专题01 有理数9大题型49题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材湘教版

专题01 有理数 基础·固本强基 题型1 有理数的分类与概念辨析 题型2 数轴、相反数与绝对值基础（重点） 题型3 有理数基础四则运算（重点） 提升·进阶突破 题型4 有理数简便运算与技巧（重点） 题型5 含绝对值的复杂化简与计算（难点） 题型6 有理数的规律探究 拔高·压轴破难 题型7 数轴上的动点问题综合（难点） 题型8 有理数综合实际应用 题型9 有理数的新定义问题（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 有理数的分类与概念辨析（共4小题） 【模型】 集合归属模型（正数、负数、整数、分数、非负数等集合）。 【步骤】 ① 观察数字符号与形式；② 依据定义判断所属集合；③ 填入对应大括号。 【易错】 ① 遗漏“0”；② 将带百分号的数（如30%）或小数误判为整数；③ 误认为 一定是负数。 1．（26-27七年级上·广东深圳·阶段检测）把下列各数填入相应的集合中： ，，，，，，，，． 正分数集合：{                        …}； 正整数集合：{                        …}； 有理数集合：{                        …}． 【答案】正分数集合：；正整数集合：；有理数集合： 【分析】根据有理数，正分数和正整数的定义可得答案． 【详解】解：是正整数，是有理数， 是正分数，是有理数， 是有理数， 是有理数， 是有理数， 是正整数，是有理数， 是正分数，是有理数， 是有理数， 是正分数，是有理数， ∴正分数集合：；正整数集合：；有理数集合：． 2．（26-27七年级上·吉林松原·阶段检测）把下列各数填在相应的横线上． ，，，，，，，，，． (1)非负整数：____________________________； (2)负分数：______________________________； (3)正有理数：____________________________； (4)负数：________________________________． 【答案】(1)0，2050 (2)， (3)，5.21，2050，， (4)，，， 【分析】根据有理数的定义和分类即可求解． 【详解】（1）解：非负整数即为大于等于0的整数，则为0，2050； （2）解：负分数即为小于0的分数，则为：，； （3）解：正有理数是大于0的有理数，则为：； （4）解：负数是小于0的数，即为：． 3．（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）把下列各数填在相应的横线上． ，，5.21，0，2050，，，，，． (1)非负整数：________； (2)负分数：________； (3)正有理数：________； (4)负数：________． 【答案】(1)0，2050 (2)， (3)，5.21，2050，， (4)，，， 【分析】（1）非负整数是指正整数和0，据此解答即可； （2）负分数是指小于0的分数，注意不是有理数，不是分数； （3）正有理数是指大于0的有理数，据此解答即可； （4）负数是指小于0的数，据此解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 4．（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）把下列各数的序号填在相应的横线上： ， ，5.21，0，2050， ， ， ， ， ． (1)整数：{ …}； (2)正有理数：{ …}； (3)负有理数：{ …}． 【答案】(1)整数：{①, ④, ⑤} (2)正有理数：{②, ③, ⑤, ⑧, ⑩} (3)负有理数：{①, ⑥, ⑦, ⑨} 【分析】（1）不含小数部分的数是整数，包括正整数、零和负整数； （2）大于0的有理数是正有理数； （3）小于0的有理数是负有理数． 【详解】（1）解：所给数字中，，0，2050是整数， 故整数：{①, ④, ⑤}； （2）解：所给数字中，，5.21，2050，，是正有理数， 故正有理数：{②, ③, ⑤, ⑧, ⑩} （3）解：所给数字中，，，，是负有理数， 故负有理数：{①, ⑥, ⑦, ⑨}． 题型2 数轴、相反数与绝对值基础（共9小题） 【模型】 数轴三要素模型（原点、正方向、单位长度）；相反数与绝对值的代数/几何意义模型。 【步骤】 ① 规范画出数轴三要素；② 准确描点并用“<”连接；③ 依据“正本身、负相反、0为0”化简绝对值或求相反数。 【易错】 ① 漏画数轴箭头（正方向）；② 混淆 与 的底数；③ 绝对值化简时忘记变号。 5．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）在，，，0.72，，0，中．负有理数共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：是负有理数，，为正数，中不是有理数，是负有理数，既不是正数也不是负数，是负有理数， 综上，负有理数共有3个． 6．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【详解】解：A、符合数轴的定义，是数轴，故本选项符合题意； B、没有标注原点，不是数轴，故本选项不符合题意； C、正半轴的数据标注错误，不是数轴，故本选项不符合题意； D、负半轴的数据标注错误，不是数轴，故本选项不符合题意． 7．（26-27七年级上·云南临沧·阶段检测）下列关于数轴的说法正确的是（     ） A．数轴有原点、正方向，但单位长度不统一 B．数轴有原点、正方向、单位长度，三要素齐全 C．数轴有原点、单位长度，但没有标明正方向 D．数轴有正方向、单位长度，但没有原点 【答案】B 【分析】考查数轴的三要素及其画法，掌握数轴的三要素是解题的关键． 【详解】解：选项中，单位长度不统一，画法错误； 选项中，数轴三要素齐全，画法正确； 选项中，未标明正方向，画法错误； 选项中，没有原点，画法错误． 8．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）数轴上对应点A、B、C、D的位置如图所示，则这四个点中表示的数的绝对值最小的点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据绝对值的几何意义，数轴上离原点最近的点表示的数的绝对值最小求解即可． 【详解】解：观察数轴，点B离原点最近，则这四个点中表示的数的绝对值最小的点是点B． 9．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）下列说法：①与4互为相反数；②一定是负数；③互为相反数的两个数的符号必相反；④与2互为相反数；⑤任何一个有理数都有相反数．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①∵与只有符号不同， ∴二者互为相反数，①正确． ②∵当时，， ∴不一定是负数，②错误． ③∵的相反数是，不满足符号相反， ∴互为相反数的两个数符号不一定相反，③错误． ④∵的相反数是， ∴与不互为相反数，④错误． ⑤∵任何有理数都有相反数， ∴⑤正确． 综上，正确的说法共2个． 10．（2026·河南周口·二模）数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于原点对称的两点所表示的数互为相反数解答即可． 【详解】解：∵数轴上点P表示的数是， ∴点P关于原点对称的点表示的数是． 11．（2026·贵州安顺·二模）如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 【答案】 【分析】根据相反数的几何意义，互为相反数的两个点关于原点对称，即原点是这两点连线的中点，根据数轴上的两点之间距离即可确定原点位置． 【详解】解：由图可知，点与点之间相隔个单位长度， 点和点表示的数互为相反数， 原点在线段的中点处， 由图可知，， 原点是点． 12．（25-26七年级上·福建泉州·期中）计算：___________． 【答案】 【详解】本题考查了绝对值的化简，相反数，根据，所以，然后根据负数的绝对值等于它的相反数，得出答案． 【分析】解：∵， ∴， 故答案为：． 13．（25-26七年级上·广东湛江·期中）按要求解答 (1)填空：数轴上表示的点和表示的点的距离是________． (2)如果点A ，点B分别表示互为相反数的2个数，并且这2个点的距离是5，那么这2个数中位于原点左边的数是多少？ 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）根据相反数的概念，以及数轴上两点之间的距离公式分析求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示的点和表示的点的距离是． （2）解：∵点A ，点B分别表示互为相反数的2个数，并且这2个点的距离是5，， ∴这2个数中位于原点左边的数是． 题型3 有理数的基础四则运算（共6小题） 【模型】 运算顺序模型；相反意义量模型。 【步骤】 ① 明确运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）；② 先定符号，再算绝对值；③ 结合实际情境赋予正负数实际意义。 【易错】 ① 运算顺序颠倒；② 符号判定失误（同号得正、异号得负）；③ 减去一个数未转化为加其相反数。 14．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘除，后算加减，按照有理数运算法则计算． （2）利用乘法分配律展开计算，简化运算过程． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．（2026七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【详解】解：原式的倒数 ． 所以原式． 16．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)25 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简多重符号，再按从左到右的顺序计算有理数加减； （2）先计算乘除，再计算加减，化简多重符号后得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】先作乘除，再加减即可． 【详解】 ． 提升·进阶突破 题型4 有理数简便运算与技巧（共5小题） 【模型】 运算律应用模型（凑整、对消、分组）；裂项相消模型。 【步骤】 ① 观察数字特征（如互为相反数、同分母、互为倒数）；② 运用交换律、结合律或分配律重组算式；③ 整体计算得出结果。 【易错】 ① 使用分配律时漏乘项或符号未同步分配；② 强行凑整导致计算更复杂。 20．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)54 (2) 【分析】（1）先化简符号，将小数化为分数，再分组结合同分母分数相加； （2）先把带分数拆成整百数减一个分数，除法转化为乘法，用乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）观察算式可得算式中有个同分母的带分数，可将整数部分与整数部分相加，分数部分与分数部分相加，利用求和公式来简便计算； （2）观察算式发现、、相似，可通过乘数之间扩大和缩小将它们都变成，从而利用乘法分配律来简便计算； （3），，……，，用裂项相消的方法即可计算； （4）分子，分母，分子、分母即可先约分． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 22．（26-27七年级·全国·小升初衔接）运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可； 根据乘法运算律进行简便运算即可； 先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 23．（2024七年级上·广西桂林·专题练习）用简便的方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了四则运算和简便运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键； （1）利用加法交换律和结合律进行计算即可得解； （2）利用除法的性质和乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 24．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 题型5 含绝对值的复杂化简与计算（共4小题） 【模型】 零点分段法模型；数形结合去绝对值模型。 【步骤】 ① 结合数轴判断代数式内部的正负；② 依据正负性去掉绝对值符号；③ 合并同类项化简。 【易错】 ① 脱离数轴盲目去绝对值；② 去绝对值后忘记将负数变为相反数（漏写负号）。 25．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）化简：________． 【答案】 【分析】从内到外逐层去括号化简，再根据绝对值的性质计算即可得到最终结果． 【详解】解：逐层对原式化简： ， ， ， ， 原式． 26．（26-27七年级·全国·小升初衔接）已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而得出的值． 【详解】解：∵，且，，均为整数， ∴和均为非负整数，且和为， ∴可能情况为： 且，则， ∴； 且， 则， ∴， 综上，． 27．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 【答案】 3 4 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离． 把变为可求出的最大值；由得，将原式化为，根据两点间距离的几何意义可求其最小值为4． 【详解】解：因为，则， 所以； 因为绝对值是非负数，即， 所以当最小时，整个式子的值最大． 当时，，此时， 所以的最大值是3． 由得，， 所以，此式表示x到3的距离加上x到7的距离， 根据绝对值的性质，当x在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，最小值为． 所以的最小值为4． 故答案为：3；4． 28．（26-27七年级上·甘肃定西·阶段检测）化简下列各数： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)10 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型6 有理数的规律探究（共5小题） 【模型】 归纳推理模型（找规律）。 【步骤】 ① 计算前几项结果；② 观察符号、分子分母或位置的变化规律；③ 推导并用含 的代数式表示第 项。 【易错】 ① 忽略符号的交替规律（奇负偶正）；② 规律归纳不完整导致表达式错误。 29．（26-27七年级上·河南郑州·阶段检测）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2026将与正方形上的哪个字母重合（     ） A．字母A B．字母B C．字母C D．字母D 【答案】B 【分析】计算起点到终点的距离，利用正方形周长为4的周期性，通过余数判断对应顶点即可． 【详解】解：∵正方形边长为1， ∴正方形周长为4， ∵起点对应数，终点对应数2026， ∴滚动的总距离为， ∵， ∴数轴上的数2026对应的点与正方形滚动1个单位长度后落在数轴上的顶点重合， ∵正方形顺时针滚动，起始点为，则滚动1个单位长度后落在数轴上的点为， ∴数轴上的数2026将与正方形上的字母重合． 30．（26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）正六边形在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则经过连续翻转后，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】通过列举前几次翻转后数轴上的数与顶点的对应关系，归纳出循环规律. 【详解】解：由题意得，正六边形边长为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 由此可知，数轴上的数每个为一个循环周期， ∵， ∴数对应的点与数对应的点相同，即为点. 31．（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 32．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）已知，等边三角形（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将三角形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），点表示的数是________； (2)将三角形从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2026对应的点与点________重合； (3)将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：2，，，，． ①第________次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)B (3)①三；② 【分析】（1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数； （2）根据等边滚动的规律，即可得出答案； （3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次； ②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是； （2）解：因为， 所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2026表示的点与点B重合； （3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为： ； ； ； ； ； 所以第三次滚动后，点A离原点最远；     由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是． 33．（2026七年级上·河北·专题练习）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)按以上规律，第④个等式为：_____； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知的等式，可以发现：等式左边是两个连续偶数乘积的倒数，等式右边是这两个连续偶数倒数差的，按照此规律，可得第④个等式； （2）根据前面发现的规律，将原式中的每一项进行转化后代入原式，可以发现括号内很多项可以相互抵消，最后可计算得出结果； （3）把每一项提公因数，就变成第二问的规律，利用第二问的规律可求出本题的答案． 【详解】（1）解：根据第①②③个等式规律可知： 第④个等式为：． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 拔高·压轴破难 题型7 数轴上的动点问题综合（共5小题） 【模型】 动点坐标模型；距离方程模型（ ）。 【步骤】 ① 用含时间 的代数式表示动点坐标；② 利用两点间距离公式列方程；③ 解方程并检验 的实际意义。 【易错】 ① 动点向左/右移动时加减符号弄反；② 漏解（如两点间距离未考虑左右两种情况）。 34．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）数轴上的点沿数轴向右移动7个单位后到达点，且点到原点的距离为1，若数轴上的点到点和到原点的距离相等，则点表示的数是_____． 【答案】或 【分析】先根据点B到原点的距离确定点B表示的数，再根据平移规律得到点A表示的数，最后根据点C到点A和原点距离相等，确定点C是点A与原点所连线段的中点，计算即可得到结果． 【详解】解：∵点到原点的距离为， ∴点表示的数为或； ∵点沿数轴向右移动个单位后到达点， ∴点表示的数为或； ∵点到点和到原点的距离相等， ∴点是点A与原点所连线段的中点， 当点表示的数为时，点表示的数为， 当点表示的数为时，点表示的数为． 综上所述，点C表示的数为或． 35．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为；点A与点B在数轴上的“友好距离”为21个单位长度，并表示为，以此类推． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足，此时动点P运动的时间是_______．    【答案】14.5或19.5秒 【分析】本题考查了数轴动点问题，确定满足时，点P所在的位置是解题的关键．分点P在上和点P在上两种情况进行讨论求解，设P点所对应的数为x，根据，求出x的值，再根据点P的运动速度，求出相应的运动时间． 【详解】解：设P点所对应的数为， ①当点P在上， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度运动，点A表示， ∴动点P从点A到点O，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点O与点B之间时，速度为1个单位长度/秒， ∴动点P运动从点O运动到10时，所用时间为（秒）， ∴满足，此时动点P运动的时间是（秒）； ②当点P在上， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度运动，点A表示， ∴动点P从点A到点O，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点O与点B之间时，速度为1个单位长度/秒， ∴动点P从点O运动到B时，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点B与点C之间时，速度为6个单位长度/秒， ∴动点P从点B运动到C时，所用时间为（秒）， ∴动点P从点C运动到26时，所用时间为（秒）， ∴满足，此时动点P运动的时间是（秒）； 综上，满足，此时动点P运动的时间是14.5秒或19.5秒． 故答案为：14.5或19.5秒． 36．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）七年级数学兴趣小组开展数学微项目学习，他们决定研究南宁地铁的运行． 素材一 如图是南宁地铁号线的线路图，为了研究方便，地铁运行过程中速度看成匀速，每相邻两站的间距都可近似看成相等．且相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒． 素材二 小安用数轴上的动点来表示地铁的运行，他以火车东站为原点建立了如图所示的数轴．其中数字表示佛子岭站，数字代表百花岭站．以此类推，动点每运动到一个整点时．都需要暂停秒，代表地铁到达停靠． 问题解决 探究 （）如图，数字表示________站 探究 （）如图，若小瑞从火车东站出发往南湖方向，出发时间为分钟，当分钟时，此时小瑞离火车东站距离多远？ （）若从原点出发，运动分钟到数字和数字之间（不含数字和数字），求点在数轴上表示的数（用含的代数式表示）． 探究 （）若小瑞在百花岭站上车，坐地铁往南湖方向，同时小安在万象城站上车，往南宁东站方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从百花岭站和万象城站出发，出发多久后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 【答案】（）凤岭；（）个单位长度；（）；（）分钟或分钟 【分析】（）根据题意解答即可求解； （）根据题意求出火车运行的时间分，进而根据路程速度时间解答即可求解； （）求出点运动到数字（含停靠）的时间，根据数轴上两点间距离公式解答即可求解； （）分相遇前相距个单位长度和相遇后相距个单位长度，分别列式解答即可求解； 本题考查了数轴上的动点问题，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】解：（）由题意可得，数字表示凤岭站， 故答案为：凤岭； （）∵相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒， ∴当时，火车运行的时间为分钟， ∴此时小瑞离火车东站距离为个单位长度； （）当点运动到数字时（含停靠时间），用时分钟， ∴此时点在数轴上表示的数为； （）①相遇前相距个单位长度时，出发时间分钟； ②相遇后相距个单位长度，出发时间分钟； 答：出发分钟或分钟后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 37．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 38．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 题型8 有理数综合实际应用（共5小题） 【模型】 数学建模模型（方程思想、分类讨论思想）。 【步骤】 ① 提取题干关键信息与隐含条件；② 设立未知数，构建有理数运算方程或不等式；③ 求解并验证结果是否符合实际。 【易错】 ① 等量关系找错；② 忽略实际背景对结果的限制（如人数必须为正整数、方案需分类讨论不重不漏）。 39．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）打印一部600页的稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成．现在，甲、乙两人轮流工作．甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此交替下去，打印这部书稿共要________小时． 【答案】 【分析】先计算出甲、乙每小时的工作效率，再根据给定的交替工作规律，计算多轮交替后完成的工作量，再对剩余工作量按顺序计算所需时间，最后求和得到总工作时间； 【详解】解：甲每小时打印页数：（页）， 乙每小时打印页数：（页）， 交替工作以“甲工作1小时，乙工作2小时，甲工作2小时，乙工作1小时”为一个完整周期，一个周期总时长为（小时）， 一个周期完成的工作量：（页）， 两个周期总时长为（小时），完成工作量（页）， 剩余工作量：（页）， 按顺序接下来轮到甲工作1小时，甲完成（页），剩余工作量：（页），剩余工作由乙完成，所需时间：（小时）， 总时间为：（小时）， 答：打印这部书稿共要小时． 40．（2026·北京大兴·二模）某兴趣小组有3件打印模型需要制作，每个模型都要按四道工序的顺序完成．现安排甲、乙、丙3名同学来做，甲只负责A、D工序，乙只负责B工序，丙只负责C工序．同一模型同一时间只能进行一道工序，完成一道工序后才能开始下一道工序．一个人只有完成一个模型的一道工序后，才能进行下一个模型的工序．各工序耗时（单位：分钟）如下表： （1）只完成模型1和模型3的制作，最少需要________分钟； （2）要完成这3件模型的制作，最少需要________分钟． 【答案】 19 30 【分析】（1）分别计算先制作模型1后制作模型3，以及先制作模型3后制作模型1的总耗时，比较得出最小值； （2）根据工序先后顺序及人员分工，依次分析关键路径，计算各工序完成时刻得出总耗时，通过比较即可得出结果． 【详解】解：（1）由题意知， 若先制作模型1，后制作模型3： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型1为，模型3为， 丙完成C工序时间：模型1为，模型3为， 甲完成D工序时间：模型1为，模型3为， ∴总耗时20分钟； 若先制作模型3，后制作模型1： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型3为，模型1为， 丙完成C工序时间：模型3为，模型1为， 甲完成D工序时间：模型3为，模型1为， ∴总耗时19分钟， ∵， ∴最少需要19分钟； （2）要完成3件模型的制作，则有“模型1-模型2-模型3”、“模型1-模型3-模型2”、“模型2-模型1-模型3”、“模型2-模型3-模型1”、“模型3-模型1-模型2”“模型3-模型2-模型1”共六种顺序制作： ①模型1-模型2-模型3： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型1为，模型2为，模型3为， 丙完成C工序时间：模型1为，模型2为，模型3为， 甲完成D工序时间：模型1为，模型2为，模型3为， ∴总耗时31分钟； ②模型1-模型3-模型2： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型1为，模型3为，模型2为， 丙完成C工序时间：模型1为，模型3为，模型2为， 甲完成D工序时间：模型1为，模型3为，模型2为， ∴总耗时33分钟； ③模型2-模型1-模型3： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型2为，模型1为，模型3为， 丙完成C工序时间：模型2为，模型1为，模型3为， 甲完成D工序时间：模型2为，模型1为，模型3为， ∴总耗时30分钟； ④模型2-模型3-模型1： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型2为，模型3为，模型1为， 丙完成C工序时间：模型2为，模型3为，模型1为， 甲完成D工序时间：模型2为，模型3为，模型1为， ∴总耗时30分钟； ⑤模型3-模型1-模型2： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时刻：模型3为，模型1为，模型2为， 丙完成C工序时间：模型3为，模型1为，模型2为， 甲完成D工序时间：模型3为，模型1为，模型2为， ∴总耗时33分钟； ⑥模型3-模型2-模型1： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型3为，模型2为，模型1为， 丙完成C工序时间：模型3为，模型2为，模型1为， 甲完成D工序时间：模型3为，模型2为，模型1为， ∴总耗时31分钟， 综上所述，要完成这3件模型的制作，最少需要30分钟． 41．（2026·北京顺义·二模）两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜． 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子． （1）如果一共有6颗棋子，两名同学约定每次最多取走3颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子； （2）如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子． 【答案】 【分析】要确保先手获胜，先手取完第一次后，接下来需保证每一轮两人取棋子的总和为每次最多取棋子数，计算总棋子数除以每次最多取棋子数的余数，余数就是先手首次应该取走的棋子数，之后每轮对手取颗，先手取“每次最多取棋子数”颗，即可保证先手取走最后一颗棋子． 【详解】（1）已知总棋子数为，每次最多取颗， 由， ，余数为， ∴先手首次应该取走颗棋子． 剩余颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，一轮共取走颗，先手可取走最后一颗获胜． （2）已知总棋子数为，每次最多取颗， 由 ， ，余数为， 因此先手首次应该取走颗棋子． 剩余颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，每轮共取走颗，经过轮后，先手可取走最后一颗获胜． 42．（2026·北京·一模）甲、乙两位工人要生产A，B，C，D四个产品，每个产品的生产都需要制作和包装两道工序，先由甲工人进行制作，制作完成后再由乙工人进行包装．两位工人完成每个产品各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： 产品 A B C D 甲需要的时间 10 6 9 7 乙需要的时间 8 8 4 10 （1）若按照的顺序制作，两位工人合作完成这四个产品的总时长最少为________分钟； （2）若使完成A，B，C，D四个产品的总时间最短，则应按照________的顺序生产． 【答案】 42 【分析】根据表格中的数据计算出按的先后顺序制作时间即可； 要用最短的时间完成这四个产品的制作，开始的时候要让甲给道具制作的时间最短， 即开始应该让甲按照的顺序制造，再按照或分类讨论即可． 【详解】解：（1）甲先制作用10分钟， 然后乙再给包装8分钟，这8分钟甲可以给制作，（分）， 还剩下的时间制作2分钟，这时还需要（分）， 乙开始给包装又花了8分钟，这8分钟甲给制作，还留有（分）， 这1分钟甲给制作，在乙完成的包装时甲给制作还需要（分），这分钟乙同时可以包装完， 综上，按照的顺序制作，等甲做完且乙包装完， 需要（分）， 最后，甲制作完之后，乙再给包装花费（分） 所以总时长为（分）； （2）要用最短的时间完成这四个产品的制作，开始的时候要让甲给产品制作的时间最短， 即开始应该让甲按照的顺序制造， 当按照的顺序制作时，按照（1）中方法，需要（分）； 当按照的顺序制作时，按照（1）中方法，需要（分）， 所以按照的顺序制作所需总时间最短． 43．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）某平台和政府合作推出了“平台政府补贴”优惠政策．为了鼓励消费者购买节能环保产品，这个平台的家电产品政府补贴标准见下表： 能效等级 补贴比例 补充说明 一级能效 产品销售价格的 一级能效产品最高补贴不超过2000元（即超过2000元的，最高只能补贴2000元）；二级能效最高补贴1500元（同前） 二级能效 产品销售价格的 周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴．他购买的电器可能是哪两件？（写出一种情况即可） 【答案】电冰箱和洗衣机或电视机和空调 【分析】求出购买四种电器所获得的政府补贴，即可求解． 【详解】解：购买一台电冰箱，， 则购买一台电冰箱的政府补贴为2000元， 购买一台电视机的政府补贴为元， 购买一台洗衣机的政府补贴为元， 购买一台空调的政府补贴为元， 因为周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴，， 所以他购买的电器可能是电冰箱和洗衣机或电视机和空调． 题型9 有理数的新定义问题（共5小题） 【模型】 规则转化模型。 【步骤】 ① 仔细阅读并理解新运算规则；② 将新符号转化为常规的有理数混合运算；③ 按常规步骤求解。 【易错】 ① 未严格遵循新定义的运算顺序；② 照搬常规运算法则，忽略新规则的特殊限制。 44．（25-26七年级上·北京海淀·期末）对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”； ②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”； ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算以及新定义，能够读懂定义是解题关键；根据“快乐数”的定义逐一对每个选项进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ，，， ∴2026是“快乐数”，故①正确； ②设A是“快乐数”，B是A的数字重排序（最高位非0）， ∴中各个位数的平方和与中各个位数的平方和相等， ∴对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作时，对和进行计算，得到的第一个新数相同，故后面所有重复操作得到结果都一样， 若A是“快乐数”，则重复操作最后计算结果为1，同理重复操作最后计算结果也为1， ∴也是“快乐数”，故②正确； ③设正整数为，各位数字的平方和为， 对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作， ∴相当于是正整数在判断是否为“快乐数”的第一步，若为“快乐数”，则还原可得到也为“快乐数”． ∴①②③正确． 故选：D． 45．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）定义运算：，例如：，，若，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查新运算，解方程，根据新运算的定义，分和两种情况讨论，分别解方程求x的值即可． 【详解】解：∵， ∴①当时，， ∴， ∵，， ∴； ②当时，，解得； 故选：D． 46．（25-26七年级上·重庆铜梁·期末）对各位数字都不为0的四位正整数，将n的首位数字放在末尾得到一个新数记为，再将的首位数字放在末尾得到，以此类推得到，记，则____________；已知k为一个四位正整数，，x，y，z均是不为零的数字，若k除以11的余数为2，（t为正整数），则k的最小值为____________． 【答案】 110 4435 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，数的整除，对于，直接计算n、、、的和并除以101得到110﹒对于k，根据k除以11的余数为2可得：或，结合正整数及最小值的含义可得：和，再进一步结合的条件，进而求出k的最小值为4435﹒ 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，其中y、z均为1到9的数字，只能为至的正整数，k除以11的余数为2， ∴是的倍数，， ∴或， ∴或， ∵最小，且， 当时，则或， ∵为正整数， ∴舍去， ∴， 当时，， ∴，， ∴， ∵（t为正整数）， ∴此时不符合题意，舍去， 当，，时， ∴，， ∴， ∵（t为正整数）， ∴此时不符合题意，舍去， 当，，时， ∴，， ∴， ∵（t为正整数）， ∴，则 ∴此时符合题意， ∴的最小值为：． 故答案为：110，4435﹒ 47．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）阅读材料回答问题： 材料一：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如： ，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般把记作，读作“a的圈n次方”． 材料二：求的值，设，将等式两边同时乘2得：，利用第二个式子减去第一个式子可以得到，即，即． (1)【问题解决】直接写出计算结果：____________； (2)【类比探究】有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式： ____________； ____________．（且为正整数）； (3)【实践应用】求的值．（其中） 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据题意理解“的圈次方”的定义，即可求出的值． （2）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果，注意最后一个式子，结果第一个数不变为，第二个数及后面的数变为，再计算即可． （3）按照材料一的方法将原式转化为，利用材料二的方法设，两边同时乘以5即可得到新的式子，将两个式子相减即可求出答案． 【详解】（1）解：一般把记作，读作“的圈次方”， ． （2）解：① ② （3）解：由材料一的方法可知，， ，，， ， 根据材料二方法，可设①， ②， 得， ， ． 48．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一．若正整数，其中，或1（），则可用二进制表示为，即，记．例如：，则，． (1)用二进制表示整数11； (2)求的值； (3)判断与的值是否相等，并说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)相等． 理由：令， 则 由， 得 ， 由， 得 所以． 【分析】（1）根据题意将整数用二进制表示出来即可； （2）根据题意得出，然后再由求解即可； （3）令，得出，确定，同理化简，即可判断． 【详解】（1）解：由得 （2）， ∴； （3）略 49．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)29 (2) (3)存在， 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵a为负数， ∴； （3）解：存在，理由如下， ， ∵，， ∴，， 解得，，． $专题01 有理数 基础·固本强基 题型1 有理数的分类与概念辨析 题型2 数轴、相反数与绝对值基础（重点） 题型3 有理数基础四则运算（重点） 提升·进阶突破 题型4 有理数简便运算与技巧（重点） 题型5 含绝对值的复杂化简与计算（难点） 题型6 有理数的规律探究 拔高·压轴破难 题型7 数轴上的动点问题综合（难点） 题型8 有理数综合实际应用 题型9 有理数的新定义问题（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 有理数的分类与概念辨析（共4小题） 【模型】 集合归属模型（正数、负数、整数、分数、非负数等集合）。 【步骤】 ① 观察数字符号与形式；② 依据定义判断所属集合；③ 填入对应大括号。 【易错】 ① 遗漏“0”；② 将带百分号的数（如30%）或小数误判为整数；③ 误认为 一定是负数。 1．（26-27七年级上·广东深圳·阶段检测）把下列各数填入相应的集合中： ，，，，，，，，． 正分数集合：{                        …}； 正整数集合：{                        …}； 有理数集合：{                        …}． 2．（26-27七年级上·吉林松原·阶段检测）把下列各数填在相应的横线上． ，，，，，，，，，． (1)非负整数：____________________________； (2)负分数：______________________________； (3)正有理数：____________________________； (4)负数：________________________________． 3．（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）把下列各数填在相应的横线上． ，，5.21，0，2050，，，，，． (1)非负整数：________； (2)负分数：________； (3)正有理数：________； (4)负数：________． 4．（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）把下列各数的序号填在相应的横线上： ， ，5.21，0，2050， ， ， ， ， ． (1)整数：{ …}； (2)正有理数：{ …}； (3)负有理数：{ …}． 题型2 数轴、相反数与绝对值基础（共9小题） 【模型】 数轴三要素模型（原点、正方向、单位长度）；相反数与绝对值的代数/几何意义模型。 【步骤】 ① 规范画出数轴三要素；② 准确描点并用“<”连接；③ 依据“正本身、负相反、0为0”化简绝对值或求相反数。 【易错】 ① 漏画数轴箭头（正方向）；② 混淆 与 的底数；③ 绝对值化简时忘记变号。 5．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）在，，，0.72，，0，中．负有理数共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27七年级上·云南临沧·阶段检测）下列关于数轴的说法正确的是（     ） A．数轴有原点、正方向，但单位长度不统一 B．数轴有原点、正方向、单位长度，三要素齐全 C．数轴有原点、单位长度，但没有标明正方向 D．数轴有正方向、单位长度，但没有原点 8．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）数轴上对应点A、B、C、D的位置如图所示，则这四个点中表示的数的绝对值最小的点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 9．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）下列说法：①与4互为相反数；②一定是负数；③互为相反数的两个数的符号必相反；④与2互为相反数；⑤任何一个有理数都有相反数．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2026·河南周口·二模）数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 11．（2026·贵州安顺·二模）如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 12．（25-26七年级上·福建泉州·期中）计算：___________． 13．（25-26七年级上·广东湛江·期中）按要求解答 (1)填空：数轴上表示的点和表示的点的距离是________． (2)如果点A ，点B分别表示互为相反数的2个数，并且这2个点的距离是5，那么这2个数中位于原点左边的数是多少？ 题型3 有理数的基础四则运算（共6小题） 【模型】 运算顺序模型；相反意义量模型。 【步骤】 ① 明确运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）；② 先定符号，再算绝对值；③ 结合实际情境赋予正负数实际意义。 【易错】 ① 运算顺序颠倒；② 符号判定失误（同号得正、异号得负）；③ 减去一个数未转化为加其相反数。 14．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2)． 15．（2026七年级上·全国·专题练习）计算：． 16．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 17．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2)． 18．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）计算： (1)； (2)． 19．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）计算：． 提升·进阶突破 题型4 有理数简便运算与技巧（共5小题） 【模型】 运算律应用模型（凑整、对消、分组）；裂项相消模型。 【步骤】 ① 观察数字特征（如互为相反数、同分母、互为倒数）；② 运用交换律、结合律或分配律重组算式；③ 整体计算得出结果。 【易错】 ① 使用分配律时漏乘项或符号未同步分配；② 强行凑整导致计算更复杂。 20．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）用简便方法计算： (1) (2) 21．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题． (1) (2) (3) (4) 22．（26-27七年级·全国·小升初衔接）运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 23．（2024七年级上·广西桂林·专题练习）用简便的方法计算 (1) (2) 24．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 题型5 含绝对值的复杂化简与计算（共4小题） 【模型】 零点分段法模型；数形结合去绝对值模型。 【步骤】 ① 结合数轴判断代数式内部的正负；② 依据正负性去掉绝对值符号；③ 合并同类项化简。 【易错】 ① 脱离数轴盲目去绝对值；② 去绝对值后忘记将负数变为相反数（漏写负号）。 25．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）化简：________． 26．（26-27七年级·全国·小升初衔接）已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 27．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 28．（26-27七年级上·甘肃定西·阶段检测）化简下列各数： (1)； (2)． 题型6 有理数的规律探究（共5小题） 【模型】 归纳推理模型（找规律）。 【步骤】 ① 计算前几项结果；② 观察符号、分子分母或位置的变化规律；③ 推导并用含 的代数式表示第 项。 【易错】 ① 忽略符号的交替规律（奇负偶正）；② 规律归纳不完整导致表达式错误。 29．（26-27七年级上·河南郑州·阶段检测）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2026将与正方形上的哪个字母重合（     ） A．字母A B．字母B C．字母C D．字母D 30．（26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）正六边形在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则经过连续翻转后，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 31．（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 32．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）已知，等边三角形（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将三角形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），点表示的数是________； (2)将三角形从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2026对应的点与点________重合； (3)将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：2，，，，． ①第________次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点表示的数是多少？ 33．（2026七年级上·河北·专题练习）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)按以上规律，第④个等式为：_____； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 拔高·压轴破难 题型7 数轴上的动点问题综合（共5小题） 【模型】 动点坐标模型；距离方程模型（ ）。 【步骤】 ① 用含时间 的代数式表示动点坐标；② 利用两点间距离公式列方程；③ 解方程并检验 的实际意义。 【易错】 ① 动点向左/右移动时加减符号弄反；② 漏解（如两点间距离未考虑左右两种情况）。 34．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）数轴上的点沿数轴向右移动7个单位后到达点，且点到原点的距离为1，若数轴上的点到点和到原点的距离相等，则点表示的数是_____． 35．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为；点A与点B在数轴上的“友好距离”为21个单位长度，并表示为，以此类推． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足，此时动点P运动的时间是_______．    36．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）七年级数学兴趣小组开展数学微项目学习，他们决定研究南宁地铁的运行． 素材一 如图是南宁地铁号线的线路图，为了研究方便，地铁运行过程中速度看成匀速，每相邻两站的间距都可近似看成相等．且相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒． 素材二 小安用数轴上的动点来表示地铁的运行，他以火车东站为原点建立了如图所示的数轴．其中数字表示佛子岭站，数字代表百花岭站．以此类推，动点每运动到一个整点时．都需要暂停秒，代表地铁到达停靠． 问题解决 探究 （）如图，数字表示________站 探究 （）如图，若小瑞从火车东站出发往南湖方向，出发时间为分钟，当分钟时，此时小瑞离火车东站距离多远？ （）若从原点出发，运动分钟到数字和数字之间（不含数字和数字），求点在数轴上表示的数（用含的代数式表示）． 探究 （）若小瑞在百花岭站上车，坐地铁往南湖方向，同时小安在万象城站上车，往南宁东站方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从百花岭站和万象城站出发，出发多久后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 37．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 38．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 题型8 有理数综合实际应用（共5小题） 【模型】 数学建模模型（方程思想、分类讨论思想）。 【步骤】 ① 提取题干关键信息与隐含条件；② 设立未知数，构建有理数运算方程或不等式；③ 求解并验证结果是否符合实际。 【易错】 ① 等量关系找错；② 忽略实际背景对结果的限制（如人数必须为正整数、方案需分类讨论不重不漏）。 39．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）打印一部600页的稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成．现在，甲、乙两人轮流工作．甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此交替下去，打印这部书稿共要________小时． 40．（2026·北京大兴·二模）某兴趣小组有3件打印模型需要制作，每个模型都要按四道工序的顺序完成．现安排甲、乙、丙3名同学来做，甲只负责A、D工序，乙只负责B工序，丙只负责C工序．同一模型同一时间只能进行一道工序，完成一道工序后才能开始下一道工序．一个人只有完成一个模型的一道工序后，才能进行下一个模型的工序．各工序耗时（单位：分钟）如下表： （1）只完成模型1和模型3的制作，最少需要________分钟； （2）要完成这3件模型的制作，最少需要________分钟． 41．（2026·北京顺义·二模）两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜． 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子． （1）如果一共有6颗棋子，两名同学约定每次最多取走3颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子； （2）如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子． 42．（2026·北京·一模）甲、乙两位工人要生产A，B，C，D四个产品，每个产品的生产都需要制作和包装两道工序，先由甲工人进行制作，制作完成后再由乙工人进行包装．两位工人完成每个产品各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： 产品 A B C D 甲需要的时间 10 6 9 7 乙需要的时间 8 8 4 10 （1）若按照的顺序制作，两位工人合作完成这四个产品的总时长最少为________分钟； （2）若使完成A，B，C，D四个产品的总时间最短，则应按照________的顺序生产． 43．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）某平台和政府合作推出了“平台政府补贴”优惠政策．为了鼓励消费者购买节能环保产品，这个平台的家电产品政府补贴标准见下表： 能效等级 补贴比例 补充说明 一级能效 产品销售价格的 一级能效产品最高补贴不超过2000元（即超过2000元的，最高只能补贴2000元）；二级能效最高补贴1500元（同前） 二级能效 产品销售价格的 周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴．他购买的电器可能是哪两件？（写出一种情况即可） 题型9 有理数的新定义问题（共5小题） 【模型】 规则转化模型。 【步骤】 ① 仔细阅读并理解新运算规则；② 将新符号转化为常规的有理数混合运算；③ 按常规步骤求解。 【易错】 ① 未严格遵循新定义的运算顺序；② 照搬常规运算法则，忽略新规则的特殊限制。 44．（25-26七年级上·北京海淀·期末）对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”； ②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”； ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 45．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）定义运算：，例如：，，若，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 46．（25-26七年级上·重庆铜梁·期末）对各位数字都不为0的四位正整数，将n的首位数字放在末尾得到一个新数记为，再将的首位数字放在末尾得到，以此类推得到，记，则____________；已知k为一个四位正整数，，x，y，z均是不为零的数字，若k除以11的余数为2，（t为正整数），则k的最小值为____________． 47．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）阅读材料回答问题： 材料一：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如： ，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般把记作，读作“a的圈n次方”． 材料二：求的值，设，将等式两边同时乘2得：，利用第二个式子减去第一个式子可以得到，即，即． (1)【问题解决】直接写出计算结果：____________； (2)【类比探究】有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式： ____________； ____________．（且为正整数）； (3)【实践应用】求的值．（其中） 48．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一．若正整数，其中，或1（），则可用二进制表示为，即，记．例如：，则，． (1)用二进制表示整数11； (2)求的值； (3)判断与的值是否相等，并说明理由． 49．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． $