5.3 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动（举一反三·讲义） 物理沪科版选择性必修第二册

5.3 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 【新教材沪科版】 模块二 知识精讲 情景导入 运动电荷所受的洛伦兹力与速度方向永远垂直，那么受到洛伦兹力作用的带电粒子在匀强磁场中将会如何运动呢？ 知识归纳 【知识点1 圆形匀强磁场区域问题】 一、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动。 2．带电粒子以速度v垂直磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动。 (1)洛伦兹力提供向心力：qvB＝。 (2)轨迹半径：r＝。 (3)周期：T＝＝，可知T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关。 (4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝T。 (5)动能：Ek＝mv2＝＝。 3．粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法 (1)圆心的确定方法 ①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。 ②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。 ③若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙。 (2)半径的计算方法 方法一　由R＝求得。 方法二　连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得。 如图甲，由R＝或R2＝L2＋(R－d)2求得 　 常用到的几何关系 ①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α。 ②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝α。 (3)时间的计算方法 方法一　利用圆心角θ、周期T求得t＝T。 方法二　利用弧长l、线速度v求得t＝。 4．圆形边界(进出磁场具有对称性) (1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。 (2)不沿径向射入时，如图乙所示。 射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。 【例1】真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，圆心为M，磁场的磁感应强度最小为B，由几何关系有＋r＝3a，解得r＝a，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动有evB＝m，解得B＝，选项C正确。 【变式1-1】在如图所示的平面直角坐标系中，存在一个半径R＝0.2 m的圆形匀强磁场区域，磁感应强度B＝1.0 T，方向垂直纸面向外，该磁场区域的右边缘与y坐标轴相切于原点O点。y轴右侧存在一个匀强电场，方向沿y轴正方向，电场区域宽度l＝0.1 m。现从坐标为(－0.2 m，－0.2 m)的P点发射出质量m＝2.0×10－9 kg、带电荷量q＝5.0×10－5 C的带正电粒子，沿y轴正方向射入匀强磁场，速度大小v0＝5.0×103 m/s(粒子重力不计)。 (1)带电粒子从坐标为(0.1 m,0.05 m)的点射出电场，求该电场强度的大小； (2)为了使该带电粒子能从坐标为(0.1 m，－0.05 m)的点回到电场，可在紧邻电场的右侧区域内加匀强磁场，试求所加匀强磁场的磁感应强度大小和方向。 [解析]　(1)带正电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有：qv0B＝m 可得：r＝＝0.20 m＝R 根据几何关系可以知道，带电粒子恰从O点沿x轴正方向进入电场，带电粒子做类平抛运动，设粒子到达电场边缘时，竖直方向的位移为y 根据类平抛规律可得：l＝v0t，y＝at2 根据牛顿第二定律可得：Eq＝ma 联立可得：E＝＝1.0×104 N/C。 (2)粒子飞离电场时，沿电场方向速度：vy＝at＝·＝5.0×103 m/s＝v0 粒子射出电场时速度大小v＝v0，方向与x轴正方向夹角为45°偏向右上方 根据左手定则可知所加磁场方向垂直纸面向外，根据几何关系可知，粒子在B′区域磁场中做圆周运动半径r′＝y 根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB′＝m 联立可得所加匀强磁场的磁感应强度大小B′＝＝4 T。 [答案]　(1)1.0×104 N/C　(2)4 T，方向垂直纸面向外 【变式1-2】如图，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为q(q＞0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向从c点射入磁场区域，射入点c与ab的距离为R，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为（不计粒子重力，已知sin 15°＝） (　 ) A. B. C. D. [解析]　粒子带正电，根据左手定则，判断出粒子受到的洛伦兹力向右，轨迹如图所示， 由射入点c与ab的距离为R，可知∠cO1a＝15°，由速度的偏转角为60°，可知∠cO2O1＝30°，在△cO2O1，由正弦定理得，轨迹半径r＝R，由Bqv＝，解得v＝，B正确，A、C、D错误。 [答案]　B 【变式1-3】如图所示，水平虚线AA′和CC′间距为L，中间存在着方向向右且与虚线平行的匀强电场，CC′的下侧存在一半径为R的圆形磁场区域，磁场方向垂直纸面向外(图中未画出)，圆形磁场与边界CC′相切于点M。一质量为m、带电量为q(q>0)的粒子由电场上边界AA′上的S点以初速度v0垂直射入电场，一段时间后从M点离开电场进入磁场，粒子进入磁场的速度大小为v0，且其运动轨迹恰好过圆形磁场的圆心O。粒子所受重力忽略不计，求： (1)电场强度E的大小； (2)圆形磁场区域磁感应强度B的大小。 答案　(1)　(2) 解析　(1)粒子在整个过程的运动轨迹，如图所示。 粒子在电场从S到M做类平抛运动，在垂直于电场方向 t1＝ 粒子在M点沿着电场方向速度vx＝＝v0 所以粒子沿着电场方向的位移d＝×t1＝ 粒子从S点到M点，由动能定理 qEd＝m(v0)2－mv 解得E＝ (2)设粒子在M处的速度与电场方向夹角为θ，则 sin θ＝ 解得θ＝45° 所以三角形OO′M为等腰直角三角形，设带电粒子做匀速圆周运动的半径为r。 由几何关系得r＝R 由牛顿第二定律qB(v0)＝m 解得B＝ 【知识点2 矩形磁场区域问题】 1．首先找轨迹圆心。 2．可借助于弦切角求时间。 3．构建合适的三角形。 【例2】（多选）如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是(　　) A．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从cd边射出磁场 B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad边射出磁场 C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc边射出磁场 D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ab边射出磁场 答案　AC 解析　如图所示，作出刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④.由从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0.可知，从ad边射出磁场经历的时间一定小于t0；从ab边射出磁场经历的时间一定大于等于t0，小于t0；从bc边射出磁场经历的时间一定大于等于t0，小于t0；从cd边射出磁场经历的时间一定是t0. 【变式2-1】(多选)(2026·广东汕头市模拟)如图所示，在直角坐标系xOy中，有一个边长为L的正方形区域，a点在原点，b点和d点分别在x轴和y轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子质量为m，电荷量为q，以速度v0从a点沿x轴正方向射入磁场。不计粒子重力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。下列说法正确的是(　　) A.若粒子恰好从c点射出磁场，则粒子的速度v0＝ B.若粒子恰好从bc边的中点射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间t＝ C.若粒子的速度v0＝，则粒子射出磁场时的速度方向与y轴正方向的夹角为60° D.若粒子从cd边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间一定不超过 解析：选BD。 若粒子恰好从c点射出磁场，由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径r＝L，由r＝解得v0＝，故A错误；若粒子恰好从bc边的中点射出磁场，轨迹如图所示，设轨迹圆半径为R，由几何关系可知＋L2＝R2，解得R＝L，则sin θ＝＝，可知θ＝53°，则粒子在磁场中运动的时间t＝T＝×＝，故B正确；若v0＝，则轨迹圆半径r1＝＝L，这种情况粒子从cd边射出，设粒子射出磁场时速度方向与y轴正方向夹角为β，则sin β＝＝≠sin 60°，即β≠60°，故C错误；若粒子从cd边射出磁场，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角最大不超过180°，则最长运动时间t0＝T＝×＝，所以粒子在磁场中运动的时间一定不超过，故D正确。 【变式2-2】如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　) A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 答案　B 解析　若电子从a点射出，运动轨迹如图线①， ra＝ 由qvaB＝m得va＝＝＝ 若电子从d点射出，运动轨迹如图线②， 由几何关系得r＝＋l2， 整理得rd＝l 由qvdB＝m得vd＝＝＝，选项B正确。 【变式2-3】(多选)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子。不计重力。下列说法正确的是(　　) A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间 一定不同 B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 C.在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同 D.在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大 解析　由T＝可知，粒子的运动周期与粒子的速度无关，若入射速度不同的粒子从左边界飞出，则粒子的偏转角相同，运动时间相同，A、C错误；由r＝可知，入射速度相同的粒子运动轨迹相同，B正确；由粒子的运动时间t＝·T可知，D正确。 答案　BD 【知识点3 三角形磁场区域问题】 带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解答该类问题主要把握以下两点： 1．射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入。 2．射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出。 ①当α≤θ时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距离为d＝2Rsin α，如图甲所示。 ②当α>θ时，不能通过两磁场边界的交点，临界条件为粒子的运动轨迹恰好和另一个边界相切，如图乙所示。 【例3】如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)以速度v从AC边的中点O垂直AC边射入磁场区域。若三角形的两直角边长均为2L，要使粒子从CD边射出，则v的取值范围为(　　) A.≤v≤ 　　 B.≤v≤ C.≤v≤ 　　 D.≤v≤ 答案　C 解析　根据洛伦兹力提供向心力可知，v＝，因此半径越大，速度越大；根据几何关系可知，使粒子轨迹与AD边相切时速度最大，如图，则有AO′·sin 45°＝O′E，即(r1＋L)sin 45°＝r1，解得最大半径为r1＝(＋1)L，故最大速度为v1＝；当粒子从C点出射时，半径最小，为r2＝，故最小速度为v2＝，则v的取值范围为≤v≤，故C正确，A、B、D错误。 【变式3-1】如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子均能通过D点，已知质子的比荷＝k，则质子的速度不可能为(　 ) A． B．BkL C． D． 解析：选C　质子的运动轨迹如图所示， 由几何关系可得2nRcos 60°＝L　(n＝1,2,3，…)，由洛伦兹力提供向心力，则有Bqv＝m，联立解得v＝＝，A、B、D正确，C错误。 【变式3-2】如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值为(　　) A．B＞　　　 B．B＜ C．B＞ D．B＜ [解析]　由题意，如图所示，电子正好经过C点，此时圆周运动的半径R＝＝，要想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于，由带电粒子在磁场中运动的公式r＝，可得＜，即B＜，D正确。 [答案]　D 【变式3-3】如图所示，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为＋q，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度v0为哪一值时粒子能通过B点(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　粒子带正电，且经过B点，其可能的轨迹如图所示。 所有圆弧所对圆心角均为60°，所以粒子运行半径r＝(n＝1，2，3，…)，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得v＝＝(n＝1，2，3，…)，由此可知，v＝的粒子能通过B点，故A、B、C不符合题意，D符合题意。 【知识点4 平行边界磁场区域问题】 1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) 2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示) 【例4】如图所示，真空区域内有一宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。AB、CD为磁场的边界。O是AB上一粒子源，某时刻从O点沿各个方向射入大量速度大小相等、方向与磁场垂直、质量为m、电荷量为q的正粒子(重力不计)。已知沿着与AB夹角θ＝30°方向入射的粒子刚好垂直于CD边界射出磁场。求： (1)粒子在磁场中做圆周运动的半径；(2分) (2)粒子在磁场中做圆周运动速度大小；(4分) (3)粒子在磁场中运动的最长时间(cos 82°＝1－)。(6分) 解析：由题意可知粒子轨迹如图所示 (1)由几何关系可得粒子做圆周运动的半径 R＝＝d。 (2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则qvB＝m 解得粒子的速度v＝＝。 (3)当粒子轨迹与CD边相切时，轨迹圆的圆心角α最大，如图所示，粒子在磁场中运动时间最长，由几何关系得cos ＝ 代入数据得cos ＝1－ 即α＝164°，粒子做圆周运动的周期 T＝＝ 粒子在磁场中运动的最长时间t＝T 代入解得t＝。 答案：(1)d　(2)　(3) 【变式4-1】如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里。一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场。若电子在磁场中运动的轨道半径为2d。O′在MN上，且OO′与MN垂直。下列判断正确的是(　　) A．电子将向右偏转 B．电子打在MN上的点与O′点的距离为d C．电子打在MN上的点与O′点的距离为d D．电子在磁场中运动的时间为 解析：选D　电子带负电，进入磁场后，根据左手定则判断可知，所受的洛伦兹力方向向左，电子将向左偏转，如图所示， A错误；设电子打在MN上的点与O′点的距离为x，则由几何知识得：x＝r－＝2d－＝(2－)d，故B、C错误；设轨迹对应的圆心角为θ，由几何知识得：sin θ＝＝0.5，得θ＝，则电子在磁场中运动的时间为t＝＝，故D正确。 【变式4-2】如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF。一电子从CD边界外侧以速率v0垂直射入匀强磁场，入射方向与CD边界间夹角为θ。已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求： (1)电子的速率v0至少多大？ (2)若θ角可取任意值，v0的最小值是多少？ 解析　本题考查圆周运动的边界问题的求解方法。(1)当入射速率v0很小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道的边界与EF相切时，电子恰好不能从EF射出，如图所示，电子恰好射出时，由几何知识可得：r＋rcos θ＝d① 又r＝② 由①②得v0＝③ 故电子要射出磁场，速率至少应为。 (2)由③式可知，θ＝0°时，v0＝最小，由②式知此时半径最小，rmin＝，也可由轨迹分析得出上述结论。 答案　(1)　(2) 【变式4-3】矩形区域abcd(包括边界)充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从ad边中点O处，以垂直磁场且跟ad边成30°角的速度射入一带电粒子。已知粒子质量为m、电荷量为q，ad边长为L，不计粒子重力。 (1)若要粒子从ab边上射出，则入射速度v0的大小范围是多少？(ab边足够长) (2)粒子在磁场中运动的最长时间是多少？ 解析　(1)若粒子速度为v0，由qv0B＝m得R＝ 若轨迹与ab边相切，如图所示，设此时相应速度为v01，则 R1＋R1sin θ＝ 将R1＝代入上式可得v01＝ 若轨迹与cd边相切，如图所示，设此时粒子速度为v02，则 R2－R2sin θ＝ 将R2＝代入上式可得v02＝ 所以粒子能从ab边上射出磁场的入射速度v0的大小应满足<v0≤。 (2)设粒子入射速度为v，在磁场中经过的弧所对的圆心角为α，则t＝＝，则α越大，在磁场中运动的时间也越长，由图可知，粒子在磁场中运动的半径r≤R1时，运动时间最长，弧所对的圆心角为(2π－2θ)。 所以粒子在磁场中运动的最长时间为 t＝＝。 答案　(1)<v0≤　(2) 【知识点5 质谱仪】 1．作用 测量带电粒子的质量和分离同位素。 2．原理(如图所示) (1)加速电场：qU＝mv2； (2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r； 由以上式子可得r＝，m＝，＝。 【例5】(多选)质谱仪是用来分析同位素的装置，如图为质谱仪的示意图，其由竖直放置的速度选择器、偏转磁场构成。由三种不同粒子组成的粒子束以某速度沿竖直向下的方向射入速度选择器，该粒子束沿直线穿过底板上的小孔O进入偏转磁场，最终三种粒子分别打在底板MN上的P1、P2、P3三点，已知底板MN上下两侧的匀强磁场方向均垂直纸面向外，且磁感应强度的大小分别为B1、B2，速度选择器中匀强电场的电场强度的大小为E。不计粒子的重力以及它们之间的相互作用，则(　　) A.速度选择器中的电场方向向右，且三种粒子均带正电 B.三种粒子的速度大小均为 C.如果三种粒子的电荷量相等，则打在P3点的粒子质量最大 D.如果三种粒子电荷量均为q，且P1、P3的间距为Δx，则打在P1、P3两点的粒子质量差为 答案　ACD 解析　根据粒子在磁场B2中的偏转方向，由左手定则知三种粒子均带正电，在速度选择器中，粒子所受的洛伦兹力向左，电场力向右，知电场方向向右，故A正确；三种粒子在速度选择器中做匀速直线运动，受力平衡，有qE＝qvB1，得v＝，故B错误；粒子在磁场区域B2中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB2＝m得R＝，三种粒子的电荷量相等，半径与质量成正比，故打在P3点的粒子质量最大，故C正确；打在P1、P3间距Δx＝2R3－2R1＝－＝(m3－m1)＝Δm，解得Δm＝，故D正确。 【变式5-1】(多选)如图所示为一种质谱仪的示意图，由加速电场、静电分析器和磁分析器组成．若静电分析器通道中心线的半径为R，通道内均匀辐射电场，在中心线处的电场强度大小为E，磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外．一质量为m、电荷量为q的粒子从静止开始经加速电场加速后沿中心线通过静电分析器，由P点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的Q点．不计粒子重力．下列说法正确的是(　　) A．极板M比极板N的电势高 B．加速电场的电压U＝ER C．直径PQ＝2B D．若一群粒子从静止开始经过题述过程都落在胶片上的同一点，则该群粒子具有相同的比荷 答案　AD 解析　粒子在静电分析器内沿电场线方向偏转，说明粒子带正电荷，极板M比极板N电势高，选项A正确；由Uq＝mv2和Eq＝可得U＝，选项B错误；直径PQ＝2r＝＝2 ，可见只有比荷相同的粒子才能打在胶片上的同一点，选项C错误，D正确． 【变式5-2】现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。此离子和质子的质量比约为(　 ) A．11 B．12 C．121 D．144 解析：选D　由动能定理有qU＝mv2，得带电粒子进入磁场的速度为v＝，结合带电粒子在磁场中运动的轨迹半径R＝，联立解得R＝，由题意可知，该离子与质子在磁场中具有相同的轨道半径和电荷量，故该离子和质子的质量比＝144，故选D。 【变式5-3】(多选)如图所示，一束电荷量相同的带电粒子以一定的初速度沿直线通过由相互正交的匀强磁场和匀强电场(左侧极板带正电，右侧极板带负电)组成的速度选择器，然后粒子通过平板S上的狭缝P进入另一匀强偏转磁场，最终打在A1A2之间，下列说法正确的是(　 ) A．粒子带正电 B．速度选择器中磁场方向为垂直纸面向里 C．所有打在A1A2之间的粒子，在匀强偏转磁场中的运动时间都相同 D．粒子打在A1A2之间的位置越远，粒子的质量越大 解析：选AD　根据左手定则可知，粒子带正电，故A正确；粒子经过速度选择器时所受的电场力和洛伦兹力平衡，所受电场力方向向右，则所受洛伦兹力方向向左，根据左手定则可知，速度选择器中磁场方向为垂直纸面向外，故B错误；所有打在A1A2之间的粒子，在匀强偏转磁场中做匀速圆周运动，运动的时间为t＝，而T＝，经过速度选择器后粒子的速度都相同，则在匀强偏转磁场中做匀速圆周运动的粒子，半径越大运动的时间越长，故C错误；经过速度选择器进入匀强偏转磁场中的粒子速度相等，根据题意可知，粒子的电荷量相同，根据R＝知，粒子打在A1A2之间的位置越远，半径越大，则粒子的质量越大，故D正确。 【知识点6 回旋加速器】 1．构造 如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源。 2．原理 交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙就被加速一次。 3．最大动能 由qvmB＝、Ekm＝mvm2得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关。 4．运动时间的计算 (1)粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总时间t1＝T＝·＝。 (2)粒子在各狭缝中的运动连在一起为匀加速直线运动，运动时间为t2＝＝。(缝隙宽度为d) (3)粒子运动的总时间t＝t1＋t2＝＋。 【例6】如图所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O点为圆心，磁感应强度大小为B，加速电压的大小为U，质量为m、电荷量为q的粒子从O附近飘入加速电场，多次加速后粒子经过P点绕O做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示，偏转器的两极板M和N厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为α，当M、N间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E的电场，使粒子恰能通过狭缝，粒子在再次被加速前射出磁场，不计M、N间的距离。求： (1)粒子加速到P点所需要的时间t； (2)极板N的最大厚度dm。 解析：(1)设粒子在P点的速度大小为vP，则根据qvB＝m，可知半径表达式为R＝， 根据动能定理，粒子在静电场中加速有nqU＝mvP2，粒子在磁场中运动的周期为T＝，粒子运动的总时间为t＝(n－1)×，解得t＝。 (2)由粒子的运动半径r＝，结合动能表达式Ek＝mv2变形得r＝，则粒子加速到P前最后两个半周的运动半径为r1＝，r2＝， 由几何关系dm＝2， 解得dm＝2。 答案：(1) (2)2 【变式6-1】(多选)图甲是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，在加速带电粒子时，两金属盒置于匀强磁场中，并分别与高频电源相连。带电粒子从静止开始运动的速率v随时间t变化如图乙所示，已知tn时刻粒子恰射出回旋加速器，不考虑相对论效应、粒子所受的重力和穿过狭缝的时间，下列判断正确的是(　 ) A．t3－t2＝t2－t1＝t1 B．v1∶v2∶v3＝1∶2∶3 C．粒子在电场中的加速次数为 D．同一D形盒中粒子的相邻轨迹半径之差保持不变 解析：选AC　粒子在磁场中做匀速圆周运动，由qvB＝m，可得r＝，粒子运动周期为T＝＝，故周期与粒子速度无关，每运动半周被加速一次，可知t3－t2＝t2－t1＝t1，A正确；粒子被加速一次，动能增加qU，被加速n次后的动能为mvn2＝nqU，可得v＝，故速度之比为v1∶v2∶v3＝1∶∶，B错误，由B的分析可得mv12＝qU，mvn2＝nqU，联立解得n＝，故粒子在电场中的加速次数为，C正确；由A的分析可得r＝，由B的分析可知v3－v2≠v2－v1，故r3－r2≠r2－r1，即同一D形盒中粒子的相邻轨迹半径之差会改变，D错误。 【变式6-2】(多选)用回旋加速器对粒子进行加速，可以获得高能带电粒子，两个D形盒与电压有效值为U的高频交流电源的两极相连，交流电源频率可调，在两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，磁感应强度为B，如图所示。粒子由速度为零开始加速，不计粒子在两盒间狭缝中运动的时间。关于回旋加速器，下列说法正确的是(　 ) A．两D形盒间狭缝中交变电场的频率跟带电粒子的比荷成正比 B．不同的带电粒子在同一回旋加速器中运动的总时间相同 C．带电粒子在磁场中运动时，受到的洛伦兹力不做功，因此带电粒子从D形盒射出时的动能与磁场的强弱无关 D．尽管两D形盒间狭缝中电场对粒子起加速作用，但是带电粒子从D形盒射出时的动能与加速电压的大小无关 解析：选ABD　带电粒子在磁场中运动的频率与交变电场的频率相等，大小为f＝，因此两D形盒间狭缝中交变电场的频率跟带电粒子的比荷成正比，故A正确；带电粒子在回旋加速器中被加速的过程，有nqU＝mv2，而v＝，带电粒子在回旋加速器中运动的时间为t＝×，整理得t＝，与带电粒子的质量和电荷量无关，因此不同的带电粒子在同一个回旋加速器中运动的总时间相同，故B正确；带电粒子从D形盒射出时的动能Ek＝mv2＝，可知带电粒子从D形盒射出时的动能与磁感应强度B有关，与加速电压的大小无关，故C错误，D正确。 【变式6-3】回旋加速器原理如图所示，D1和D2是两个中空的半圆形金属盒，置于与盒面垂直的匀强磁场中，它们接在交流电源上，位于D1圆心处的离子源A能不断产生正离子，它们在两盒之间被电场加速，当正离子被加速到最大动能Ek后，再设法将其引出。已知正离子的电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R，狭缝之间的距离为d。设正离子从离子源出发时的初速度为零。 (1)试计算上述正离子被第一次加速后进入D2中运动的轨道半径； (2)计算正离子飞出时的最大动能； (3)设该正离子在电场中的加速次数与回旋半周的次数相同，试证明当R≫d时，正离子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的时间可忽略不计(正离子在电场中运动时，不考虑磁场的影响)。 答案　(1)　(2)　(3)见解析 解析　(1)设正离子第1次经过狭缝被加速后的速度为v1，根据动能定理可得qU＝mv 解得v1＝ 在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有qv1B＝m 解得r1＝。 (2)离子射出加速器时qvmB＝m 解得vm＝ 离子动能为Ek＝mv2＝。 (3)在电场中运动可以看做连续的匀加速直线运动，设离子射出时速度为v。 根据平均速度公式可得在电场中运动时间为 t1＝＝ 离子在D形盒中运动的周期为T＝ 粒子在磁场中回旋的时间为t2＝T＝(n＝1，2，3，………) 有＝＝ 当d≪R时，t1≪t2，即电场中运动时间可以忽略。 模块三 课后作业 一、选择题 1．如图所示，长方形abcd长ad＝0.6 m，宽ab＝0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B＝0.25 T。一群不计重力、质量m＝3×10－7 kg、电荷量q＝＋2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5×102 m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则(　　) A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边 B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边 C．从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边 D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和bc边 [解析]　由r＝得带电粒子在匀强磁场中运动的半径r＝0.3 m，从Od边射入的粒子，出射点分布在ab和be边；从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和be边；选项D正确。 [答案]　D 2． (多选)如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°。粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴。已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则(　　) A.粒子带负电荷 B.粒子速度大小为 C.粒子在磁场中运动的轨道半径为a D.N与O点相距(＋1)a 答案　AD 解析　由左手定则可知，带电粒子带负电荷，A正确；做出粒子的轨迹示意图如图所示，假设轨迹的圆心为O′，则由几何关系得粒子的轨道半径为R＝a，则由qvB＝m得v＝＝，B、C错误；由以上分析可知，ON＝R＋a＝(＋1)a，D正确。 3．如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力。则(　　) A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1 B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2 C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1 D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2 [解析]　如图所示，设正六边形的边长为l，当带电粒子的速度大小为vb时，其圆心在a点，轨道半径r1＝l，转过的圆心角θ1＝π，当带电粒子的速度大小为vc时，其圆心在O点(即fa、cb延长线的交点)，故轨道半径r2＝2l，转过的圆心角θ2＝，根据qvB＝m，得v＝，故＝＝。由于T＝得T＝，所以两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，又t＝T，所以＝＝。故选项A正确，选项B、C、D错误。 [答案]　A 4．如图所示，匀强磁场的边界为平行四边形ABCD，其中AC边与对角线BC垂直，一束电子以大小不同的速度沿BC从B点射入磁场，不计电子的重力和电子之间的相互作用，关于电子在磁场中运动的情况，下列说法中正确的是(　　) A．入射速度越大的电子，其运动时间越长 B．入射速度越大的电子，其运动轨迹越长 C．从AB边出射的电子的运动时间都相等 D．从AC边出射的电子的运动时间都相等 解析：选C　电子以不同的速度沿BC从B点射入磁场，若电子以AB边射出，画出其运动轨迹如图所示，由几何关系可知在AB边射出的电子轨迹所对的圆心角相等，在磁场中的运动时间相等，与速度无关，C对，A错；从AC边射出的电子轨迹所对圆心角不相等，且入射速度越大，其运动轨迹越短，在磁场中的运动时间不相等，B、D错。 5．(多选)一电中性微粒静止在垂直纸面向里的匀强磁场中，在某一时刻突然分裂成a、b和c三个微粒，a和b在磁场中做半径相等的匀速圆周运动，环绕方向如图所示，c未在图中标出。仅考虑磁场对带电微粒的作用力，下列说法正确的是(　 ) A．a带负电荷 B．b带正电荷 C．c带负电荷 D．a和b的动量大小一定相等 解析：选BC　由左手定则可知， 粒子a、粒子b均带正电荷，电中性的微粒分裂的过程中，总的电荷量应保持不变，则粒子c应带负电荷，A错误，B、C正确；粒子在磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，即qvB＝m，解得R＝，由于粒子a与粒子b的电荷量大小关系未知，则粒子a与b的动量大小关系不确定，D错误。 6．(多选)两个带等量异种电荷的粒子a、b分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则(　 ) A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb＝∶1 C．两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2 D．两粒子的质量之比ma∶mb＝2∶1 [解析]　由左手定则可得：a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误；粒子做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示。 故Ra＝＝d，Rb＝＝d，所以Ra∶Rb＝∶1，故B正确；由几何关系可得：从A运动到B，a粒子转过的圆心角为60°，b粒子转过的圆心角为120°，ta＝＝tb＝，则Ta∶Tb＝2∶1，粒子运动周期为T＝＝，根据a、b粒子电荷量相等可得ma∶mb＝Ta∶Tb＝2∶1，故C错误，D正确。 [答案]　BD 7．云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示通过它的带电粒子径迹的装置。如图为一张云室中拍摄的照片。云室中加了垂直于纸面向里的磁场。图中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或负电子的径迹。有关a、b、c三条径迹以下判断正确的是(　 ) A．a、b、c都是正电子的径迹 B．a径迹对应的粒子动量最大 C．c径迹对应的粒子动能最大 D．c径迹对应的粒子运动时间最长 解析：选C　带电粒子在垂直于纸面向里的磁场中运动，根据左手定则可知a、b、c都是负电子的径迹，A错误；带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得R＝，由图可知Ra＜Rb＜Rc，所以va＜vb＜vc，根据p＝mv，可知pa＜pb＜pc，B错误；根据Ek＝mv2，可知Eka＜Ekb＜Ekc，C正确。带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，T＝，则T＝，所以Ta＝Tb＝Tc，粒子在磁场中的运动时间t＝T，其中α为粒子在磁场中的偏转角度，由图可知a径迹对应的偏转角度最大，则a径迹对应的粒子运动时间最长，D错误。 8．如图所示，水平虚线上方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化规律如图甲所示，一群带正电的同种粒子在t＝0时从虚线上的O点垂直于磁场方向向上与右边界成θ(0°＜θ＜180°)角射入磁场，如图乙所示，已知粒子在磁场中运动的轨迹半径为r，周期为T，不计粒子重力，则在θ角变化过程中下列说法正确的是(　 ) A．粒子距水平虚线的最远距离为2r B．粒子在磁场中运动的速度始终不变 C．无论θ角多大，粒子均能射出磁场 D．粒子在虚线上方运动的最长时间为T 解析：选C　 当0°＜θ＜180°时，粒子与水平虚线的最远距离d＝r(1＋cos θ)略小于2r，A错误；粒子在磁场中运动的过程中，所受洛伦兹力对其不做功，故粒子的速度大小不变，但粒子速度方向时刻改变，故粒子在磁场中运动速度发生了变化，B错误；粒子的轨迹如图所示，粒子以θ＝180°射入磁场时，粒子在虚线上方运动一圈回到入射边界的时间为T＋T＝T，因为0°＜θ＜180°，故粒子在虚线上方运动的最长时间略小于T，在这个角度范围内，无论θ角多大，粒子均能射出磁场，C正确，D错误。 9．如图所示，直线MN上方有平行于纸面且与MN成45°角的有界匀强电场。MN下方有方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度为B。今从MN上的O点向磁场中射入一个速度大小为v、方向与MN成45°角的带正电粒子，该粒子在磁场中运动时的轨迹半径为R。若该粒子从O点出发记为第一次经过直线MN，而第五次经过直线MN时恰好又通过O点。不计粒子的重力，对于上述运动过程，下列说法正确的是(　 ) A．电场强度大小为Bv B．根据能量守恒定律可知，该粒子再次回到O点时的速度仍为v C．上述运动过程在磁场区域内运动的时间为 D．该粒子从O点出发至再回到O点全程用时为(2＋π) 解析：选D　粒子的运动轨迹如图所示， 从O点进入磁场后，先在磁场中做匀速圆周运动到a点，然后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反，在电场中做匀变速直线运动，在电场中匀减速运动到b点后再匀加速返回a点，从a点再次进入磁场后做匀速圆周运动，然后从c点再次进入电场，进入电场后做类平抛运动，回到O点。粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为R，由几何知识可得Oc＝2R，粒子从c到O做类平抛运动，垂直电场方向和平行电场方向的位移大小都是s⊥＝s∥＝Ocsin 45°＝2R，设粒子做类平抛运动的时间为t3，在垂直电场方向有s⊥＝2R＝vt3，在平行电场方向有s∥＝2R＝·t32，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，联立解得E＝vB，t3＝，故A错误；粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝，由几何知识可知，粒子第一次在磁场中转过的圆心角θ＝90°，粒子第二次在磁场中转过的圆心角θ′＝270°，粒子在磁场中运动的总时间t1＝T＝，粒子在电场中做匀变速直线运动的时间t2＝＝＝，该粒子从O点出发至再回到O点全程用时t＝t1＋t2＋t3＝(2＋π)，故C错误，D正确；粒子第二次进入电场后做类平抛运动，则有v∥＝at3＝×＝×＝2v，粒子再次回到O点时的速度v′＝＝＝v，故B错误。 10．(多选)如图，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的P(0，L)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α。当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则(　 ) A．粒子一定带正电 B．当α＝45°时，粒子也垂直x轴离开磁场 C．粒子入射速率为 D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L 解析：选ACD　根据题意可知粒子垂直x轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确；当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场，运动轨迹如图甲， 粒子运动的半径为r＝＝2L，洛伦兹力提供向心力qvB＝m，解得粒子入射速率v＝。若α＝45°，粒子运动轨迹如图乙，根据几何关系可知粒子离开磁场时与x轴不垂直，B错误，C正确；粒子离开磁场的位置距离O点最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图丙，根据几何关系可知(2r)2＝(L)2＋xm2，解得xm＝3L，D正确。 11．如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m、带电荷量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R＝。哪个图是正确的？(　　) [解析]　由于带电粒子从O点以相同速率射入纸面内的各个方向，射入磁场的带电粒子在磁场内做匀速圆周运动，其运动半径是相等的。沿ON方向(临界方向)射入的粒子，恰能在磁场中做完整的圆周运动，则过O点垂直MN右侧恰为一临界半圆；若将速度方向沿ON方向逆时针偏转，则在过O点垂直MN左侧，其运动轨迹上各个点到O点的最远距离，恰好是以O为圆心，以2R为半径的圆弧。A正确。 [答案]　A 12．如图所示，电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为v0，现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，下列说法正确的是(　 ) A．所加磁场范围的最小面积是 B．所加磁场范围的最小面积是 C．所加磁场范围的最小面积是 D．所加磁场范围的最小面积是 解析：选B　设粒子在磁场中运动的半径为R，由牛顿第二定律得ev0B＝m，即R＝，电子从y轴穿过的范围为OM＝2R＝2，初速度沿x轴正方向的电子沿OA运动到荧光屏MN上的P点；初速度沿y轴正方向的电子沿OC运动到荧光屏MN上的Q点；由几何知识可得PQ＝R＝，取与x轴正方向成θ角的方向射入的电子为研究对象，其射出磁场的点为E(x，y)，因其射出后能垂直打到屏MN上，故有x＝－Rsin θ，y＝R＋Rcos θ，即x2＋(y－R)2＝R2，又因为电子沿x轴正方向射入时，射出的边界点为A点；沿y轴正方向射入时，射出的边界点为C点，故所加最小面积的场的边界是以(0，R)为圆心、R为半径的圆的一部分，如图中实线圆所围区域，所以磁场范围的最小面积为S＝πR2＋R2－πR2＝＋12＝，故B正确。 13．(多选)某一空间存在着磁感应强度为B且大小不变、方向随时间t做周期性变化的匀强磁场(如图甲所示)，规定垂直纸面向里的磁场方向为正。为使静止于该磁场中的带正电的粒子能按a→b→c→d→e→f的顺序做“∞”形运动(即如图乙所示的轨迹)，下列办法可行的是(粒子只受磁场力的作用，其他力不计)(　 ) A．若粒子的初始位置在a处，在t＝T时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度 B．若粒子的初始位置在f处，在t＝时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度 C．若粒子的初始位置在e处，在t＝T时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度 D．若粒子的初始位置在b处，在t＝时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度 解析：选AD　要使粒子的运动轨迹如题图乙所示，由左手定则知粒子做圆周运动的周期应为T0＝，若粒子的初始位置在a处时，对应时刻应为t＝T0＝T，同理判断可得A、D正确，B、C错误。 14．(多选)目前世界上正研究的一种新型发电机叫磁流体发电机，如图所示表示它的发电原理：将一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量带正电和负电的粒子，而从整体来说呈中性)沿图中所示方向喷射入磁场，磁场中有两块金属板A、B，这时金属板上就聚集了电荷。在磁极配置如图中所示的情况下，下列说法正确的是(　　) A.A板带正电 B.有电流从b经用电器流向a C.金属板A、B间的电场方向向下 D.等离子体发生偏转的原因是离子所受洛伦兹力大于所受电场力 答案　BD 解析　由左手定则，A板带负电，则电流从b经用电器流向a，金属板间的电场方向向上，故选项B、D正确。 15．(多选)如图所示，导电物质为电子的霍尔元件位于两串联线圈之间，线圈中电流为I，线圈间产生匀强磁场，磁感应强度大小B与I成正比，方向垂直于霍尔元件的两侧面，此时通过霍尔元件的电流为IH，与其前后表面相连的电压表测出的霍尔电压UH满足：UH＝k，式中k为霍尔系数，d为霍尔元件两侧面间的距离．电阻R远大于RL，霍尔元件的电阻可以忽略，则(　　) A．霍尔元件前表面的电势低于后表面 B．若电源的正、负极对调，电压表将反偏 C．IH与I成正比 D．电压表的示数与RL消耗的电功率成正比 答案　CD 解析　当霍尔元件通有电流IH时，根据左手定则，电子将向霍尔元件的后表面运动，故霍尔元件的前表面电势较高．若将电源的正、负极对调，则磁感应强度B的方向变化，IH的方向变化，根据左手定则，电子仍向霍尔元件的后表面运动，故仍是霍尔元件的前表面电势较高，选项A、B错误．因R与RL并联，根据并联分流，得IH＝I，故IH与I成正比，选项C正确．由于B与I成正比，设B＝aI，则IL＝I，PL＝IRL，故UH＝k＝PL，知UH∝PL，选项D正确． 16．如图所示，在容器A中有同一种元素的两种同位素正粒子，它们的初速度几乎为0，粒子可从容器A下方的小孔S1飘入加速电场，然后经过S3沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场中，最后第一种同位素粒子打到照相底片D上的M点，第二种同位素粒子打到照相底片D上的N点。不计同位素粒子的重力。量出M点、N点到S3的距离分别为x1、x2，则第一种与第二种同位素粒子在磁场中运动的时间之比为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设加速电场的电压为U，磁场的磁感应强度为B，粒子电荷量为q、质量为m，在电场中加速过程由动能定理qU＝mv2，在磁场中偏转由洛伦兹力提供向心力qvB＝m，带电粒子在磁场中运动的周期T＝，带电粒子在磁场中运动时间均为半个周期，即t＝，根据几何关系有x＝2r，联立以上各式可解得t＝x2，所以＝，故C正确，A、B、D错误。 17．(多选)如图所示为一种质谱仪的工作原理示意图，此质谱仪由以下几部分构成：离子源、加速电场、静电分析器、磁分析器、收集器。静电分析器通道中心线MN所在圆的半径为R，通道内有均匀辐射的电场，中心线处的电场强度大小为E；磁分析器中分布着方向垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场，磁分析器的左边界与静电分析器的右边界平行。由离子源发出一个质量为m、电荷量为＋q的离子(初速度为零，重力不计)，经加速电场加速后进入静电分析器，沿中心线MN做匀速圆周运动，而后由P点进入磁分析器中，最终经过Q点进入收集器。下列说法正确的是(　 ) A．磁分析器中匀强磁场的方向垂直于纸面向里 B．加速电场中的加速电压U＝ER C．磁分析器中轨迹圆心O2到Q点间的距离d＝ D．任何带正电的离子若能到达P点，则一定能进入收集器 解析：选BC　该离子在磁分析器中沿顺时针方向转动，根据左手定则可知，磁分析器中匀强磁场的方向垂直于纸面向外，A错误；该离子在静电分析器中做匀速圆周运动，有qE＝m，在加速电场中加速有qU＝mv2，联立解得U＝ER，B正确；该离子在磁分析器中做匀速圆周运动，有qvB＝m，又qE＝m，解得r＝ ，该离子经过Q点进入收集器，故d＝r＝ ，C正确；任一初速度为零的带正电离子，质量、电荷量分别记为mx、qx，经U＝ER的加速电场后，在静电分析器中做匀速圆周运动的轨迹半径Rx＝R，即一定能到达P点，而在磁分析器中运动的轨迹半径rx＝ ，rx的大小与离子的质量、电荷量有关，则不一定有rx＝d，故能到达P点的离子不一定能进入收集器，D错误。 18． (2026·陕西西安市长安区一模)在匀强磁场中有一带正电的粒子甲做匀速圆周运动，当它运动到M点时，突然向与原运动相反的方向放出一个不带电的粒子乙，形成一个新的粒子丙。如图所示，用实线表示粒子甲运动的轨迹，虚线表示粒子丙运动的轨迹。若不计粒子所受重力及空气阻力的影响，则粒子甲和粒子丙运动的轨迹可能是(　　) [解析]　由洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m，可得粒子轨道半径r＝，由于粒子甲在M点突然向与原运动相反的方向放出一个不带电的粒子乙，由动量守恒可知，放出粒子乙后，新粒子丙的动量mv大于粒子甲的动量，故轨道半径变大，只有D选项符合题意。 [答案]　D 19．如图所示，ABCD为一正方形区域，一带电粒子以速度v0从AB边的中点O，沿纸面垂直于AB边的方向射入。若该区域充满平行于AB边的匀强电场，该粒子经时间t1以速度v1从C点射出；若该区域充满垂直纸面的匀强磁场，该粒子经时间t2以速度v2从D点射出，不计粒子重力，则(　 ) A．v1＞v2，t1＜t2 B．v1＞v2，t1＞t2 C．v1＜v2，t1＜t2 D．v1＜v2，t1＞t2 [解析]　设正方形的边长为L，当区域内为电场时，则粒子做类平抛运动，平行于AC方向为匀速直线运动，运动时间为t1＝，垂直AC方向为匀加速直线运动，有vyt1＝L，解得vy＝v0，所以v1＝＝v0，当区域内为磁场时，洛伦兹力不做功，则v2＝v0，设轨道半径为r，则有r2＝L2＋解得r＝L，根据qv0B＝，解得B＝，所以轨道圆心角sin θ＝＝0.8，则θ＝53°，则t2＝×＝·，综上v1＞v2，t1＜t2，A正确。 [答案]　A 20．（多选）带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹。如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中观察到某带电粒子的轨迹，其中a和b是运动轨迹上的两点。该粒子使云室中的气体电离时，其本身的动能在减少，而其质量和电荷量不变，重力忽略不计。下列有关该粒子的说法正确的是 (　　) A.粒子带负电 B.粒子先经过b点，再经过a点 C.粒子动能减小是由于洛伦兹力对其做负功 D.粒子运动过程中所受洛伦兹力大小不变 答案　AB 解析　该粒子使云室中的气体电离时，其本身的动能在减少，即速率减小，而其质量和电荷量不变，根据r=可知，粒子运动轨迹半径逐渐减小，则粒子先经过b点，再经过a点，由左手定则可知粒子带负电，选项A、B正确；洛伦兹力方向与速度方向总垂直，则洛伦兹力对其不做功，选项C错误；粒子运动过程中速率不断减小，根据F洛=qvB可知，所受洛伦兹力不断减小，选项D错误。 二、计算、问答题 21．如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60°.一质量为m、电荷量为＋q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30°角的方向射入磁场，随后该粒子沿垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求： (1)画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹； (2)粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的轨迹半径R1和R2的比值； (3)Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)． 答案　见解析 解析　(1)画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹如图所示． (2)设粒子的入射速度为v，已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从A4点射出，用B1、B2，R1、R2，T1、T2分别表示在磁场Ⅰ、Ⅱ区的磁感应强度、轨迹半径和周期． 设圆形区域的半径为r，已知带电粒子过圆心且垂直A2A4进入Ⅱ区磁场，连接A1A2，△A1OA2为等边三角形，A2为带电粒子在Ⅰ区磁场中运动轨迹的圆心，其半径R1＝A1A2＝OA2＝r 粒子在Ⅱ区磁场中运动的轨迹半径R2＝ 即＝2∶1 (3)qvB1＝m qvB2＝m T1＝＝ T2＝＝ 圆心角∠A1A2O＝60°，带电粒子在Ⅰ区磁场中运动的时间为t1＝T1 在Ⅱ区磁场中运动的时间为t2＝T2 带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间t＝t1＋t2 由以上各式可得 B1＝ B2＝ 22．匀强磁场区域由一个半径为R的半圆和一个长为2R、宽为的矩形组成，磁场的方向如图所示．一束质量为m、电荷量为＋q的粒子(粒子间的相互作用和重力均不计)以速度v从边界AN的中点P垂直于AN和磁场方向射入磁场中．问： (1)当磁感应强度为多大时，粒子恰好从A点射出？ (2)对应于粒子可能射出的各段磁场边界，磁感应强度应满足什么条件？ 答案　(1)　(2)见解析 解析　(1)由左手定则判定，粒子向左偏转，只能从PA、AC和CD三段边界射出，如图所示．当粒子从A点射出时，运动半径r1＝ 由qB1v＝ 得B1＝ (2)当粒子从C点射出时，由勾股定理得：(R－r2)2＋()2＝r，解得r2＝R 由qB2v＝，得B2＝ 据粒子在磁场中运动半径随磁场减弱而增大，可以判断 当B>时，粒子从PA段射出； 当>B>时，粒子从AC段射出； 当B<时，粒子从CD段射出． 23．一台质谱仪的工作原理如图所示。大量的甲、乙两种离子飘入电压为U0的加速电场，其初速度几乎为0，经加速后，通过宽为L的狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上。已知甲、乙两种离子的电荷量均为＋q，质量分别为2m和m，图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N的甲种离子的运动轨迹。不考虑离子间的相互作用。 (1)求甲种离子打在底片上的位置到N点的最小距离x； (2)在图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d。 [解析]　(1)甲种离子在电场中加速时，有qU0＝×2mv2 设甲种离子在磁场中的运动半径为r1 则有qvB＝2m 解得r1＝ 根据几何关系有x＝2r1－L 解得x＝ －L。 (2)如图所示。 最窄处位于过两虚线交点的垂线上 d＝r1－ 解得d＝ － 。 [答案]　(1) －L　 (2)图见解析　 － 24．如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，规定垂直于纸面向里的方向为正方向。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： (1)磁感应强度的大小B0； (2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 答案　(1)　(2)(n＝1，2，3，…) 解析　(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力 qv0B0＝ 做匀速圆周运动的周期T0＝ 由以上两式解得磁感应强度大小B0＝。 (2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向如图所示， 正离子在两板之间只运动一个周期T0，有R＝；当正离子在两板之间运动n(n＝1，2，3，…)个周期， 即nT0(n＝1，2，3，…)时， 有R＝(n＝1，2，3，…)。 由qvB0＝m得正离子的速度的可能值为 v0＝＝(n＝1，2，3，…)。 25．如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少。 [解析]　题目中只给出粒子“电荷量为q”， 未说明是带哪种电荷。若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN′相切的圆周圆弧， 轨道半径：R＝ 又d＝R－ 解得v＝(2＋)。 若q为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN′相切的圆周圆弧，则有：R′＝ d＝R′＋， 解得v′＝(2－)。 [答案]　(2＋)(q为正电荷)或(2－)(q为负电荷) 26．如图，在0≤x≤h，－∞＜y＜＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变。一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力。 (1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm； (2)如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离。 [解析]　(1)由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里。设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有qv0B＝m ① 由此可得R＝ ② 粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足R≤h ③ 由题意，当磁感应强度大小为Bm时，粒子的运动半径最大，由此得Bm＝。④ (2)若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为R′＝2h ⑤ 粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，由几何关系sin α＝＝ ⑥ 则α＝ ⑦ 由几何关系可得，P点与x轴的距离为 y＝2h(1－cos α) ⑧ 联立⑦⑧式得y＝(2－)h。 ⑨ [答案]　(1)磁场方向垂直纸面向里　 (2)　(2－)h 27．如图所示，真空中有一以O点为圆心的圆形匀强磁场区域，半径为R＝0.5 m，磁场垂直纸面向里。在y>R的区域存在沿－y方向的匀强电场，电场强度为E＝1.0×105 V/m。在M点有一正粒子以速率v＝1.0×106 m/s沿＋x方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场，最终又从磁场离开。已知粒子的比荷为＝1.0×107 C/kg，粒子重力不计。 (1)求圆形磁场区域磁感应强度的大小； (2)求沿＋x方向射入磁场的粒子，从进入磁场到再次穿出磁场所走过的路程。 [解析]　(1)沿＋x方向射入磁场的粒子进入电场后，速度减小到0，粒子一定是从如图的P点射出磁场，逆着电场线运动，所以粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝R＝0.5 m 根据Bqv＝，得r＝，得B＝，代入数据得B＝0.2 T。 (2)粒子返回磁场后，经磁场偏转后从N点射出磁场，MN为直径，粒子在磁场中的路程为二分之一圆周长s1＝πR 设在电场中的路程为s2，根据动能定理得Eq＝mv2，s2＝ 总路程s＝πR＋，代入数据得s＝(0.5π＋1)m [答案]　(1)0.2 T　(2)(0.5π＋1)m 28．如图所示，在第一象限内，存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场Ⅰ，第二象限内存在水平向右的匀强电场，第三、四象限内存在垂直于xOy平面向外、磁感应强度大小为B0的匀强磁场Ⅱ。一质量为m，电荷量为＋q的粒子，从x轴上M点以某一初速度垂直于x轴进入第四象限，在xOy平面内，以原点O为圆心做半径为R0的圆周运动；随后进入电场运动至y轴上的N点，沿与y轴正方向成45°角离开电场；在磁场Ⅰ中运动一段时间后，再次垂直于x轴进入第四象限。不计粒子重力。求： (1)带电粒子从M点进入第四象限时初速度的大小v0； (2)电场强度的大小E； (3)磁场Ⅰ的磁感应强度的大小B1。 答案　(1)　(2)　 (3)B0 解析　(1)粒子从x轴上M点进入第四象限，在xOy平面内，以原点O为圆心做半径为R0的圆周运动，由洛伦兹力提供向心力qv0B0＝m 解得v0＝。 (2)粒子在第二象限内做类平抛运动，沿着x轴方向 qE＝ma，v－0＝2aR0 沿与y轴正方向成45°角离开电场，所以vx＝vy＝v0 解得电场强度E＝。 (3)粒子的运动轨迹如图所示： 第二象限，沿着x轴方向R0＝t 沿着y轴方向ON＝v0t 所以ON＝2R0 由几何关系知，三角形OO′N为等腰直角三角形。带电粒子在磁场Ⅰ中运动的轨道半径R＝ON＝2R0 由洛伦兹力提供向心力qvB1＝m 粒子在N点离开电场时的速度v＝v0 所以磁场Ⅰ的磁感应强度的大小B1＝B0。 29．如图所示，x轴上方存在电场强度E＝1 000 V/m、方向沿－y轴方向的匀强电场，x轴与PQ(平行于x轴)之间存在着磁感应强度B＝2 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一个质量m＝2×10－8 kg、带电荷量q＝＋1.0×10－5 C的粒子，从y轴上(0，0.04 m)的位置分别以不同的初速度v0沿＋x轴方向射入匀强电场，不计粒子的重力。 (1)若v0＝200 m/s，求粒子第一次进入磁场时速度v的大小和方向； (2)若粒子射入电场后都能经磁场返回，求磁场的最小宽度d； (3)若粒子恰能经过x轴上x＝100 m的点，求粒子入射的初速度v0。 答案　(1)200 m/s　方向与x轴成45°角　(2)0.2 m (3)见解析 解析　(1)设粒子第一次在电场中的运动时间为t，根据牛顿第二定律得qE＝ma 粒子做类平抛运动，在竖直方向y＝at2 vy＝at 末速度为v2＝v＋v tan α＝ 解得v＝200 m/s 方向与x轴成45°角。 (2)初速度为0的粒子最容易穿过磁场，qvyB＝m得 r＝0.2 m 要使所有带电粒子都返回电场，磁场的最小宽度 d＝0.2 m。 (3)对于不同初速度的粒子通过磁场的轨迹在x轴上的弦长不变，x1＝2rsin α＝2＝2＝0.4 m 设粒子第n次过x轴经过x＝100 m处， 满足x1＋nv0t＝x 其中n＝2k＋1(k＝0，1，2，3，…)， 则初速度v0＝ m/s，其中n＝2k＋1(k＝0，1，2，3，…) 或满足x1＋(n－1)v0t＝x，其中n＝2k(k＝1，2，3，…)，则初速度v0＝ m/s，其中n＝2k(k＝1，2，3，…)。 30．如图甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E0，E>0表示电场方向竖直向上。t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点。Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g。上述d、E0、m、v、g为已知量。 (1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小； (2)求电场变化的周期T； (3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值。 [解析]　(1)微粒做直线运动时有：mg＋qE0＝qvB ① 微粒做圆周运动时有：mg＝qE0 ② 联立①②得q＝， ③ B＝。 ④ (2)设微粒从N1点沿直线运动到Q点的时间为t1，做圆周运动的周期为t2，则＝vt1⑤ qvB＝m ⑥ 2πR＝vt2 ⑦ 联立③④⑤⑥⑦得t1＝，t2＝ ⑧ 电场变化的周期T＝t1＋t2＝＋。 ⑨ (3)若微粒能完成题述的运动过程，要求d≥2R⑩ 联立③④⑥得R＝ ⑪ 设在N1Q段直线运动的最短时间为t1min， 由⑤⑩⑪得t1min＝ 因t2不变，T的最小值Tmin＝t1min＋t2＝。 [答案]　(1)　　(2)＋　(3) 31．如图所示，在xOy坐标系内存在一个以(A,0)为圆心、半径为a的圆形磁场区域，方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。另在y轴右侧有一方向向左的匀强电场，电场强度大小为E，分布于y≥a的范围内。O点为质子源，其射出质子的速度大小相等、方向各异，但质子的运动轨迹均在纸面内。已知质子在磁场中的偏转半径也为a，设质子的质量为m、电荷量为e，重力及阻力忽略不计。求： (1)射出速度沿x轴正方向的质子，到达y轴所用的时间； (2)射出速度与x轴正方向成30°角(如图中所示)的质子，到达y轴时的位置与O点的距离； (3)质子到达y轴的位置坐标的范围。 解析：(1)质子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力得：evB＝m 即：v＝ 射出速度沿x轴正方向的质子，经圆弧后以速度v垂直于电场方向进入电场，在磁场中运动的时间为：t1＝＝＝ 质子进入电场后做类平抛运动，沿电场方向运动a后到达y轴，由匀变速直线运动规律有：a＝ 即：t2＝ 故所求时间为：t＝t1＋t2＝＋ 。 (2)质子转过120°角后离开磁场，再沿直线到达图中P点，最后垂直电场方向进入电场，做类平抛运动，并到达y轴，运动轨迹如图中所示。 由几何关系可得P点距y轴的距离为：x1＝a＋asin 30°＝1.5a 设在电场中运动的时间为 t3，由匀变速直线运动规律有：x1＝ 即t3＝ 质子在y轴方向做匀速直线运动，到达y轴时有：y1＝vt3＝Ba 所以质子在y轴上的位置为：y＝a＋y1＝a＋Ba 。 (3)若质子在y轴上运动最远，应是质子在磁场中沿右边界向上直行，垂直进入电场中做类平抛运动，此时x′＝2a 质子在电场中在y方向运动的距离为：y2＝2Ba 质子离坐标原点的距离为：ym＝a＋y2＝a＋2Ba 由几何关系可证得，此题中凡进入磁场中的粒子，从磁场穿出时速度方向均与y轴平行，且只有进入电场中的粒子才能打到y轴上，因此质子到达y轴的位置坐标的范围应是。 答案：(1)＋ 　(2)a＋Ba　(3) 32．如图所示为水平放置的小型粒子加速器的原理示意图，区域Ⅰ和Ⅱ存在方向垂直纸面向里的匀强磁场B1和B2，长L＝1.0 m的区域Ⅲ存在场强大小E＝5.0×104 V/m、方向水平向右的匀强电场。区域Ⅲ中间上方有一离子源S，水平向左发射动能Ek0＝4.0×104 eV的氘核，氘核最终从区域Ⅱ下方的P点水平射出。S、P两点间的高度差h＝0.10 m。 (氘核质量m＝2×1.67×10－27 kg，电荷量q＝1.60×10－19 C，1 eV＝1.60×10－19 J，≈1×10－4) (1)求氘核经过两次加速后从P点射出时的动能Ek2； (2)若B1＝1.0 T，要使氘核经过两次加速后从P点射出，求区域Ⅰ的最小宽度d； (3)若B1＝1.0 T，要使氘核经过两次加速后从P点射出，求区域Ⅱ的磁感应强度B2。 解析　(1)由动能定理W＝Ek2－Ek0， 电场力做功W＝qE·2L， 得Ek2＝Ek0＋qE·2L＝2.24×10－14 J。 (2)洛伦兹力提供向心力qvB＝m， 第一次进入B1区域，半径R0＝＝0.04 m， 第二次进入B1区域， mv＝Ek0＋qEL，R2＝＝0.06 m， 故d＝R2＝0.06 m。 (3)氘核运动轨迹如图所示。 由图中几何关系可知 2R2＝h＋(2R1－2R0)， 得R1＝0.05 m， 由R1＝， 得B2＝＝1.2 T。 答案　(1)2.24×10－14 J　(2)0.06 m　(3)1.2 T 33．(多选)在竖直平面内建立直角坐标系，曲线y＝位于第一象限的部分如图所示，在曲线上不同点以一定的初速度v0向x轴负方向水平抛出质量为m、带电荷量为＋q的小球，小球下落过程中都会通过坐标原点O，之后进入第三象限的匀强电场和匀强磁场区域(图中未画出)，结果小球恰好在竖直面内做匀速圆周运动，并且都能打到y轴负半轴上。已知匀强磁场的磁感应强度大小为B，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　 ) A．第三象限的电场强度大小为，方向竖直向下 B．小球的初速度为10 m/s C．第三象限的磁场方向一定是垂直纸面向外 D．要使所有的小球都能打到y轴的负半轴，所加磁场区域的最小面积是π2 解析：选BD　设小球释放点的坐标为(x，y)，由平抛运动规律可知x＝v0t，y＝gt2，联立可得y＝x2，由题意可知y＝，联立可得v0＝10 m/s，B正确；小球在第三象限做匀速圆周运动，则有mg＝qE，可得E＝，方向竖直向上，A错误；根据题意结合左手定则可判断，第三象限的磁场方向垂直纸面向里，C错误；设小球最初进入第三象限时的速度为v，与y轴负方向夹角为α，则有v0＝vsin α，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得r＝，小球在磁场中的偏转角恒为2α，运动轨迹的弦长l＝2rsin α＝，恒定不变，要使所有的小球都能打到y轴负半轴上，所加磁场区域的最小面积为Smin＝π2＝π2，D正确。 34．如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求： (1)磁场的磁感应强度大小； (2)甲、乙两种离子的比荷之比。 [解析]　(1)设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有q1U＝m1v12 ① 由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有 q1v1B＝m1 ② 由几何关系知2R1＝l ③ 由①②③式得B＝。 ④ (2)设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2。同理有 q2U＝m2v22 ⑤ q2v2B＝m2 ⑥ 由题给条件有2R2＝ ⑦ 由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为 ∶＝1∶4。 ⑧ [答案]　(1)　(2)1∶4 35．某型号的回旋加速器的工作原理如图甲所示，图乙为俯视图。回旋加速器的核心部分为两个D形盒，分别为D1 、D2。D形盒装在真空容器里，整个装置放在巨大的电磁铁两极之间的强大磁场中，磁场可以认为是匀强磁场，且与D形盒底面垂直。两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过狭缝的时间可以忽略不计。D形盒的半径为R，磁场的磁感应强度为B。若质子从粒子源O处进入加速电场的初速度不计，质子质量为m、电荷量为＋q。加速器接入一定频率的高频交变电压，加速电压为U。不考虑相对论效应和重力作用。 (1)求质子第一次经过狭缝被加速后进入D形盒时的速度大小v1和进入D形盒后运动的轨迹半径r1； (2)求质子被加速后获得的最大动能Ekm和高频交变电压的频率f； (3)若两D形盒狭缝之间距离为d，且d≪R，计算质子在电场中运动的总时间t1与在磁场中运动的总时间t2，并由此说明质子穿过电场的时间可以忽略不计的原因。 [解析]　(1)质子第1次经过狭缝被加速后的速度大小为v1，则qU＝mv12，qv1B＝ 解得v1＝ ，r1＝ 。 (2)当质子在磁场中运动的轨迹半径为D形盒的半径R时，质子的动能最大，设此时速度为vm，则 qvmB＝m，Ekm＝mvm2 解得Ekm＝ 回旋加速器正常工作时高频交变电压的频率f等于质子在磁场中运动的频率，则＝T＝＝ 解得f＝。 (3)质子在狭缝中加速时，有q＝ma 质子在磁场中运动速度大小不变，故其在电场中运动的总时间t1＝＝ 质子在磁场中运动的周期T＝ 设质子在电场中加速了n次，则有nqU＝Ekm 解得n＝ 质子在磁场中运动的总时间t2＝T＝，则＝ 因为d≪R，得t1≪t2，故质子穿过电场的时间可以忽略不计。 [答案]　(1) 　 　(2)　　(3)　　理由见解析 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 【新教材沪科版】 模块二 知识精讲 情景导入 运动电荷所受的洛伦兹力与速度方向永远垂直，那么受到洛伦兹力作用的带电粒子在匀强磁场中将会如何运动呢？ 知识归纳 【知识点1 圆形匀强磁场区域问题】 一、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做 运动。 2．带电粒子以速度v垂直磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内做 运动。 (1)洛伦兹力提供向心力：qvB＝。 (2)轨迹半径：r＝ 。 (3)周期：T＝＝ ，可知T与运动速度和轨迹半径 ，只和粒子的 和磁场的 有关。 (4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝ T。 (5)动能：Ek＝mv2＝＝。 3．粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法 (1)圆心的确定方法 ①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。 ②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。 ③若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙。 (2)半径的计算方法 方法一　由R＝求得。 方法二　连半径构出 ，由数学方法解三角形或勾股定理求得。 如图甲，由R＝或R2＝L2＋(R－d)2求得 　 常用到的几何关系 ①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α。 ②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝α。 (3)时间的计算方法 方法一　利用圆心角θ、周期T求得t＝T。 方法二　利用弧长l、线速度v求得t＝。 4．圆形边界(进出磁场具有对称性) (1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。 (2)不沿径向射入时，如图乙所示。 射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。 【例1】真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A. B. C. D. 【变式1-1】在如图所示的平面直角坐标系中，存在一个半径R＝0.2 m的圆形匀强磁场区域，磁感应强度B＝1.0 T，方向垂直纸面向外，该磁场区域的右边缘与y坐标轴相切于原点O点。y轴右侧存在一个匀强电场，方向沿y轴正方向，电场区域宽度l＝0.1 m。现从坐标为(－0.2 m，－0.2 m)的P点发射出质量m＝2.0×10－9 kg、带电荷量q＝5.0×10－5 C的带正电粒子，沿y轴正方向射入匀强磁场，速度大小v0＝5.0×103 m/s(粒子重力不计)。 (1)带电粒子从坐标为(0.1 m,0.05 m)的点射出电场，求该电场强度的大小； (2)为了使该带电粒子能从坐标为(0.1 m，－0.05 m)的点回到电场，可在紧邻电场的右侧区域内加匀强磁场，试求所加匀强磁场的磁感应强度大小和方向。 【变式1-2】如图，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为q(q＞0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向从c点射入磁场区域，射入点c与ab的距离为R，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为（不计粒子重力，已知sin 15°＝） (　 ) A. B. C. D. 【变式1-3】如图所示，水平虚线AA′和CC′间距为L，中间存在着方向向右且与虚线平行的匀强电场，CC′的下侧存在一半径为R的圆形磁场区域，磁场方向垂直纸面向外(图中未画出)，圆形磁场与边界CC′相切于点M。一质量为m、带电量为q(q>0)的粒子由电场上边界AA′上的S点以初速度v0垂直射入电场，一段时间后从M点离开电场进入磁场，粒子进入磁场的速度大小为v0，且其运动轨迹恰好过圆形磁场的圆心O。粒子所受重力忽略不计，求： (1)电场强度E的大小； (2)圆形磁场区域磁感应强度B的大小。 【知识点2 矩形磁场区域问题】 1．首先找轨迹圆心。 2．可借助于弦切角求时间。 3．构建合适的三角形。 【例2】（多选）如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是(　　) A．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从cd边射出磁场 B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad边射出磁场 C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc边射出磁场 D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ab边射出磁场 【变式2-1】(多选)(2026·广东汕头市模拟)如图所示，在直角坐标系xOy中，有一个边长为L的正方形区域，a点在原点，b点和d点分别在x轴和y轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子质量为m，电荷量为q，以速度v0从a点沿x轴正方向射入磁场。不计粒子重力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。下列说法正确的是(　　) A.若粒子恰好从c点射出磁场，则粒子的速度v0＝ B.若粒子恰好从bc边的中点射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间t＝ C.若粒子的速度v0＝，则粒子射出磁场时的速度方向与y轴正方向的夹角为60° D.若粒子从cd边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间一定不超过 【变式2-2】如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　) A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 【变式2-3】(多选)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子。不计重力。下列说法正确的是(　　) A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间 一定不同 B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 C.在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同 D.在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大 【知识点3 三角形磁场区域问题】 带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解答该类问题主要把握以下两点： 1．射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入。 2．射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出。 ①当α≤θ时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距离为d＝2Rsin α，如图甲所示。 ②当α>θ时，不能通过两磁场边界的交点，临界条件为粒子的运动轨迹恰好和另一个边界 ，如图乙所示。 【例3】如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)以速度v从AC边的中点O垂直AC边射入磁场区域。若三角形的两直角边长均为2L，要使粒子从CD边射出，则v的取值范围为(　　) A.≤v≤ 　　 B.≤v≤ C.≤v≤ 　　 D.≤v≤ 【变式3-1】如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子均能通过D点，已知质子的比荷＝k，则质子的速度不可能为(　 ) A． B．BkL C． D． 【变式3-2】如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值为(　　) A．B＞　　　 B．B＜ C．B＞ D．B＜ 【变式3-3】如图所示，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为＋q，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度v0为哪一值时粒子能通过B点(　　) A. B. C. D. 【知识点4 平行边界磁场区域问题】 1．直线边界(进出磁场具有 性，如图所示) 2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示) 【例4】如图所示，真空区域内有一宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。AB、CD为磁场的边界。O是AB上一粒子源，某时刻从O点沿各个方向射入大量速度大小相等、方向与磁场垂直、质量为m、电荷量为q的正粒子(重力不计)。已知沿着与AB夹角θ＝30°方向入射的粒子刚好垂直于CD边界射出磁场。求： (1)粒子在磁场中做圆周运动的半径；(2分) (2)粒子在磁场中做圆周运动速度大小；(4分) (3)粒子在磁场中运动的最长时间(cos 82°＝1－)。(6分) 【变式4-1】如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里。一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场。若电子在磁场中运动的轨道半径为2d。O′在MN上，且OO′与MN垂直。下列判断正确的是(　　) A．电子将向右偏转 B．电子打在MN上的点与O′点的距离为d C．电子打在MN上的点与O′点的距离为d D．电子在磁场中运动的时间为 【变式4-2】如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF。一电子从CD边界外侧以速率v0垂直射入匀强磁场，入射方向与CD边界间夹角为θ。已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求： (1)电子的速率v0至少多大？ (2)若θ角可取任意值，v0的最小值是多少？ 【变式4-3】矩形区域abcd(包括边界)充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从ad边中点O处，以垂直磁场且跟ad边成30°角的速度射入一带电粒子。已知粒子质量为m、电荷量为q，ad边长为L，不计粒子重力。 (1)若要粒子从ab边上射出，则入射速度v0的大小范围是多少？(ab边足够长) (2)粒子在磁场中运动的最长时间是多少？ 【知识点5 质谱仪】 1．作用 测量带电粒子的 和分离 。 2．原理(如图所示) (1)加速电场：qU＝mv2； (2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r； 由以上式子可得r＝，m＝，＝。 【例5】(多选)质谱仪是用来分析同位素的装置，如图为质谱仪的示意图，其由竖直放置的速度选择器、偏转磁场构成。由三种不同粒子组成的粒子束以某速度沿竖直向下的方向射入速度选择器，该粒子束沿直线穿过底板上的小孔O进入偏转磁场，最终三种粒子分别打在底板MN上的P1、P2、P3三点，已知底板MN上下两侧的匀强磁场方向均垂直纸面向外，且磁感应强度的大小分别为B1、B2，速度选择器中匀强电场的电场强度的大小为E。不计粒子的重力以及它们之间的相互作用，则(　　) A.速度选择器中的电场方向向右，且三种粒子均带正电 B.三种粒子的速度大小均为 C.如果三种粒子的电荷量相等，则打在P3点的粒子质量最大 D.如果三种粒子电荷量均为q，且P1、P3的间距为Δx，则打在P1、P3两点的粒子质量差为 【变式5-1】(多选)如图所示为一种质谱仪的示意图，由加速电场、静电分析器和磁分析器组成．若静电分析器通道中心线的半径为R，通道内均匀辐射电场，在中心线处的电场强度大小为E，磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外．一质量为m、电荷量为q的粒子从静止开始经加速电场加速后沿中心线通过静电分析器，由P点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的Q点．不计粒子重力．下列说法正确的是(　　) A．极板M比极板N的电势高 B．加速电场的电压U＝ER C．直径PQ＝2B D．若一群粒子从静止开始经过题述过程都落在胶片上的同一点，则该群粒子具有相同的比荷 【变式5-2】现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。此离子和质子的质量比约为(　 ) A．11 B．12 C．121 D．144 【变式5-3】(多选)如图所示，一束电荷量相同的带电粒子以一定的初速度沿直线通过由相互正交的匀强磁场和匀强电场(左侧极板带正电，右侧极板带负电)组成的速度选择器，然后粒子通过平板S上的狭缝P进入另一匀强偏转磁场，最终打在A1A2之间，下列说法正确的是(　 ) A．粒子带正电 B．速度选择器中磁场方向为垂直纸面向里 C．所有打在A1A2之间的粒子，在匀强偏转磁场中的运动时间都相同 D．粒子打在A1A2之间的位置越远，粒子的质量越大 【知识点6 回旋加速器】 1．构造 如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接 电源。 2．原理 交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙就被加速一次。 3．最大动能 由qvmB＝、Ekm＝mvm2得Ekm＝，粒子获得的最大动能由 和 决定，与加速电压 。 4．运动时间的计算 (1)粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速 次，每次增加动能qU，加速次数n＝ ，粒子在磁场中运动的总时间t1＝T＝·＝。 (2)粒子在各狭缝中的运动连在一起为匀加速直线运动，运动时间为t2＝＝。(缝隙宽度为d) (3)粒子运动的总时间t＝t1＋t2＝＋。 【例6】如图所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O点为圆心，磁感应强度大小为B，加速电压的大小为U，质量为m、电荷量为q的粒子从O附近飘入加速电场，多次加速后粒子经过P点绕O做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示，偏转器的两极板M和N厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为α，当M、N间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E的电场，使粒子恰能通过狭缝，粒子在再次被加速前射出磁场，不计M、N间的距离。求： (1)粒子加速到P点所需要的时间t； (2)极板N的最大厚度dm。 【变式6-1】(多选)图甲是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，在加速带电粒子时，两金属盒置于匀强磁场中，并分别与高频电源相连。带电粒子从静止开始运动的速率v随时间t变化如图乙所示，已知tn时刻粒子恰射出回旋加速器，不考虑相对论效应、粒子所受的重力和穿过狭缝的时间，下列判断正确的是(　 ) A．t3－t2＝t2－t1＝t1 B．v1∶v2∶v3＝1∶2∶3 C．粒子在电场中的加速次数为 D．同一D形盒中粒子的相邻轨迹半径之差保持不变 【变式6-2】(多选)用回旋加速器对粒子进行加速，可以获得高能带电粒子，两个D形盒与电压有效值为U的高频交流电源的两极相连，交流电源频率可调，在两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，磁感应强度为B，如图所示。粒子由速度为零开始加速，不计粒子在两盒间狭缝中运动的时间。关于回旋加速器，下列说法正确的是(　 ) A．两D形盒间狭缝中交变电场的频率跟带电粒子的比荷成正比 B．不同的带电粒子在同一回旋加速器中运动的总时间相同 C．带电粒子在磁场中运动时，受到的洛伦兹力不做功，因此带电粒子从D形盒射出时的动能与磁场的强弱无关 D．尽管两D形盒间狭缝中电场对粒子起加速作用，但是带电粒子从D形盒射出时的动能与加速电压的大小无关 【变式6-3】回旋加速器原理如图所示，D1和D2是两个中空的半圆形金属盒，置于与盒面垂直的匀强磁场中，它们接在交流电源上，位于D1圆心处的离子源A能不断产生正离子，它们在两盒之间被电场加速，当正离子被加速到最大动能Ek后，再设法将其引出。已知正离子的电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R，狭缝之间的距离为d。设正离子从离子源出发时的初速度为零。 (1)试计算上述正离子被第一次加速后进入D2中运动的轨道半径； (2)计算正离子飞出时的最大动能； (3)设该正离子在电场中的加速次数与回旋半周的次数相同，试证明当R≫d时，正离子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的时间可忽略不计(正离子在电场中运动时，不考虑磁场的影响)。 模块三 课后作业 一、选择题 1．如图所示，长方形abcd长ad＝0.6 m，宽ab＝0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B＝0.25 T。一群不计重力、质量m＝3×10－7 kg、电荷量q＝＋2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5×102 m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则(　　) A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边 B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边 C．从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边 D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和bc边 2． (多选)如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°。粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴。已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则(　　) A.粒子带负电荷 B.粒子速度大小为 C.粒子在磁场中运动的轨道半径为a D.N与O点相距(＋1)a 3．如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力。则(　　) A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1 B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2 C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1 D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2 4．如图所示，匀强磁场的边界为平行四边形ABCD，其中AC边与对角线BC垂直，一束电子以大小不同的速度沿BC从B点射入磁场，不计电子的重力和电子之间的相互作用，关于电子在磁场中运动的情况，下列说法中正确的是(　　) A．入射速度越大的电子，其运动时间越长 B．入射速度越大的电子，其运动轨迹越长 C．从AB边出射的电子的运动时间都相等 D．从AC边出射的电子的运动时间都相等 5．(多选)一电中性微粒静止在垂直纸面向里的匀强磁场中，在某一时刻突然分裂成a、b和c三个微粒，a和b在磁场中做半径相等的匀速圆周运动，环绕方向如图所示，c未在图中标出。仅考虑磁场对带电微粒的作用力，下列说法正确的是(　 ) A．a带负电荷 B．b带正电荷 C．c带负电荷 D．a和b的动量大小一定相等 6．(多选)两个带等量异种电荷的粒子a、b分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则(　 ) A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb＝∶1 C．两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2 D．两粒子的质量之比ma∶mb＝2∶1 7．云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示通过它的带电粒子径迹的装置。如图为一张云室中拍摄的照片。云室中加了垂直于纸面向里的磁场。图中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或负电子的径迹。有关a、b、c三条径迹以下判断正确的是(　 ) A．a、b、c都是正电子的径迹 B．a径迹对应的粒子动量最大 C．c径迹对应的粒子动能最大 D．c径迹对应的粒子运动时间最长 8．如图所示，水平虚线上方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化规律如图甲所示，一群带正电的同种粒子在t＝0时从虚线上的O点垂直于磁场方向向上与右边界成θ(0°＜θ＜180°)角射入磁场，如图乙所示，已知粒子在磁场中运动的轨迹半径为r，周期为T，不计粒子重力，则在θ角变化过程中下列说法正确的是(　 ) A．粒子距水平虚线的最远距离为2r B．粒子在磁场中运动的速度始终不变 C．无论θ角多大，粒子均能射出磁场 D．粒子在虚线上方运动的最长时间为T 9．如图所示，直线MN上方有平行于纸面且与MN成45°角的有界匀强电场。MN下方有方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度为B。今从MN上的O点向磁场中射入一个速度大小为v、方向与MN成45°角的带正电粒子，该粒子在磁场中运动时的轨迹半径为R。若该粒子从O点出发记为第一次经过直线MN，而第五次经过直线MN时恰好又通过O点。不计粒子的重力，对于上述运动过程，下列说法正确的是(　 ) A．电场强度大小为Bv B．根据能量守恒定律可知，该粒子再次回到O点时的速度仍为v C．上述运动过程在磁场区域内运动的时间为 D．该粒子从O点出发至再回到O点全程用时为(2＋π) 10．(多选)如图，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的P(0，L)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α。当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则(　 ) A．粒子一定带正电 B．当α＝45°时，粒子也垂直x轴离开磁场 C．粒子入射速率为 D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L 11．如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m、带电荷量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R＝。哪个图是正确的？(　　) 12．如图所示，电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为v0，现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，下列说法正确的是(　 ) A．所加磁场范围的最小面积是 B．所加磁场范围的最小面积是 C．所加磁场范围的最小面积是 D．所加磁场范围的最小面积是 13．(多选)某一空间存在着磁感应强度为B且大小不变、方向随时间t做周期性变化的匀强磁场(如图甲所示)，规定垂直纸面向里的磁场方向为正。为使静止于该磁场中的带正电的粒子能按a→b→c→d→e→f的顺序做“∞”形运动(即如图乙所示的轨迹)，下列办法可行的是(粒子只受磁场力的作用，其他力不计)(　 ) A．若粒子的初始位置在a处，在t＝T时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度 B．若粒子的初始位置在f处，在t＝时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度 C．若粒子的初始位置在e处，在t＝T时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度 D．若粒子的初始位置在b处，在t＝时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度 14．(多选)目前世界上正研究的一种新型发电机叫磁流体发电机，如图所示表示它的发电原理：将一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量带正电和负电的粒子，而从整体来说呈中性)沿图中所示方向喷射入磁场，磁场中有两块金属板A、B，这时金属板上就聚集了电荷。在磁极配置如图中所示的情况下，下列说法正确的是(　　) A.A板带正电 B.有电流从b经用电器流向a C.金属板A、B间的电场方向向下 D.等离子体发生偏转的原因是离子所受洛伦兹力大于所受电场力 15．(多选)如图所示，导电物质为电子的霍尔元件位于两串联线圈之间，线圈中电流为I，线圈间产生匀强磁场，磁感应强度大小B与I成正比，方向垂直于霍尔元件的两侧面，此时通过霍尔元件的电流为IH，与其前后表面相连的电压表测出的霍尔电压UH满足：UH＝k，式中k为霍尔系数，d为霍尔元件两侧面间的距离．电阻R远大于RL，霍尔元件的电阻可以忽略，则(　　) A．霍尔元件前表面的电势低于后表面 B．若电源的正、负极对调，电压表将反偏 C．IH与I成正比 D．电压表的示数与RL消耗的电功率成正比 16．如图所示，在容器A中有同一种元素的两种同位素正粒子，它们的初速度几乎为0，粒子可从容器A下方的小孔S1飘入加速电场，然后经过S3沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场中，最后第一种同位素粒子打到照相底片D上的M点，第二种同位素粒子打到照相底片D上的N点。不计同位素粒子的重力。量出M点、N点到S3的距离分别为x1、x2，则第一种与第二种同位素粒子在磁场中运动的时间之比为(　　) A. B. C. D. 17．(多选)如图所示为一种质谱仪的工作原理示意图，此质谱仪由以下几部分构成：离子源、加速电场、静电分析器、磁分析器、收集器。静电分析器通道中心线MN所在圆的半径为R，通道内有均匀辐射的电场，中心线处的电场强度大小为E；磁分析器中分布着方向垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场，磁分析器的左边界与静电分析器的右边界平行。由离子源发出一个质量为m、电荷量为＋q的离子(初速度为零，重力不计)，经加速电场加速后进入静电分析器，沿中心线MN做匀速圆周运动，而后由P点进入磁分析器中，最终经过Q点进入收集器。下列说法正确的是(　 ) A．磁分析器中匀强磁场的方向垂直于纸面向里 B．加速电场中的加速电压U＝ER C．磁分析器中轨迹圆心O2到Q点间的距离d＝ D．任何带正电的离子若能到达P点，则一定能进入收集器 18． (2026·陕西西安市长安区一模)在匀强磁场中有一带正电的粒子甲做匀速圆周运动，当它运动到M点时，突然向与原运动相反的方向放出一个不带电的粒子乙，形成一个新的粒子丙。如图所示，用实线表示粒子甲运动的轨迹，虚线表示粒子丙运动的轨迹。若不计粒子所受重力及空气阻力的影响，则粒子甲和粒子丙运动的轨迹可能是(　　) 19．如图所示，ABCD为一正方形区域，一带电粒子以速度v0从AB边的中点O，沿纸面垂直于AB边的方向射入。若该区域充满平行于AB边的匀强电场，该粒子经时间t1以速度v1从C点射出；若该区域充满垂直纸面的匀强磁场，该粒子经时间t2以速度v2从D点射出，不计粒子重力，则(　 ) A．v1＞v2，t1＜t2 B．v1＞v2，t1＞t2 C．v1＜v2，t1＜t2 D．v1＜v2，t1＞t2 20．（多选）带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹。如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中观察到某带电粒子的轨迹，其中a和b是运动轨迹上的两点。该粒子使云室中的气体电离时，其本身的动能在减少，而其质量和电荷量不变，重力忽略不计。下列有关该粒子的说法正确的是 (　　) A.粒子带负电 B.粒子先经过b点，再经过a点 C.粒子动能减小是由于洛伦兹力对其做负功 D.粒子运动过程中所受洛伦兹力大小不变 二、计算、问答题 21．如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60°.一质量为m、电荷量为＋q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30°角的方向射入磁场，随后该粒子沿垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求： (1)画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹； (2)粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的轨迹半径R1和R2的比值； (3)Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)． 22．匀强磁场区域由一个半径为R的半圆和一个长为2R、宽为的矩形组成，磁场的方向如图所示．一束质量为m、电荷量为＋q的粒子(粒子间的相互作用和重力均不计)以速度v从边界AN的中点P垂直于AN和磁场方向射入磁场中．问： (1)当磁感应强度为多大时，粒子恰好从A点射出？ (2)对应于粒子可能射出的各段磁场边界，磁感应强度应满足什么条件？ 23．一台质谱仪的工作原理如图所示。大量的甲、乙两种离子飘入电压为U0的加速电场，其初速度几乎为0，经加速后，通过宽为L的狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上。已知甲、乙两种离子的电荷量均为＋q，质量分别为2m和m，图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N的甲种离子的运动轨迹。不考虑离子间的相互作用。 (1)求甲种离子打在底片上的位置到N点的最小距离x； (2)在图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d。 24．如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，规定垂直于纸面向里的方向为正方向。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： (1)磁感应强度的大小B0； (2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 25．如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少。 26．如图，在0≤x≤h，－∞＜y＜＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变。一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力。 (1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm； (2)如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离。 27．如图所示，真空中有一以O点为圆心的圆形匀强磁场区域，半径为R＝0.5 m，磁场垂直纸面向里。在y>R的区域存在沿－y方向的匀强电场，电场强度为E＝1.0×105 V/m。在M点有一正粒子以速率v＝1.0×106 m/s沿＋x方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场，最终又从磁场离开。已知粒子的比荷为＝1.0×107 C/kg，粒子重力不计。 (1)求圆形磁场区域磁感应强度的大小； (2)求沿＋x方向射入磁场的粒子，从进入磁场到再次穿出磁场所走过的路程。 28．如图所示，在第一象限内，存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场Ⅰ，第二象限内存在水平向右的匀强电场，第三、四象限内存在垂直于xOy平面向外、磁感应强度大小为B0的匀强磁场Ⅱ。一质量为m，电荷量为＋q的粒子，从x轴上M点以某一初速度垂直于x轴进入第四象限，在xOy平面内，以原点O为圆心做半径为R0的圆周运动；随后进入电场运动至y轴上的N点，沿与y轴正方向成45°角离开电场；在磁场Ⅰ中运动一段时间后，再次垂直于x轴进入第四象限。不计粒子重力。求： (1)带电粒子从M点进入第四象限时初速度的大小v0； (2)电场强度的大小E； (3)磁场Ⅰ的磁感应强度的大小B1。 29．如图所示，x轴上方存在电场强度E＝1 000 V/m、方向沿－y轴方向的匀强电场，x轴与PQ(平行于x轴)之间存在着磁感应强度B＝2 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一个质量m＝2×10－8 kg、带电荷量q＝＋1.0×10－5 C的粒子，从y轴上(0，0.04 m)的位置分别以不同的初速度v0沿＋x轴方向射入匀强电场，不计粒子的重力。 (1)若v0＝200 m/s，求粒子第一次进入磁场时速度v的大小和方向； (2)若粒子射入电场后都能经磁场返回，求磁场的最小宽度d； (3)若粒子恰能经过x轴上x＝100 m的点，求粒子入射的初速度v0。 30．如图甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E0，E>0表示电场方向竖直向上。t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点。Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g。上述d、E0、m、v、g为已知量。 (1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小； (2)求电场变化的周期T； (3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值。 31．如图所示，在xOy坐标系内存在一个以(A,0)为圆心、半径为a的圆形磁场区域，方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。另在y轴右侧有一方向向左的匀强电场，电场强度大小为E，分布于y≥a的范围内。O点为质子源，其射出质子的速度大小相等、方向各异，但质子的运动轨迹均在纸面内。已知质子在磁场中的偏转半径也为a，设质子的质量为m、电荷量为e，重力及阻力忽略不计。求： (1)射出速度沿x轴正方向的质子，到达y轴所用的时间； (2)射出速度与x轴正方向成30°角(如图中所示)的质子，到达y轴时的位置与O点的距离； (3)质子到达y轴的位置坐标的范围。 32．如图所示为水平放置的小型粒子加速器的原理示意图，区域Ⅰ和Ⅱ存在方向垂直纸面向里的匀强磁场B1和B2，长L＝1.0 m的区域Ⅲ存在场强大小E＝5.0×104 V/m、方向水平向右的匀强电场。区域Ⅲ中间上方有一离子源S，水平向左发射动能Ek0＝4.0×104 eV的氘核，氘核最终从区域Ⅱ下方的P点水平射出。S、P两点间的高度差h＝0.10 m。 (氘核质量m＝2×1.67×10－27 kg，电荷量q＝1.60×10－19 C，1 eV＝1.60×10－19 J，≈1×10－4) (1)求氘核经过两次加速后从P点射出时的动能Ek2； (2)若B1＝1.0 T，要使氘核经过两次加速后从P点射出，求区域Ⅰ的最小宽度d； (3)若B1＝1.0 T，要使氘核经过两次加速后从P点射出，求区域Ⅱ的磁感应强度B2。 33．(多选)在竖直平面内建立直角坐标系，曲线y＝位于第一象限的部分如图所示，在曲线上不同点以一定的初速度v0向x轴负方向水平抛出质量为m、带电荷量为＋q的小球，小球下落过程中都会通过坐标原点O，之后进入第三象限的匀强电场和匀强磁场区域(图中未画出)，结果小球恰好在竖直面内做匀速圆周运动，并且都能打到y轴负半轴上。已知匀强磁场的磁感应强度大小为B，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　 ) A．第三象限的电场强度大小为，方向竖直向下 B．小球的初速度为10 m/s C．第三象限的磁场方向一定是垂直纸面向外 D．要使所有的小球都能打到y轴的负半轴，所加磁场区域的最小面积是π2 34．如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求： (1)磁场的磁感应强度大小； (2)甲、乙两种离子的比荷之比。 35．某型号的回旋加速器的工作原理如图甲所示，图乙为俯视图。回旋加速器的核心部分为两个D形盒，分别为D1 、D2。D形盒装在真空容器里，整个装置放在巨大的电磁铁两极之间的强大磁场中，磁场可以认为是匀强磁场，且与D形盒底面垂直。两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过狭缝的时间可以忽略不计。D形盒的半径为R，磁场的磁感应强度为B。若质子从粒子源O处进入加速电场的初速度不计，质子质量为m、电荷量为＋q。加速器接入一定频率的高频交变电压，加速电压为U。不考虑相对论效应和重力作用。 (1)求质子第一次经过狭缝被加速后进入D形盒时的速度大小v1和进入D形盒后运动的轨迹半径r1； (2)求质子被加速后获得的最大动能Ekm和高频交变电压的频率f； (3)若两D形盒狭缝之间距离为d，且d≪R，计算质子在电场中运动的总时间t1与在磁场中运动的总时间t2，并由此说明质子穿过电场的时间可以忽略不计的原因。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $