专题2.7 函数的图象【知识概要+10大题型+巩固训练】讲义-2027届高三数学一轮复习

专题2.7 函数的图象 知识点1：掌握基本初等函数的图像 （1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数． 作图步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·全国·期末）作出下列各函数的图象： (1)； (2)． 知识点2：利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象. (3)伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ax). y＝f(x)y＝Af(x). (4)翻转变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象. 【跟踪训练】 2．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象经过（    ） A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 【常用结论】 （1）若恒成立，则的图像关于直线对称． （2）设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称． （3）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称． （4）函数与函数的图象关于直线对称． （5）函数与函数的图象关于直线对称． （6）函数与函数的图象关于点中心对称． （7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”． 题型一：利用解析式确定图像 题型二：利用图像确定解析式 题型三：画出具体函数图象 题型四：函数图象的变换 题型五：函数图像的应用 题型六：根据实际问题作函数图象 题型七：利用函数的图像研究函数的性质、最值 题型八：利用函数的图像解不等式 题型九：利用函数的图像判断零点的个数 题型十：利用函数的图像求恒成立、存在的问题 题型一：利用解析式确定图像 1．（26-27高三上·江苏·阶段检测）函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·四川·阶段检测）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 题型二：利用图像确定解析式 5．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数的图象如图，则其解析式可能为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）下图对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·天津·期末）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·天津静海·期末）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ）    A． B． C． D． 题型三：画出具体函数图象 9．（25-26高三下·全国·课后作业）求下列函数的极值，并画出大致图象． (1)； (2)； (3)． 10．（26-27高三上·全国·课后作业）画出下列函数的图象. (1)； (2)； (3). 11．（26-27高三上·全国·课后作业）画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 12．（26-27高三上·全国·课堂例题）画出下列函数的图象并根据图象求单调区间： (1)； (2) 题型四：函数图象的变换 13．（26-27高三上·山东泰安·阶段检测）已知，则函数的图象关于（     ） A．点对称 B．点对称 C．点对称 D．点对称 14．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 15．（26-27高三上·全国·课后作业）抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，恰好过坐标原点，则的值为________. 16．（26-27高三上·北京·开学考试）下列选项中，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型五：函数图像的应用 17．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数若，的值域均为，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 18．（26-27高三上·北京·期中）设是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为______． 19．（26-27高三上·广西南宁·阶段检测）已知函数，若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是_______． 20．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知函数，则（   ） A．函数为单调递减函数 B． C．若，恒成立，则 D．函数，与函数的图象所有交点纵坐标之和为 题型六：根据实际问题作函数图象 21．（25-26高三下·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    22．（2026高三上·山东枣庄·学业考试）某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高三上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 24．（2026·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 题型七：利用函数的图像研究函数的性质、最值 25．（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 26．（25-26高三上·贵州遵义·期末）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且，则的最小值为_______ 27．（25-26高三上·湖南衡阳·期末），用表示，中的最小者，记为.记的最大值为，表示不超过的最大整数，如：，，若，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 28．（25-26高三上·山西运城·期末）（多选）已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的最大值是 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象与直线有三个交点 题型八：利用函数的图像解不等式 29．（25-26高三下·四川攀枝花·期末）定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 30．（25-26高三上·江苏南京·期末）函数满足，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高三上·云南红河·期中）已知函数和的大致图象如图所示，则的解集为（   ）    A． B． C． D． 32．（2026·湖南郴州·三模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C．不等式的解集为 D．若函数恰有两个零点，则的取值范围为 题型九：利用函数的图像判断零点的个数 33．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，其中且．若关于x的方程的解集有3个元素，则a的取值范围为__________. 34．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）若，则关于的方程的实数根的个数为________． 35．（26-27高三上·山东泰安·阶段检测）设函数，若函数有四个零点，，，，且，则k的取值范围是______，______． 36．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知函数．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是______． 题型十：利用函数的图像求恒成立、存在的问题 37．（2026·江西·二模）已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为__________. 38．（25-26高三上·广西·阶段检测），，使得恒成立，则整数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 39．（26-27高三上·河南郑州·阶段检测）已知函数，若存在实数，，满足，且，则的取值范围是__________． 40．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数. ①函数的零点个数为________； ②若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是________. 1．（26-27高三上·陕西咸阳·阶段检测）函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·江西九江·期末）已知函数的图象大致如下，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象.再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合.则可以是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·辽宁·期中）设，若有且仅有两个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·湖南邵阳·开学考试）已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·北京东城·阶段检测）已知函数，其中为自然对数的底数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26高三上·山西晋城·期末）已知为定义在上的奇函数，，当时，单调递减，当时，单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·北京昌平·二模）已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·广东惠州·阶段检测）（多选）已知定义域为的函数满足，在解析式为，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．若函数在内恒成立，则 C．对任意实数，的图象与直线最多有6个交点 D．方程有4个解，分别为，，，，则 10．（河南湘豫联考2026-2027学年高三上学期10月考试数学试卷）（多选）定义为，，中的最小值，设，若方程在区间上有8个不同的实数根，则实数的取值范围为下列哪些集合的子集（   ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 12．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）设函数，则________；若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为________. 13．（26-27高三上·天津和平·开学考试）已知函数，若函数有且仅有个零点，则实数的取值范围为________． 14．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 15．（25-26高三下·福建福州·期末）已知． (1)判断的单调性，并求出的极值； (2)画出的大致图象； (3)判断方程的解的个数． 16．（25-26高三下·全国·期末）作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.7 函数的图象 知识点1：掌握基本初等函数的图像 （1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数． 作图步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·全国·期末）作出下列各函数的图象： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数的图象，及图象的翻折即可作出图象； （2）结合对数函数的图象，及图象的平移，翻折即可作出图象． 【详解】（1）的图象可由函数的图象保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分翻折到轴上方得到，如下图所示：    （2），其图象可由的图象向左平移1个单位长度，再保留轴上方部分不变，将轴下方部分翻折到轴上方得到，如下图所示：    知识点2：利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象. (3)伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ax). y＝f(x)y＝Af(x). (4)翻转变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象. 【跟踪训练】 2．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象经过（    ） A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】先代入已知点求出值，再结合函数图象的平移及函数的性质分析平移后函数图象所在的象限. 【详解】将点代入，得，解得. 因此所求函数为， 该函数的图象可由反比例函数的图象向右平移个单位长度， 再向上平移个单位长度得到，渐近线为和. 分区间讨论： 当时，，则，故： 当趋近于时趋近于，当趋近于时趋近于，即由时，由. 因此该区间图象经过第一象限及第四象限. 当时，，则，故， 当趋近于时趋近于，当趋近于时趋近于，即由时，由. 因此该区间图象位于第一象限及第二象限. 如图： 综上，函数图象经过第一、二、四象限. 【常用结论】 （1）若恒成立，则的图像关于直线对称． （2）设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称． （3）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称． （4）函数与函数的图象关于直线对称． （5）函数与函数的图象关于直线对称． （6）函数与函数的图象关于点中心对称． （7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”． 题型一：利用解析式确定图像 题型二：利用图像确定解析式 题型三：画出具体函数图象 题型四：函数图象的变换 题型五：函数图像的应用 题型六：根据实际问题作函数图象 题型七：利用函数的图像研究函数的性质、最值 题型八：利用函数的图像解不等式 题型九：利用函数的图像判断零点的个数 题型十：利用函数的图像求恒成立、存在的问题 题型一：利用解析式确定图像 1．（26-27高三上·江苏·阶段检测）函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，关于原点对称. ∵ ， ∴ 是奇函数，图象关于原点对称，排除B、C. 当时，，,∴ . ∵ 对数函数在上单调递增，时, ∴ ，即时函数值为负，图象位于轴下方，排除D. 2．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域为,再判断出关于中心对称，进而判断出当时，的图象位于轴下方，结合排除法即可得答案. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为, 又因为 ， 所以关于中心对称，故排除C ,D； 当时，，， ，， 所以，图象位于轴下方，故排除B. 由对称性可知当时，的图象位于轴上方， 所以只有A满足. 3．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过判断函数的奇偶性排除部分选项，再结合函数的零点个数确定最终选项. 【详解】由题意，函数 的定义域为. 因为 ，所以函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，故排除选项 B C； 又因为 等价于 ，解得 ，即函数 只有唯一零点 ， 观察选项 D ，其图象在 轴正半轴上有交点（即存在非零零点），故排除选项 D ； 综上所述，只有选项 A 符合题意. 4．（26-27高三上·四川·阶段检测）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性排除偶函数图象，然后取特殊值 判断函数值的正负，从而确定正确选项. 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 定义域关于原点对称， 因为， 所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项 A、C； 当 时，， 观察选项 B、D，选项 B 中 时函数值为负，选项 D 中 时函数值为正，故排除选项 B，选项 D 符合. 题型二：利用图像确定解析式 5．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数的图象如图，则其解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图像的奇偶性、定义域以及函数值的变化趋势（渐近线），利用排除法即可得出答案。 【详解】由函数图象可知，该函数图像关于原点对称，故该函数为奇函数；观察图象可知，函数定义域为，且当时，函数值趋近于1。 对于A，，当时，，与图象不符，故排除A； 对于B，，由解得，定义域为，与图象定义域不符，故排除B； 对于C，，定义域为；验证奇偶性：，为奇函数；，时，，故，符合图象特征，故C正确； 对于D，，当时，，故，与图象不符，故排除D. 6．（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）下图对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图象可知，图象关于原点对称，函数为奇函数， 对于A，，为奇函数， ，接近，符合题意； 对于B，，为偶函数，不符合题意； 对于C，，为奇函数， ，远小于，不符合题意； 对于D，，为偶函数，不符合题意. 7．（25-26高三下·天津·期末）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象的特征，逐一判断各个选项，利用排除法即可解答. 【详解】由函数的部分图象可知： 函数在处无意义；当时，；当时，；等. 对于选项A：因为分母， 所以函数定义域为，在处有意义，与函数在处无意义矛盾，故选项A不符合要求. 对于选项B：因为，与矛盾， 故选项B不符合要求. 对于选项C：因为恒成立，与时，矛盾， 故选项C不符合要求. 对于选项D： 要使函数有意义，须使，得，满足要求； 当时，有，则，满足要求； 当时，有，则，满足要求； ，满足要求. 8．（25-26高三下·天津静海·期末）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由，得，所以函数的定义域为， 又，所以函数为奇函数， 又时，，，所以，符合题意，故A正确； 对于B，由A知函数的定义域为， 又，所以函数为偶函数，不符合题意，故B错误； 对于C，由A知函数的定义域为， 又，所以函数为奇函数， 又时，，，所以，不符合题意，故C错误； 对于D，由，得，所以函数的定义域为， 又，所以函数为偶函数，不符合题意，故D错误. 题型三：画出具体函数图象 9．（25-26高三下·全国·课后作业）求下列函数的极值，并画出大致图象． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)极大值为，极小值为； (2)极小值为，极大值为； (3)极小值为，无极大值； 【详解】（1）由题可知函数定义域为，．令，解得． 当变化时，的变化情况如下表： 2 + 0 - 0 + ↗ 10 ↘ ↗ 由上表看出，当时，取得极大值，为；当时，取得极小值，为． 作出函数的大致图象，如图所示． （2）由题可知函数定义域为，．令，解得． 当变化时，的变化情况如下表： 1 - 0 + 0 - ↘ ↗ ↘ 由上表看出，当时，取得极小值，为，当时，取得极大值，为． 当时，，当时，， 由此作出函数的大致图象如图所示． （3）函数的定义域为，，令，得．当变化时，，的变化情况如下表： - - 0 + ↘ ↘ ↗ 由上表看出，当时，取得极小值，为，无极大值． 作出函数的大致图象如图所示． 10．（26-27高三上·全国·课后作业）画出下列函数的图象. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据函数的单调性及端点值作图即可. 【详解】（1）； 当时，单调递增；当时，单调递减； ，，，画出函数的图象如图： （2）； 当时，单调递减；当时，；当时，单调递增； ，，函数的图象如图： （3）定义域为，化简得. 在定义域内单调递增，函数的图象如图： 【点睛】 11．（26-27高三上·全国·课后作业）画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）通过分离常数把分式函数化成反比例平移型，借助图象平移或对称中心确定函数图象，由渐近线得到值域； （2）分段分别求出各段函数取值范围再取并集，结合函数图像观察纵坐标整体变化得到值域； （3）先画出内层二次函数图像，把轴下方部分沿轴向上翻折，观察翻折后图像纵坐标得到函数值域； （4）先画出函数在轴及右侧部分图像，利用偶函数关于轴对称补全左侧图像，观察图像纵坐标得到值域； （5）去掉绝对值将函数改写为分段函数，画出分段函数图像，依据图像纵坐标范围读出函数的值域. 【详解】（1）法一：，其图象为的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得， 如图所示： 由图可得其值域为； 法二：分离常数，则函数取不到的点即为二四象限反比例函数的对称中心，可直接利用函数对称中心画出反比例函数平移后的图像 （2）的图象如图所示： 由图可得其值域为； （3）先作出的图象，然后保留轴上以及轴上方的部分，将轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （4）先作出的图象，然后保留轴上以及轴右侧的部分， 将轴左侧的图象换成与轴右侧的图象关于轴对称的图象， 得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （5）将原解析式中的绝对值去掉，化为分段函数，它的图象如图所示： 由图象得函数的值域为. 12．（26-27高三上·全国·课堂例题）画出下列函数的图象并根据图象求单调区间： (1)； (2) 【答案】(1)； 递增区间为，递减区间为 (2)； 递增区间为，递减区间为． 【详解】（1）的图象如下图． 由图象可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）的图象如下图． 由图象可得函数的递增区间为，递减区间为． 题型四：函数图象的变换 13．（26-27高三上·山东泰安·阶段检测）已知，则函数的图象关于（     ） A．点对称 B．点对称 C．点对称 D．点对称 【答案】B 【分析】先求的对称中心，结合图象变换可得答案. 【详解】因为，所以，即的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象，先向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到， 所以函数的图象关于点对称. 14．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】B 【详解】由， 所以将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），即可得到函数的图象． 15．（26-27高三上·全国·课后作业）抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，恰好过坐标原点，则的值为________. 【答案】或 【详解】抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，可得， 把代入可得：，即，解得或. 16．（26-27高三上·北京·开学考试）下列选项中，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，，的图象可由的图象向上平移个单位而得，A不是； 对于B，，的图象可由的图象向左平移个单位而得，B不是； 对于C，，的图象可由的图象向左平移个单位而得，C不是； 对于D，的图象可由的图象上所有点的横坐标变为原来的而得（纵坐标不变），D是. 题型五：函数图像的应用 17．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数若，的值域均为，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析函数和的性质，画出大致图象，再根据两分段函数的分段点的位置进行分类讨论，验证是否对任意的都满足的值域是. 【详解】设，， 对于函数，其图象大致如下： 若，函数在上的值域为， 若，函数在上值域为， 若，函数在上的值域为； 对于函数，当时，则函数，显然此时无法满足题意，故； 当时，函数图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，图象大致如下： 若，函数在上的值域为， 若，函数在上的值域为； 当时，考虑到若，则此时的值域应为，不满足题意，故 下面对进行分类讨论： 当时，函数和的图象如下： 此时，若，此时的值域为，要保证值域为，则或，与题意不符； 当时，即，函数和的图象如下： 若，则的值域为，满足题意； 若，则的值域为，满足题意； 若，则的值域为， 由函数图象的对称性可知，，因此此时值域为，满足题意； 若，则的值域为， 考虑函数，当且时，且，故， 因此此时值域为，满足题意； 所以当时，对，值域为. 当时，即时，函数和的图象如下： 若，则的值域为，满足题意； 若，则的值域为，满足题意； 若，则的值域为，满足题意； 若，则的值域为， 考虑函数，当且时，且，故， 因此此时值域为，满足题意； 所以当时，对，值域为. 综上所述，实数的取值范围为. 18．（26-27高三上·北京·期中）设是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】由图可知在上，的解集为， 因为是定义在上的偶函数， 所以在上，的解集为， 所以不等式的解集为. 19．（26-27高三上·广西南宁·阶段检测）已知函数，若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】令，在同一坐标系中作出和的图象，结合条件与图象可得，，从而可得，再求出的取值范围，即可求解. 【详解】当时，，对称轴为，且， 令，在同一坐标系中作出和的图象，如图所示， 因为，，，是方程的四个根，则由图可知，， 且，，所以， 则，令，则， 易知在区间上单调递增，所以， 则，所以的取值范围是. 20．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知函数，则（   ） A．函数为单调递减函数 B． C．若，恒成立，则 D．函数，与函数的图象所有交点纵坐标之和为 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性及单调性的性质判断A；结合指数运算得即可判断B；结合函数的对称性，参变分离得在有解，然后利用指数函数的单调性求得函数最值即可判断C；画出两个函数在同一坐标系下的图象，根据对称性和周期性求和判断D. 【详解】对于A，易知当时，；当时，， 由单调递增可得在以及上分别为单调递减函数，故A错误； 对于B，易知函数满足， 因此可得关于对称， 由于，所以，故B错误； 对于C，由，，即， 即在有解，因为，所以， 所以，所以可得，解得，故C错误； 对于D，函数以及的如下图所示： 易知也关于对称，所以， 且的周期 ，一个周期与有两个交点， 所以与在共对交点（个交点）， 每对交点的纵坐标之和为， 即，故D正确. 题型六：根据实际问题作函数图象 21．（25-26高三下·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    【答案】④ 【详解】由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加； 对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点，故符合题意的是④. 22．（2026高三上·山东枣庄·学业考试）某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象呈上升趋势以及上升速度分析可得答案. 【详解】依题意可知，关于的函数图象呈上升趋势，故B和D都错误； 由于该同学是先走后跑，所以关于的函数图象上升速度是先慢后快，故A错误，C正确. 故选：C 23．（25-26高三上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项. 【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 24．（2026·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，，求出解析式，然后可知图象. 【详解】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 题型七：利用函数的图像研究函数的性质、最值 25．（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 26．（25-26高三上·贵州遵义·期末）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且，则的最小值为_______ 【答案】/ 【分析】先画出分段函数图象，确定的范围，由结合对数运算可得，与分别利用均值不等式求最小值，确认取等条件相同，即可得最小值. 【详解】作出函数的图象如下： 令可得或 则，，，， 由，得，即， ， 当且仅当时，等号成立，此时； 又， 当且仅当时等号成立，此时. 所以的最小值为. 27．（25-26高三上·湖南衡阳·期末），用表示，中的最小者，记为.记的最大值为，表示不超过的最大整数，如：，，若，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】画出函数，的大致图象，易知，则，结合新定义即可求解. 【详解】画出函数，的大致图象如下图所示， 则的图象为图中粗线部分，所以. 因为，， 所以，即，所以. 故选：B 28．（25-26高三上·山西运城·期末）（多选）已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的最大值是 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象与直线有三个交点 【答案】AD 【分析】选项A，根据奇函数的定义可判断；选项B，根据由函数是奇函数，考虑时，由的正负分为和分别求函数的值域即可；选项C由函数的定义域可判断；选项D结合函数的奇偶性和单调性画出图象即可判断. 【详解】选项A：由，得函数的定义域为， ，故函数是奇函数，A正确； 选项B：由于函数是奇函数，先考虑， 当时，， 此时函数在区间上单调递增， 因，故，， 当时，， 此时函数在区间上单调递减， 因时，，， 故时，， 由奇函数的性质，当时，，故B错误； 选项C：由函数的定义域为，可知函数的图象不关于直线对称，故C错误； 选项D： 如图所示，结合选项B可知， 当时，，当时，， 所以函数的图象与直线有三个交点，故D正确， 故选：AD 题型八：利用函数的图像解不等式 29．（25-26高三下·四川攀枝花·期末）定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得当时，单调递减，然后由奇偶性可得大致图象，据此可得答案. 【详解】注意到，则当时，单调递减. 又为上奇函数，为上奇函数， 则为上奇函数，为R上偶函数， 则在上单调递增，据此可得大致图象如下： 则. 30．（25-26高三上·江苏南京·期末）函数满足，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知不等式解集，即为函数图象在直线下方时的取值范围，作出函数图象，结合图象分析即可求出. 【详解】对于不等式，等价于， 不等式解集即为函数的图象在直线下方时的取值范围. 因为满足，当时，， 可得时，； 可得时，； 可得时，； 以此类推，可得函数的图象，如图所示： 由图象可知函数与的交点为， 所以不等式的解集为. 故选：B. 31．（25-26高三上·云南红河·期中）已知函数和的大致图象如图所示，则的解集为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定函数图象，分别确定函数值为正及为负时的取值范围，再求出不等式的解集. 【详解】观察图象，函数满足，当时，，当时，； 函数满足，当时，，当或时，； 由不等式，得，则， 所以原不等式的解集为. 故选：C 32．（2026·湖南郴州·三模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C．不等式的解集为 D．若函数恰有两个零点，则的取值范围为 【答案】CD 【分析】根据分段函数解析作出图象，结合图象逐项分析判断. 【详解】的大致图象如图所示： 由图象可知：的图象不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误； 在定义域内不单调，故B错误； 若，则或，即不等式的解集为，故C正确； 令，则， 原题意等价于与有2个交点，则， 所以的取值范围为，故D正确； 故选：CD. 题型九：利用函数的图像判断零点的个数 33．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，其中且．若关于x的方程的解集有3个元素，则a的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题意按系数的正负分类讨论，再数形结合给出等价不等式求解可得. 【详解】当时，，则有无数解，不合题意； 当且时，，， 则方程在区间内无解，在有唯一解， 故方程有且仅有一解，不合题意； 当时，， 如图，作出函数的大致图象， 要使关于x的方程的解集有3个元素， 则，解得. 综上所述，a的取值范围为. 故答案为： 34．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）若，则关于的方程的实数根的个数为________． 【答案】 【分析】先去掉绝对值将原方程拆分为与，构造偶函数，借助导数分析单调性，求得最小值，结合偶函数图像对称性，判断两条水平线与函数图像各有个交点，共个实数根． 【详解】由，得或， 设，则，， 设，则恒成立，所以是增函数， 所以时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为的定义域为，且， 所以是偶函数，而， 如图，作出符合题意的图形， 结合的图象知，函数的图象与直线有两个交点，与直线也有两个交点， 所以方程有两个解，方程也有两个解， 所以有个解． 35．（26-27高三上·山东泰安·阶段检测）设函数，若函数有四个零点，，，，且，则k的取值范围是______，______． 【答案】 【分析】作出分段函数的图象，利用数形结合的思想确定k的取值范围，再根据二次函数的性质以及对数函数的性质可求解的值. 【详解】设，则， 作出的图象如下， ， 函数有4个零点，等价于方程有4个不相等的实数根， 所以数形结合可知，，所以， 由图可知，， 由二次函数的对称关系可得，， 又由图可知，所以， 则有，所以， 所以. 36．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知函数．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，转化为和的图象有两个不同的交点，画出函数的图象，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有两个不同的零点，可得有两个不同的实数解， 即方程有两个不同的实数解， 即和的图象有两个不同的交点， 因为函数，画出函数的图象，如图所示， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 题型十：利用函数的图像求恒成立、存在的问题 37．（2026·江西·二模）已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为__________. 【答案】 【分析】利用分类讨论思想，分和两种情况，第一种情况直接解不等式，结合反比例函数,可得答案；第二种情况利用数形结合思想，结合题意建立不等式组，可得答案. 【详解】当时，由，可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，此时不存在； 当时，由对任意的恒成立， 作出的大致图象，如图所示： 由题意可知，又是整数， 所以或或. 故答案为：. 38．（25-26高三上·广西·阶段检测），，使得恒成立，则整数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】在同一直角坐标系中作出与的图象，结合图象分分类讨论即可得正确的选项. 【详解】由得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，,                              在同一直角坐标系中画出与的图象， 当时，取，则即即， 故在上恒成立，但当时，， 故不成立， 若，在上为增函数， 在上为减函数，而，， 故在上仅有一解， 此时取，结合图象可得恒成立， 所以整数的最小值为1. 故选：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是先利用特殊值排除非正整数，再根据数形结合求解. 39．（26-27高三上·河南郑州·阶段检测）已知函数，若存在实数，，满足，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】画出函数的图象，利用图像确定a，b，c的位置及范围，利用进而得到关于a，b，c的等式，将转化为只有b的式子，利用b的范围，即可求的范围. 【详解】作出图象如下： 因为，且， 则，且， 则， 所以， 因为，所以. 40．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数. ①函数的零点个数为________； ②若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是________. 【答案】 . 【分析】①分段函数零点分段求解，注意零点要落在对应定义域内. ②方程有三个不同的根等价于直线与函数图象有个不同的交点，比较分段点处左右函数值大小，结合图象单调性得到参数范围. 【详解】①当时，若，由可得，符合题意， 若，则，即函数在上无零点； 当时，， 若，由得，符合题意， 若，则，即函数在上无零点； 当时，若，由可得，舍去； 若，由得，符合题意. 综上所述，函数的零点个数为个. ②如下图所示，当时，若要满足题意，需要，解得； 当时，， 此时函数在上单调递增，在上单调递减， 故不存在，使得关于的方程有三个不同的根； 当时，若要满足题意，需要，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为. 1．（26-27高三上·陕西咸阳·阶段检测）函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，函数 的定义域为 ， ， 所以函数 为奇函数， 其图象关于原点对称，故排除选项C； 当时，，， 所以， 即轴右侧的图象应在轴上方，故排除选项B； 当时，， 当 时，， 排除选项A，选项D符合题意. 2．（25-26高三下·江西九江·期末）已知函数的图象大致如下，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇偶性排除BD，由特殊点函数值排除A，得到答案 【详解】由的图象关于轴对称，可知是偶函数， 对于A，定义域为R，， 故为偶函数，但与图象不吻合，A错误. 对于B，，故不为偶函数，B错误； 对于D，，不为偶函数，D错误； 对于C，定义域为R，且， 故为偶函数，且，故C满足要求； 3．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象.再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合.则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数的伸缩变换和平移变换推导得出，再逐一验证选项是否满足该恒等式即可. 【详解】将图象上点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，可得； 根据函数平移“左加右减”的规则，将向右平移个单位长度，所得函数为， 由题意该函数与重合，因此有恒等式： 选项A：，则，不满足恒等式，A错误； 选项B：，则，不满足恒等式，B错误； 选项C：，则，不满足恒等式，C错误； 选项D：，则，满足恒等式，D正确. 4．（26-27高三上·辽宁·期中）设，若有且仅有两个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据解析式作出函数的图像，上下平移直线，使其与图像有且仅有两个交点，得出的范围. 【详解】由题意可知，当时，，则此时在上为单调递减，且值域为. 当时，由 可知，函数是以为周期的周期函数， 且， 结合函数的图像，当满足时，与有且仅有两个交点， 即有且仅有两个解. 5．（26-27高三上·湖南邵阳·开学考试）已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先画出分段函数图象，由四个根确定参数，分别利用抛物线的对称性和对数函数的对称性，求出和，最后通过换元，利用对勾函数的单调性求出比值的取值范围． 【详解】画出函数图象如图所示， 由有四个根，结合图象可知，直线与函数图象有四个交点， 所以，，且 令得： 所以，因此 所以，令，因为，所以， 所以，令， 根据对勾函数单调性，在上单调递增，所以， 所以 6．（25-26高三下·北京东城·阶段检测）已知函数，其中为自然对数的底数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先将方程的根转化为函数图像交点，分区间讨论求出参数的范围 ，再解方程，分,两段统计零点总数. 【详解】方程有三个不同的实数根，等价于与的图象有三个交点. （1）当时，，，联立得，解得（舍）或， 若，则与有一个交点，若，则与无交点； （2）当时，，，联立得， 当时，方程无解，当时，可化为，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取得最小值，又时，，时，， 所以当时，方程有且仅有一个解，即方程有且仅有一个实数根； 当时，方程有两个解，即方程有两个不同的实数根. 综上，若方程有三个不同的实数根，则. 求的零点，即求方程的根， 当时，由，解得，方程只有一个根； 当时，由整理得， 因为，且，所以方程有两个不同的负根， 综上，方程有三个不同的实数根，即的零点个数为. 7．（25-26高三上·山西晋城·期末）已知为定义在上的奇函数，，当时，单调递减，当时，单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数奇偶性、单调性画出的大致图象，结合图像即可求解； 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以．又，所以．根据题意作出的大致图象如图所示，   等价于或由图可得． 故选：D 8．（2026·北京昌平·二模）已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围. 【详解】因为，令，作出图象，如图所示， 令，由图知，要使对任意的都有恒成立，则必有， 当时，，由，消得到， 由，得到，即，由图可知， 故选：B. 9．（25-26高三上·广东惠州·阶段检测）（多选）已知定义域为的函数满足，在解析式为，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．若函数在内恒成立，则 C．对任意实数，的图象与直线最多有6个交点 D．方程有4个解，分别为，，，，则 【答案】BD 【分析】根据定义域为的函数满足可得到函数为奇函数，由在上的解析式，作出函数在上的图象，运用数形结合法求解本题. 【详解】解：因为定义域为的函数满足， 即， 所以函数为奇函数， 因为在解析式为， 故作出函数的图象，如图所示. 选项A：由图可知，当时，函数单调递减，当时，函数单调递减， 但当，并不是随着增加而减少， 故选项A错误； 选项B：因为函数在内恒成立， 所以由图象可知， 由解得，， 所以， 故选项B正确； 选项C：取时，如图所示，    当时，联立方程组， 化简得， 设函数， 因为且对称轴为， 所以方程在上有两个不相等的实数根， 设，， 因为函数在上单调递增， 且，， 所以在在只有一个零点， 所以直线与函数图象在有1个交点， 所以当时，直线与函数图象有3个交点， 因为函数与函数均为奇函数， 所以当时，直线与函数图象有3个交点， 又当时，直线与函数图象有1个交点， 所以此时直线与函数图象有7个交点， 故选项C错误； 选项D：当时， 则根据图象可得的4个解所在大致范围为，，，，    因为有4个解， 所以， 所以，解得， 所以， 由二次函数的对称性可知，的解、满足， 因为函数为奇函数，且当时解析式为， 所以当时解析式为， 所以， 所以有，即， 所以， 设，， 又因为函数在单调递增， 所以， 所以， 所以选项D正确， 故选：BD. 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 10．（河南湘豫联考2026-2027学年高三上学期10月考试数学试卷）（多选）定义为，，中的最小值，设，若方程在区间上有8个不同的实数根，则实数的取值范围为下列哪些集合的子集（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合函数图象可知，方程有4个不同的实数根时的取值范围为，再求出函数在上有2个不同的零点时的条件即可. 【详解】如图，画出在上的图象，观察图象可知，， 令，当时，方程有4个不同的实数根， 方程在上有8个不同的实数根， 所以函数在上有2个不同的零点， 所以解得. 实数的取值范围为，是AC选项中集合的子集. 11．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用函数的图象变换，得到函数的图象关于直线对称，令，得到关于的方程，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象， 再向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示， 则函数的图象关于直线对称，令， 因为函数最小的零点为，且， 故当时，方程有4个零点， 所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或， 由，可得或， 设的四个根从小到大依次为， 由函数的图象关于直线对称，可得， 所以的所有零点之和是6，故D正确； 关于的方程的两个实数根为和， 由韦达定理，得，，所以， 所以B，C正确，A错误. 12．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）设函数，则________；若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为________. 【答案】 2 【详解】，. 草图如下： 时，时， 故有两个不相等的实数根可转化为函数的图像与直线的图像有两个交点，所以. 13．（26-27高三上·天津和平·开学考试）已知函数，若函数有且仅有个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】将问题转化为函数与有且仅有两个不同交点；作出图象，通过分析在不同范围内时，与的交点情况，确定临界状态，通过图象或不等式可求得符合题意的的取值范围. 【详解】由得：， 当时，，，等式成立，则为的一个解； 当时，有且仅有两个不同的解； 令，则与有且仅有两个不同交点； 在平面直角坐标系中作出的图象如下图所示， ①当时，与位置关系如下图所示， 由图象可知：与在上上有且仅有两个不同交点，在上无交点，符合题意； ②当时，与位置关系如下图所示， 由图象可知：与在上有且仅有一个交点，在上无交点，不合题意； ③当时，与在上有且仅有一个交点， 若与有且仅有两个不同交点，则与在上有唯一交点； 若与相切，则有唯一解， ，解得：，此时切点为，符合题意，； ④当时，与位置关系如下图所示， 由图象可知：与在上有且仅有一个交点，在上有且仅有一个交点，符合题意； ⑤当时，与位置关系如下图所示， 由图象可知：与在上有且仅有一个交点，在上有两个不同的交点，不合题意； ⑥当时，与位置关系如下图所示， 由图象可知：与在上无交点，在上有且仅有两个不同交点，符合题意； ⑦当时，与无交点，且与无交点； 若与有且仅有两个不同交点，则需与有且仅有两个不同交点， 由与得：， ，解得：，即， 此时两交点为，满足，，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 14．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质结合一元二次不等式的解法可求不等式的解集. 【详解】因为满足，所以为奇函数，结合图象可知， 当或时，；当或时，. 对于可分为两种情况： 情况一：，即，解得， 情况二：，即，解得， 所以不等式的解集为. 15．（25-26高三下·福建福州·期末）已知． (1)判断的单调性，并求出的极值； (2)画出的大致图象； (3)判断方程的解的个数． 【答案】(1) 单调递减 单调递增 极小值为，无极大值 (2) (3)当或时， 方程的解有1个；当，方程的解有2个． 【分析】（1）将函数求导，利用导函数的符号确定函数的单调区间，即可求得其极值； （2）根据（1）的推理，分析函数的图象趋势，即可作出函数的大致图象； （3）将问题转化成函数的图象与直线的交点个数，数形结合即得. 【详解】（1）的定义域为，求导得 令，解得， 将对应的的情况列表： 单调递减 单调递增 由表可知，当时，有极小值，极小值为； （2）根据（1）的分析，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值，当时，，当时，. 故可作出该函数的大致图象如下： （3）方程的解的个数就是函数的图象与直线的交点个数. 由（1），（2）可知，当时，方程的解有0个； 当或时， 方程的解有1个； 当时，方程的解有2个． 16．（25-26高三下·全国·期末）作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合反比例函数图象，及图象的平移变换即可作出图象； （2）写出函数的分段形式，结合二次函数图象，及图象的翻折变换即可作出图象； （3）写出函数的分段形式，结合指数函数图象，及图象的平移，翻折变换即可作出图象． 【详解】（1）由， 其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 所以的图象如下图所示： （2）由， 所以的图象如下图所示： （3）对于，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则的图象如下图所示： 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $