第一章有理数（期中知识清单）七年级数学上学期新教材浙教版

第一章 有理数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 从自然数到有理数 1.1 正数和负数 一般地，为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，用大于零的数表示，如 ，，， 等，这样的数叫作正数。正数前面可以放上正号”“来表示（常省略不写）。把另一种与之意义相反的量规定为负，在大于零的数前面放上负号”“来表示，如 ，，， 等，这样的数就叫作负数。0 既不是正数，也不是负数。 示例：零上 ℃ 记作 ℃（或 ℃），零下 ℃ 记作 ℃；收入 元记作 元，支出 元记作 元。 1.2 有理数及其分类 我们把 ，，，，，称为正整数；，，，，，称为负整数；，，，，，称为正分数；，，，，，称为负分数。 正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数。 整数和分数统称有理数。 分数可以看作两个整数相除，因此分数都可以化为小数。分数化成小数的结果可能是有限小数，也可能是无限循环小数。反过来，有限小数、无限循环小数也都可以化为分数。 有理数的分类如下表： 有理数 整数 正整数 零 负整数 分数 正分数 负分数 示例： 是负分数， 是正整数， 是整数， 是正分数， 是负整数；所给各数均为有理数。 注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以它们都属于有理数。 示例：，， 都可以化为分数，都是有理数。 2. 数轴 2.1 数轴 画一条直线（一般画成水平的），在直线上任取一点 作为原点，表示数 ；规定直线的一个方向（一般取从左到右的方向）为正方向，用箭头表示，相反的方向为负方向；再取适当的长度为单位长度。从原点开始向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示 ，，，；从原点开始向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示 ，，，。 像这样规定了原点、单位长度和正方向的直线叫作数轴。 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。 图1-7：数轴 示例：数轴上的点 表示 ，点 表示 ，点 表示 ，点 表示 。 2.2 相反数 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 示例： 的相反数是 ， 和 互为相反数。 注意：0 的相反数是 0。 示例： 的相反数仍为 。 在数轴上，表示互为相反数（ 除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 示例：表示 和 的点分别位于原点的左侧和右侧，到原点的距离都是 个单位长度。 3. 绝对值 3.1 绝对值的定义 我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值。 示例：数轴上表示 的点到原点的距离是 ，所以 的绝对值是 ，记作 ；同理， 的绝对值也是 ，记作 。一个数 的绝对值表示为 。 3.2 绝对值的性质 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。互为相反数的两个数的绝对值相等。 示例：，，；，。 注意：任何数的绝对值都大于或等于 0。 示例： 恒成立；绝对值等于 的数是 和 。 4. 有理数的大小比较 4.1 利用数轴比较大小 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数。 示例：将 ，，， 按从小到大的顺序排列为 。 4.2 利用绝对值比较大小 两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 示例：因为 ，，而 ，所以 。 注意：比较两个负数的大小时，先比较它们的绝对值，绝对值大的那个负数反而小。 示例： 与 中，，所以 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 相反数的符号表示 数 的相反数是 ；数 的相反数是 。反之，若 ，则 ， 互为相反数。 【使用提醒】该结论对 也成立（ 的相反数是 ），不必排除。 1.2 绝对值的非负性与最小绝对值 任何一个数的绝对值都大于或等于 ，即 。绝对值最小的有理数是 ；绝对值最小的自然数也是 ；绝对值最小的负整数是 。 1.3 绝对值为同一个正数的数 绝对值等于同一个正数 的数有两个，它们互为相反数，即 （）时，。绝对值等于 的数只有 。 【使用提醒】绝对值表示的是”距离”，非负；写结果时注意”正负成对”，漏掉负号是最常见错误。 1.4 绝对值与原数的关系 一个数的绝对值等于它本身，则这个数是非负数（）；一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非正数（）。反过来，一个数的相反数与绝对值相等，则这个数是非正数（）。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 用正负数表示相反意义的量 先规定”哪一种意义为正”，再把与之相反的意义记为负，用”“或”“号写在数的前面。如规定向北为正，则向南行驶 km 记作 km；不升不降记作 。 2.2 判断有理数的类别 先把数按”整数 / 分数”二分，再按”正 / 负”细分。整数看小数点后是否为 或能否写成分母为 的形式；有限小数与无限循环小数都属于分数（可化为分数）。如 是负分数， 是正整数， 是整数（既不是正数也不是负数）。 2.3 求一个数的相反数 在该数前面添上负号”“即可，注意含多重符号时按”负负得正”逐层化简。如 。 2.4 求一个数的绝对值 先判断该数的正负：正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。如 ，，。 2.5 比较有理数大小的步骤 先按”正数 零 负数”分级；同为负数时比较绝对值，绝对值大的反而小；必要时先画数轴，右边总比左边大。如比较 与 ：先通分比较绝对值 ，故 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 多重符号化简 负号个数为奇数结果取负、偶数结果取正；“”号可省略 ， 负数比较口诀 两个负数比大小，绝对值大的反而小 与 ：，故 借助数轴定顺序 越靠右越大，用”“连接时从左到右读 分数比大小 先通分比较绝对值，异号时正数恒大于负数 绝对值求值防错 先定符号再取绝对值，注意 与 区别 ，但 本身为负 4. 常见考试模型 4.1 相反意义的量模型（正负数应用） 公式：规定一种量为正，与之相反的量即为负，用”“/”“号表示；”既不……也不……“记作 。 限定：正负规定是相对的，题目给定哪种为正就按哪种记，方向相反再取反。 示例：如记收入为正，则收入 元记 元，支出 元记 元，无收无支记 元。 4.2 数轴上的点与移动模型 公式：数轴上点 表示 ，向右移动 个单位长度到表示 的点，向左移动 个单位长度到表示 的点。 限定：移动方向决定加减，“向左为减、向右为加”。 示例：点 表示 ，向右移动 个单位长度到 ，向左移动 个单位长度到 。 4.3 数轴距离模型（绝对值应用） 公式：数轴上表示 的点到原点的距离为 ；两点表示的数 ， 之间的距离为 。 限定：距离非负，用绝对值表达，不计方向。 示例：到 的距离等于 的数是 或 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：0 既不是正数也不是负数，判断时误归类 典例：下列说法正确的是（　　） A. 0 是正数　　B. 0 是负数　　C. 0 是整数　　D. 0 是分数 错解：选 A，认为 0 是正数。 正解：0 既不是正数，也不是负数，但 0 是整数、是有理数，也是自然数。故选 C。 原因：概念混淆。学生把”非负数”与”正数”划等号，认为”不是负数就是正数”，忽略了 0 这个既不”正”也不”负”的特殊数。0 处于正数与负数的分界，判断数的类别时必须以”0 既不是正数也不是负数”为第一原则，同时牢记 0 属于整数、有理数、自然数、非负数、非正数。 易错点 2：具有相反意义的量，忘规定”正”就写符号 典例：某天甲水库水位上升 m，乙水库水位下降 m。分别用有理数表示两个水库水位的变化。 错解：甲水库记作 m，乙水库记作 m，但题目未说明”规定上升为正”。 正解：应先规定水位上升为正、下降为负，则甲水库水位变化记作 m（或 m），乙水库水位变化记作 m。若反过来规定”下降为正”，符号也随之改变。 原因：审题遗漏。用正负数表示相反意义的量，前提是先”规定一种意义为正”；正负规定是相对的，不先规定正方向，符号就没有根据。作答前必须写清”记……为正”，并保证所记符号与规定一致。 易错点 3：求负数绝对值时，误把结果写成负数 典例：求 的绝对值。 错解：。 正解：一个负数的绝对值是它的相反数，所以 。 原因：概念理解错误。学生把”绝对值”误当成”去掉负号”的操作，甚至把绝对值直接等同于原数。绝对值表示数轴上点到原点的距离，距离不可能为负，所以任何数的绝对值都大于或等于 。求负数绝对值时结果是它的相反数（正数），而不是它本身。 易错点 4：两个负数比较大小，误以为绝对值大的数大 典例：比较 与 的大小。 错解：因为 ，所以 。 正解：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。因为 ，所以 。 原因：思维迁移错误。学生把”两个正数比大小，绝对值大的数大”的规则直接套用到负数上，忽略了负数特有的”绝对值越大反而越小”的规律。比较负数时，先比较绝对值，再把大小关系反向，这是负数比较最容易踩的坑。 易错点 5：一个数的相反数是它本身与”绝对值等于相反数”混淆 典例：一个数的相反数等于它本身，求这个数。 错解：答案写成”非正数”（即 ）。 正解：相反数等于它本身的数只有 。因为 ，即 ，所以 。若题目问”绝对值等于它相反数的数”，才是非正数（）。 原因：概念混淆。学生把”相反数等于本身”和”绝对值等于相反数”两个条件记混。前者只有 满足；后者是非正数（负数或 ）。两个结论的条件差一个字，结论却大不相同，须逐字审清题目问的是”相反数”还是”绝对值”。 易错点 6：数轴取点与表示数，漏写或错写负号 典例：在数轴上表示数 ，，，。 错解：把 标在原点右侧 处，或把 标成 的位置。 正解：负数表示在原点左侧。 在原点左侧 个单位长度处； 在原点左侧 个单位长度处； 在原点右侧 个单位长度处。 原因：符号处理失误。学生画数轴时容易把负数的负号”忘在脑后”，或者把分数化成小数时搞错大小关系。标负数时先确定在原点的哪一侧（负在左、正在右），再数单位长度；分数与小数要会互化，避免位置标错。 学科网（北京）股份有限公司 $