 【详解】略 易错警示 多个负数相乘，数负因数个数判断符号容易数错；带分数参与乘法时，不先化成假分数直接计算，极易出错；有因数为 0 时，积直接为 0。 【变式4-1】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）课堂上，老师出了一道计算题：，小明和小丽同学的解法如下： 小明的解法： 原式． 小丽的解法：原式的倒数为：． 所以原式． (1)小明和小丽的解法中，正确的是______的解法（填“小明”或“小丽”）； (2)请你运用上述正确的方法计算：． 【答案】(1)小丽 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算和倒数，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序． （1）根据题目中小明和小丽的解答过程，可以判断小丽的解法正确； （2）仿照小丽的解法，先求所求式子的倒数，然后即可得到所求式子的值． 【详解】（1）解：小明的解法中没有按照先算小括号，再算除法的顺序做，故小明的解法错误； 小丽的解法是正确的； 故答案为：小丽； （2）解：原式的倒数为： ， 原式． 【变式4-2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步 第二步 第三步 (1)上述解答过程在第步开始出现错误． (2)选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2) 解： ． 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法运算律是解题的关键； （1）根据有理数的乘法运算律可进行求解； （2）根据有理数的乘法运算律可进行求解． 【详解】（1）解：上述解答过程在第一步开始出现错误，因为第一步在去括号的时候符号错误； 故答案为一； （2）略 【变式4-3】（25-26七年级上·湖南常德·期中）下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ……第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 (1)填空：以上运算步骤中，第一步依据的运算律是________；第________步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)乘法分配律；二 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减法和乘法，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据乘法分配律和去括号法则分析即可； （2）先根据乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：以上运算步骤中，第一步依据的运算律是乘法分配律；第二步开始出现错误，错误的原因是计算时符号出现错误， 故答案为：乘法分配律；二； （2）解： ． 【题型五】阅读题型中的有理数乘法简便运算 【例5】（25-26七年级上·江苏镇江·期中）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式． 请用上面的方法计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解本题的关键． 根据题意设为A，为B，原式变形后计算即可求出值． 【详解】解：设为A，为B， 则原式 ． 易错警示 机械套用乘法分配律，忽略阅读题中新定义规则；拆分数字时符号处理出错；只套公式，不理解题目给的阅读材料。 【变式5-1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）学了有理数的运算后，宋老师给同学们出了如下两道题． 计算：①；    ②． 下面是文文和园园的计算过程： 文文： ． 园园： ． (1)文文的解答过程正确但不够简便，请用简便方法计算； (2)园园的解答过程中是否有错误？如果有，请改正并写出正确的计算过程． 【答案】(1) 原式 ； (2) 有错误，园园错误地将带分数拆分为，正确拆分应为，再利用乘法分配律计算． 改正：原式 ． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律（）及带分数的正确拆分是解题的关键． （1）观察式子结构，发现两项均含有，利用乘法分配律提取公因式进行简便计算． （2）根据乘法对加法的分配律分析求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-2】（25-26七年级上·山东德州·期中） 利用运算律有时能进行简便计算． 例1 例2    请你参考黑板中老师的两个讲解，用相应的方法简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了乘法分配律． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-3】（25-26七年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用分配律解题我们知道，分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的时，我们可以逆用分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘法分配律，解题的关键是理解题意； （1）逆用分配律把原式变形为，再计算求解； （2）逆用分配律把原式变形为，再计算求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型六】根据点在数轴上的位置判断式子的正负 【例6】（26-27七年级上·陕西·期中）如图，a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由a、b、c在数轴上的位置，根据有理数的运算法则逐项分析即可． 【详解】解：观察数轴可知，， A、，，， ， 故该选项结论错误，不符合题意； B、， ， ， ， 故该选项结论正确，符合题意； C、，，， ， ， ， 故该选项结论错误，不符合题意； D、， ， ， ， 故该选项结论错误，不符合题意． 易错警示 离原点远近代表绝对值大小，不是数的大小；判断a+b、a-b符号时，容易搞反减法符号；数轴右边的数更大，但绝对值只看到原点距离。 【变式6-1】（25-26七年级上·山东德州·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴确定，的取值范围及绝对值大小，利用有理数加减法法则判断． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，且∴，故选项B正确， ∵，， ∴，故选项A错误， ∵，，故选项C、D错误． 【变式6-2】（25-26七年级下·广西贵港·期中）已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列选项中：①；②：③；④；⑤．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】先根据数轴确定a，b，c，d的大致范围，再分别对①至⑤的结论进行判断，统计正确结论的个数． 【详解】解：由数轴可知：，，，， ①由可知①错误； ②正数的绝对值大于负数的绝对值，故，②正确； ③为负，为正，异号相乘为负，故，③错误； ④，，故，④错误； ⑤在数轴上b比a偏右，则，故，⑤正确． 综上，正确的结论有②⑤，共2个．． 【变式6-3】（25-26七年级上·湖南益阳·期中）已知a，b，c三个数在数轴上对应的点的位置如图所示：有下列各式：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】先根据数轴判断数的大小关系，再判断式子的符号即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴； 综上，只有④正确，共1个． 【题型七】有理数幂的概念理解 【例7】（25-26七年级上·河南南阳·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．表示 B．的结果为正数 C．中是底数，2是指数 D．与是互为相反数 【答案】C 【分析】本题考查指数运算的基本概念，包括底数、指数的定义以及运算顺序，逐项判断各说法的正确性即可． 【详解】解：A、表示，而，两者不相等，故A错误； B、，结果为负数，故B错误； C、在中，底数是括号内的，指数是2，符合指数定义，故C正确； D、，，两者相等，并非互为相反数，故D错误， 故选：C． 易错警示 易错警示：区分与底数是，底数只有；指数只管紧贴的底数，不要随意扩大底数范围。 【变式7-1】（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）表示的意义是（   ） A．6个相乘的积 B．乘以6的积 C．5个相乘的积 D．6个相加的和 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的意义． 根据乘方的意义，表示n个a相乘的积． 【详解】解：∵表示n个a相乘的积， ∴表示6个相乘的积， 故选：A． 【变式7-2】（25-26七年级上·广东珠海·期中）下列关于的说法中，正确的是（   ） A．计算结果为 B．表示4个相乘 C．结果与相等 D．底数是，指数是4 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方运算，幂的定义，熟练掌握有理数乘方运算法则，是解题的关键．根据幂的定义，有理数乘方运算法则，进行求解即可． 【详解】解：表示，而非， ，，因此， 的底数为2，指数为4，故A正确，B、C、D错误． 故选：A． 【变式7-3】（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个3相加 C．的指数是3 D．与意义相同 【答案】C 【分析】本题考查“有理数的乘方的概念”，掌握有理数的乘方的各部分数的含义和名称是解题关键． 根据有理数的乘方的概念，逐项判断即可． 【详解】A选项：的底数是3，不是，∴A错误； B选项：表示3个3相乘，不是相加，∴B错误； C选项：的指数是3，∴C正确； D.选项：表示三个相乘，表示三个3相乘的相反数，意义不同，∴D错误， 故选：C． 【题型八】利用有理数的乘方比较数的大小 【例8】（26-27七年级上·全国·期中）将按从小到大的顺序排列是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据指数奇偶判断正负，正数最大；再比较负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：因为，，， 可得最大， 因为， 所以， 由于负数比较大小，绝对值大的数反而小， 所以，即 综上可得， 故B选项符合题意． 易错警示 正数乘方，指数越大值越大；负数乘方，偶次幂为正、奇次幂为负，比较大小容易忽略负数乘方符号。 【变式8-1】（25-26六年级上·山东威海·期中）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期．下列各组有理数大小比较，正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的大小比较、有理数的乘方、化简多重符号、绝对值，先化简每个选项中的表达式，再比较大小即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，，，故此选项正确，符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式8-2】（25-26七年级上·河南周口·期中）在，，，这四个数中，最大的数与最小的数的和是（   ） A．6 B．8 C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘方、有理数大小比较等知识点，掌握有理数乘方的运算法则是解题的关键． 先分别用有理数乘方的运算法则计算，然后比较有理数大小确定最大值和最小值，最后求和即可． 【详解】解：，，，，， ∴最大数为，最小数为， ∴最大的数与最小的数的和是． 故选：D． 【变式8-3】（25-26七年级上·山东威海·期中）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，有理数的大小比较．通过计算每个选项的数值或比较大小来判断是否正确，即可． 【详解】解：A、因为，则，故本选项错误，不符合题意； B、因为，则，故本选项错误，不符合题意； C、因为，则，故本选项错误，不符合题意； D、因为，且，则，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【题型九】有理数乘方的逆运算 【例9】（25-26七年级上·重庆万州·期中）已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．或3 C．或 D．11或3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘方、求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先根据绝对值和有理数乘方的逆运算求出的值，再结合得到，再分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∵， ∴， ①当，时，满足，； ②当，时，不满足，不符合题意，舍去； ③当，时，满足，； ④当，时，不满足，不符合题意，舍去； ∴综上所述，的值为11或3． 故选：D． 易错警示 已知平方结果求原数，有正负两个解，经常漏掉负解；注意 0 的平方、立方特殊性，不要出现漏解。 【变式9-1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知，那么的值为（　　） A．10或4 B．10或 C．或4 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，乘方，有理数的大小比较，求代数式的值，解题的关键是掌握以上知识点；根据绝对值，乘方的定义，有理数的大小比较求出x，y，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 当时，的值为， 当时，的值为， 的值为或． 故选：． 【变式9-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）若，，且，，则的值为_______． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数乘方逆运算，代数式求值，根据绝对值的性质和有理数乘方逆运算求出a和b的可能值，结合条件和分析讨论确定a和b的具体值，再计算的值，即可解题． 【详解】解：由，得或； 由，得或． 因为，所以a和b同号， 又因为，即， 若a和b同为正数，则，，但，舍去； 若a和b同为负数，则，，此时成立， 则． 故答案为：3． 【变式9-3】（25-26七年级上·广东广州·期中）已知a，b，c为有理数，，，，且．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，代数式求值，根据乘方的逆运算法则和乘法计算法则求出a、c的值，再代值计算即可打得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 【题型十】用代数式表示幂的结果 【例10】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查乘法的意义，乘方的意义，熟练掌握乘法的意义和乘方的意义是解题的关键．将个相加转化为乘法，将个相乘转化为乘方，然后求和即可． 【详解】解：个相加等于， 个相乘等于， 原式． 故选：A． 【变式10-1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）算式可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，乘法和乘方的定义，分子是个2相加，等于；分母是个3相乘，等于3的次方，据此求解即可． 【详解】解：∵分子是个2相加，等于；分母是个3相乘，等于3的次方，即， ∴原式． 故选：C． 【变式10-2】（25-26七年级上·广西贵港·期中）计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘法和乘方的意义，理解乘方和乘法的意义是解题关键．由乘法的意义可得n个2相加可表示为，由乘方意义可得m个5相乘表示为，即可获得答案． 【详解】解：∵n个2相加等于， m个5相乘等于， ∴原式， 故选：D． 【变式10-3】（25-26七年级上·北京·期中）式子可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法以及乘方的意义，理解乘方的意义是解题的关键．根据m个5相乘可表示为，n个9相加可以表示为，即可得解． 【详解】解：式子可表示为， 故选：C． 【题型一】有理数混合运算的实际应用 【例1】（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点A出发，规定向东为正，向西为负，下表是某一段时间内从点A出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)该机器人第5次完成工作后在出发点的什么方向？距离出发点多远？ (2)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 【答案】(1)西边，米 (2)千瓦时 【分析】本题考查了正负数的实际意义，有理数的运算，熟练掌握相关运算和定义是解题的关键． （1）将5次运动的行走记录相加，即可求解； （2）将表格中所给数据的绝对值相加，求得总行走距离，再乘以每千米耗电量，即可得到总耗电量，注意单位换算． 【详解】（1）解：（米）， 该机器人第5次完成工作后在出发点的西边，距离出发点米． （2）解：（米）， 则（千瓦时）． 答：在这段行走过程中机器人共耗电千瓦时． 【变式1-1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）临近春节，小芳和妈妈买了一盒酥饼（总共枚），包装标注一盒酥饼总质量合格标准为（）克．为检验质量，小芳选取一个恰当值作为单枚标准质量，并将各枚与标准的差值（单位：克）记为正或负，称重后得到如下不完全的数据表： 第枚 质量（克） 与标准质量的差（克） 根据上述内容解答下列问题： (1)小芳选取的标准质量是_______克，_______，_______； (2)请你帮忙判断小芳妈妈买的酥饼在总质量上是不是合格的，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)小芳妈妈买的酥饼在总质量上是合格的 【分析】本题考查正数与负数的意义，有理数的加减运算，绝对值的应用，将质量合格问题转化为数学计算问题是解题关键． （1）先利用第枚酥饼的质量和偏差求出标准质量，再用各枚酥饼的实际质量减去标准质量，得到对应的偏差值； （2）先计算所有酥饼的偏差总和，再判断其绝对值是否在合格范围（克）内，从而判断总质量是否合格． 【详解】（1）解：已知第枚酥饼质量克，与标准质量的差为克， 则标准质量为克， 第枚酥饼质量为克，则克， 第枚酥饼质量为克，则克． 答：，，． （2）解：各枚酥饼质量与标准质量的差的和为克， ，故酥饼在总质量上是合格的． 答：小芳妈妈买的酥饼在总质量上是合格的． 【变式1-2】（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）2025年国庆，全国从1日到8日放假八天，各地景区游人如织．其中因为《黑神话》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的八天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 10月8日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为_______万人，八天假期里，游客人数最多的是10月_______日，达到_______万人．游客人数超过万人的天数有_______天． (2)在国庆八天，该风景区一共接待了多少游客？（结果四舍五入到千人） 【答案】(1)；2；；5 (2)万人 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算的实际应用，正负数的实际应用，求一个数的近似数． （1）将加上10月1，2，3的变化量即可求解；分别计算每天的游客数量即可得到答案； （2）把（1）中每天的游客量相加，即可求解． 【详解】（1）解：万人， 10月3日的人数为万人； 10月1日的人数为万人， 10月2日的人数为万人， 10月3日的人数为：万人， 10月4日的人数为：万人， 10月5日的人数为：万人， 10月6日的人数为：万人， 10月7日的人数为：万人 10月8日的人数为：万人， ∴八天假期里，游客人数最多的是10月2日，达到万人，游客人数超过万人的天数有5天； 故答案为：；2；；5； （2）解：万人， ∴该风景区在这八天内大约一共接待了万游客． 【变式1-3】（25-26七年级上·安徽·期中）小明在数学课堂上学习了可以用正数和负数来表示意义相反的量，于是他放学乘坐公交车回家时，尝试用此方法记录公交车在某些站点上下车的人数，其中上车人数记为“”，下车人数记为“”．已知公交车从A站出发时，车上连同司机和小明在内共有34人，小明记录了后续5个站点B，C，D，E，F的上下车人数情况，并整理成下列表格． B站 C站 D站 E站 F站 请你根据以上信息回答下列问题： (1)公交车刚行驶到达C站时，车上共有多少人？（还未上下车） (2)若公交车的核载人数（包括司机在内的最大载客量）是48人，请通过计算说明公交车在B站与F站之间的行驶途中是否有超载行为． 【答案】(1)共有37人 (2)公交车在B站与F站之间的行驶途中没有超载行为，理由如下： 公交车从B站行驶到C站的途中，车上有（人）； 从C站行驶到D站的途中，车上有（人）； 从D站行驶到E站的途中，车上有（人）； 从E站行驶到F站的途中，车上有（人）， 行驶途中的最大乘载人数是45人，， 所以公交车在B站与F站之间的行驶途中没有超载行为． 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的实际应用． （1）用总人数加上在B站上下车人数即可得出答案． （2）分别计算出各站的人数，然后和48相比即可得出答案． 【详解】（1）解：（人）， 则公交车刚行驶到达C站时，车上共有37人； （2）略 【题型二】有理数四则混合运算实际应用 【例2】（26-27七年级上·云南·期中）学生食堂要购进20袋土豆，以每袋50千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示．记录如下： 每袋与标准重量的差/千克 0 2 袋数/袋 1 3 2 3 6 5 (1)20袋土豆中，最轻的一袋比最重的一袋要轻多少？ (2)与标准重量比较，20袋土豆总计超过或不足多少千克？ (3)若土豆每千克的售价为2元，求买这20袋土豆共需多少钱？ 【答案】(1)千克 (2)超过千克 (3)元 【分析】（1）根据题意，列出式子，由有理数加减运算直接计算即可得到答案； （2）根据题意，列出式子，由有理数加减乘法运算直接求解即可得到答案； （3）根据题意，求出土豆总重量，利用有理数乘法运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：（千克）， 答：最轻的一袋比最重的一袋要轻千克； （2）解： （千克）， 答：与标准重量比较，袋土豆总计超过千克； （3）解： （千克）， （元）， 答：买这袋土豆共需元． 【变式2-1】（26-27七年级上·安徽·期中）近几年，全球新能源汽车发展迅猛，尤其是我国新能源汽车的产销量大幅度增加．小亮家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表）．以为标准，超过记为“”，不足记为“”，刚好记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 与标准路程的差值 0 (1)小亮家这7天行驶的路程最多的一天比最少的一天多； (2)求出小亮家新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油7升，汽油价元／升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小亮家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省了多少钱？ 【答案】(1)50千米 (2)400千米 (3)元 【分析】（1）用表格中记录数据最大的数减去表格中记录数据最小的数即可得到答案； （2）把表格中记录数据相加，再加上七天标准路程即可得到答案； （3）分别计算出汽油车和新能源汽车的费用，二者相减即可得到答案． 【详解】（1）解： （千米）， ∴小亮家这7天行驶的路程最多的一天比最少的一天多50千米； （2）解： （千米）， 答：小亮家新能源汽车这七天一共行驶了400千米； （3）解：油车的费用为（元）， 新能源汽车的费用为（元）， （元）， 答：小亮家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省了元． 【变式2-2】（25-26六年级下·上海·期中）王明开着小轿车去“中石化”加油站加“92#”汽油（当天油价“92#”是元/升，“95#”是元/升，“98#”是元/升，“0#”柴油是元/升）．“中石化”加油站规定若用卡加油，“92#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，“95#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，正好该加油站当天也在搞促销活动，一张面值300元加油卡打九折出售，且两项活动可一起享受，他盘算了一下，决定这次买一张面值300元加油卡加油． (1)他实际花了多少钱购买了这张加油卡？ (2)假设这次加油他把这张卡内钱一次性全部用完，求：用卡加油比不用卡加油在加油量相等的条件下一共便宜了多少钱？ 【答案】(1)他实际花了元购买了这张加油卡． (2)一共便宜了元． 【分析】（1）用加油卡的原价乘以折扣即可得到答案； （2）求出用加油卡所加的油量，进而求出不用卡加这些油需要的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：（元）， 答：他实际花了元购买了这张加油卡． （2）解：（升）， （元）， （元）， 答：一共便宜了元． 【变式2-3】（25-26七年级上·福建漳州·期中）当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，计划每天销售500千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：千克） (1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由． (2)若小明按6元/千克进行柚子销售，成本为元/千克，且平均运费为1元/千克，则小明这一周销售柚子的收益一共多少元？ 【答案】(1) 解：达到了 理由如下： （千克）． 因为，所以小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量． (2)元 【分析】（1）计算，与０比较，求解即可； （2）根据总收益＝周销售量乘以每千克的净利润，求解即可； 【详解】（1）略； （2）解：小明本周销售量为：（千克） 本周总收益为：（元） 答：小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量，销售柚子的收益一共元． 【题型三】数轴上的翻折问题 【例3】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可知点到点的距离等于点到点的距离，即点是线段的中点，利用中点公式计算即可求解． 【详解】解：以点为折点将数轴向右对折，点的对应点刚好与点重叠， ，即点是线段的中点， 点表示，点表示， 点表示的数为． 【变式3-1】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，20，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为8，则C点表示的数是（   ） A．3 B．5 C．5或 D．或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的折叠问题，数轴上两点距离计算，分点A落在线段上和点A落在线段的延长线上，根据折叠后点A到点B的距离为8，求出折叠后点A表示的数，再根据折叠前点A表示的数为，即可求出点C表示的数． 【详解】解：当点A落在线段上时， ∵折叠后点A到点B的距离为8， ∴折叠后点A表示的数为， ∵折叠前点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 当点A落在线段的延长线上时， ∵折叠后点A到点B的距离为8， ∴折叠后点A表示的数为， ∵折叠前点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 综上所述，点C表示的数为5或， 故选：C． 【变式3-2】（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，在一条可以折叠的数轴上，点、、表示的数分别是，，．以点为折点，将此数轴向右对折．若点与点重合，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．1012 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上两点的距离与点表示的数的运算关系是解答的关键．先根据A、C表示的数求得的长，再由折叠后点与点重合，求得的长，进而可确定点B表示的数． 【详解】解：，C表示的数分别是，， ， ∵以点为折点，将此数轴向右对折,点与点重合， ， ∴B点表示的数是， 故选：A． 【变式3-3】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与线段结合的题型，解题的关键是列出这三条线段所有可能排列的顺序．首先根据三条线段的长度之比求出三条线段的长度，列出所有可能的情况，分情况求出折痕处对应的数． 【详解】解：当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、：， 折痕对应的点所表示的数为：； 综上所述，点所表示的数不可能是． 故选：D． 【题型四】有理数乘方的应用之进制题型（压轴） 【例4】（25-26七年级上·福建莆田·期中）根据以下素材，探索完成任务 不同进位制的数之间的转换 素材1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢八进一就是八进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材2 在数学中：规定除了零，任何数的零次幂都为1，即，如．由此，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，如， ． 素材3 不同进位制的数之间可以相互转换．下面对“十进制数与二进制数之间的转换”进行举例说明． （1）十进制数转换成二进制数．比如： ， 所以39换成二进制数是100111，记为； （2）二进制数转换成十进制数．比如： ， 所以转换成十进制数为21． 探索完成任务 任务一 ①十进制数6转换成二进制数为（_____）2； ②已知，则（_____）8． 任务二 已知m是大于9的正整数，则： ①如果十进制数，那么（_____）m； ②将转换成十进制数为______．（用含m的式子表示）． 任务三 已知a，b，c均是大于1的正整数，且，将，，转换成十进制数分别记为x，y，z．试探究与z的等量关系，并说明理由． 【答案】任务一：①110，②131， 任务二：①1030，②， 任务三：，理由如下： 依题意，， ， ， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，列代数式，以及单位进制的转化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务一：①根据题干中十进制数转换成二进制数的方法计算即可； ②仿造题干中二进制数转换为十进制数的方法计算即可； 任务二：①仿照题干中十进制数转换成二进制数的方法计算即可； ②仿造题干中二进制数转换为十进制数的方法计算即可； 任务三：仿造题干中二进制数转换为十进制数的方法求出x、y、z，然后结合求解即可． 【详解】解：任务一：①， 故答案为：110； ②∵， ∴， 故答案为：131； 任务二：①中， 故答案为：1030； ②， 故答案为：； 任务三：略 【变式4-1】（25-26六年级上·上海·期中）二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小丽同学的准考证号的二维码的简易编码，则小丽同学的准考证号为：___________________； (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 A B C D E F G H I J K L M 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 N O P Q R S T U V W X Y Z 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，如图1中第一行所对应的二进制的数字转换成十进制数24，则暗码为，则对应的明码为“”．请在图3中画出一个明码为“”的的二维码． 【答案】(1)2412072813 (2) W的暗码是23，对应的数值m为4，用二进制表示为； F的暗码是6，对应的数值m为21，用二进制表示为； L的暗码是12，对应的数值m为15，用二进制表示为； M的暗码是13，对应的数值m为14，用二进制表示为； S的暗码是19，对应的数值m为8，用二进制表示为； 二维码如下图所示： 【分析】本题考查了进制，解题关键是理解数位的进制，准确进行计算求解； （1）根据题中的规则化二进制为十进制； （2）先把代码换算成二进制，再画二维码． 【详解】（1）解：根据黑色代表1，白色代表0， 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 小丽同学的准考证号为：2412072813； （2）略 【变式4-2】（25-26七年级上·福建莆田·期中）综合实践： 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进几”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 十进制数，记作：234． 七进制数，记作：． 二进制数，记作：. 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应整数次幂再相加，就可得到与它相等的十进制数．如：. 素材2 将十进制数化为与其相等的二进制数采用除二取余法，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．同样十进制数转化为八进制数可用除八取余法.如： 素材3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法： 减法： （同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 根据以上材料，解决下列问题： (1)将十进制数21转化成二进制数的值为______； (2)（用二进制表示）； (3)若将一个十进制两位数交换其个位上的数字与十位上的数字后得到一个新数，当原数减去新数所得的差为18时，称原来的两位数为“青春数”．问是否存在这样的“青春数”，使该数转化成六进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数？若存在，请求出这样的“青春数”；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，86 【分析】本题考查了有理数的运算，读懂材料中两种进制互化的例子是关键． （1）根据材料提供的方法转化即可； （2）根据材料提供的方法转化即可； （3）根据题意得，，进而分类讨论，根据原数减去新数所得的差为的整数倍，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 则 则将十进制数21转化成二进制数的值为：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：根据题意：， ∵是一个十进制的两位数， ∴或， 当时，原数为43，新数为34， 则，不是“青春数”，不符合题意； 当时，原数为86，新数为68， 则，是“青春数”，符合题意 ∴这样的“青春数”存在，这个“青春数”是86． 【变式4-3】（25-26七年级上·河北承德·期中）综合与实践： 阅读材料：【材料1】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数：，记作：234（规定：当时，）； 七进制数：，记作：； 二进制数：记作：． 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 【材料2】把一个十进制数转化为与其相等的二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上逆序排列，就是结果．同样的将十进制数化为与其相等的七进制数，可用“除以7取余数”的方法，再将余数从下向上逆序排列即可．如图： 【材料3】二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法：，，，； 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 解决问题： (1)若三进制数，四进制数，试比较a与b的大小关系并说明理由； (2)①将十进制数47转化成二进制数的值为； ②进位制数的加减法运算：．（结果仍用二进制） 【答案】(1) ，理由如下： ， ， ∵， ∴； (2)①；② 【分析】本题考查了进位制的转化，熟练掌握进位制转化的方法是解题的关键． （1）仿照材料，把3进制和4进制数字转化为十进制数，再比较大小，即可得到结果； （2）①仿照材料，把十进制转化为2进制，即可得到结果； ②对2进制数进行加减运算，即可得到结果． 【详解】（1）解：（1）略 （2）解：①； 故答案为：； ②根据二进制的加法法则可得：． 故答案为：． 【题型五】程序流程图与有理数的运算 【例5】（26-27七年级上·山西·期中）小贤设计如图所示的程序，若，则输出的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方及程序框图，由，判断的关系，再代入计算输出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5-1】（25-26六年级下·四川成都·期中）在如图的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为，，则第4次输出的结果为__________． 【答案】3 【分析】根据程序流程图计算即可得出结果． 【详解】解：若开始输入的值为48， 我们发现第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为． 【变式5-2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，把分别输入数值转换器，则输出的结果是______； 【答案】9 【分析】根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴输出的结果是9． 【变式5-3】（25-26七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【答案】160 【分析】按照框图的计算顺序进行计算即可． 【详解】解：把40输入得： ， 把80输入得： ， ∴输出结果为：160． 【题型六】算“24”点问题 【例6】（25-26六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 【变式6-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24．现有3，，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中“24点”的游戏规则，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键．根据“24点”的游戏规则组合成结果为24的算式即可解答． 【详解】解：通过观察数字，发现，，则， 因此可列算式． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-2】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了“24点”． 先求出抽到的数据，再根据“24点”计算即可． 【详解】解：∵红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，A代表1，抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3， ∴抽到的数据是1，，2，3， 则一种方法为：． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26七年级上·河南安阳·期中）有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是灵活组合数字与运算符号，构造出结果为24的算式． 通过对数字、、、11进行减法、乘法运算的组合，得到结果为24的算式． 【详解】解：计算过程：先，得到， 再将与相乘，得到6， 最后将6与4相乘，得到24， 则． 故答案为： 【题型七】有理数乘方的实际应用 【例7】（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）如图，某种细胞每过1小时便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞能由1个分裂成______个． 【答案】32 【分析】本题主要考查了乘方的应用，每一次分裂后，细胞的数量是原来的2倍，求出5小时一共分裂多少次即可得到答案． 【详解】解：已知这种细胞每过1小时便由1个分裂成2个，那么经过1小时后，细胞的数量为个． 则经过n小时，细胞就会分裂n次，每次都是前一次数量的2倍， 所以经过n小时后可分裂成个细胞． 所以经过5小时，这种细胞能由1个分裂成个， 故答案为： 【变式7-1】（25-26七年级上·河北衡水·期中）武安拽面是邯郸市武安市的特色面食，人选武安市非物质文化遗产名录．制作时用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细面条，如图所示．这样捏合到第6次后拉成______根细面条． 【答案】64 【分析】本题主要考查有理数的乘方的应用．找出捏合的次数与拉出面条根数之间的关系求解即可． 【详解】解：罗列每次拉出的根数如下： 第一次，拉出2根细面条； 第二次，拉出根细面条； 第三次，拉出根细面条； ， ∴第次，拉出根细面条； ∴第6次捏合，拉出根细面条． 故答案为：64． 【变式7-2】（25-26六年级上·山东青岛·期中）核裂变是指由重的原子核分裂成两个或多个质量较小的原子核的一种核反应形式．某种原子核一次裂变可分裂成3个质量较小的原子核，新的原子核依此持续进行裂变，那么一个原子核经过5次裂变后，一共有______个原子核． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据原子核每次裂变产生3个新原子核，因此原子核数量呈指数增长，经过5次裂变后，原子核总数为3的5次方即可求解． 【详解】解：根据题意，得一个原子核经过5次裂变后，一共有原子（个）． 故答案为：243． 【变式7-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）一个不透明的盒子中装有2026个硬币（大小完全相同），现依次取出这2026个硬币，正面朝上记为“1”，反面朝上记为“”． （1）若取出的硬币正面有1013个，则这2026个数字之积为_________； （2）若取出的硬币正面有个，则这2026个数字之积可表示为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查有理数乘方的应用，硬币正面记为1，反面记为，所有数字之积取决于反面硬币的个数：当反面个数为奇数时积为，为偶数时积为1， 对于（1），正面个数已知，可求反面个数； 对于（2），用正面个数n表示反面个数，进而表示积． 【详解】解：（1）总硬币数为2026，正面有1013个，则反面有个， 积为， 故答案为：； （2）总硬币数为2026，正面有n个，则反面有个， 积为， 故答案为：． 【题型一】有理数乘方的应用之阅读题型（压轴）--错位相减 求：,七年级常考底数为整数) 通用步骤 1.设和 ① 2.两边同乘底数 等式左右同时乘以底数: ② 3.两式相减(②-①) 4.解出 【例1】（26-27七年级上·重庆·期中）阅读材料回答问题： 材料一：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如： ，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般把记作，读作“a的圈n次方”． 材料二：求的值，设，将等式两边同时乘2得：，利用第二个式子减去第一个式子可以得到，即，即． (1)【问题解决】直接写出计算结果：____________； (2)【类比探究】有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：____________； ____________．（且为正整数）； (3)【实践应用】求的值．（其中） 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据题意理解“的圈次方”的定义，即可求出的值． （2）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果，注意最后一个式子，结果第一个数不变为，第二个数及后面的数变为，再计算即可． （3）按照材料一的方法将原式转化为，利用材料二的方法设，两边同时乘以5即可得到新的式子，将两个式子相减即可求出答案． 【详解】（1）解：一般把记作，读作“的圈次方”， ． （2）解：① ② （3）解：由材料一的方法可知，， ，，， ， 根据材料二方法，可设①， ②， 得， ， ． 【变式1-1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题中所给的错位相减法进行求解即可． 【详解】解：设①， 将等式两边同时乘以6得：②， 再将得：， 即． 【变式1-2】（25-26六年级上·山东东营·期中）阅读材料： 求值：． 解：设① 将等式两边同时乘2，得② 得，， 即 请你仿照此法计算： (1)； (2)； (3)．（其中为正整数） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，掌握乘方的运算法则是解题关键． （1）仿照例题，设，将等式两边同时乘2得到，作差求解即可； （2）仿照例题，设，将等式两边同时乘3，得，作差求解即可； （3）仿照例题，设，将等式两边同时乘3，得，作差求解即可； 【详解】（1）解：设①， 将等式两边同时乘2，得②， 得，， 即； （2）解：设①， 将等式两边同时乘3，得②， 得，，则， 即； （3）解：设①， 将等式两边同时乘3，得②， 得，，则， 即． 【变式1-3】（25-26七年级上·福建福州·期中）阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘方的应用，掌握“错位相减法”是解题关键． （1）仿造例题，设，则，作差求解即可； （2）仿造例题，设，则，作差求解即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② 得，则． （2）解：设，① 则，② 得， 则． 【题型二】有理数运算中拆项计算问题 多个带分数相加减，把整数部分、分数部分拆开，整数归一组，分数归一组，分别计算再合并。 原理：带分数负数带分数负号要同时分给整数和分数，这是最容易错的地方。 ☑通用解题步骤 1.拆项 把每一个带分数，拆成「整数部分+分数部分」;负的带分数，整数、分数都带上负号。例 2.分组 整数全部放一组，分数全部放一组：原式=(所有整数相加)+(所有分数相加) 3.分别计算两组 ①整数部分直接加减； ②分数部分通分，加减运算。 4.合并结果 整数的和+分数的和，化简得到最终答案。 【例2】（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． （1）根据题干信息进行解答即可； （2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：拆为，拆为， 故答案为：，； （2）解： ． 【变式2-1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确理解题意、掌握解答的方法是关键； （1）根据有理数的加法作答即可； （2）按照题干中的拆项法结合有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：可将拆为，拆为； 故答案为：，； （2）解： ． 【变式2-2】（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）阅读下面的材料，并解答问题． 计算：． 解：因为，①， 所以原式 ． (1)上述材料中，序号①的内容为___________； (2)利用上述材料的方法计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是掌握拆项法，将带分数拆成整数和分数两部分，再分别相加． （1）根据拆项法的规则，将带分数拆分为整数和分数。 （2）运用拆项法拆分带分数，再分别结合整数与整数、分数与分数进行计算。 【详解】（1）解：由拆项法可知，， 故答案为：． （2） ． 【变式2-3】（25-26七年级上·陕西延安·期中）阅读下面的文字，并回答问题： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2021 【分析】本题考查了分数的简便运算． （1）将每个带分数分为整数部分和分数部分，分别计算后再合并； （2）将每个带分数分为整数部分和分数部分，分别计算后再合并． 【详解】（1）解： （2）解： ． 技巧 一句话要点 有理数加法——符号判定法 同号相加取相同符号，绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值；互为相反数相加得0。 有理数减法——变号转化法 减去一个数，等于加上这个数的相反数；a−b=a+(−b)，只改变减号和减数符号，被减数不变。 加减简便运算——分组凑整法 优先凑整数、凑相反数、同分母归类；正数一组、负数一组，简化加减混合计算。 有理数乘法——符号判断法 几个不为0的数相乘，负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负；有一个因数为0，积就是0。 乘法简便运算——分配律套用 ，遇到带分数、接近整十整百的数，拆数后用分配律简化计算。 有理数除法——倒数转化法 除以一个不为0的数等于乘它的倒数；先定符号，再算绝对值；0不能作除数。 乘方运算——底数识别法 an表示n个a相乘；分清(−a)n与−an，括号决定底数，符号看位置。 有理数混合运算——顺序口诀法 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左往右；有括号先算括号内。 科学记数法——定位法 近似数与精确度——末尾定位法 看最后一位有效数字所在数位，就是精确到哪一位；近似数计算不要过早取舍。 数轴综合题——数形结合法 根据数轴上点位置判断正负，判断代数式符号；数轴翻折问题抓住中点不变。 绝对值、相反数、倒数综合——概念固定法 互为相反数⇒；互为倒数⇒a； 1/4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02有理数的运算 目录 识记类 思维导图 知识清单(7类) 考点清单(7类) 公式清单(6类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(9类) 易错题型清单(10类) 重难题型清单(7类) 答题类 解题模型清单(2类) 答题技巧清单 知识点01有理数的加法 1.有理数加法法则 ①同号两数相加：取 的符号，并把 相加。 例：(-2)+(-3)=-(2+3)=-5 ②异号两数相加，绝对值不相等：取绝对值 的数的符号，并用 的绝对值减去 的绝对值。 例：(-7)+4=-(7-4)=-3 ③互为相反数的两个数相加得0。例：5+(-5)=0 ④一个数同0相加，仍得这个数。例：0+(-9)=-9 2.加法运算律 加法交换律：a+b=b+a，交换加数位置，和不变 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，先把其中几个相加，和不变 3.简便计算常用思路 相反数结合、同号结合、凑整结合、分母相同结合 知识点02有理数的加法 1.减法法则：减去一个数，等于 这个数的 。 符号表示：a-b=a+(-b) 减法→加法两步变：①减号变加号；②减数变为它的相反数，被减数不变。 例：3-5=3+(-5)；(-4)-(-6)=(-4)+6 2.有理数加减混合运算 所有减法统一转化为 ，写成省略加号的和式。 例：(-3)+(-5)(-7)+(+2)=-3-5+7+2，读作：负3、负5、正7、正2的和。 知识点03有理数的乘法 1.乘法法则 ①两数相乘：同号得 ，异号得 ，并把绝对值相乘。 例：(-3)×(-4)=12；(-3)×4=-12 ②任何数与0相乘，积为0。 2.多个有理数相乘 几个不为0的数相乘，负因数的个数是 时，积为 ；负因数个数是 时，积为负(奇负偶正) 只要有一个因数是0，乘积就是0。 3.乘法运算律 ①交换律：ab=ba ②结合律：(ab)c=a(bc) ③分配律：a(b+c)=ab+ac，可正向、逆用ab+ac=a(b+c) 知识点04有理数的除法 1.倒数：乘积为 的两个数互为倒数。0没有倒数。 2.除法法则 法则1：两数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值相除。0除以任何不等于0的数都得0。 法则2：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 3.乘除混合运算：全部转化为乘法，再计算。 知识点05有理数的乘方 1.乘方概念：表示n个a相乘。a：底数；n：指数；结果叫 。 例：(-2)³=(-2)×(-2)×(-2) 2.幂的符号规律 ①正数的任何正整数次幂都是正数 ②负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负数 ③0的正整数次幂等于0 3.科学记数法 把一个数表示成 (1≤|a|<10，n为整数)的形式，这种记数方法叫做 。 知识点06有理数的混合运算 运算顺序： 1.先 →再 →最后 2.同级运算(只有加减/只有乘除)，从左到右依次计算 3.有括号，先算括号里面：小括号→中括号→大括号 4.可以灵活使用运算律简化计算。 注意事项 1.不要跳步!符号出错是混合运算最常见丢分点。坚持：先定符号，再算绝对值。 2.不要凭感觉改变运算顺序，乘除优先级高于加减。 3.负数参与乘方、乘除，记得带上符号。 知识点07近似数 1.准确数：与实际完全符合的数。如班级45人。 2.近似数：与实际接近的数，由四舍五入得到。 3.科学记数法：把数写成a×10”，其中1≤|a|<10，n是整数。 大数：n=整数位数-1。例：56000=5.6×10⁴ 4.精确度：近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。例：3.14精确到百分位；2.4万精确到千位。 考点01有理数的加法 考点内容：有理数加法法则；加法交换律、加法结合律；利用运算律简便计算。 常见考法： ①根据加法法则，进行同号、异号两数相加计算； ②判断互为相反数相加的结果，掌握一个数加0仍得这个数； ③运用加法运算律，采用相反数结合、同号结合、凑整结合进行简算； ④实际问题中用有理数加法求和。 考点02有理数的减法 考点内容：有理数减法法则；加减混合运算；省略加号的和式。 常见考法： ①将减法转化为加法：a-b=a+(-b)； ②加减混合运算统一写成省略加号和括号的和的形式； ③加减混合运算的计算，区分运算符号与性质符号； ④利用减法求差值，解决实际增减问题。 考点03有理数的乘法 考点内容：有理数乘法法则；多个有理数相乘符号规律；乘法交换律、结合律、分配律。 常见考法： ①两数相乘，利用“同号得正，异号得负”计算； ②多个非0因数相乘，根据负因数个数判断符号(奇负偶正)；存在因数为0则积为0； ③乘法分配律正向、逆用简便运算，警惕漏乘； ④判断乘法运算律的变形是否正确。 考点04有理数的除法 考点内容：倒数的概念；有理数除法两种法则；乘除混合运算。 常见考法： ①求一个非0数的倒数，记住0没有倒数； ②两数相除符号判断，除法转化为乘法(乘倒数)； ③0除以任何不为0的数得0，牢记0不能作为除数； ④乘除同级运算，从左向右依次计算，不可随意改变运算顺序。 考点05有理数的乘方 考点内容：乘方、底数、指数、幂的概念；幂的符号规律；区分(-a)n与-an。 常见考法： ①识别底数与指数，把乘方还原成乘法算式； ②根据底数正负、指数奇偶，判断幂的正负； ③辨析(-2)⁴和-2⁴的底数、意义、结果差异； ④简单乘方求值。 考点06有理数的混合运算 考点内容：有理数混合运算顺序；运算律在混合运算中的综合运用。 常见考法： ①牢记运算优先级：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左往右；有括号先算括号内(小→中→大)； ②混合运算分步计算，先定符号，再算绝对值； ③综合运用运算律简化混合运算； ④混合运算改错，识别运算顺序、符号类错误。 考点07科学记数法、近似数 考点内容：科学记数法定义；准确数、近似数；近似数的精确度。常见考法： ①把大数写成a×10n”的形式，掌握1≤|a|<10；把科学记数法还原成原数； ②区分准确数与近似数； ③判断近似数精确到哪一位，带“万”单位近似数要还原原数判断精确度； ④根据精确度对数字四舍五入取近似值。 一、有理数加法 1.加法交换律： 2.加法结合律： 二、有理数减法 减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数 三、有理数乘法 1.乘法交换律： 2.乘法结合律： 3.乘法分配律：逆用： 四、有理数除法 1.倒数定义：若，的倒数为。满足 2.除法法则 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数 五、有理数乘方 a：底数，n：:指数，结果叫幂 六、科学记数法：a×10”，其中1≤|a|<10，n为整数 辨析01有理数加减符号法则混淆误区 加法符号法则与乘除符号法则不能混用。同号两数相加是绝对值相加，而异号相加是大绝对值减小绝对值。“同号得正，异号得负”只适用于乘法、除法，不能用于加法。 辨析02减法没有交换律 减法不满足交换律，；加减混合移动数字时，必须连同数字前面的性质符号一起移动。减法运算本质是转化成加法再计算。 辨析03乘方底数括号易错辨析 区分(-a)n”与-an”。(-a)n”底数是-a，n个-a相乘，-an”底数是a，表示an”的相反数。负数、分数作底数，不加括号时，符号或分母不属于底数。例：(-2)⁴=16，-2⁴=-16。 辨析04在运算中的多重限制 0没有倒数，0不能作除数；0可以做被除数，0除以任何不为0的数结果为0；0的正整数次幂等于0。 辨析05乘除同级运算顺序误区 乘除属于同级运算，必须从左往右依次计算，不能随意添加括号改变运算顺序。例：,不能写成 辨析06乘法分配律漏乘、负号错误 ，括号外的数要乘括号内每一项。当括号外是负数时，分配后每一项都要变号。易错：,正确结果：。 辨析07科学记数法a的取值范围 科学记数法形式a×10n”,必须满足1≤la|<10。不能写成0.5×10⁵或12×10³。负数的科学记数法，负号写在整个式子前面。 辨析08近似数精确度判断误区 带”万、亿”单位或者科学记数法形式的近似数，判断精确度需要还原成原数，看末位数字所在数位。例：2.4×10⁴还原为24000,数字4在千位，精确到千位，不是十分位。 辨析09有理数混合运算顺序易错 运算优先级：乘方最高，其次乘除，最后加减，有括号先算括号内(小括号一中括号一大括号)。不能先算加减再算乘方、乘除。计算坚持：先定符号，再算绝对值。 辨析10多个有理数相乘符号判断 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数个数决定，奇负偶正；只要有一个因数是0,乘积直接为0,不需要再判断负号。 【题型一】有理数加法中符号问题 【例1】（26-27七年级上·河北唐山·期中）在计算时，按照有理数加法法则，需转化成（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27七年级上·浙江杭州·期中）两个数的和是负数，则这两个数（     ） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．至少有一个为负数 【变式1-2】（25-26七年级上·天津·期中）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级上·广东中山·期中）将改写成省略加号的和的形式应为__________． 【题型二】有理数加减混合运算（计算题） 【例2】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）计算下列各式． (1)； (2) 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算∶ (1) (2) 【变式2-2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式2-3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）有理数的加减运算： (1) (2) 【题型三】有理数加减运算中简便运算 【例3】用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式3-1】（25-26六年级上·山东东营·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【变式3-2】（25-26七年级上·辽宁辽阳·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【变式3-3】用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【题型四】有理数乘法运算律 【例4】（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【变式4-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）简算： (1) (2) 【变式4-2】（25-26七年级上·吉林松原·期中）用简便方法计算：． 【变式4-3】（25-26七年级上·陕西渭南·期中）用简便方法计算：． 【题型五】有理数乘除的混合运算 【例5】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式5-1】（25-26七年级上·广东河源·期中）计算： (1) (2) 【变式5-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-3】（25-26七年级上·新疆和田·期中）计算： (1)； (2)． 【题型六】含乘方的有理数混合运算 【例6】（25-26七年级上·浙江台州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式6-1】（25-26七年级上·广西桂林·期中）计算： 【变式6-2】（26-27七年级上·四川·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式6-3】（26-27七年级上·贵州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式6-4】（26-27七年级上·江西·期中）计算： (1)； (2)． 【题型七】利用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例7】（26-27七年级上·广西·期中）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（26-27七年级上·四川·期中）九绵高速是四川省唯一的一条全国绿色公路建设典型示范工程项目，全长，起于九寨沟县郭元乡，止于绵阳市游仙区张家坪，该高速公路2025年将全线通车，其总投资约41000000000元，将41000000000用科学记数法表示应是（     ）． A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）截止到今年2月中旬，全国新冠疫苗接种总人数超过12.6亿人，疫苗覆盖率近．12.6亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【题型八】求一个数的近似数 【例8】（25-26七年级上·湖南湘西·期中）把5.8965精确到百分位是（用四舍五入法取近似数）__________． 【变式8-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）用四舍五入法将近似数精确到个位的结果是_____． 【变式8-2】（25-26七年级上·北京·期中）圆周率是无限不循环小数，因此在进行计算时往往会取它的近似值，按四舍五入法对圆周率π精确到0.001取近似值为__________． 【变式8-3】（25-26七年级上·广东梅州·期中）用四舍五入法，把精确到十分位的近似数是_____． 【题型九】求近似数的精确度 【例9】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期中）精确到___________位． 【变式9-1】（25-26六年级上·山东烟台·期中）由四舍五入法得到的近似数精确到______位． 【变式9-2】（25-26七年级上·河南开封·期中）我国最长河流长江长度约为米，这个数是近似数它精确到__位． 【变式9-3】（25-26八年级上·江苏镇江·期中）近似数2.03亿精确到__________位 【题型一】判断有理数运算中计算过程是否正确并改正 【例1】48．（26-27七年级上·广西南宁·期中）计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小敏的计算过程，回答下列问题： (1)小敏在进行第二步计算时，运用的运算律是：___________． (2)请指出她从第___________步开始出现错误． (3)请写出正确的解答过程． 易错警示 容易忽略运算顺序，跳步计算；符号错误是最高发错误；分配律漏乘括号内部分项，看到错题先核对运算顺序，再检查符号。 【变式1-1】（25-26七年级上·山西忻州·期中）阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； (4)请写出正确的解答过程． 【变式1-2】（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）判断下列计算过程是否正确，若不正确，请说明从哪一步开始出现错误，并给出正确的解答过程．       ①      ②      ③ 【变式1-3】（25-26七年级上·全国·期中）（1）小马虎在计算时，误将“＋”看成了“”结果得47，求的值． （2）阅读并解决问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ①计算过程中，第一步把原式化成的形式，体现了数学的思想．为了计算简便，第二步应用的加法运算律．    ②根据以上的解题技巧计算下列式子． 【题型二】根据两个数的乘法判断与正负求代数式 【例2】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知，且，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 易错警示 两数乘积大于 0，两数同号（同为正或同为负），不要默认都是正数；乘积小于 0 则两数异号，做题要分两种情况讨论，不要漏情况。 【变式2-1】（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）已知且，则的值等于（   ） A．2或 B．2或8 C．8或 D．或 【变式2-2】（25-26七年级上·广西梧州·期中）定义一种新运算符号“”，满足：，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．1 【变式2-3】（25-26七年级上·河南南阳·期中）定义：对于一个有理数，我们把称为的相伴数．若，则；若，则．计算的结果为（   ） A．1 B． C．5 D． 【题型三】倒数、绝对值、相反数的综合解答题 【例3】（25-26七年级上·广东肇庆·期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是绝对值等于5的数． (1)完成填空：______，______，______． (2)求的值． 易错警示 0没有倒数；绝对值等于一个正数的数有两个（一正一负），容易漏掉负的那个；区分相反数、倒数概念，不要把互为相反数的和与互为倒数的积记混。 【变式3-1】（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知与互为相反数，与互为倒数，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式3-2】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求的值． 【变式3-3】（25-26七年级上·江西上饶·期中）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，m的绝对值等于2，p是最大的负整数． (1)直接写出，，m，p的值； (2)求的值． 【题型四】判断有理数乘法运算过程是否正确并改正 【例4】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算： 解： 第一步 第二步 第三步 易错警示 多个负数相乘，数负因数个数判断符号容易数错；带分数参与乘法时，不先化成假分数直接计算，极易出错；有因数为 0 时，积直接为 0。 【变式4-1】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）课堂上，老师出了一道计算题：，小明和小丽同学的解法如下： 小明的解法： 原式． 小丽的解法：原式的倒数为：． 所以原式． (1)小明和小丽的解法中，正确的是______的解法（填“小明”或“小丽”）； (2)请你运用上述正确的方法计算：． 【变式4-2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步 第二步 第三步 (1)上述解答过程在第步开始出现错误． (2)选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 【变式4-3】（25-26七年级上·湖南常德·期中）下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ……第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 (1)填空：以上运算步骤中，第一步依据的运算律是________；第________步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 【题型五】阅读题型中的有理数乘法简便运算 【例5】（25-26七年级上·江苏镇江·期中）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式． 请用上面的方法计算： 易错警示 机械套用乘法分配律，忽略阅读题中新定义规则；拆分数字时符号处理出错；只套公式，不理解题目给的阅读材料。 【变式5-1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）学了有理数的运算后，宋老师给同学们出了如下两道题． 计算：①；    ②． 下面是文文和园园的计算过程： 文文： ． 园园： ． (1)文文的解答过程正确但不够简便，请用简便方法计算； (2)园园的解答过程中是否有错误？如果有，请改正并写出正确的计算过程． 【变式5-2】（25-26七年级上·山东德州·期中） 利用运算律有时能进行简便计算． 例1 例2    请你参考黑板中老师的两个讲解，用相应的方法简便计算： (1)； (2)． 【变式5-3】（25-26七年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用分配律解题我们知道，分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的时，我们可以逆用分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2)． 【题型六】根据点在数轴上的位置判断式子的正负 【例6】（26-27七年级上·陕西·期中）如图，a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 易错警示 离原点远近代表绝对值大小，不是数的大小；判断a+b、a-b符号时，容易搞反减法符号；数轴右边的数更大，但绝对值只看到原点距离。 【变式6-1】（25-26七年级上·山东德州·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26七年级下·广西贵港·期中）已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列选项中：①；②：③；④；⑤．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【变式6-3】（25-26七年级上·湖南益阳·期中）已知a，b，c三个数在数轴上对应的点的位置如图所示：有下列各式：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型七】有理数幂的概念理解 【例7】（25-26七年级上·河南南阳·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．表示 B．的结果为正数 C．中是底数，2是指数 D．与是互为相反数 易错警示 易错警示：区分与底数是，底数只有；指数只管紧贴的底数，不要随意扩大底数范围。 【变式7-1】（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）表示的意义是（   ） A．6个相乘的积 B．乘以6的积 C．5个相乘的积 D．6个相加的和 【变式7-2】（25-26七年级上·广东珠海·期中）下列关于的说法中，正确的是（   ） A．计算结果为 B．表示4个相乘 C．结果与相等 D．底数是，指数是4 【变式7-3】（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个3相加 C．的指数是3 D．与意义相同 【题型八】利用有理数的乘方比较数的大小 【例8】（26-27七年级上·全国·期中）将按从小到大的顺序排列是（） A． B． C． D． 易错警示 正数乘方，指数越大值越大；负数乘方，偶次幂为正、奇次幂为负，比较大小容易忽略负数乘方符号。 【变式8-1】（25-26六年级上·山东威海·期中）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期．下列各组有理数大小比较，正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26七年级上·河南周口·期中）在，，，这四个数中，最大的数与最小的数的和是（   ） A．6 B．8 C． D．5 【变式8-3】（25-26七年级上·山东威海·期中）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型九】有理数乘方的逆运算 【例9】（25-26七年级上·重庆万州·期中）已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．或3 C．或 D．11或3 易错警示 已知平方结果求原数，有正负两个解，经常漏掉负解；注意 0 的平方、立方特殊性，不要出现漏解。 【变式9-1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知，那么的值为（　　） A．10或4 B．10或 C．或4 D．或 【变式9-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）若，，且，，则的值为_______． 【变式9-3】（25-26七年级上·广东广州·期中）已知a，b，c为有理数，，，，且．求的值． 【题型十】用代数式表示幂的结果 【例10】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）算式可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26七年级上·广西贵港·期中）计算：（　　） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26七年级上·北京·期中）式子可表示为（   ） A． B． C． D． 【题型一】有理数混合运算的实际应用 【例1】（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点A出发，规定向东为正，向西为负，下表是某一段时间内从点A出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)该机器人第5次完成工作后在出发点的什么方向？距离出发点多远？ (2)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 【变式1-1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）临近春节，小芳和妈妈买了一盒酥饼（总共枚），包装标注一盒酥饼总质量合格标准为（）克．为检验质量，小芳选取一个恰当值作为单枚标准质量，并将各枚与标准的差值（单位：克）记为正或负，称重后得到如下不完全的数据表： 第枚 质量（克） 与标准质量的差（克） 根据上述内容解答下列问题： (1)小芳选取的标准质量是_______克，_______，_______； (2)请你帮忙判断小芳妈妈买的酥饼在总质量上是不是合格的，并说明理由． 【变式1-2】（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）2025年国庆，全国从1日到8日放假八天，各地景区游人如织．其中因为《黑神话》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的八天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 10月8日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为_______万人，八天假期里，游客人数最多的是10月_______日，达到_______万人．游客人数超过万人的天数有_______天． (2)在国庆八天，该风景区一共接待了多少游客？（结果四舍五入到千人） 【变式1-3】（25-26七年级上·安徽·期中）小明在数学课堂上学习了可以用正数和负数来表示意义相反的量，于是他放学乘坐公交车回家时，尝试用此方法记录公交车在某些站点上下车的人数，其中上车人数记为“”，下车人数记为“”．已知公交车从A站出发时，车上连同司机和小明在内共有34人，小明记录了后续5个站点B，C，D，E，F的上下车人数情况，并整理成下列表格． B站 C站 D站 E站 F站 请你根据以上信息回答下列问题： (1)公交车刚行驶到达C站时，车上共有多少人？（还未上下车） (2)若公交车的核载人数（包括司机在内的最大载客量）是48人，请通过计算说明公交车在B站与F站之间的行驶途中是否有超载行为． 【题型二】有理数四则混合运算实际应用 【例2】（26-27七年级上·云南·期中）学生食堂要购进20袋土豆，以每袋50千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示．记录如下： 每袋与标准重量的差/千克 0 2 袋数/袋 1 3 2 3 6 5 (1)20袋土豆中，最轻的一袋比最重的一袋要轻多少？ (2)与标准重量比较，20袋土豆总计超过或不足多少千克？ (3)若土豆每千克的售价为2元，求买这20袋土豆共需多少钱？ 【变式2-1】（26-27七年级上·安徽·期中）近几年，全球新能源汽车发展迅猛，尤其是我国新能源汽车的产销量大幅度增加．小亮家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表）．以为标准，超过记为“”，不足记为“”，刚好记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 与标准路程的差值 0 (1)小亮家这7天行驶的路程最多的一天比最少的一天多； (2)求出小亮家新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油7升，汽油价元／升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小亮家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省了多少钱？ 【变式2-2】（25-26六年级下·上海·期中）王明开着小轿车去“中石化”加油站加“92#”汽油（当天油价“92#”是元/升，“95#”是元/升，“98#”是元/升，“0#”柴油是元/升）．“中石化”加油站规定若用卡加油，“92#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，“95#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，正好该加油站当天也在搞促销活动，一张面值300元加油卡打九折出售，且两项活动可一起享受，他盘算了一下，决定这次买一张面值300元加油卡加油． (1)他实际花了多少钱购买了这张加油卡？ (2)假设这次加油他把这张卡内钱一次性全部用完，求：用卡加油比不用卡加油在加油量相等的条件下一共便宜了多少钱？ 【变式2-3】（25-26七年级上·福建漳州·期中）当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，计划每天销售500千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：千克） (1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由． (2)若小明按6元/千克进行柚子销售，成本为元/千克，且平均运费为1元/千克，则小明这一周销售柚子的收益一共多少元？ 【题型三】数轴上的翻折问题 【例3】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，20，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为8，则C点表示的数是（   ） A．3 B．5 C．5或 D．或3 【变式3-2】（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，在一条可以折叠的数轴上，点、、表示的数分别是，，．以点为折点，将此数轴向右对折．若点与点重合，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．1012 【变式3-3】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 【题型四】有理数乘方的应用之进制题型（压轴） 【例4】（25-26七年级上·福建莆田·期中）根据以下素材，探索完成任务 不同进位制的数之间的转换 素材1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢八进一就是八进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材2 在数学中：规定除了零，任何数的零次幂都为1，即，如．由此，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，如， ． 素材3 不同进位制的数之间可以相互转换．下面对“十进制数与二进制数之间的转换”进行举例说明． （1）十进制数转换成二进制数．比如： ， 所以39换成二进制数是100111，记为； （2）二进制数转换成十进制数．比如： ， 所以转换成十进制数为21． 探索完成任务 任务一 ①十进制数6转换成二进制数为（_____）2； ②已知，则（_____）8． 任务二 已知m是大于9的正整数，则： ①如果十进制数，那么（_____）m； ②将转换成十进制数为______．（用含m的式子表示）． 任务三 已知a，b，c均是大于1的正整数，且，将，，转换成十进制数分别记为x，y，z．试探究与z的等量关系，并说明理由． 【变式4-1】（25-26六年级上·上海·期中）二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小丽同学的准考证号的二维码的简易编码，则小丽同学的准考证号为：___________________； (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 A B C D E F G H I J K L M 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 N O P Q R S T U V W X Y Z 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，如图1中第一行所对应的二进制的数字转换成十进制数24，则暗码为，则对应的明码为“”．请在图3中画出一个明码为“”的的二维码． 【变式4-2】（25-26七年级上·福建莆田·期中）综合实践： 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进几”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 十进制数，记作：234． 七进制数，记作：． 二进制数，记作：. 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应整数次幂再相加，就可得到与它相等的十进制数．如：. 素材2 将十进制数化为与其相等的二进制数采用除二取余法，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．同样十进制数转化为八进制数可用除八取余法.如： 素材3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法： 减法： （同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 根据以上材料，解决下列问题： (1)将十进制数21转化成二进制数的值为______； (2)（用二进制表示）； (3)若将一个十进制两位数交换其个位上的数字与十位上的数字后得到一个新数，当原数减去新数所得的差为18时，称原来的两位数为“青春数”．问是否存在这样的“青春数”，使该数转化成六进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数？若存在，请求出这样的“青春数”；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（25-26七年级上·河北承德·期中）综合与实践： 阅读材料：【材料1】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数：，记作：234（规定：当时，）； 七进制数：，记作：； 二进制数：记作：． 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 【材料2】把一个十进制数转化为与其相等的二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上逆序排列，就是结果．同样的将十进制数化为与其相等的七进制数，可用“除以7取余数”的方法，再将余数从下向上逆序排列即可．如图： 【材料3】二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法：，，，； 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 解决问题： (1)若三进制数，四进制数，试比较a与b的大小关系并说明理由； (2)①将十进制数47转化成二进制数的值为； ②进位制数的加减法运算：．（结果仍用二进制） 【题型五】程序流程图与有理数的运算 【例5】（26-27七年级上·山西·期中）小贤设计如图所示的程序，若，则输出的结果为__________． 【变式5-1】（25-26六年级下·四川成都·期中）在如图的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为，，则第4次输出的结果为__________． 【变式5-2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，把分别输入数值转换器，则输出的结果是______； 【变式5-3】（25-26七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【题型六】算“24”点问题 【例6】（25-26六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【变式6-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24．现有3，，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可） 【变式6-2】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________． 【变式6-3】（25-26七年级上·河南安阳·期中）有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24：______． 【题型七】有理数乘方的实际应用 【例7】（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）如图，某种细胞每过1小时便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞能由1个分裂成______个． 【变式7-1】（25-26七年级上·河北衡水·期中）武安拽面是邯郸市武安市的特色面食，人选武安市非物质文化遗产名录．制作时用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细面条，如图所示．这样捏合到第6次后拉成______根细面条． 【变式7-2】（25-26六年级上·山东青岛·期中）核裂变是指由重的原子核分裂成两个或多个质量较小的原子核的一种核反应形式．某种原子核一次裂变可分裂成3个质量较小的原子核，新的原子核依此持续进行裂变，那么一个原子核经过5次裂变后，一共有______个原子核． 【变式7-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）一个不透明的盒子中装有2026个硬币（大小完全相同），现依次取出这2026个硬币，正面朝上记为“1”，反面朝上记为“”． （1）若取出的硬币正面有1013个，则这2026个数字之积为_________； （2）若取出的硬币正面有个，则这2026个数字之积可表示为_________．（用含的代数式表示） 【题型一】有理数乘方的应用之阅读题型（压轴）--错位相减 求：,七年级常考底数为整数) 通用步骤 1.设和 ① 2.两边同乘底数 等式左右同时乘以底数: ② 3.两式相减(②-①) 4.解出 【例1】（26-27七年级上·重庆·期中）阅读材料回答问题： 材料一：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如： ，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般把记作，读作“a的圈n次方”． 材料二：求的值，设，将等式两边同时乘2得：，利用第二个式子减去第一个式子可以得到，即，即． (1)【问题解决】直接写出计算结果：____________； (2)【类比探究】有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：____________； ____________．（且为正整数）； (3)【实践应用】求的值．（其中） 【变式1-1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 【变式1-2】（25-26六年级上·山东东营·期中）阅读材料： 求值：． 解：设① 将等式两边同时乘2，得② 得，， 即 请你仿照此法计算： (1)； (2)； (3)．（其中为正整数） 【变式1-3】（25-26七年级上·福建福州·期中）阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【题型二】有理数运算中拆项计算问题 多个带分数相加减，把整数部分、分数部分拆开，整数归一组，分数归一组，分别计算再合并。 原理：带分数负数带分数负号要同时分给整数和分数，这是最容易错的地方。 ☑通用解题步骤 1.拆项 把每一个带分数，拆成「整数部分+分数部分」;负的带分数，整数、分数都带上负号。例 2.分组 整数全部放一组，分数全部放一组：原式=(所有整数相加)+(所有分数相加) 3.分别计算两组 ①整数部分直接加减； ②分数部分通分，加减运算。 4.合并结果 整数的和+分数的和，化简得到最终答案。 【例2】（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【变式2-1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 【变式2-2】（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）阅读下面的材料，并解答问题． 计算：． 解：因为，①， 所以原式 ． (1)上述材料中，序号①的内容为___________； (2)利用上述材料的方法计算：． 【变式2-3】（25-26七年级上·陕西延安·期中）阅读下面的文字，并回答问题： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算： (1)． (2)． 技巧 一句话要点 有理数加法——符号判定法 同号相加取相同符号，绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值；互为相反数相加得0。 有理数减法——变号转化法 减去一个数，等于加上这个数的相反数；a−b=a+(−b)，只改变减号和减数符号，被减数不变。 加减简便运算——分组凑整法 优先凑整数、凑相反数、同分母归类；正数一组、负数一组，简化加减混合计算。 有理数乘法——符号判断法 几个不为0的数相乘，负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负；有一个因数为0，积就是0。 乘法简便运算——分配律套用 ，遇到带分数、接近整十整百的数，拆数后用分配律简化计算。 有理数除法——倒数转化法 除以一个不为0的数等于乘它的倒数；先定符号，再算绝对值；0不能作除数。 乘方运算——底数识别法 an表示n个a相乘；分清(−a)n与−an，括号决定底数，符号看位置。 有理数混合运算——顺序口诀法 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左往右；有括号先算括号内。 科学记数法——定位法 近似数与精确度——末尾定位法 看最后一位有效数字所在数位，就是精确到哪一位；近似数计算不要过早取舍。 数轴综合题——数形结合法 根据数轴上点位置判断正负，判断代数式符号；数轴翻折问题抓住中点不变。 绝对值、相反数、倒数综合——概念固定法 互为相反数⇒；互为倒数⇒a； 1/4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $