第1章 专题提升课4 带电粒子在有界磁场中的运动-【优学精讲】2026-2027学年高中物理选择性必修二同步教参（人教版）

专题提升课4　带电粒子在有界磁场中的运动 微专题一　带电粒子在三角形(四边形)边界磁场的运动 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．一个“解题流程”，突破临界问题 2．从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态予以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。 题型1　三角形边界磁场 　(多选)如图所示，直角三角形AOC内(含边界)充满垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，已知∠A＝30°，OA＝L。在O点放置一可视为质点的粒子源，能在纸面内发射各种速率、比荷为k的带负电粒子，且粒子发射时的速度方向与边界OA的夹角均为θ。不计粒子重力和粒子间的相互作用，则(　　) A．若θ＝45°，则有粒子从A点射出磁场 B．若θ＝30°，则从边界OA射出磁场的粒子的最大速率为BkL C．若θ＝90°，则边界OA有粒子射出的长度为 D．若θ＝90°，则从边界AC射出磁场的粒子速率均大于 [解析]　若θ＝45°，假如有粒子从A点射出，则出射方向与OA夹角为45°>30°，说明轨迹已经到达三角形区域外侧，故假设不成立，则没有粒子从A点射出，故A错误；若θ＝30°，轨迹与斜边相切，从A点射出时，半径最大，由几何关系知，最大半径R＝OA＝L，根据qvB＝，解得最大速率为BkL，故B正确；若θ＝90°，粒子从边界OA射出，轨迹与斜边相切时，半径最大，由几何关系知Rm＋＝L，解得Rm＝L，则边界OA有粒子射出的长度x＝2Rm＝L，根据qvB＝，解得从边界OA射出的粒子最大速度vm＝＝kBL，则从边界AC射出磁场的粒子速率均大于，故C错误，D正确。 [答案]　BD 　如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力。 (1)若粒子垂直于BC边射出，求粒子做匀速圆周运动的半径R1。 (2)若粒子从C点射出，求粒子在磁场中运动的时间t。 [解析]　 (1)若粒子垂直于BC边射出，画出粒子的运动轨迹如图甲所示 由几何关系可得，粒子做匀速圆周运动的半径R1＝OD＝BD sin 60°＝L。 (2)若粒子从C点射出，画出粒子的运动轨迹如图乙所示 设粒子的运动半径为R2，由几何关系有(R2－R1)2＋2＝R 解得R2＝ 又有cos ∠DO1C＝ 解得∠DO1C＝60° 粒子在磁场中运动的周期T＝ 则粒子在磁场中运动的时间t＝·T＝。 [答案]　(1)L　(2) 题型2　四边形边界磁场 　如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计。下列说法正确的是(　　) A．若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t0 B．若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为t0 C．若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间为t0 D．若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为t0 [解析]　由带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场可知，该带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝2t0。当粒子沿纸面以与Od成30°角的方向射入正方形内时，如图所示，作出从ab边射出的临界轨迹①，由图可知，当轨迹①与ab相切时为带电粒子从ab边射出的临界值，根据几何关系可知该带电粒子从ab边射出经历的时间一定不大于，故A错误。作出从bc边射出的临界轨迹②，由图可知，当轨迹②与bc相切时为带电粒子从bc边射出的临界值，根据几何关系可知该带电粒子从bc边射出经历的时间一定不大于，故B正确。由图及带电粒子运动轨迹的对称性可知，该带电粒子从cd边射出经历的时间一定是tcd＝T＝t0，故C错误。作出从ad边射出的临界轨迹④，由图可知，当轨迹④与ad相切时为带电粒子从ad边射出的临界值，根据几何关系可知该带电粒子从ad边射出经历的时间一定不大于，故D错误。 [答案]　B 　如图所示，在矩形区域abcO内存在一个垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，Oa边长为L，ab边长为L。现从O点沿Ob方向射入各种速率的带正电粒子，已知这些粒子的质量为m，电荷量为q。不计粒子重力和粒子间的相互作用力。 (1)若粒子垂直于ab边射出磁场，求粒子射入的速率。 (2)若粒子从a点离开磁场，求粒子射入的速率。 (3)求粒子在磁场中运动的最长时间。 [解析]　 (1)粒子运动的轨迹如图，由几何关系，可知tan θ＝＝ 解得θ＝ 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，可得qvB＝ 解得v＝ 粒子垂直于ab边射出磁场，轨迹圆的圆心为O1，由几何关系可知，粒子做匀速圆周运动的半径 r1＝＝2L 则粒子射入的速率v1＝＝。 (2)粒子从a点离开磁场，轨迹圆的圆心为O2，由几何关系可知，粒子做匀速圆周运动的半径r2＝L 则粒子射入的速率v2＝＝。 (3)根据qvB＝，T＝可得T＝ 可知粒子在磁场中做圆周运动的周期和速率无关，由几何关系可知最大圆心角α＝2θ＝ 有tmax＝T＝。 [答案]　(1)　(2)　(3) “放缩圆法”分析临界问题 (1)适用条件：速度方向相同，大小不同。 (2)特点：轨迹圆圆心共线，如图所示，粒子带正电，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直于初速度方向的直线PP′上。 (3)界定方法：以入射点P为定点，圆心位于直线PP′上，将半径放缩确定运动轨迹，从而探索出粒子运动的临界条件。 微专题二　带电粒子在圆形边界场中的运动 1．速度指向圆心的模型：粒子的入射速度指向圆心时，粒子射出磁场时速度的反向延长线一定过圆心，且粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏转角，如图甲所示。 2．速度不指向圆心的模型：带电粒子的速度不指向圆心，带电粒子从直径的一个端点射入磁场，从该直径的另一端射出时，粒子的轨迹关于磁场圆心O和轨迹圆心O′的连线对称，入射速度与出射速度的交点与OO′在一条直线上，如图乙所示。 3．环形磁场的模型：如磁场区域为环状，带电粒子沿径向射入磁场，要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度，如图丙所示。 　如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速度先后从A点沿AO方向和从B点沿BO方向射入磁场，并均从N点射出磁场，若a粒子的速率为v，不计粒子的重力。已知∠AON＝60°，下列说法正确的是(　　) A．a粒子做圆周运动的半径为R B．b粒子的速率为v C．粒子的比荷为 D．a、b两粒子在磁场中的运动时间之比为1∶2 [解析]　 作出a、b粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，根据几何知识可得ra＝R tan 30°＝R，粒子a在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有Bqva＝，联立解得＝，故A错误，C正确；粒子b在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有Bqvb＝，由几何知识可得rb＝＝R，解得vb＝＝BR×＝3v，故B错误；根据题意可知，a、b粒子在磁场中的运动周期T＝＝＝，两粒子在磁场中偏转的圆心角θa＝120°，θb＝60°，则两粒子在磁场中运动的时间之比ta∶tb＝θa∶θb＝120°∶60°＝2∶1，故D错误。 [答案]　C 　(2026·宁夏银川市期末)一个重力不计的带电粒子以大小为v的速度从坐标为(0，L)的a点，平行于x轴射入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从x轴上的b点射出磁场，射出磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角为60°，如图所示。 (1)判断粒子的电性并用尺规作图法画出粒子的运动轨迹。 (2)求粒子的比荷。 (3)求粒子从a点运动到b点的时间。 [解析]　(1) 画出粒子的运动轨迹如图所示 根据左手定则可知，粒子带正电。 (2)由几何知识得R sin 30°＋L＝R 解得R＝2L 洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝ 解得＝。 (3)粒子做圆周运动的周期T＝＝ 则粒子从a运动到b所用的时间t＝T＝。 [答案]　(1)正电　图见解析　(2)　(3) 熟记两个结论 (1)径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，沿圆形磁场半径方向射入的带电粒子，必沿径向射出圆形磁场区域，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图(a)所示。 (2)等角进出：入射速度方向与过入射点的磁场圆半径的夹角等于出射速度方向与过出射点的磁场圆半径的夹角，如图(b)所示。径向进出是等角进出的一种特殊情况(θ＝0°)。 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(带电粒子在有界磁场中运动的临界问题)如图所示，边长为L的等边三角形区域内有匀强磁场。大量电子从B点射入磁场中，入射方向分布在与BC边的夹角为α(0≤α≤60°)的范围内，在磁场中的运动半径均为L。不计电子间的相互作用，则在磁场中运动时间最长的电子入射时的α角为(　　) A．0° B．15° C．30° D．45° 解析： 选C。电子在磁场中运动的时间t＝T＝，可知圆心角越大，电子在磁场中运动时间越长，根据数学知识可知，半径相同时，所对应弦长越长，圆心角越大，所以当电子从A点射出时，对应弦长最长，圆心角最大，由图可知，AB边长等于半径，所以△BOA是等边三角形，∠OBA＝60°，此时电子在磁场中运动时间最长，电子入射时的α角为30°。 2.(带电粒子在有界磁场中运动的临界问题)边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD如图所示，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直于AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子所受重力不计)，则t1∶t2为(　　) A．2∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．3∶1 解析： 选C。如图所示，画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，得到粒子从P点射入时的轨迹，根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径R＝L，从C点射出的粒子运动时间t1＝T＝T，从P点入射的粒子轨迹的圆心在AD延长线上距D点L处，那么粒子转过的圆心角满足cos θ＝＝，解得θ＝60°，运动时间t2＝T＝T，则有＝＝。 3．(带电粒子在圆形边界场中的运动)如图所示，一半径为R的圆形区域内充满垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，O为圆形磁场区域的圆心。一带电粒子以速度v从磁场边界P点垂直射入磁场，射入时的速度方向与PO成30°角，最后从磁场边界Q点射出。已知∠POQ＝120°，不计粒子重力，则(　　) A．该粒子带正电 B．该粒子沿OQ方向射出磁场 C．该粒子在磁场中运动的半径为R D．该粒子在磁场中运动的时间为 解析：选C。带电粒子在洛伦兹力作用下在磁场中做匀速圆周运动，设圆心为C，运动轨迹如图所示，由几何知识可知，C在圆形磁场边界上，四边形POQC为菱形，粒子运动轨迹的轨道半径为R，由左手定则知粒子带负电，CQ平行于PO，故粒子离开磁场时速度方向垂直于PO，故A、B错误，C正确；带电粒子在磁场中做圆周运动的偏转角为120°，运动时间t＝×＝，故D错误。 4.(带电粒子在圆形边界场中的运动)(多选)(2026·天津和平区期中)如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O为圆心，A、B、C为圆形区域边界上的三点，BC为直径，∠AOC＝60°，现有一对质量相等、电荷量不等的正、负粒子，从A点沿AO方向以相同大小的速度垂直于磁场射入，一个从B点离开磁场，另一个从C点离开磁场。粒子的重力及相互作用力均不计，则下列说法正确的是(　　) A．从B点离开磁场的粒子带正电 B．正、负粒子的电荷量大小之比为1∶3 C．正、负粒子在磁场中运动的周期之比为1∶3 D．正、负粒子在磁场中运动的时间之比为2∶3 解析：选CD。根据洛伦兹力的方向判断可知，从B点离开的粒子带负电，从C点离开的粒子带正电，故A错误；粒子在磁场中的轨迹如图所示，根据几何关系可知正粒子的运动半径r1＝R，负粒子的运动半径r2＝R，在磁场中由洛伦兹力充当向心力，有qvB＝，可知q1∶q2＝r2∶r1＝3∶1，故B错误；带电粒子在磁场中运动的周期T＝＝，所以正、负粒子的运动周期之比T1∶T2＝q2∶q1＝1∶3，故C正确；正、负粒子在磁场中运动的时间之比t1∶t2＝T1∶T2＝2∶3，故D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $