九年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷（新教材浙教版，举一反三，测试范围：第1章 二次函数～第3章 圆的基本性质）

九年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材浙教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·福建·中考真题）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 2．（2026·江苏盐城·中考真题）已知事件：①小明去公交车站的路上经过一个十字路口，正好是绿灯；②小明到达公交车站时，公交车正在驶来．下列说法正确的是（     ） A．①是随机事件，②是必然事件 B．①②都是必然事件 C．①是必然事件，②是随机事件 D．①②都是随机事件 【答案】D 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：①经过十字路口时，信号灯颜色不确定，正好是绿灯可能发生也可能不发生，是随机事件； ②到达公交车站时，公交车是否驶来不确定，正在驶来可能发生也可能不发生，是随机事件； 故①②都是随机事件 ． 3．（2026·甘肃临夏·中考真题）如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）内蒙古赤峰市出土的红山文化C形碧玉龙，被誉为“中华第一龙”，现藏于中国国家博物馆．如图，将玉龙投影到面积为的长方形纸上，为估计投影面积，在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右，据此估计玉龙投影的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得点落在投影的概率，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右， ∴点落在投影的概率约为， ∴估计玉龙投影的面积为． 5．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，先利用圆心角与弦、弧的关系求出，再由圆周角定理可得，结合三角形内角和定理可得．容易判断和是等边三角形，则，作差求出即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵弦， ∴， 又∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 6．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数，当自变量x满足时，函数y的最小值为2，则a的值为（   ） A．0或2 B．1或3 C．任意实数 D．2或4 【答案】C 【分析】先对二次函数配方，得到开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的x范围判断对称轴位置，然后根据二次函数的性质求最值即可求得a． 【详解】解：∵ ， ∴ 二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∵ 自变量x满足 ∴恒成立，即对称轴一定在给定区间内， ∴ 二次函数在处取得最小值，最小值恒为，符合题意 ∴为任意实数． 7．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明为等腰直角三角形．设，则，根据勾股定理求得的值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ． 又， ， 为等腰直角三角形． 设，则， 根据题意得：， 即， 解得：，(不符合题意，舍去)， ∴． 8．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有，a的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先求出顶点坐标，代入一次函数得到，再根据，可得，设，最后根据题意，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴的顶点坐标为， ∵顶点在的图象上， ∴将代入得，整理得， ∵当时，都有，即， 将代入上式，化简得， 设， ∵该二次函数的二次项系数为，抛物线开口向上， ∴要使时恒成立，只需区间端点处的函数值， 当时，，整理得，解得， 当时，，整理得，解得， 取两个解集的交集，得． 9．（2026·浙江温州·三模）如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，分别计算空白区域面积即可． 【详解】解：连接，如图， 阴影部分面积，矩形面积，的面积，空白区域面积，空白区域面积，扇形面积，扇形面积， ∴阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∵矩形，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点， ∴，,矩形面积， 在中，，，， ∴根据勾股定理得， ∴，，， ∴的面积， ∴，， ∴, ∴扇形面积， ∵空白区域面积矩形面积 的面积扇形面积， ∴， ∴， ∵扇形面积， ∴空白区域面积矩形面积扇形面积， ∴， ∴， ∵阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∴， ∴． 10．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点B，抛物线和圆C在点A，B之间的部分分别记为，．M，N分别是，上的两个动点（M，N均不与A，B重合）．给出下面四个结论，错误的有（     ） ①当轴时，长的最大值为； ②若点Q在x轴上，则在第一象限内存在点M，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与性质，圆与函数的综合，等边三角形的性质与判定；当与轴重合时，的长取最大值，计算此时的的长即可判断①；，即可判断②；以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形，即可判断③；设，表示出在上，利用建立方程，求出，最后根据的取值范围，即可判断④． 【详解】解：①当与轴重合时，的长取最大值， ∵将代入，得，解得：， ∴， ∴， ∴当与轴重合时，，， ∴当与轴重合时，即为最大值， ∴①正确； ②如图1所示，对于轴上的任意一点， ∵轴， ∴， ∵四边形的名称为， ∴点在第一象限的抛物线上， 抛物线在第一象限曲线上的任意一点，都可以画出, 显然， ∴②错误； ③如图2所示，以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形， ∴③正确； ④点分别是，上的点，设， ∵、，、在点、点之间，均不与重合， ∴， ∵为中点， ∴在上， ∴，即， （负值舍去）或， ∵， ∴， ∵，这与是矛盾的， ∴不存在以为中点的线段， ∴④错误； 综上：①③正确，②④错误． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26六年级下·上海松江·期末）小军和姐姐用抛掷骰子的方法决定谁打扫房间，姐姐规定，掷到素数姐姐打扫，否则小军打扫．你觉得姐姐的规定对小军__________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】根据概率公式计算双方获胜的概率，比较概率是否相等即可得出结论． 【详解】解：抛掷骰子，共有这种等可能的结果， 其中素数为，共种结果， 因此姐姐打扫的概率为， 不是素数的结果为，共种结果， 因此小军打扫的概率为， 双方概率相等，因此规定对小军公平． 12．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． 【答案】4 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的图象上有三个不同的点、、，则n的值为______． 【答案】21 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由二次函数顶点式得对称轴为直线，点A和C纵坐标相同，故其横坐标中点位于对称轴上，得，点B的横坐标为，代入函数解析式求值即得n． 【详解】解：由二次函数的对称轴为直线， ∵点和纵坐标相同， ∴点A、C两点关于抛物线的对称轴对称，故，即， ∴点B的横坐标为， 代入函数解析式： ； 故答案为21． 14．（2026·河南周口·一模）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为，观景位与之间的直线距离为，则这座圆形观景台的半径是______． 【答案】 【分析】过作于点，延长交于点，连接，，，则有，，，从而可得，则，然后通过勾股定理求出，设为，则，通过勾股定理得，再求出的值即可． 【详解】解：如图，过作于点，延长交于点，连接，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设为，则， ∵， ∴， ∴， ∴这座圆形观景台的半径是． 15．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某医院门诊挂号处设有A、B两个挂号窗口，现有甲、乙两位患者各自随机选择其中一个窗口挂号，则甲、乙两位患者恰好都选择B窗口挂号的概率为______________． 【答案】 【分析】根据画树状图法得到所有等可能的选择结果，统计符合条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意画出树状图如下： 由图可知，共有4种等可能事件，其中甲、乙两位患者恰好都选择B窗口挂号有1种， ∴甲、乙两位患者恰好都选择B窗口挂号的概率． 16．（2026·浙江宁波·三模）如图，二次函数（其中）的图像与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，，点为的外心．记的面积为，的面积为，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】先求得、，易得，则是等腰直角三角形，即；由三角形外接圆的性质、圆周角定理可得，．易得是等腰直角三角形，如图：过D作于N，过C作于M，证明可得，设，则，，即，解得：；然后用m表示出、，最后代入求值即可． 【详解】解：∵令时， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵令时，， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点D为的外心． ∴，． ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图：过D作于N，过C作于M，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴的面积； ∵过D作于N，， ∴， ∴的面积为， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)解：连接． 是的高， ． ． ， ， ， 在与中， ， ． (2) 【分析】（1）连接，先根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理推导出，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）连接．先利用圆周角定理可得，进而可证明为等边三角形得到，结合全等三角形的性质可得，最后利用圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ， ． ， 为等边三角形， ． ， ， ， ． 18．（6分）（26-27八年级上·四川成都·开学考试）在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； (2)若盒子里黑球有24个，则红球有______个； (3)在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用大量重复试验下频率的稳定值估计摸到红球的概率； （2）根据黑球数量与黑球的概率计算总球数，进而求得红球个数； （3）根据放入红球后的概率列方程求解的值． 【详解】（1）解： ， 即随着摸球次数增大，摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率估计值为； （2）解：摸到黑球的概率为， 总球数为（个）， 则红球个数为（个）； （3）解：根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 19．（8分）（2025·浙江温州·三模）已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． (1)求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． (2)点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据已知点的坐标特征先求出二次函数的对称轴，然后，再求出其顶点坐标，接着，设二次函数的表达式为，最后，将顶点坐标代入即可求得二次函数的表达式； （2）根据题意找到点平移后对应的两个点的坐标，再由点平移后的点都能恰好落在二次函数的图象上及二次函数的对称轴，得，解方程即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：由二次函数图象与x轴的交点坐标分别为，可知二次函数图象的对称轴为直线， ∵二次函数图象的顶点在函数的图象上， ∴将代入可得二次函数的顶点坐标为． 根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，解得， ∴二次函数的表达式为，即； （2）解：根据题意，设点P的坐标为， 当点向左平移n个单位时，得， 当点向右平移个单位时，得， 均落在二次函数的图象上， ∴，即， 解得． 当时，． ∴点P的坐标为． 20．（8分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 【答案】(1)证明： 是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，则，根据角平分线的定义可得，由，推出，即可得证； （2）由题意可得，，则，根据得到，推出，证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 四边形是矩形， ． 21．（10分）（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）王师傅开车带着儿子去参观我省举办的“喜迎二十大·奋进新征程——乡村振兴成果展”，他的车前有两辆车即将行驶到有信号灯的路口，该路口的信号灯分别为：直行、左转和右转．王师傅给儿子提出下列两个问题，请你帮助王师傅的儿子解答： (1)在我们车前面的第一辆车直行的概率是______； (2)在我们车前面的两辆车向同一个方向行驶的概率是多少，请用列表或画树状图的方法说明．（注：为了方便解答，我们把“直行”“右转”和“左转”分别用“直”“右”和“左”表示） 【答案】(1) (2)， 根据题意，列表如下： 二一 直 右 左 直 （直，直） （直，右） （直，左） 右 （右，直） （右，右） （右，左） 左 （左，直） （左，右） （左，左） 【分析】（1）用1除以3即得； （2）列表解答，第一辆车填表的竖列直、右、左，第二辆车填表的横行直、右、左，列出向各个方向行驶的所有等可能结果，查出两辆车向同一方向行驶的所有可能结果，代入概率公式计算． 【详解】（1）； 故答案为：； （2）由表格可知，共有9种等可能的结果，其中，两辆车向同一方向行驶的结果有3种，分别是（直，直），（右，右）和（左，左）， ∴ 【点睛】本题主要考查了概率，解决问题的关键是熟练掌握概率是定义和计算公式． 22．（10分）（2026·浙江温州·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，连接．以点为圆心，长为半径作弧，交于点（不与点重合）． (1)求证：． (2)以点为圆心，长为半径作弧，交于点．连接，，交于点．若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接、、， ∵是的直径， ∴， 由作图可得，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)4 【分析】（1）连接、、，由是的直径，得到，进而证明，得到，再利用等弦对等弧即可证明； （2）过点作于点，则，根据题意可得，得到，再证明，得到，，再证明四边形是矩形，得出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， 则， 由作图可得，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 23．（12分）（2026·江苏徐州·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 【答案】(1)a，c的值分别为 (2)或2 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分三种情况考虑即可； （3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点，， ∴， 解得， 即a，c的值分别为； （2）解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； 当时，， 则当时，函数值随自变量的增大而增大， ∴， 解得（舍去）或； 当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ∴， 解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2； （3）解：抛物线的对称轴为直线，最大值为4，且抛物线开口向下， 当时，则，， 作直线交抛物线于点，且在的左侧，如图，作直线交抛物线于点，且在的左侧， 令，解得或， ∴，， 令，解得或， ∴，， ∵， ∴点M在曲线段上，点N在曲线段或上， ①当点N在曲线段上时， 把，分别代入， 得， 两式相减，整理得， ∴， 当取得最小值时，取得最小值，当取得最大值时，取得最大值， 当点M在A处，点N在点处时，取得最小值，且最小值为，此时， 当点M在处，点N在点处时，取得最大值，且最大值为，此时， ∴； ②当点N在曲线段上，点M在A处，点N在点处时， 取得最大值，且为， 当点M在处，点N在点处时，取得最小值，且为， ∴； 综上，或． 24．（12分）（2025·河北邯郸·三模）已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆上运动，弦． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M到的距离的最小值是________； ②直接写出点M的运动路径长________． 【答案】(1)证明：∵是直径, ∴. ∵， ∴(相等的圆周角所对的弦相等)， 在和中，, ∴； (2) (3)①   ② 【详解】（1）略 （2）解：如图，过D作于H， ∵半圆O中，直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：①如图2，连接，，，过M作于E． ∵直径，弦， ∴， ∴是等边三角形， ∵M是的中点， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴当最大时，最小， 而当C与A重合（或D与B重合）时，最大，如图3． ∵是等边三角形，M是的中点， ∴， ∴，即点M到的距离的最小值是； ②如图4． 由①知，， ∴M的轨迹是以O为圆心，为半径的弧， 当C与A重合时，， 同理，当D与B重合时，， ∴, ∴点M的运动路径长为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材浙教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 二次函数~第3章 圆的基本性质 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·福建·中考真题）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·江苏盐城·中考真题）已知事件：①小明去公交车站的路上经过一个十字路口，正好是绿灯；②小明到达公交车站时，公交车正在驶来．下列说法正确的是（     ） A．①是随机事件，②是必然事件 B．①②都是必然事件 C．①是必然事件，②是随机事件 D．①②都是随机事件 3．（2026·甘肃临夏·中考真题）如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）内蒙古赤峰市出土的红山文化C形碧玉龙，被誉为“中华第一龙”，现藏于中国国家博物馆．如图，将玉龙投影到面积为的长方形纸上，为估计投影面积，在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右，据此估计玉龙投影的面积为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数，当自变量x满足时，函数y的最小值为2，则a的值为（   ） A．0或2 B．1或3 C．任意实数 D．2或4 7．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则(     ) A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有，a的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 9．（2026·浙江温州·三模）如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点B，抛物线和圆C在点A，B之间的部分分别记为，．M，N分别是，上的两个动点（M，N均不与A，B重合）．给出下面四个结论，错误的有（     ） ①当轴时，长的最大值为； ②若点Q在x轴上，则在第一象限内存在点M，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26六年级下·上海松江·期末）小军和姐姐用抛掷骰子的方法决定谁打扫房间，姐姐规定，掷到素数姐姐打扫，否则小军打扫．你觉得姐姐的规定对小军__________．（填“公平”或“不公平”） 12．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． 13．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的图象上有三个不同的点、、，则n的值为______． 14．（2026·河南周口·一模）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为，观景位与之间的直线距离为，则这座圆形观景台的半径是______． 15．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某医院门诊挂号处设有A、B两个挂号窗口，现有甲、乙两位患者各自随机选择其中一个窗口挂号，则甲、乙两位患者恰好都选择B窗口挂号的概率为______________． 16．（2026·浙江宁波·三模）如图，二次函数（其中）的图像与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，，点为的外心．记的面积为，的面积为，则的值为_____． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 18．（6分）（26-27八年级上·四川成都·开学考试）在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； (2)若盒子里黑球有24个，则红球有______个； (3)在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 19．（8分）（2025·浙江温州·三模）已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． (1)求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． (2)点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 20．（8分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 21．（10分）（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）王师傅开车带着儿子去参观我省举办的“喜迎二十大·奋进新征程——乡村振兴成果展”，他的车前有两辆车即将行驶到有信号灯的路口，该路口的信号灯分别为：直行、左转和右转．王师傅给儿子提出下列两个问题，请你帮助王师傅的儿子解答： (1)在我们车前面的第一辆车直行的概率是______； (2)在我们车前面的两辆车向同一个方向行驶的概率是多少，请用列表或画树状图的方法说明．（注：为了方便解答，我们把“直行”“右转”和“左转”分别用“直”“右”和“左”表示） 22．（10分）（2026·浙江温州·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，连接．以点为圆心，长为半径作弧，交于点（不与点重合）． (1)求证：． (2)以点为圆心，长为半径作弧，交于点．连接，，交于点．若，，求的长． 23．（12分）（2026·江苏徐州·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 24．（12分）（2025·河北邯郸·三模）已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆上运动，弦． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M到的距离的最小值是________； ②直接写出点M的运动路径长________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $