河南商丘市睢县高级中学2026-2027学年度上学期高二第一次月考数学试卷

2026-2027学年度高二上学期第一次月考数学试卷20261008 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修一第一章+第二章（直线的倾斜角和斜率直线的平行垂直）。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 2．已知点，，若直线过点与线段始终没有交点，则直线的斜率的取值范围是 A． B．或 C． D． 3．在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 4．若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．. 5．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 6．在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 7．在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在空间直角坐标系中，则 (      ) A. || = 4 B. △ABC 是直角三角形 C. 与 平行的单位向量的坐标为(,,) D. {} 可以作为空间的一个基底 10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，下列说法中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．的长为 D．与平面所成角的正弦值为 11．如图，在长方体中，，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．对任意点，四边形是平行四边形 B．对任意点， C．存在点，使截面为菱形 D．存在点，使是直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 13．在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______. 14．平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0). (1)求点Q的坐标，满足PQ̝MN, PN//MQ; (2)若点Q在x轴上，且NQP=NPQ,求直线MQ的倾斜角. 16．（本小题满分13分）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 17．（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=60∘ ，AP=AC=AD=2，E为CD的中点，M在AB上，且 （1）求证：EM//平面PAD； （2）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值； （3）求点M到平面PCD的距离. 18．（本小题满分17分）如图，已知，，，，D为线段的中点．若是绕直线旋转而成的．记二面角的大小为θ． (1)当平面平面时，求θ的值； (2)当时，求二面角的余弦值的取值范围． 19．（本小题满分17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为矩形．四边形中，，，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成夹角的大小； (3)点在线段上，当与平面所成角的大小为时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度高二上学期第一次月考数学试卷20261008 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版2019选择性必修一第一章+第二章（直线的倾斜角和斜率)。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.如图，在平行六面体BCD-A8CD中，丽-AD-AM=() A.DB B.AC C.AG D.DB. 【答案】A 【详解】AB-AD-AA=D丽-AA=D丽-DD=DB 2.已知点A(2,3),B(-3,-2),若直线过点P(1)与线段AB始终没有交点，则直线的斜率k的取值范 围是 k> 33 k< <k<2 4B.k>2或4C.4D.k<2 【答案】C 【分析】先求出4P,BP的斜率，根据直线与线段AB始终没有交点，可知其斜率的取值范围， 3-1=2k即=3-14， -2-13 【详解】因为-22， A(2,3) 如图： 1,1 因为直线与线段AB始终没有交点， 3 所以斜率飞的取值范围是学2故选C. B(-3,-2) 3.如图所示，在三棱柱ABC-AB,C中，M为AG的中点，若AB=ā，BC=b,AA=c,则BM可表示为() a+IB+c 1 Ia+-b+c B A.22 B.2 2 M 1a-上i+c 1 C.22 D.2 2 【答案】A B.. 1/13 【解析】取AC的中点N,连接BN,MN,如图所示， M为AG的中点，AB=a,BC=b,A4=C,MM=A4=c, B @厨+05+0ā-5】 M 2 A :.BMI-BN+MWI--1a+16+e B 2 4.若平面α的一个法向量为n=(2,1),直线l的一个方向向量为a=(4,2-2), 则1与a所成角的正弦值为() √21 6 6 26 A.6 B.6 C.9 D. 9 【答案】C 【解析】设直线I与平面x所成的角为8， 12×1+1×2+1×（←2 2-6 V6x39 则 √2+1P+1F×2+22+(2)月 5.已知向量B=(La,-2),4C=(-366),若A,B,C三点共线，则a=() A.-2 B.2 C.±2 D.3 【答案】A 1=-3 a=-2 a=6 1 【解析】由题意可知5=c,即2=61，解得2=专 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E,F分别为线段PB,PD上的点，若 PG-LGC 2 ,且AG=xAE+yAF,则x+y=（) A.1 B.2 C.3 D.2 【答案】C PG-1GC 【解析】由题意可得， 2 ,设PE=PB,pF=uPD】 且4G=证+A=AD+P网+(Ap+P明(x+)AP x yPi c-D-元-D+A-c-+c-D+6+c列 3 因为AD=BC, 2/13 所以3 3 3 3 3 3 4 所以+ 7.在长方体ABCD-ABCA中，A4=2,4AB=3,AD=4,w=MC,DN=阿，BP=2P4.过M, N,P三点的平面与直线BB相交于点Q,则BO等于() 8 10 12 14 A.11 B.11 c.11 D. 【答案】C 【解析】如图，以D为原点，分别以DA,DC,DD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 A(4,0,0),B(4,3,0),C(0,3,0),A(4,0,2),B(4,3,2),C1(0,3,2),D(0,0,2) 又因为M-3Mc，DN-D,BP=2PA, 所以M1,30),N(00,1),P(41,2) 设2(4,3，)，则=1-3,1)，证=(3，-22)，M0=(3,0), 设平面MNP的法向量为元=（化y), [i.N=0 「-x-3y+z=0 则元远=0，即3x-2y+2z=0,令=4，则y=5,2=11,所以元=(-45,1 因为点9在平面QP上，所以场1元，即⑤-3(44054*1-0，解符号 BO-Ti 2 所 8.己知向量丽=4-1,0)，AC=(0,30),4S=(31,-4),则三棱锥S-ABC的体积为（) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】D 【解析】设平面ABC的法向量为m=(化，y), AB.m=4x-y=0 .asm上44 d=[ 则4cm=3y=0，则i=(0,01),则点s到平面4ABC的距离为网1 又4B4C=-3,c=3, AB.AC AB- 则点B到直线AC的距离为 则8e43-6 3/13 故三楼锥S-AC的体积为3ed=6x4=8 1 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.BD 10.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-AB,GD,其中，以顶点A为端点的三条棱长都为 1,且∠AAB=∠AAD=∠BAD=60,下列说法中正确的是（) D A.AA∥平面BBDD B.4CL平面BBDD 6 C.AG的长为2V6 D.A4与平面ABCD所成角的正弦值为3 【答案】ABD 【解析】A选项：由平行六面体的定义，A4BB,A4￠平面BBDD,BBC平面BB,DD,由线面平 行的判定定理，得A4∥平面BBDD,所以A正确： B选项：4CBD=(G+AD-4)(4D-AB) 0可网而孤两亚11号台， 1+1-1=0. 4cB弧-（西+4D-4)4-西4+AD4-+2 故4C1BD,4C⊥BE,即4C⊥BD,AC⊥BB, 又BDOBB=B,且BD,BBC平面BBDD, 由线面垂直的判定定理，得ACL平面BBDD,所以B正确； C选项：4G=,++AD=AA+AB+AD+2A5+2BAD+4D =+ll+326,则ac6,所以c不正： D选项：法一（向量法）：过4作AE1平面ABCD,垂足为E,连接EB,ED. 由∠4AB=∠AAD=60,且AB=AD=A4=1,得△ABD为等边三角形，则AB=AD 因为ABL平面ABCD,所以AB⊥BB,AB⊥ED,由三角形全等可得EB=ED, 故E在∠BAD的平分线AC上，因此AA与平面ABCD所成角为∠AAC 由花-丽+，有网-丽+画+2西而1213，即405 4ac=孤+AM而=11x11x兮l 4/13 AA·AC1V5 coS∠AAC m4c-ieAac-9, 6 故直线A4与平面ABCD所成角的正弦值为3： 法二（几何法）： 连接AB,4D,BD,由AB=AD=A4=1, ∠4AB=∠4AD=∠BMD=60,可得AB=AD=BD=1, D B 即四面体AABD为棱长为1的正四面体. A 设底面正0的中心为8，则4=子当5 Γ323， B AB1平面ABCD,ABC平面ABCD,AF L AR, 在Rt△4AE中， ne=4F6 设A4与平面ABCD所成角为9，则 A43,故D正确。 11.如图，在长方体ABCD-4B,CD中，A4=2,AB=AD=3,点P是棱A4上的动点（不含端点）， 过点D:B,P作长方体的截面PBQD,将长方体分成上下两部分，体积分别为乃，则() A.对任意点P,四边形PBOD是平行四边形 D B.对任意点P,7=乃 B C.存在点P,使截面PBOD为菱形 D.存在点P,使△BPD是直角三角形 【答案】ABC 【解析】如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 设P(0,0P),B(3,0,0,D(0,32).C(3,30).C(33,2),0<p<2, D C 则截面与棱CC的交点2(3,32-p), B 1V 则P西=30，-p),DO=B.0,-p尸PBIIDQ且等长： PD=(0,32-p),B0=(0,3,2-p户PD1/B0且等长 B 故四边形PBOD是平行四边形，A正确： 5/13 长方体体积V=3x3x2=18,截面PBD的对角线PB与BD交于 长方体中心O(1.5,15,),即截面过几何中心 因此截面将长方体平分为两个全等部分，故”==9，B正确： PB=9+卫，PD=9+(2-p,令其相等解得9+卫=-9+(2-p→p-1, 此时P(0,0,1),2(3,31,满足PB=PD=o, 四边形PBQD是平行四边形且邻边相等， 故截面PBOD是菱形，C正确： PB=(3,0,-p),PD1=0,3,2-p)BD1=（3,3,2) aBPD三边平方为： PB2=9+p2,PD2=9+(2-p,BD2=(-3+32+22=22 爱BPDE则BpPB+PD→p=0=2,不符合 若PBD=延PDB三2，解得p<或p>2,不符 「2或 故无满足条件的点P,使△BPD是直角三角形，D错误。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.给定点4(L0,0),B(3,11),C(5,-4,3),则4C在AB方向上的投影向量的坐标为 (777\ 【答案】 3'66 【解析】根据向量坐标的计算公式4B=(2,1),AC=(4,-4,3)】 AC.ABAB 根据投影向量的计算公式AC在西方向上的投影向量为 AB=2x377 AB 366 即 13.如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC,∠BAC=120°，SA=AC=2, AB=1,M为SC的中点，P为BC上靠近C的三等分点，过点M,P的平面 与AC交于点N,则当P⊥BS时，N= B 6/13 而 【答案】3 【解析】如图，以点A为原点，AB,AS为x轴的正方向，过点A作y轴，建立空间直角坐标系， A(0,0,0)B(1,0,0).S(0,0,2).C(-1V3,0) 设 NC=AAC p--丽c+号=(15吵邦0叶号成0 B5=(-1,0,2) 卡B mBS=元-2=0 因为NP⊥BS,所以 3 2 得 3， 3 14.平行六面体ABCD-AB,CD中，AB=A4=2,AD=1,∠BAD=∠BAA=∠DA4=60°，动点P在直线CD上 运动，则AP.CP的最小值为 【答案】4/0.25 【分析】根据题设AB=ā，AD=b,M4=,可选取B,AD,AM为一组基底，将AP和CP分解为石，方，c表 示，进而利用数量积进行运算即可求出最小值. 【详解】设AB=a,AD=b,A4=c, 设Cm=c西，则C7=DD-DC)=ae-d,0≤s1, AP-AC+CP=a+B+-a)=(1-a+6+ 由AB=A4=2,AD=L,∠BAD=∠BA4=∠DAA=60°， -6=6.c=2x1x)=1a.c=2x2×=2 可得 2 2 D :Ap.乎-[-a+6+a]c-a =(a2-)a-ā.b-2a.c+11-)a.c+6.c+22 P B 九= 当4时，AP.CP的最小值为4. 7/13 故答案为：4」 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0) (I)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN,PN/MQ: (2)若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角， 15.解：(I)设Qx,y),由己知得kn3,由PQ⊥MN, 可得kQ·k-1,即_y,×3=-1.① …→…→…3分 x-3 由已知，得kN-2,由PNMQ,可得kN k1Q,即y+士--2.② …→…→…5分 x-1 联立①②，求解得x0,y=1,即Q0,1). …→…→…7分 (2)设Qx,0),:∠NQP=∠NPQ, :.KNQ--kNP. 2 又k02-× ,k-2, …→…→…10分 2=2,即x=1,所以Q1,0 2- 又：M(1,-1),所以MQ⊥x轴， …→…→…12分 故直线MQ的倾斜角为90°. …→…→…13分 16.（本小题满分13分)已知向量ā=(-1,0,1)，6=1，-2,0) ①求A, (2)求a与a-b的夹角： (3)若2a+b与a-b垂直，求实数x的值， 【解】(1)因为a=(-1,0,1),万=(1，-2,0)， 所以a-6=（1-1,0+21-0)=(-2,21), a-=2}2+2+2=5=3 …→…→…3分 (2)a-(a-)=(-)x(-2)+0x2+1x1=3 =V-102+02+F=V2 8/13 a.a-） 3 o(a.a-b)-同a-司n37 亿 所以a与a-b的夹角为4： …→→…8分 (3)2à+b=(-2,0,2)+0,-2,0)=（1,-2,2). a-xb=（1,0,1)-(k,-2x,0)F（1-x,2x,1) 因为2a+6与立-5垂直，所以(2a+b)(ā-b)=0, 即-1×(-1-)+(-2)×2x+2x1=3-3x=0,解得x=1, 此时，2a+b与a-xb均为非零向量，所以x=1. →…→…13分 17.（15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BCA60。, AP=AC=AD=2,E为CD的中点，M在AB上，且AM=2MB. (1)求证：EM/平面PAD: (2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值； P (3)求点M到平面PCD的距离. 解析(1)证明：建立空间直角坐标系如图， 则40.00).02.00)，c0.20,2 E(1,1,0),P(0,0,2),设M(xMyM,2w), 由=2破得…)=2司y 1,即1,0 所以{ 3 z=0,6n1计 9/13 所以威-(9-10.0 0(2分) 易知平面PAD的一个法向量为m=(0,1,0), 所以Ei·m=0,即Ei⊥m, 又EM￠平面PAD,所以EM∥平面PAD. (4分) （a)可知元-02-2》成-（停方0 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 1m·P元=2y-2z=0, ·B成=5)=0，令-1，得y=5=万， 则 所以n=(-1,5,5), (6分) 又平面PAD的一个法向量为m=(0,1,0), 所以cos(m,m)1=lm·nl-5=V2 ImlInl1x√7 7, (8分) 即平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为 7.(10分) (3)由(1)可知P元=(0,2，-2)，Pi=(2,0,-2),Ei= (1.o0 (11分) 设平面PCD的法向量为p=(a,b,c), p…P元=2b-2c=0令c=1,得6=1，a=1, 则)·币=2a-2=0 所以p=(1,1,1), (13分) 所以点M到平面PGD的距离d上网p+ Ipl 1+5 3 (15分) 业r么 18.(本小题满分17分)如图，已知△AOB, A08-, ∠BAO= 6,AB=4,D为线段AB的中点.若 △AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的.记二面角B-AO-C的大小为0. (1)当平面CODL平面AOB时，求的值： 6∈r2m7 (2)当23]时，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围. 10/13 【解】(1)因为∠AOB=∠AOC=90°，所以A0⊥OB,AO⊥OC, 所以∠BOC为二面角B-AO-C的平面角，则∠BOC=0, …→…→…2分 在Rt△AOB中， ∠B40-g4B=4 ,则0B=2,A0=2√5 …4分 如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB,OA所在的直线分别为y轴，z轴 建立空间直角坐标系O-z, 则A(0,0,25),B(0,2,0),D(01,V5),C(2sin6,2cos6,0) …→…→…6分 设%=(x,y,)为平面C0D的一个法向量， O B C X nOD=0 xsin0+ycos0=0 由OC=0,得y+Bz=0 取z=sin6,则%=(W3cos8,-V5sin0,sina) …→…→…8分 因为平面40B的一个法向量为乃=Q,0,0),由平面C0D⊥平面A0B得%%=0， 所以9=0，即8-7 …→…→…10分 (2)设二面角C-OD-B的大小为， 由（1)得当2时，cosx=0: …→…→…11分 0∈ π2π] 当023时，tam0≤-5， CoSa=- ·i√3cos8 5 V3+sim29√4tamn2o+3, …→…→…13分 因为tan0≤-5，所以V4tam2a+3≥5， 6 5 =<0 所以 5- √4tan20+3 …→…一→…15分 11/13 5 ≤cosa<0 故5 综上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范围为5,0 …→…→…17分 19.(本小题满分17分)如图，在多面体ABCDPE中，平面PDCE⊥平面ABCD,四边形PDCE为矩形.四 边形ABCD中，AB⊥AD,ABIlCD, B=4DCD=1,PD=5,F为A的中点. (I)求证：平面PBD⊥平面ABCD: (2)求平面PBD与平面PDCE所成夹角的大小： 兀 p (3)点P在线段EF上，当BO与平面PBC所成角的大小为6时，求FO的长. E D B 【解】(I)由四边形PDCE为矩形，得PD⊥CD, →…1分 而平面PDCE⊥平面ABCD, 平面PDCE平面ABCD=CD,PDc平面PDCE,则PD⊥平面ABCD, …→……→…3分 又PDC平面PBD,所以平面PBD⊥平面ABCD …→…→…5分 (2)由AD L DC,PDL平面ABCD,得直线DA,DC,DP两两垂直， 以D为原点，直线DA,DC,DP分别为'，，轴建立空间直角坐标系， C B 0..40.00.5.m.0.c0 则 …→…→…7分 DB=11,0),DF=(0,05,BC=(-1,10)，则DB.BC=0,DP.BC=0, 因此C=(-11,)是平面PBD的一个法向量，而DA=A,0,O)是平面PDCE的一个法向量， 12/13 设平面PBD与平面PDCE的夹角为8，则 os0-co(BC,Di)IBC.Di1 BCIDA√2. 解得4，所以平面PBD与平面PDCE的夹角大小为4， …→…→…10分 (3)由(2)得 陀=（ 号2，电点9在线段R上，四=殛，2e0奶 即网-4号，则以号号刘 2 +7刀，而c=02②， …→…→…11分 BC.m=-a+b=0 设平面PBC的法向量为L=(a,b,c),则PC·m=2b-√2=0， 取b=1,得m=Q,1,V2), …→…→…13分 网-6兮321要90 而 ,直线BO与平面PBC所成角的大小为6， 因此 6 B01m192-102+72, 解得2=1， …→…→…15分 即点9与点E重合，所以 0卧+2+号-四 …→…→…17分 13/13