精品解析：河北省部分校2026-2027学年高三上学期10月测评数学试题

高三数学测评 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，等式与不等式，函数与导数，概率与统计，三角函数与解三角形． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若样本数据的极差为，则（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 1或7 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若的内角，，的对边分别为，，，且，，则“有两解”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足①，，②，，③，，则（ ） A. 32 B. C. 22 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，且，则 10. 若的内角，，的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. 当时，的取值范围为 D. 当时，为等边三角形 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，恰有三个极值点，，，点，，，．若函数的图象经过某个点集中的所有元素，则称该点集能被承载，否则不能被承载．下列结论正确的是（ ） A. ，不能被承载 B. ，不能被承载 C. ，能被承载 D. 若满足对任意的，当时，都有，则不能被承载 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为______． 13. 一个8位数的编码由0或1组成，规定：含有三个及以上的相邻的1的编码为“故障码”，含有五个及以上的0的编码为“稀疏码”．在一个编码是“稀疏码”的条件下，这个编码不是“故障码”的概率为___________． 14. 已知，均为锐角，且，若，，则=___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是奇函数，且． （1）求，的值； （2）求不等式的解集． 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上的最大值小于，求的取值范围． 17. 著名物理学家牛顿提出万有引力定律：两个质量分别为，（单位：千克）的物体间的距离为（单位：米），则这两个物体之间存在相互吸引的万有引力（单位：牛），且（其中为常数）．如图，将六个质量均为1千克的小球（视作质点）放在半径为1米的圆的圆周上，且任意相邻的两个小球之间的距离相等． （1）从六个小球中任选两个． （i）求这两个小球之间的万有引力的大小为的概率； （ii）记这两个小球之间的万有引力的大小为，求的分布列与期望． （2）从这六个小球中随机地去掉一个，其余五个小球的位置不变，并从这五个小球中任选两个，记这两个小球之间的万有引力的大小为，比较的期望与（ii）中的期望的大小． 18. 在中，，，． （1）求的大小． （2）设，是边上的两个动点（不含端点）． （i）若平分，求； （ii）若，求面积的最小值． 19. 已知函数． （1）当时，证明：． （2）讨论的零点个数． （3）设存在两个零点，． ①证明：． ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学测评 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，等式与不等式，函数与导数，概率与统计，三角函数与解三角形． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若样本数据的极差为，则（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 1或7 【答案】D 【解析】 【详解】因为样本数据的极差为，又，当时，，解得， 若时，，解得，所以的值为或. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得到，所以，故， 又，所以. 3. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由二项式定理得通项公式为， 令，解得，得到 故展开式中常数项为. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数和三角函数的单调性，寻找合适的中间值比大小即可. 【详解】由题意得，即，而，即， 而，即，综上可得. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， ，又， ， 解得或（舍），，故C符合． 6. 若的内角，，的对边分别为，，，且，，则“有两解”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，，根据正弦定理得，即， 要使有两解，则，解得， 所以“有两解”是“”的充分不必要条件. 7. 若，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同构思想变形并分离参数，构造函数并利用导数求出值域即可. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 当时，， 不等式， 令，依题意，，不等式恒成立， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 因此，故， 所以的取值范围为. 8. 已知定义在上的函数满足①，，②，，③，，则（ ） A. 32 B. C. 22 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设易得，即可得到，再分析得到，进而求解即可. 【详解】由题意，得，，则， 所以，则， 而， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质、指数函数的单调性，对每个选项逐一分析判断即可. 【详解】对于A，已知，若，则 ， 因此，“若，则”不成立，故A错误； 对于B，已知，则 ， 又因为指数函数在上单调递增，所以 ，故B正确； 对于C，已知，，若，，， 此时，，此时， 故C错误； 对于D，已知，说明、同号（同正或同负） ， 因为，可得，即，故D正确. 10. 若的内角，，的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. 当时，的取值范围为 D. 当时，为等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦定理得到，从而判断A；再结合基本不等式判断B；利用三角形三边关系判断C；结合余弦定理与判断D. 【详解】对于A，已知的内角的对边分别为，且满足， 根据余弦定理， 将它们代入已知等式的左边， 所以 ，故A正确； 对于B，左边为， 由于，当且仅当时取等号， 所以，即， 因为，右边为， 又因为，所以， 因此不等式恒成立，故B正确； 对于 C，已知，根据三角形三边关系， 有 恒成立， 解得，结合，得， 还有 或 （舍）， 所以 ， 综合得，故C错误； 对于D，由余弦定理， 又，所以 ， 此时 ，所以是等边三角形，故D正确. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，恰有三个极值点，，，点，，，．若函数的图象经过某个点集中的所有元素，则称该点集能被承载，否则不能被承载．下列结论正确的是（ ） A. ，不能被承载 B. ，不能被承载 C. ，能被承载 D. 若满足对任意的，当时，都有，则不能被承载 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用相邻极值点之间的变化方向判断函数值的关系，再分别考查常数函数、一次函数、二次多项式和严格增函数能否经过所给点． 【详解】对于A，由连续且之间没有其他极值点可知，在上严格单调， 否则区间内部会出现极值点，所以，常数函数不能同时经过，故A正确； 对于B，由，取，， 则经过，故B错误； 对于C，设，，由于互不相同， 多项式可写成， 且，，故C正确； 对于D，题设条件表明在上严格递增． 由为极值点且相邻极值点之间没有其他极值点， 在与上的变化方向相反， 即或， 而严格递增的若经过这三个点，必有，矛盾，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出切点坐标，再求出切线的斜率，即得解. 【详解】因为，所以， 当时，，， 所以曲线的切线方程为，解得. 13. 一个8位数的编码由0或1组成，规定：含有三个及以上的相邻的1的编码为“故障码”，含有五个及以上的0的编码为“稀疏码”．在一个编码是“稀疏码”的条件下，这个编码不是“故障码”的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合组合计数问题及对立事件的概率公式求解. 【详解】令事件一个编码是“稀疏码”，事件一个编码是“故障码”， 事件含有的基本事件数为， 事件包：，共有6个基本事件， 因此在一个编码是“稀疏码”的条件下，这个编码是“故障码”的概率， 所以在一个编码是“稀疏码”的条件下，这个编码不是“故障码”的概率. 14. 已知，均为锐角，且，若，，则=___________． 【答案】 【解析】 【分析】先两式相减并化简可得，进而得到、的值，然后求、，继而得到，则，． 【详解】，， 相减得 ， 又，均为锐角，，则， ，解得， 则， ，， 则，解得， 平方相加得， 解得， 又， 解得，则（负值已舍）， ， 又，均为锐角，且， ，则，． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是奇函数，且． （1）求，的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据可得，再结合，即可求，的值. （2）结合函数的奇偶性，原不等式可化为，再结合函数的单调性，可把函数不等式转化为代数不等式求解. 【小问1详解】 因为是奇函数，所以， 则． 因为， 所以． 又，所以， 解得，． 【小问2详解】 由（1）可得， 易得在上单调递增． 因为， 所以等价于， 则，解得或， 故不等式的解集为． 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上的最大值小于，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简函数的解析式，根据可得，，再结合函数的周期可得的值。进而得的解析式. （2）先根据函数图象平移变换得的解析式，再根据函数在上的最大值小于，可求的取值范围. 【小问1详解】 ． 因为，所以，， 得，． 设的最小正周期为，则得， 则，得． 由，，可得， 则． 【小问2详解】 ． 由，得． 因为在上的最大值小于，且，所以，， 解得，， 故的取值范围为． 17. 著名物理学家牛顿提出万有引力定律：两个质量分别为，（单位：千克）的物体间的距离为（单位：米），则这两个物体之间存在相互吸引的万有引力（单位：牛），且（其中为常数）．如图，将六个质量均为1千克的小球（视作质点）放在半径为1米的圆的圆周上，且任意相邻的两个小球之间的距离相等． （1）从六个小球中任选两个． （i）求这两个小球之间的万有引力的大小为的概率； （ii）记这两个小球之间的万有引力的大小为，求的分布列与期望． （2）从这六个小球中随机地去掉一个，其余五个小球的位置不变，并从这五个小球中任选两个，记这两个小球之间的万有引力的大小为，比较的期望与（ii）中的期望的大小． 【答案】（1）（i） （ii） X P （2） 【解析】 【分析】（1）正六边形 6顶点，先枚举全部两点弦长，分类算出引力取值、对应对数，求分布列与期望；（2）利用对称性，固定去掉其中一个小球，枚举剩下5个点全部10组点对，按距离分成三类，算出对应引力的概率,代入期望公式算出Y期望，再和X期望对比大小. 【小问1详解】 （ⅰ）因为，则由，可得． 从六个小球中任选两个，共有种不同的选法， 其中这两个小球之间的距离为1米的选法有6种， 故这两个小球之间的万有引力的大小为的概率为． （ⅱ）由题可知，任意两个小球之间的距离可能为，，， 则的可能取值为,,，且，，． 的分布列为 X P ． 【小问2详解】 六个小球在半径为1的圆周上构成正六边形顶点，由对称性，去掉任意一个小球结果相同，不妨去掉点，剩余五个小球,总选法：, 枚举剩余 5 点两两距离：距离（引力）：，共 4 对, 距离（引力）：，共 4 对, 距离（引力）：，共 2 对, 得到概率： 的分布列为 ，则． 18. 在中，，，． （1）求的大小． （2）设，是边上的两个动点（不含端点）． （i）若平分，求； （ii）若，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （i）（ii） 【解析】 【分析】（1）结合特殊角的函数值，由余弦定理求解即可； （2）（i）由平分，再由三角形的面积公式求解的面积，再由即可求解； （ii）由正弦定理求解的面积，即，再由诱导公式以及三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得． 因为，所以． 【小问2详解】 （ⅰ）因为平分，所以． 的面积， 的面积， 的面积． 由，可得，解得． （ⅱ）在中，， 由，，，， 得，． 设．在中，由正弦定理可得， 得， 同理可得， 则的面积． 因为，所以， 则 ． 因为，所以，则， 当时，取得最大值1，则， 从而面积的最小值为． 19. 已知函数． （1）当时，证明：． （2）讨论的零点个数． （3）设存在两个零点，． ①证明：． ②证明：． 【答案】（1）证明：当时，，则． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，得证． （2）当时，零点个数为2；当或时，零点个数为1；当时，零点个数为0． （3）证明：当存在两个零点，时，可得，不妨令，则． 由题可得则． 令，则由，可得， 则整理得则． ①要证，即证． 因为，所以需证． 令，则在上恒成立， 则在上单调递增，则，故，得证． ②，因为，所以要证，需证，需证． 由可得． 因为，所以要证，需证． 令，，则需证，需证． 令，则在上恒成立， 则在上单调递减，从而，故，得证． 【解析】 【分析】(1)求导找到极小值点，算出最小值，直接证明；(2)分离参数，构造函数，用单调性与图像，按的范围分类讨论零点个数；(3)双零点用比值换元，把用t表达，再构造单变量函数证明两个不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 显然不是的零点． 当时，由，得． 令，则． 当和时，，单调递减，当时，，单调递增． 当时，，当时，，且． 由，可知当且时，，当时，． 当时，关于的方程有两解，则的零点个数为2； 当或时，关于的方程有一解，则的零点个数为1； 当时，关于的方程无解，则的零点个数为0． 【小问3详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $