精品解析：福建省莆田第二中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

福建莆田第二中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 2. 如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 4. 已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（ ） A. 72 B. 96 C. 120 D. 144 6. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 7. 已知直线恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，过抛物线（）的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法错误的是（ ） A. 过定点的直线都可用方程表示 B. 过定点的直线都可用方程表示 C. 过任意两个点的直线都可用方程表示 D. 所有直线都可以用方程表示 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用这6个数字，可以排成1080个可重复数字的四位数 B. 用这6个数字，可以排成300个无重复数字的四位数 C. 用这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位奇数 D. 用这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位偶数 11. 已知椭圆 ，是其左右焦点， 是椭圆 上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值是4 B. 的最大值是4 C. 取最小值时，点的坐标为 D. 若也在抛物线 上，则到点的最小距离为 三、填空题 12. 重新排列数字，使得偶数在偶数的位置上，但都不在原来的位置上，奇数在奇数位置上，但除其中一个奇数在原本位置上以外，其余3个奇数都不在原来的位置上，则有__________种不同的排法. 13. 设为钝角，若直线与曲线：只有一个公共点，则的离心率为________. 14. 圆：关于直线：对称后的方程为________. 四、解答题 15. 已知坐标平面内三点. （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若是线段上一动点，求的取值范围. 16. 用1，2，3，4四个数字（可重复）组成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列． （1）写出这个数列的前11项； （2）这个数列共有多少项？ （3）若，求． 17. 已知椭圆过点，其左、右焦点分别为，且，椭圆第一象限上的一点P到两焦点的距离之差为4. （1）求椭圆的标准方程; （2）求的内切圆的标准方程. 18. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为、，从发出的光线经过图2中的、两点反射后，分别经过点和，且，. （1）求双曲线的方程； （2）设、为双曲线实轴的左、右顶点，若过的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由． 19. 已知抛物线的焦点为，直线与恰有个公共点，与轴、轴分别交于点、． （1）求的方程； （2）求的外接圆的标准方程； （3）若点在上运动，点在线段上，过的直线分别交线段、于点、，且，求点的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建莆田第二中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方向向量与直线的倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】因为为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 2. 如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式求解. 【详解】元件不通，设备从a到b的电路工作不正常，共有种， 元件正常，当且仅当元件都不通，设备从a到b的电路工作不正常，只有1种， 所以. 故选：B 3. 已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】先确定直线过定点，再根据点与圆的位置关系进行判断. 【详解】因为直线：， 所以直线经过定点. 因为，所以点在圆：内， 所以直线与圆：相交. 故选：A 4. 已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，当直线过点时，可得，满足条件；当直线和半圆相切时，由，得，数形结合可得实数的取值范围． 【详解】将两边平方整理得， 即曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，如图所示： 当过点时，，满足与有两个不同的公共点； 当直线和半圆相切时，由，得或， 由图知，此时纵截距，即，所以， 故直线与曲线有两个不同的公共点时， 实数的取值范围为. 故选：B 5. 用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（ ） A. 72 B. 96 C. 120 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类相加计数原理，先分四种颜色都用和只有三种颜色两种情况，再根据分步乘法计数原理，将涂色过程分成若干步，每一步确定一个区域的颜色，再根据相邻区域不同色的条件，确定每一步的涂色方案数，最后将各步方法数相乘得到总的涂色方案数. 【详解】设四种颜色分别为1、2、3、4， （1）四种颜色都用： 先涂区域，有4种填涂方案，不妨设涂颜色1， 再涂区域，有3种填涂方案，不妨设涂颜色2， 再涂区域，有2种填涂方案，不妨设涂颜色3， 若区域填涂颜色2，则区域填涂颜色1、4或4、3， 若区域填涂颜色4，则区域填涂颜色1、3或4、3， 共4种不同的填涂方法.由分步乘法计数原理可得，共有种不同的涂法. （2）四种颜色只用其中的三种颜色： 即当同色，同色，同色，共有种不同的涂法. 综上所述，根据分类相加计数原理可得，共有种不同涂法. 故选：C 6. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 【答案】D 【解析】 【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得. 【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力. 7. 已知直线恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，由得到三点共线，设弦PQ的中点为，得到，利用，得到E的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设直线l为，利用点到直线的距离求出E到l的最小距离，过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，则四边形MNQP是直角梯形，且R是MN的中点， 则ER是直角梯形的中位线，即，计算得解. 【详解】直线，， ，，，,三点共线， 设弦PQ的中点为，连接OE，则，即， ∴，，， 所以点E的轨迹方程为， 即E的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设直线l为， 则E到l的最小距离为， 过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N， 则四边形MNQP是直角梯形，且R是MN的中点， 则ER是直角梯形的中位线， ∴， 即， 即， 所以的最小值为. 故选：C． 8. 已知为坐标原点，过抛物线（）的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，设出直线方程并与抛物线方程联立求出，再利用抛物线定义，结合基本不等式求出最小值. 【详解】抛物线的焦点，设直线的方程为，， 由消去得，则，， 由，得，解得， 抛物线的准线方程为，，， 于是， ，因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：C 二、多选题 9. 下列说法错误的是（ ） A. 过定点的直线都可用方程表示 B. 过定点的直线都可用方程表示 C. 过任意两个点的直线都可用方程表示 D. 所有直线都可以用方程表示 【答案】AB 【解析】 【分析】当直线垂直x轴时，斜率不存在，即可判断A、B的正误；根据两点式方程的一般形式，可判断C的正误；根据直线的一般式方程的性质，可判断D的正误. 【详解】当直线垂直x轴时，斜率不存在，故不可以用点斜式及斜截式方程，故A、B错误； 为两点式的一般形式，可以表示过任意两个不同点的方程， （当时，方程为，当时，方程为）故C正确； 所有直线都可以用方程表示，故D正确. 故选：AB 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用这6个数字，可以排成1080个可重复数字的四位数 B. 用这6个数字，可以排成300个无重复数字的四位数 C. 用这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位奇数 D. 用这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位偶数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理逐项求解即可. 【详解】对于A，第一步，千位可以为，有5种排法， 第二步，百、十、个位有种排法， 所以可以排成个可重复数字的四位数，故A正确； 对于B，第一步，千位可以为，有5种排法； 第二步，百、十、个位有种排法， 所以可以排成个无重复数字的四位数，故B正确； 对于C，第一步，个位可以为，有3种排法； 第二步，千位有除个位和0以外的4种排法， 第三步，百、十位有种排法， 所以可以排成个无重复数字的四位奇数，故C正确； 对于D，第一种情况：当个位为0时，千､百､十位有种排法， 第二种情况：第一步，个位可以为2，4，有2种排法； 第二步，千位有除个位和0以外的4种排法， 第三步，百、十位有种排法，共有种排法， 综上所述，可以排成个无重复数字的四位偶数，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知椭圆 ，是其左右焦点， 是椭圆 上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值是4 B. 的最大值是4 C. 取最小值时，点的坐标为 D. 若也在抛物线 上，则到点的最小距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆及抛物线的定义，再结合基本不等式及柯西不等式可得. 【详解】由，得，即.如图： 对于A：由椭圆的定义得，当且仅当时等号成立，所以A正确； 对于B：因为，所以， 又因为，所以，又因为， 所以，当且仅当时等号成立.所以B错误； 对于C：由，所以，即， 当且仅当，即代入，解得或， 所以当时，有最小值，故C正确； 对于D：因为点在抛物线 上，抛物线的焦点为， 根据抛物线的定义，到点的距离等于P点到准线的距离. 因为，所以，得， 所以到点的距离， 当且仅当，即（负值舍去）时等号成立.故D正确. 三、填空题 12. 重新排列数字，使得偶数在偶数的位置上，但都不在原来的位置上，奇数在奇数位置上，但除其中一个奇数在原本位置上以外，其余3个奇数都不在原来的位置上，则有__________种不同的排法. 【答案】72 【解析】 【分析】分2步进行：先排偶数，再排奇数.利用列举法分别表示偶数、奇数排列的所有情况，结合分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意知，可分2步进行：先排偶数，再排奇数. 排偶数的情况：设4个偶数排列为， 其中表示第2位，表示第4位，表示第6位，表示第8位， 则所有的可能有， ，共9种排法； 同理，满足奇数的所有可能有 ，共8种排法. 所以总的排法数为种. 故答案为：72 13. 设为钝角，若直线与曲线：只有一个公共点，则的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据曲线方程判断出曲线为双曲线，利用交点个数得直线与双曲线的一条渐近线平行，代入离心率公式计算即可. 【详解】因为为钝角，则， 所以曲线表示焦点在轴上的双曲线， 即 则故焦点坐标为， 又直线过，而点在双曲线内部， 则当直线与双曲线只有一个公共点时，该直线必与一条渐近线平行， 则，则的离心率为， 故答案为：. 14. 圆：关于直线：对称后的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心和半径，设圆心关于直线：的对称点为，则直线与直线垂直，利用，得到的一个等式，又和的中点在直线：上，将中点代入此直线方程得到的另一个等式，这的等式联立，解得的值，得到的坐标，即为所求圆的圆心，半径不变，从而得到所求圆的方程. 【详解】圆：，圆心，半径， 设圆心关于直线：的对称点为， 则直线与直线垂直， ，，，， 又和的中点为，且中点在直线：上， ，联立，解得， 为所求圆的圆心，半径为， 所求圆的方程为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知坐标平面内三点. （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】（1）斜率为1，倾斜角为； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由斜率公式求斜率，然后根据斜率定义可得倾斜角； （2）将问题转化为求直线的斜率的取值范围，然后结合图形分析可得. 【小问1详解】 由斜率公式得直线的斜率为， 记倾斜角为，则， 因为，所以直线的倾斜角为. 【小问2详解】 由题知为直线的斜率. 记直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为， 由图可知，， 又，， 所以，由正切函数性质可得，直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 16. 用1，2，3，4四个数字（可重复）组成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列． （1）写出这个数列的前11项； （2）这个数列共有多少项？ （3）若，求． 【答案】（1）111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用列举的方法，写出数列的前11项； （2）利用分步计数原理，即可求解； （3）根据条件计数比小的数字个数，即可求. 【小问1详解】 111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133． 【小问2详解】 这个数列的项数就是用1，2，3，4组成的三位数的个数，每个数位上都有4个数字可以选择，则共有（项）． 【小问3详解】 比小的数有两类： ① 百位 十位 个位 1 × × 2 × × ② 百位 十位 个位 3 1 × 3 2 × 3 3 × 共有（项）． 所以． 17. 已知椭圆过点，其左、右焦点分别为，且，椭圆第一象限上的一点P到两焦点的距离之差为4. （1）求椭圆的标准方程; （2）求的内切圆的标准方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入方程，可得a，b的关系，根据，可得，结合a，b，c的关系，可得的值，即可得答案. （2）根据条件及椭圆的定义，可得，根据勾股定理，可得，根据等面积法，可得内切圆的半径，设内切圆的圆心为I，如图作垂线，根据三角形的性质，可得圆心坐标，即可得答案. 【小问1详解】 因为椭圆过点，且， 所以，解得，则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由椭圆的定义及条件可得：，解得， 又因为，所以，即， 设内切圆的半径为r，则， 所以，解得， 设内切圆的圆心为I，过I分别作 、、的垂线，垂足分别为E、F、G，如图所示， 因为，且， 所以，则圆心， 所以的内切圆的标准方程为 18. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为、，从发出的光线经过图2中的、两点反射后，分别经过点和，且，. （1）求双曲线的方程； （2）设、为双曲线实轴的左、右顶点，若过的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）在直线上 【解析】 【分析】（1）延长与交于，分析可得，令，则，，利用双曲线的定义可得出的值，利用勾股定理求出的值，进而可求得的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析可知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，联立直线、的方程，求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 解：如图所示： 延长与交于，因为，， 则，即， 令，则， 所以，， 由双曲线的定义可得，则， ，则， 又因为，即，解得， 所以，，， 由勾股定理可得，则， 故， 因此，双曲线的方程为. 【小问2详解】 解：若直线与轴重合，则直线与双曲线的交点为双曲线的两个顶点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 由题意可得，解得， 由韦达定理可得，， 易知点、，则，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线、的方程并消去可得， 可得 ，解得， 因此，直线与直线的交点在定直线上. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知抛物线的焦点为，直线与恰有个公共点，与轴、轴分别交于点、． （1）求的方程； （2）求的外接圆的标准方程； （3）若点在上运动，点在线段上，过的直线分别交线段、于点、，且，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可得出的值，由此可得出抛物线的方程； （2）分析可知不与轴平行，设直线的方程为，根据直线与抛物线相切以及点在直线上，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可求出点、，由此可求出的外接圆圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的方程； （3）解法一：设，，可得出，，结合已知条件得出，设，则，，设点，利用平面向量的坐标运算可化简得出点的轨迹方程； 解法二：记，，，可得出，根据三角形的面积关系得出，可得出的值，进而得出点为的重心，再结合平面向量的坐标运算化简可得出点的轨迹方程； 解法三：设、、、，设，则，根据平面向量的坐标运算得出点的坐标，设，同理可得出点的坐标，求出、的方程，结合，联立两直线方程可得出点的轨迹方程. 【小问1详解】 因为在上，所以，所以的方程为. 【小问2详解】 若与轴平行，则直线与轴无交点，不合题意； 若不与轴平行，则与相切于， 设直线的方程为，由，得， 所以，解得， 所以直线的方程为， 因为、、，，故为中点， 所以，线段中垂线的方程为，线段中垂线的方程为， 联立，解得，因此的外接圆圆心坐标为， 的外接圆半径等于， 所以，外接圆方程为. 【小问3详解】 解法一：设，， ，故， 所以，同理， 因为，所以，所以， 设，因为， 所以， 因为、、三点共线，所以，所以，则， 设，则，，设点， 因为，， 所以，所以， 因为、不重合，所以，， 综上，点的轨迹方程为； 解法二：因为为中点，记，，， 则， 因为为中线，则且，故， 所以，所以是的重心， 设，则，，设点， 所以，解得， 因为、不重合，所以，， 综上，点的轨迹方程为； 解法三：设、、、， 设，则，所以， 所以，， 设，同理可得：，， 直线的方程为， 又因为，化简得：①， 直线的方程为②， 由①②解得，消去得：， 因为、不重合，所以，， 综上，点的轨迹方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $