专题03 轴对称（知识&考点&公式&10高频&8易错&3重难&6模型，期中知识清单）八年级数学上学期新教材人教版

专题03 轴对称 目 录 识记类 思维导图 知识清单(10类) 考点清单（6类) 公式清单(14类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单（10类) 易错题型清单(8类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点1 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 知识点2 轴对称性质 ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. ②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. 知识点4 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点5 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点6 等腰三角形的概念与性质 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3. 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 知识点7 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点8 含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 知识点9 直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 知识点10 将军饮马-最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. ■考点・01・轴对称图形与成轴对称的概念 考点内容：轴对称图形（一个图形自身沿直线对折后两边重合）；两个图形成轴对称（两个图形沿直线对折能够重合）；对称轴是直线；识别对称轴数量。 常见考法：①判断一个图形是不是轴对称图形；②区分 “轴对称图形” 和 “两个图形成轴对称”；③找出图形所有对称轴。 ■考点・02・轴对称的性质 考点内容：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；对应线段相等、对应角相等。轴对称图形的对称轴，也是对应点连线的垂直平分线。 常见考法：利用轴对称性质求线段长度、角度；根据对称找点。 ■考点・03・线段的垂直平分线 考点内容：线段垂直平分线定义；性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；判定定理：到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。 常见考法：利用垂直平分线性质转化等线段；证明点在线段垂直平分线上。 ■考点・04・等腰三角形的性质与判定 考点内容：等腰三角形等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边上中线、底边上高重合）；判定：等角对等边。 常见考法：角度计算；利用三线合一证明线段垂直、线段相等、角相等；证明三角形为等腰三角形。 ■考点・05・等边三角形性质与判定 考点内容：等边三角形三边相等，三个内角都是60°；判定：三边相等 / 三角相等 / 有一个角60°的等腰三角 形是等边三角形；含30°角直角三角形性质30°角所对直角边等于斜边一半。 常见考法：角度、边长计算；等边三角形证明；30°直角三角形边长转化。 ■考点・06・最短路径问题（将军饮马、造桥选址） 考点内容：利用轴对称，将折线段之和转化为两点之间线段；原理：两点之间线段最短；垂线段最短。 常见考法：作图找动点位置；求两条线段之和最小值；证明最短。 1 轴对称 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 轴对称的性质 若点A、A′关于直线l对称，则直线l垂直平分线段AA′；若△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对称点连线被对称轴垂直平分；对称图形对应线段相等、对应角相等 2 线段垂直平分线性质 若点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB 垂直平分线上任意一点，到线段两个端点距离相等 3 线段垂直平分线判定 若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 2.等腰三角形的性质和判定 序号 名称 公式（几何语言） 说明 4 等腰三角形性质（等边对等角） 在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C 两条边相等⇒对应的两个底角相等 5 等腰三角形三线合一 在△ABC中，AB=AC ①若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD=DC ②若AD是BC中线，则AD⊥BC，AD平分∠BAC ③若AD⊥BC，则BD=DC，AD平分∠BAC 等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合；仅限顶角与底边 6 等腰三角形判定（等角对等边） 在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC 两个角相等⇒对应的两条边相等 3.等边三角形的性质和判定 序号 名称 公式（几何语言） 说明 7 等边三角形性质 若△ABC是等边三角形，则AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60∘ 三边相等，三个内角全部为60∘，有 3 条对称轴 8 等边三角形判定 1 在△ABC中，若AB=BC=AC，则△ABC是等边三角形 三边都相等的三角形为等边三角形 9 等边三角形判定 2 在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC是等边三角形 三个内角都相等的三角形为等边三角形 10 等边三角形判定 3 在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=60∘，则△ABC是等边三角形 有一个内角是60∘的等腰三角形，一定是等边三角形 11 含30∘角的直角三角形性质 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，则BC=AB 直角三角形中，30∘锐角所对直角边等于斜边的一半 4.等腰三角形的性质和判定 序号 名称 公式（几何语言） 说明 12 两点之间线段最短 两点A,B之间，线段AB长度最短 将军饮马模型核心公理；折线段和通过轴对称转化为两点连线 13 将军饮马（直线同侧两点） 直线l同侧两点、，作点A关于直线l对称点A′，连接A′B交直线l于点P，此时PA+PB=A′B最小 PA=PA′，PA+PB=PA′+PB；依据两点之间线段最短 14 垂线段最短 点A到直线l，垂线段长度最短 造桥选址、垂线型最短路径的依据 ■辨析・01・轴对称图形 vs 两个图形成轴对称 辨析内容：轴对称图形描述一个图形自身沿直线对折，直线两旁部分完全重合；两个图形成轴对称描述两个独立图形沿一条直线对折后能够重合。 两者可以互相转化：把成轴对称的两个图形看成整体，就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分开，得到两个成轴对称的图形。 易错说法：两个图形成轴对称，合在一起也不是轴对称图形（×）。 ■辨析・02・对称轴是直线，不是线段、射线 辨析内容：对称轴的定义是直线。等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在直线，不能只写顶角平分线（这是线段）。 易错说法：等腰三角形的对称轴是底边上的高（×，高是线段；对称轴是这条高所在直线）。 ■辨析・03・线段垂直平分线：性质与判定条件不能颠倒 辨析内容： 性质：点在线段垂直平分线上 ⟹点到线段两端距离相等（用来证线段相等）。 判定：点到线段两端距离相等 ⟹点在线段垂直平分线上（用来判定点的位置）。 易错说法：到线段两端距离相等的点的连线，就是线段的垂直平分线（×，只能说明这个点在垂直平分线上）。 ■辨析・04・等腰三角形 “三线合一” 仅限顶角与底边 辨析内容：三线合一 = 顶角平分线、底边上中线、底边上的高互相重合。底角不具备三线合一，不能随便套用到底角上。 易错说法：等腰三角形任意角的平分线，都和对边上高、中线重合（×）。 ■辨析・05・等边三角形属于特殊等腰三角形 辨析内容：等腰三角形定义是至少两边相等；等边三角形三边都相等，所以等边一定是等腰，但等腰不一定是等边。 易错说法：等腰三角形就是等边三角形（×）。 ■辨析・06・\(30^\circ\)直角三角形性质，前提必须是直角三角形 辨析内容：只有直角三角形中，30°角所对的直角边 = 斜边；普通三角形不成立。 易错说法：三角形有一个角是 30°，那么它对的边等于另一边的一半（×）。 ■辨析・07・最短路径（将军饮马）同侧、异侧区分 辨析内容：两点在直线异侧：直接连接两点，连线与直线交点即为动点；两点在直线同侧，必须作对称点，转化为异侧再连线。 易错说法：直线同侧两点，直接相连交直线就得到最短路径（×）。 ■辨析・08・轴对称只改变位置，不改变图形大小形状 辨析内容：轴对称变换是全等变换，变换前后图形全等，边长、角度、周长、面积全部不变，仅位置改变。 易错说法：图形经过轴对称之后，大小会改变（×）。 ■辨析・09・关于 x 轴、y 轴对称点坐标符号规律 辨析内容：点(x,y)关于x轴对称：((x,-y)（x 不变，y 变号）；关于y轴对称：(-x,y)（y 不变，x 变号）。 易错说法：点关于 x 轴对称，横坐标变号（×）。 ■辨析・10・等边三角形有 3 条对称轴，等腰（非等边）只有 1 条 辨析内容：普通等腰三角形只有 1 条对称轴；等边三角形三条边都可以作为底边，共 3 条对称轴。 易错说法：等腰三角形都有 3 条对称轴（×）。 【题型一】识别轴对称图形、数对称轴数量 【例1】（26-27八年级上·重庆·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：选项C中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形，符合题意； 选项A、B、D中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形，不符合题意． 【变式1-1】（26-27八年级上·江西·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴， 【详解】解：A、B、C选项的图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故选项不符合题意； D选项的图形能找到对称轴，是轴对称图形，故本选项符合题意． 【变式1-2】（2026·辽宁抚顺·一模）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据对称轴的定义解题即可． 【详解】解：如图，对称轴一共有5条． 【题型二】利用轴对称性质求线段长度、角度 【例2】（26-27八年级上·福建·期中）如图，与关于直线对称，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的性质推出，再根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵与关于直线对称，且，， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 【变式2-1】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，若与关于直线对称，则下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，， ∴只有选项B符合题意． 【变式2-2】（25-26七年级下·广东河源·期末）在广州博物馆里，藏有不少青铜器，其中有明确信息的青铜礼器，是战国时期的件铜编钟，该编钟1975年出土于增城石滩氮肥厂．如图①是编钟的一种．小颖绘制了编钟从正面看到的轮廓如图②所示，她发现绘制的轮廓是关于对称的轴对称图形，则下列结论错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵绘制的轮廓是关于对称的轴对称图形， ∴，故A选项正确，不符合题意； 垂直平分，故B选项正确，不符合题意； ，无法判断的度数，故C选项错误，符合题意； ，故D选项正确，不符合题意． 【题型三】线段垂直平分线性质求边长、周长 【例3】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，进而可得的周长为，即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 【变式3-1】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点、,作直线分别交、于点、,连接.若,则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可得，由垂直平分线的性质可知，根据角之间的关系即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 由尺规作图可知，是的垂直平分线， ， ， ． 【变式3-2】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点、,作直线分别交、于点、,连接.若,则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可得，由垂直平分线的性质可知，根据角之间的关系即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 由尺规作图可知，是的垂直平分线， ， ， ． 【题型四】等腰三角形边长、角度基础计算 【例4】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）泉塘中学英歌队的队旗是等腰三角形，若它的顶角为，则它的一个底角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为，顶角为， ∴一个底角的度数为. 【变式4-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形顶角是，则一腰上的高与底边的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的应用．作出示意图，先根据两底角相等、内角和为180度计算出，再根据直角三角形中两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图所示，等腰中，， ， ， ， ， ， 即一腰上的高与底边的夹角是， 故选：A． 【变式4-2】（七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知等腰三角形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，得到∠ABC=∠ACB=∠BEC=70°，从而得到∠EBC=40°，故可求∠ABE=∠ABC-∠EBC=70°-40°，计算选择即可． 【详解】解：因为AB=AC，BE=BC，∠A=40°， 所以∠ABC=∠ACB=∠BEC=70°， 所以∠EBC=40°， 所以∠ABE=∠ABC-∠EBC=70°-40°=30°， 故选C． 【点睛】本题考查了等边对等角及三角形内角和定理，熟练掌握等边对等角的性质是解题的关键． 【题型五】证明等腰三角形（等角对等边） 【例5】（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，在中，，点在上，点在上，射线交的延长线于点，．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：， ， ． ， ， ， 是等腰三角形. 【分析】先证明，进而得到，等量代换结合等角对等边，推出，即可得证． 【详解】略 【变式5-1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）中，D 是中点，，垂足 E、F．判断 形状并证明． 【答案】是等腰三角形，见解析 【详解】解：是等腰三角形，证明如下： ∵， ∴． 在和中： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式5-2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，平分的外角，．求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵平分的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识，数形结合是关键，根据角平分线的定义，平行线的性质得到，结合等腰三角形的定义即可求解． 【详解】略 【题型六】等边三角形性质计算与判定证明 【例6】．（25-26八年级下·内蒙古·期末）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) (3)证明： ， ， 在和中， ，   ， ， 由（1）得，即 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得到，由得，则． （2）先求得，由平移得，则，即可等量代换，则． （3）由，求得，可根据“”证明，得，而，所以，即可根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，垂足为， ， ， 的度数是． （2）解：，， ， ∵是由沿方向平移得到的， ∴ ∵， ， ， ， ∴的长是． （3）略 【变式6-1】（26-27八年级·上海·暑假作业）等边中，点在△内，点在△外，且，，问是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【答案】等边三角形， 理由： 为等边三角形， ． 在与中， ， ． ，． ， ， 是等边三角形． 【分析】先证得，再证，从而得出是等边三角形． 【详解】略 【题型七】含 30° 角直角三角形边长计算 【例7】（2026·陕西西安·三模）如图，在以为底边的等腰中，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，根据题意可得，由得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， 在以为底边的等腰中， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式7-1】（25-26八年级上·湖南永州·期末）如图，在中，，点D为斜边上的中点，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后求出，证明出是等边三角形，即可得到． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点D为斜边上的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴． 故选：B． 【变式7-2】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】过作于，根据得到，再根据中线得到，最后根据计算即可． 【详解】解：过作于， ∵，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴． 【题型八】平面直角坐标系内求对称点坐标 【例8】（26-27八年级上·黑龙江·期中）若点关于轴的对称点为，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确点关于x轴对称的坐标变化规则，再将已知点的横坐标直接保留，纵坐标取相反数，即可得到对称点的坐标． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴的坐标为． 【变式8-1】（26-27八年级上·四川·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于x轴的对称点坐标是． 【变式8-2】（25-26八年级上·广东汕头·期中）已知点与点关于x轴对称，则a＋b的值为（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据“关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴ 则． 【题型九】将军饮马基础作图 + 最短长度求解 【例9】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点关于的对称点，作于M，交于P，此时，根据垂线段最短，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式9-1】（25-26八年级上·广东中山·期末）如图，点P，Q在直线l的同一侧，现需在l上找一点M，使得的和最小，下列做法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对称的性质以及两点之间线段最短，理解两点之间线段最短是解题的关键． 作Q点关于l的对称点，连接与l的交点为M，此时最小． 【详解】解：∵点P，Q在直线l的同侧， ∴作Q点关于l的对称点，连接与l的交点为M， 由对称性可知， 此时，最小， 故选：D． 【变式9-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（   ） A．12 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，由于，即可求出周长的最小值． 【详解】解：连接， 垂直平分， ， ， ， ， 故周长的最小值是， 故选：C． 【题型十】等腰、等边三角形与全等简单综合 【例10】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ． ， 是等边三角形； (2)证明：是等边三角形， ． ， ，即． 在与中， ， ， ． 【分析】(1) 首先由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； (2) 由是等边三角形可得，，进而得出，然后由证明，最后可得． 【详解】（1）略 （2）略 【变式10-1】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在等边中，，与交于点P，，垂足为Q． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）先根据等边三角形的性质证明，可得，再证明，然后根据三角形外角的性质求出； （2）先根据直角三角形的性质求出，进而得出，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴； （2）解：在中，，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式10-2】（22-23八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，，D是上一点，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）由直角三角形两锐角互余得到，由垂线的定义得到，则，据此利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三线合一定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式10-3】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，，，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，，，求与的周长之和． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ (2)证明： 由（1）得， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； (3)40 【分析】（1）先证明，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质得到，，则由等边对等角得到，则可证明，据此可证明结论； （3）求出的长，由全等三角形的性质得到的长，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴， ∵的周长， 的周长， ∴的周长与的周长之和 ． 【题型一】等腰三角形边长 / 角度忘记分类讨论 【例 1】（25-26八年级上·广东汕头·期中）等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分的角是顶角或底角两种情况分别求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若的角是顶角，则顶角为； ②若的角是底角，则顶角为； 综上所述，它的顶角的度数为或． 易错警示 题目没有指明腰与底、顶角与底角，必须分两种情况计算，算出结果后，检验三角形内角和、三边关系，舍去不成立答案。 【变式1-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和为求出第三个内角的度数，再根据三角形的分类标准判断三角形的类型即可． 【详解】解：∵三角形内角和为，已知两个内角分别为和 ∴第三个内角的度数为 ∴该三角形的三个内角分别为，，，三个角都小于，都是锐角，且三个角互不相等 ∴这个三角形是锐角三角形，不是钝角三角形、直角三角形，也不是等腰三角形． 【变式1-2】（22-23八年级上·江苏·期中）已知等腰三角形的周长为，一边长为，则此等腰三角形的底边长是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】等腰三角形的周长为，一边长为，分类讨论，是腰长是或者底边长是，再根据构成三角形的三边的关系判断是否符合，由此即可求解． 【详解】解：①周长为，腰长为， ∴三角形的底边长是，即三角形的两条腰长为，底边长是，根据构成三角形的三边的关系可知，不能构成三角形，更不可以构成等腰三角形，不符合题意； ②周长为，底边长为， ∴三角形的腰长是，即三角形的两条腰长为，底边长是，根据构成三角形的三边的关系可知，可以构成等腰三角形，符合题意， 故选：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，构成三角形的三边的关系，理解和掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【题型二】混淆对称轴，错把线段当成对称轴 【例 2】（23-24七年级下·四川乐山·期末）下列图形中，对称轴条数最少的是（   ） A．等边三角形 B．长方形 C．正方形 D．圆 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形及其对称轴的概念，解题的关键是准确判断等边三角形、长方形、正方形、圆这四种图形各自的对称轴条数，并比较得出条数最少的图形． 先分别确定每个选项图形的对称轴条数：等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴；再将各图形的对称轴条数进行比较，找出条数最少的图形对应的选项． 【详解】解：A、等边三角形沿三条高所在直线对折后两边能完全重合，故其有3条对称轴，此选项不符合题意； B、长方形沿两组对边中点连线对折后两边能完全重合，故其有2条对称轴，此选项符合题意； C、正方形沿两组对边中点连线及两条对角线所在直线对折后两边能完全重合，故其有4条对称轴，此选项不符合题意； D、圆沿任意一条直径所在直线对折后两边能完全重合，故其有无数条对称轴，此选项不符合题意． 故选：B． 易错警示 对称轴是直线。等腰三角形底边上的高、顶角平分线是线段，不能叫对称轴；对称轴是该线段所在的直线，填空极易丢分。 【变式2-1】（2023·山东青岛·一模）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的性质确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可． 【详解】解：A、只有一条对称轴； B、有三条对称轴； C、不是轴对称图形，没有对称轴； D、有两条对称轴； 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称． 【变式2-2】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）下列图形都是轴对称图形，其对称轴条数最多的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照对称轴的定义，针对每个选项的图形确定其对称轴的条数，最后选出对称轴条数最多的图形所对应的选项． 【详解】解：对于A选项：该图形有1条对称轴； 对于B选项：该图形有1条对称轴； 对于C选项：该图形有5条对称轴； 对于D选项：该图形有3条对称轴； 故图形对称轴条数最多的是5条，即C选项． 【题型三】误用等腰三角形三线合一到底角 【例 3】 （2023·内蒙古兴安·模拟预测）如图，在中，，，，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，，（三线合一）， 故选项A、C中结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故选项D中结论正确，不符合题意； ∵与不一定相等， ∴不一定正确，故选项B中结论不正确，符合题意． 易错警示 三线合一只适用于顶角 + 底边。底角的角平分线，不与对边上中线、高重合，不能直接套用三线合一。 【变式3-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，是边的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，是边的中点， ∴，即， ∵， ∴． 故选：A 【题型四】线段垂直平分线性质、判定写反逻辑 【例 4】 （2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)延长交于点，若．求证：是的中点． 【答案】(1) 证明：是的垂直平分线， ， ， ， ； (2) 证明：如图所示， ，， ∴点A和点D都在线段的垂直平分线上，即垂直平分， ∴是的中点． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的性质及其判定定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质和已知条件可证明，则可证明； （2）可证明垂直平分，则可证明是的中点． 【详解】（1）略 （2）略 易错警示 性质：点在垂直平分线上 ⇒ 到两端距离相等（用来证边相等）；判定：到两端距离相等 ⇒ 点在垂直平分线上（证点位置），证明过程条件结论不要颠倒。 【变式4-1】（25-26八年级上·云南怒江·阶段检测）如图，在中，D是上一点，过点D作于点E，于点F，，连接，． (1)求证：． (2)是否垂直平分？请说明理由． 【答案】(1) 证明：，， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． (2)垂直平分， 理由如下： ， ∴点D在线段的垂直平分线上． ， ， ∴点A在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，掌握全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定是解题的关键； （1）根据证明即可； （2）分别证明D，A在线段的垂直平分线上，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-2】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，于点，交于点． (1)若，，求的周长． (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1)的周长为 (2) 证明：由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，利用线段垂直平分线的性质得到线段相等是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质得，将的周长转化为即可得出； （2）先由得出，再结合利用余角性质得到，利用对顶角相等得，进而得，由等角对等边得，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得证． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长； （2）略 【题型五】忽略 30° 直角三角形前提条件 【例 5】 （26-27八年级上·全国·单元复习）如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则的长是________． 【答案】 【分析】过点P作于点D，则，根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点D，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 易错警示 “30° 角对直角边等于斜边一半”前提必须是直角三角形，普通三角形不能直接使用这个结论。 【变式5-1】（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，三角形纸片中，，，，折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E，则折痕的长为__________． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形的性质，三角形内角和，得到；根据折叠的性质，可以得到，继而得到，利用直角三角形的性质，解答即可． 【详解】解：，， ； 由折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E， ， ，； ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ． 【变式5-2】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于 __ ． 【答案】 【分析】连接，由垂直平分线的性质证得，从而证得，由含角的直角三角形的性质求出的长，即求出了的长． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【题型六】将军饮马不分同侧、异侧，直接连线 【例 6】 （25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，的面积为12，平分交于，，分别是和上的动点，连接，，则的最小值为________． 【答案】4 【分析】利用角平分线的轴对称性质作线段等量代换，借助两点之间线段最短、垂线段最短锁定最短路径，套用三角形面积公式算出高线长度，得到所求最小值． 【详解】解：作点关于的对称点，作边上的高，连接，如图： ∵平分， ∴点必在上， ∵点关于的对称点为， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵的面积是12，，边上的高为， ∴， 解得， ∴的最小值为4． 易错警示 两点在直线异侧，直接连线找交点；两点在直线同侧，必须作对称点转化，不能直接连接原始两点。 【变式6-1】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，在等腰中，，于点，两动点，分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和外角定理是解题的关键． 先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理求解． 【详解】解：过C作于F，交于，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 即当点三点共线，且时，的最小值为的长， ∴， 即当取得最小值时，． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，，，，在，上分别找一点，当的周长最小时，的度数是______． 【答案】/20度 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，由线段垂直平分线的性质得到，，从而得出，即当、、、四点共线时，周长最小，再根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ∵，， ∴， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 当、、、四点共线时，最小，即周长最小，如图， ， ， ，， ，， ，， ， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题等知识，得出当、、、四点共线时，周长最小是解题关键． 【题型七】坐标对称记错 x 轴、y 轴符号变化 【例 7】 （26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）点关于y轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【分析】平面直角坐标系中，关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，根据该规律求解即可． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标满足横坐标互为相反数，纵坐标不变，且点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标是． 易错警示 关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标变号(x,y)⟹(x,-y)；关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标变号((x,y)⟹(-x,y)，容易记反横纵坐标。。 【变式7-1】（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是__________． 【答案】 【分析】关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据该规律即可得结果． 【详解】解：∵ 关于轴对称的点满足横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴ 点的横坐标保持不变，纵坐标变为的相反数， ∴所求对称点的坐标为． 【变式7-2】（26-27八年级下·全国·课后作业）若点关于轴的对称点是，则______________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求出的值. 【详解】解：点与点关于轴对称， . 【题型八】等边三角形与等腰三角形概念混淆 【例 8】 （21-22八年级下·贵州毕节·期中）以下条件中，能判定三角形是等腰三角形的是（     ） A．三角形中有两个角分别是 B．三角形中有两个角分别是 C．三角形中有两个角分别是 D．三角形中有两个角分别是锐角 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义解答即可． 【详解】解：∵ 三角形内角和为， ∴ 选项A、B的第三个内角分别为、，均无相等内角，不是等腰三角形； 选项C的第三个内角为，有两个相等内角，则这两个相等的角的对边相等，故是等腰三角形； 选项D中，两个锐角无法确定是否相等，如两角为和时不是等腰三角形，不能判定． 易错警示 等边三角形属于特殊等腰三角形；等腰三角形只有两条边相等，内角不一定是 60°，不要默认等腰三角三个角都是 60°。 【变式8-1】（26-27八年级上·辽宁辽阳·开学考试）下列结论中，正确的是（    ） A．等腰三角形是等边三角形 B．等边三角形是等腰三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．等腰三角形一定是钝角三角形 【答案】B 【详解】解：有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形． ∵等边三角形是特殊的等腰三角形， ∴B正确，A错误． ∵等腰三角形的顶角可以为锐角、直角或钝角， ∴等腰三角形不一定是锐角三角形，也不一定是钝角三角形，C、D错误． 【题型一】线段垂直平分线多组等线段转化综合（周长、边长代换） 【例1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 【答案】11 【分析】先证出，则，，进而可得，再根据含角的直角三角形的性质求出的长，由此即可得． 【详解】解：是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1-1】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，为上一点，垂直平分，交于点，连接、，，若，，则的周长为__________． 【答案】 【分析】由垂直平分线的性质可得，利用等量代换可得的周长即为线段与之和． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴的周长为． 【变式1-2】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，的垂直平分线交于，则的周长是_______． 【答案】8 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于，的垂直平分线交于， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长是． 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D、E，的垂直平分线分别交于点，则的周长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得出，，则可求出的周长等于，从而可求出的周长． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 同理， ∴的周长， 故答案为：． 【题型二】等腰三角形多解分类讨论（边长 + 角度双分类） 【例2】（25-26八年级上·云南保山·阶段检测）如图，在等腰中，，，点在上，为边上的动点（不与点，重合），连接，，当点运动时，始终保持． (1)当时，试判断的形状，并说明理由； (2)当的最小值为3时，求此时的长； (3)在点的运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出此时的度数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) 解：为直角三角形． 理由： ，， ． ， ． ， ， ， 是直角三角形； (2)4.5 (3)能，的度数为或 【分析】（1）利用三角形内角和定理以及平行线的性质证明即可解答； （2）根据垂线段最短可知当时，取得最小值，求出的值即可解答； （3）分三种情况，由等腰三角形的性质分别求出的度数即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，取得最小值． ， ． 在中，，， ， ， ， ． 在中，， ， ． （3）解：能为等腰三角形． 分下列三种情况讨论： ①当时，， ． ， 此时点与点重合，不符合题意，舍去； ②当时，， ， ； ③当时，， ． 综上所述，当是等腰三角形时，的度数为或． 【点睛】本题考查三角形综合题，涉及等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质，平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东威海·阶段检测）如图所示，在中，，，D为的中点．如果点P在线段上，由点B出发向点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向点A运动．设运动时间为 (1)若点P的速度为，则时，______，______用含t的代数式表示 (2)在（1）的条件下，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒时与全等？请说明理由． 【答案】(1)，， (2) 解：经过1秒时与全等， 理由如下： ∵， ∴， ①当时，则，， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， 又∵点Q运动速度与点P的运动速度相等， ∴， ∵， ∴这种情况不成立； ②当时，则，， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵点P的速度为，点Q运动速度与点P的运动速度相等， ∴； 综上，若点Q运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒钟与全等． 【分析】本题考查了列代数，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意即可得到结论； （2）分两种情况讨论：①当时；②当时，根据全等三角形的性质求得对应边的长度，结合点Q运动速度与点P的运动速度相等验证，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点P的速度为， ∴，， 故答案为：，， （2）略 【变式2-2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 如图1，在中，已知，，是的高，，，过点C的直线．动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒． 【思考尝试】 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）： ______________， ______________．当t为多少时，的面积为？ 【深入探究】 (2)①如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？ ②请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)；；或 (2)①，， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； ②，理由如下， 如图，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ． 【分析】（1）根据运动速度和已知条件表示出和，分两种情况：当点D在线段上时，当点D在CB延长线上时，根据三角形面积公式列出关于t的方程，解方程即可； （2）①根据“”证明三角形全等即可；根据全等三角形的性质得出，再根据线段间的数量关系进行求解即可； ②证明，得出，根据线段间数量关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， 当点D在线段上时，， ， ， ， 解得：； 当点D在延长线上时，， ， ∴， 解得：； 综上，当t为或时，的面积为； （2）解：①略 ②略 【题型三】将军饮马多次对称（两动两定、双直线最短路径） 【例3】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探索最短距离 背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． 任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是__________米． 任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若． （1）求的最小值，并说明理由； （2）求周长的最小值． 任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值． 【答案】任务1：520米 任务2：（1）6，理由：由“两点之间线段最短”，当在与直线的交点时， ∴的最小值为． （2）10 任务3：9 【分析】本题考查了最短路径问题（涉及轴对称、垂直平分线的性质），解题的关键是利用轴对称或垂直平分线“到线段两端点距离相等”的性质，将折线路径转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解． 任务1通过作对称点，结合中点与的条件转化路径求最短距离； 任务2利用垂直平分线性质转化线段，结合线段最短求及三角形周长的最小值； 任务3作对称点转化折线路径，结合角度条件求面积和． 【详解】任务1 解：作关于河岸的对称点，设的中点为M，连接， ∵，且点到中点的距离为米， ∴到该中点的距离为米， ∵， ∴， ∴，， 又点C、M、D在同一条直线上，则, ∴, ∴点在同一条直线上， 最短距离（米）． 故答案为：． 任务2 （1）略 （2）解：∵直线是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的最小值为, ∴的最小值为6, ∴周长最小值． 任务3 解：作关于的对称点，关于的对称点，连接交于、交于，则此时，取得最小值．连接． 则，，，， ，， ∵，， ∴． 【变式3-1】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）【课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 【答案】 （1）①证明∶∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴垂直平分， 如图，在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴即是的最小值； ②最小值为；（） 【分析】（1）①在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，，则，，在中，根据三角形的三边关系即可得证；②先证，，再证 是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得解； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小，证和都是等腰直角三角形，得，再证，得，进而求得，从而得，即可得解． 【详解】解：（1）①略 ②解∶∵是等边三角形，点为中点， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小， ∴，， ∴， 由题意可得， ∵平分 ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质，等边对等角，角平分线的定义，熟练掌握两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质是解题的关键． 【模型一】垂直平分线等线段转移模型 模型要点：看到垂直平分线，直接得到点到两端距离相等，把线段转移，用来转化周长。 【例1】（26-27八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，若，的周长为7，则的周长为_________． 【答案】13 【分析】首先根据垂直平分线的定义和性质可得，，再由的周长为7，易得，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为7，即， ∴， ∴的周长． 【变式1-1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，，则的周长为_____． 【答案】10 【分析】根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的周长，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴， ∴的周长为： ∵， ∴， 故答案为：10． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，分别垂直平分，，垂足分别为，，且，，，连接．的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角度的和差关系，掌握线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 先连接，利用垂直平分线性质得，再用证明，得，设，根据和列方程求解． 【详解】解：如图，连接，，． ，分别垂直平分，， ，， ． 在和中， ， ． 设，， 则，， ，即． 故答案为：． 【模型二】等腰三角形三线合一模型 模型要点：等腰 + 顶角平分线 / 底边高 / 底边中线，知一推二；用来证垂直、线段相等、角相等。 【例2】（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在中，，是边上的中线，点在边上，且，若，则的度数为_____． 【答案】/20度 【分析】由等腰三角形的性质及三角形内角和定理依次可得，， ，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26七年级下·上海·期末）如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若，则的周长为_____． 【答案】6 【分析】直接利用基本作图方法得出垂直平分，，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：由基本作图方法得出：垂直平分，则， ， ， ， ， 的周长为：， 【变式2-2】（七年级下·山东泰安·阶段检测）如图，垂直平分线段，，垂足为E，交于P点，，，则的面积是________． 【答案】12 【分析】过点P作于点M，由垂直平分线的性质得，由等腰三角形三线合一，得，由角平分线的性质得，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：过点P作于点M， ∵垂直平分线段， ∴， ∴，即为角平分线， 又∵，， ∴． 又∵， ∴． 【模型三】等边手拉手模型 模型要点：两个共顶点等边三角形，产生一组全等三角形；固定结论：对应边相等、夹角恒为 60°。 【例3】（22-23八年级上·全国·期末）若在的外部， 如图和都为等边三角形，点B、C、D在同一直线上． (1)①证明； ②图中还有哪些三角形全等？ (2)若连接，试判断的形状． (3)与在位置上有什么关系？ 【答案】(1)①证明：∵和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②； (2)为等边三角形 (3) 【分析】（1）①由等边三角形的性质得到，则可利用证明；可证明，，则可证明，同理可证明； （2）由（1）得，，则，据此可证明为等边三角形； （3）可证明，得到． 【详解】（1）①略； ②解：∵， ∴， ∵和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明； （2）解：如图所示， 由（1）得，， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：由（2）得为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，，都是等边三角形，点A、B、C在同一直线上，和交于点P． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，M，N分别是，的中点，试判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：、都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中 ， ； (2) (3)等边三角形，理由为： ， ． ，、分别是、的中点， ， 在和中 ， ，， ． 是等边三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题的关键是通过角的等量代换证明三角形全等，进而推导边或角的关系． （1）利用等边三角形性质得边和角相等，通过角的和差推得，再用证，得结论； （2）由全等得，结合内角和求，再利用外角性质得； （3）由全等及中点得，用证，得且，判定为等边三角形． 【详解】（1） 略 （2）解：， ， ， ， ， ， ． （3）略 【模型四】将军饮马基础模型（直线同侧两定点） 模型要点：作其中一个点关于直线对称，连线，交点即为动点；折线段和最小值 = 对称点与另一点线段长。 【例4】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称−最短路线问题，关键是确定点M的位置． 根据折叠可知B和E关于AD对称，由对称的性质得出当M和D重合时，此时的值最小，即为． 【详解】解：连接，由题可知B和E关于AD对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M和点D重合时，此时的值最小，即为， ∴则的最小值为5， 故答案为：5． 【变式4-1】（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若，，则的周长最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，进而证明当、、三点共线，即点与点重合时，最小，最小值为，进而即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 是线段的垂直平分线， ， 的周长， 要使的周长最小，即要使最小， 当、、三点共线，即点与点重合时，最小，最小值为， ，，， ， ， 的周长最小值是， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于，两点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 【答案】 【分析】如图，连接、，利用三角形的面积公式求出，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、， ∵在中，，，面积是，点为边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∵点为线段上一动点， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称—最短问题，等腰三角形三线合一性质，垂直平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用线段垂直平分线的性质解决问题． 【模型五】造桥选址模型 模型要点：河宽固定，平移定点抵消河宽，转化为两点之间线段最短，确定桥的位置。 【例5】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图所示，在，两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从村往村，要经过两座桥，．现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥，的位置，使由村到村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置） 【答案】 【分析】本题主要考查了最短路径问题，平移的性质，如图所示，分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A、B，在上截取等于河宽，在上截取等于河宽，连接交于E、M，分别过点E、M作的垂线，垂足分别为F、N，则，即为所求． 【详解】解：如图所示，分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A、B，在上截取等于河宽，在上截取等于河宽，连接交于E、M，分别过点E、M作的垂线，垂足分别为F、N，则，即为所求； 易证明的长即为最短路径长． 【变式5-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，某护城河在处直角转弯，河宽均为，，到外河岸的距离都为，从处到达处，需经两座桥：，（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使从处到处所走的路程最短？ 【答案】 如图所示，作法如下： （1）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，（则河宽，即相当于将桥平移到，的位置）． （2）连接，分别与河岸相交于点，． （3）过点作垂直于河岸于点，过点作垂直于河岸于点， 由作图可知， ∴最短路径为， ∴，即为两座桥的位置． 【分析】本题属于最短路径问题，分析题意，利用平移河宽，将折线问题转化为直线是解题关键；过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． 【详解】略 【变式5-2】（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） (1)作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； (2)最短，说明理由． 【答案】(1) 如图所示：平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接即可， (2) 如图，另任意作桥，连接，，， 由平移的性质可得：，，， 故转化为， 而转化为， 在中，， ∴， 故最短． 【分析】本题考查了最短路径问题、平移的性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接，此时最短； （2）另任意作桥，连接，，，由平移的性质可得，，，故转化为，而转化为，再结合在中，，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 【模型六】含 30° 直角三角形边长比例模型 模型要点：30° 对直角边：斜边 = 1:2，快速进行边长计算。 【例6】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，，点是的中点，过点作交于点，，则的长度为__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形等知识，连接，由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，进而得到，再证明垂直平分，得到，，求得，结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，则当双翼完全收起时，通过闸机的物体的最大宽度是______． 【答案】58 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．掌握此性质是解题的关键． 作于点，于点，得，再利用含角的直角三角形的性质，求出的值，即可求出通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：作于点，于点，得， ，， ，， 通过闸机的物体的最大宽度是． 故答案为58． 【变式6-2】（24-25八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，是边上的高，， ，则______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键； 先根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到，根据所对的直角边等于斜边的一半可得；同理可得，最后根据即可解答． 【详解】解：∵，是边上的高，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：6. 技巧 一句话要点 等腰三角形求角度 —— 内角和分类法 遇等腰求角度，优先看谁是顶角；没指定腰底，分两种情况，检验内角和，排除大于 180° 的错解 等腰三角形求边长 —— 三边检验法 边长不确定时分类讨论，算出结果必须验证三角形三边关系，舍去不能构成三角形的解 垂直平分线线段转化 —— 等线段搬家法 看见垂直平分线，直接把线段转移，将分散线段汇总，用于周长代换计算 三线合一使用技巧 —— 知一推二法 等腰 + 角平分线 / 高 / 中线，只要一个条件，直接推出另外两个结论，快速证垂直、证线段相等 最短路径（将军饮马）—— 对称化折为直法 求折线段最小值，做定点对称，把折线转成两点之间直线，交点即为动点位置 等边三角形角度计算 ——60°固定结论法 等边三边相等、三角都是 60°；手拉手模型，先找全等，固定夹角 60° 含 30° 直角三角形计算 —— 边长比例速算法 看到 Rt△+30°，直接记住 30° 对边是斜边一半，快速求边长 坐标轴对称点 —— 符号口诀法 关于 x 轴对称：横不变，纵变号；关于 y 轴对称：纵不变，横变号 轴对称作图 —— 对应点连线法 作轴对称图形，先找关键点对称点，依次连接对应点，最后标注对称轴 最短路径证明 —— 两段对比法 求出最短位置后，要写证明：任取其它动点，利用三角形两边之和大于第三边说明更长 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 目 录 识记类 思维导图 知识清单(10类) 考点清单（6类) 公式清单(14类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单（10类) 易错题型清单(8类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点1 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 知识点2 轴对称性质 ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. ②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. 知识点4 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点5 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点6 等腰三角形的概念与性质 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3. 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 知识点7 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点8 含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 知识点9 直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 知识点10 将军饮马-最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. ■考点・01・轴对称图形与成轴对称的概念 考点内容：轴对称图形（一个图形自身沿直线对折后两边重合）；两个图形成轴对称（两个图形沿直线对折能够重合）；对称轴是直线；识别对称轴数量。 常见考法：①判断一个图形是不是轴对称图形；②区分 “轴对称图形” 和 “两个图形成轴对称”；③找出图形所有对称轴。 ■考点・02・轴对称的性质 考点内容：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；对应线段相等、对应角相等。轴对称图形的对称轴，也是对应点连线的垂直平分线。 常见考法：利用轴对称性质求线段长度、角度；根据对称找点。 ■考点・03・线段的垂直平分线 考点内容：线段垂直平分线定义；性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；判定定理：到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。 常见考法：利用垂直平分线性质转化等线段；证明点在线段垂直平分线上。 ■考点・04・等腰三角形的性质与判定 考点内容：等腰三角形等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边上中线、底边上高重合）；判定：等角对等边。 常见考法：角度计算；利用三线合一证明线段垂直、线段相等、角相等；证明三角形为等腰三角形。 ■考点・05・等边三角形性质与判定 考点内容：等边三角形三边相等，三个内角都是60°；判定：三边相等 / 三角相等 / 有一个角60°的等腰三角 形是等边三角形；含30°角直角三角形性质30°角所对直角边等于斜边一半。 常见考法：角度、边长计算；等边三角形证明；30°直角三角形边长转化。 ■考点・06・最短路径问题（将军饮马、造桥选址） 考点内容：利用轴对称，将折线段之和转化为两点之间线段；原理：两点之间线段最短；垂线段最短。 常见考法：作图找动点位置；求两条线段之和最小值；证明最短。 1 轴对称 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 轴对称的性质 若点A、A′关于直线l对称，则直线l垂直平分线段AA′；若△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对称点连线被对称轴垂直平分；对称图形对应线段相等、对应角相等 2 线段垂直平分线性质 若点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB 垂直平分线上任意一点，到线段两个端点距离相等 3 线段垂直平分线判定 若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 2.等腰三角形的性质和判定 序号 名称 公式（几何语言） 说明 4 等腰三角形性质（等边对等角） 在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C 两条边相等⇒对应的两个底角相等 5 等腰三角形三线合一 在△ABC中，AB=AC ①若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD=DC ②若AD是BC中线，则AD⊥BC，AD平分∠BAC ③若AD⊥BC，则BD=DC，AD平分∠BAC 等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合；仅限顶角与底边 6 等腰三角形判定（等角对等边） 在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC 两个角相等⇒对应的两条边相等 3.等边三角形的性质和判定 序号 名称 公式（几何语言） 说明 7 等边三角形性质 若△ABC是等边三角形，则AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60∘ 三边相等，三个内角全部为60∘，有 3 条对称轴 8 等边三角形判定 1 在△ABC中，若AB=BC=AC，则△ABC是等边三角形 三边都相等的三角形为等边三角形 9 等边三角形判定 2 在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC是等边三角形 三个内角都相等的三角形为等边三角形 10 等边三角形判定 3 在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=60∘，则△ABC是等边三角形 有一个内角是60∘的等腰三角形，一定是等边三角形 11 含30∘角的直角三角形性质 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，则BC=AB 直角三角形中，30∘锐角所对直角边等于斜边的一半 4.等腰三角形的性质和判定 序号 名称 公式（几何语言） 说明 12 两点之间线段最短 两点A,B之间，线段AB长度最短 将军饮马模型核心公理；折线段和通过轴对称转化为两点连线 13 将军饮马（直线同侧两点） 直线l同侧两点、，作点A关于直线l对称点A′，连接A′B交直线l于点P，此时PA+PB=A′B最小 PA=PA′，PA+PB=PA′+PB；依据两点之间线段最短 14 垂线段最短 点A到直线l，垂线段长度最短 造桥选址、垂线型最短路径的依据 ■辨析・01・轴对称图形 vs 两个图形成轴对称 辨析内容：轴对称图形描述一个图形自身沿直线对折，直线两旁部分完全重合；两个图形成轴对称描述两个独立图形沿一条直线对折后能够重合。 两者可以互相转化：把成轴对称的两个图形看成整体，就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分开，得到两个成轴对称的图形。 易错说法：两个图形成轴对称，合在一起也不是轴对称图形（×）。 ■辨析・02・对称轴是直线，不是线段、射线 辨析内容：对称轴的定义是直线。等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在直线，不能只写顶角平分线（这是线段）。 易错说法：等腰三角形的对称轴是底边上的高（×，高是线段；对称轴是这条高所在直线）。 ■辨析・03・线段垂直平分线：性质与判定条件不能颠倒 辨析内容： 性质：点在线段垂直平分线上 ⟹点到线段两端距离相等（用来证线段相等）。 判定：点到线段两端距离相等 ⟹点在线段垂直平分线上（用来判定点的位置）。 易错说法：到线段两端距离相等的点的连线，就是线段的垂直平分线（×，只能说明这个点在垂直平分线上）。 ■辨析・04・等腰三角形 “三线合一” 仅限顶角与底边 辨析内容：三线合一 = 顶角平分线、底边上中线、底边上的高互相重合。底角不具备三线合一，不能随便套用到底角上。 易错说法：等腰三角形任意角的平分线，都和对边上高、中线重合（×）。 ■辨析・05・等边三角形属于特殊等腰三角形 辨析内容：等腰三角形定义是至少两边相等；等边三角形三边都相等，所以等边一定是等腰，但等腰不一定是等边。 易错说法：等腰三角形就是等边三角形（×）。 ■辨析・06・\(30^\circ\)直角三角形性质，前提必须是直角三角形 辨析内容：只有直角三角形中，30°角所对的直角边 = 斜边；普通三角形不成立。 易错说法：三角形有一个角是 30°，那么它对的边等于另一边的一半（×）。 ■辨析・07・最短路径（将军饮马）同侧、异侧区分 辨析内容：两点在直线异侧：直接连接两点，连线与直线交点即为动点；两点在直线同侧，必须作对称点，转化为异侧再连线。 易错说法：直线同侧两点，直接相连交直线就得到最短路径（×）。 ■辨析・08・轴对称只改变位置，不改变图形大小形状 辨析内容：轴对称变换是全等变换，变换前后图形全等，边长、角度、周长、面积全部不变，仅位置改变。 易错说法：图形经过轴对称之后，大小会改变（×）。 ■辨析・09・关于 x 轴、y 轴对称点坐标符号规律 辨析内容：点(x,y)关于x轴对称：((x,-y)（x 不变，y 变号）；关于y轴对称：(-x,y)（y 不变，x 变号）。 易错说法：点关于 x 轴对称，横坐标变号（×）。 ■辨析・10・等边三角形有 3 条对称轴，等腰（非等边）只有 1 条 辨析内容：普通等腰三角形只有 1 条对称轴；等边三角形三条边都可以作为底边，共 3 条对称轴。 易错说法：等腰三角形都有 3 条对称轴（×）。 【题型一】识别轴对称图形、数对称轴数量 【例1】（26-27八年级上·重庆·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27八年级上·江西·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·辽宁抚顺·一模）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 【题型二】利用轴对称性质求线段长度、角度 【例2】（26-27八年级上·福建·期中）如图，与关于直线对称，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，若与关于直线对称，则下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·广东河源·期末）在广州博物馆里，藏有不少青铜器，其中有明确信息的青铜礼器，是战国时期的件铜编钟，该编钟1975年出土于增城石滩氮肥厂．如图①是编钟的一种．小颖绘制了编钟从正面看到的轮廓如图②所示，她发现绘制的轮廓是关于对称的轴对称图形，则下列结论错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D． 【题型三】线段垂直平分线性质求边长、周长 【例3】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点、,作直线分别交、于点、,连接.若,则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点、,作直线分别交、于点、,连接.若,则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型四】等腰三角形边长、角度基础计算 【例4】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）泉塘中学英歌队的队旗是等腰三角形，若它的顶角为，则它的一个底角为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形顶角是，则一腰上的高与底边的夹角是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知等腰三角形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【题型五】证明等腰三角形（等角对等边） 【例5】（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，在中，，点在上，点在上，射线交的延长线于点，．求证：是等腰三角形． 【变式5-1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）中，D 是中点，，垂足 E、F．判断 形状并证明． 【变式5-2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，平分的外角，．求证：是等腰三角形． 【题型六】等边三角形性质计算与判定证明 【例6】．（25-26八年级下·内蒙古·期末）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【变式6-1】（26-27八年级·上海·暑假作业）等边中，点在△内，点在△外，且，，问是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【题型七】含 30° 角直角三角形边长计算 【例7】（2026·陕西西安·三模）如图，在以为底边的等腰中，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级上·湖南永州·期末）如图，在中，，点D为斜边上的中点，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【题型八】平面直角坐标系内求对称点坐标 【例8】（26-27八年级上·黑龙江·期中）若点关于轴的对称点为，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】（26-27八年级上·四川·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26八年级上·广东汕头·期中）已知点与点关于x轴对称，则a＋b的值为（     ） A． B． C．1 D．3 【题型九】将军饮马基础作图 + 最短长度求解 【例9】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式9-1】（25-26八年级上·广东中山·期末）如图，点P，Q在直线l的同一侧，现需在l上找一点M，使得的和最小，下列做法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（   ） A．12 B．6 C．7 D．8 【题型十】等腰、等边三角形与全等简单综合 【例10】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【变式10-1】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在等边中，，与交于点P，，垂足为Q． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【变式10-2】（22-23八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，，D是上一点，，，．求证： (1)； (2)． 【变式10-3】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，，，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，，，求与的周长之和． 【题型一】等腰三角形边长 / 角度忘记分类讨论 【例 1】（25-26八年级上·广东汕头·期中）等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 易错警示 题目没有指明腰与底、顶角与底角，必须分两种情况计算，算出结果后，检验三角形内角和、三边关系，舍去不成立答案。 【变式1-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【变式1-2】（22-23八年级上·江苏·期中）已知等腰三角形的周长为，一边长为，则此等腰三角形的底边长是（    ） A． B． C．或 D．或 【题型二】混淆对称轴，错把线段当成对称轴 【例 2】（23-24七年级下·四川乐山·期末）下列图形中，对称轴条数最少的是（   ） A．等边三角形 B．长方形 C．正方形 D．圆 易错警示 对称轴是直线。等腰三角形底边上的高、顶角平分线是线段，不能叫对称轴；对称轴是该线段所在的直线，填空极易丢分。 【变式2-1】（2023·山东青岛·一模）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）下列图形都是轴对称图形，其对称轴条数最多的是（     ） A． B． C． D． 【题型三】误用等腰三角形三线合一到底角 【例 3】 （2023·内蒙古兴安·模拟预测）如图，在中，，，，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 易错警示 三线合一只适用于顶角 + 底边。底角的角平分线，不与对边上中线、高重合，不能直接套用三线合一。 【变式3-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，是边的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型四】线段垂直平分线性质、判定写反逻辑 【例 4】 （2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)延长交于点，若．求证：是的中点． 易错警示 性质：点在垂直平分线上 ⇒ 到两端距离相等（用来证边相等）；判定：到两端距离相等 ⇒ 点在垂直平分线上（证点位置），证明过程条件结论不要颠倒。 【变式4-1】（25-26八年级上·云南怒江·阶段检测）如图，在中，D是上一点，过点D作于点E，于点F，，连接，． (1)求证：． (2)是否垂直平分？请说明理由． 【变式4-2】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，于点，交于点． (1)若，，求的周长． (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 【题型五】忽略 30° 直角三角形前提条件 【例 5】 （26-27八年级上·全国·单元复习）如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则的长是________． 易错警示 “30° 角对直角边等于斜边一半”前提必须是直角三角形，普通三角形不能直接使用这个结论。 【变式5-1】（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，三角形纸片中，，，，折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E，则折痕的长为__________． 【变式5-2】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于 __ ． 【题型六】将军饮马不分同侧、异侧，直接连线 【例 6】 （25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，的面积为12，平分交于，，分别是和上的动点，连接，，则的最小值为________． 易错警示 两点在直线异侧，直接连线找交点；两点在直线同侧，必须作对称点转化，不能直接连接原始两点。 【变式6-1】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，在等腰中，，于点，两动点，分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____． 【变式6-2】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，，，，在，上分别找一点，当的周长最小时，的度数是______． 【题型七】坐标对称记错 x 轴、y 轴符号变化 【例 7】 （26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）点关于y轴对称的点的坐标是______． 易错警示 关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标变号(x,y)⟹(x,-y)；关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标变号((x,y)⟹(-x,y)，容易记反横纵坐标。。 【变式7-1】（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是__________． 【变式7-2】（26-27八年级下·全国·课后作业）若点关于轴的对称点是，则______________． 【题型八】等边三角形与等腰三角形概念混淆 【例 8】 （21-22八年级下·贵州毕节·期中）以下条件中，能判定三角形是等腰三角形的是（     ） A．三角形中有两个角分别是 B．三角形中有两个角分别是 C．三角形中有两个角分别是 D．三角形中有两个角分别是锐角 易错警示 等边三角形属于特殊等腰三角形；等腰三角形只有两条边相等，内角不一定是 60°，不要默认等腰三角三个角都是 60°。 【变式8-1】（26-27八年级上·辽宁辽阳·开学考试）下列结论中，正确的是（    ） A．等腰三角形是等边三角形 B．等边三角形是等腰三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．等腰三角形一定是钝角三角形 【题型一】线段垂直平分线多组等线段转化综合（周长、边长代换） 【例1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 【变式1-1】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，为上一点，垂直平分，交于点，连接、，，若，，则的周长为__________． 【变式1-2】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，的垂直平分线交于，则的周长是_______． 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D、E，的垂直平分线分别交于点，则的周长为__________． 【题型二】等腰三角形多解分类讨论（边长 + 角度双分类） 【例2】（25-26八年级上·云南保山·阶段检测）如图，在等腰中，，，点在上，为边上的动点（不与点，重合），连接，，当点运动时，始终保持． (1)当时，试判断的形状，并说明理由； (2)当的最小值为3时，求此时的长； (3)在点的运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出此时的度数；若不能，请说明理由． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东威海·阶段检测）如图所示，在中，，，D为的中点．如果点P在线段上，由点B出发向点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向点A运动．设运动时间为 (1)若点P的速度为，则时，______，______用含t的代数式表示 (2)在（1）的条件下，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒时与全等？请说明理由． 【变式2-2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 如图1，在中，已知，，是的高，，，过点C的直线．动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒． 【思考尝试】 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）： ______________， ______________．当t为多少时，的面积为？ 【深入探究】 (2)①如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？ ②请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由． 【题型三】将军饮马多次对称（两动两定、双直线最短路径） 【例3】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探索最短距离 背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． 任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是__________米． 任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若． （1）求的最小值，并说明理由； （2）求周长的最小值． 任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值． 【变式3-1】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）【课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 【模型一】垂直平分线等线段转移模型 模型要点：看到垂直平分线，直接得到点到两端距离相等，把线段转移，用来转化周长。 【例1】（26-27八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，若，的周长为7，则的周长为_________． 【变式1-1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，，则的周长为_____． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，分别垂直平分，，垂足分别为，，且，，，连接．的度数为_____． 【模型二】等腰三角形三线合一模型 模型要点：等腰 + 顶角平分线 / 底边高 / 底边中线，知一推二；用来证垂直、线段相等、角相等。 【例2】（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在中，，是边上的中线，点在边上，且，若，则的度数为_____． 【变式2-1】（25-26七年级下·上海·期末）如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若，则的周长为_____． 【变式2-2】（七年级下·山东泰安·阶段检测）如图，垂直平分线段，，垂足为E，交于P点，，，则的面积是________． 【模型三】等边手拉手模型 模型要点：两个共顶点等边三角形，产生一组全等三角形；固定结论：对应边相等、夹角恒为 60°。 【例3】（22-23八年级上·全国·期末）若在的外部， 如图和都为等边三角形，点B、C、D在同一直线上． (1)①证明； ②图中还有哪些三角形全等？ (2)若连接，试判断的形状． (3)与在位置上有什么关系？ 【变式3-1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，，都是等边三角形，点A、B、C在同一直线上，和交于点P． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，M，N分别是，的中点，试判断的形状，并证明你的结论． 【模型四】将军饮马基础模型（直线同侧两定点） 模型要点：作其中一个点关于直线对称，连线，交点即为动点；折线段和最小值 = 对称点与另一点线段长。 【例4】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 【变式4-1】（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若，，则的周长最小值是______． 【变式4-2】（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于，两点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 【模型五】造桥选址模型 模型要点：河宽固定，平移定点抵消河宽，转化为两点之间线段最短，确定桥的位置。 【例5】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图所示，在，两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从村往村，要经过两座桥，．现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥，的位置，使由村到村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置） 【变式5-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，某护城河在处直角转弯，河宽均为，，到外河岸的距离都为，从处到达处，需经两座桥：，（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使从处到处所走的路程最短？ 【变式5-2】（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） (1)作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； (2)最短，说明理由． 【模型六】含 30° 直角三角形边长比例模型 模型要点：30° 对直角边：斜边 = 1:2，快速进行边长计算。 【例6】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，，点是的中点，过点作交于点，，则的长度为__________． 【变式6-1】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，则当双翼完全收起时，通过闸机的物体的最大宽度是______． 【变式6-2】（24-25八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，是边上的高，， ，则______． 技巧 一句话要点 等腰三角形求角度 —— 内角和分类法 遇等腰求角度，优先看谁是顶角；没指定腰底，分两种情况，检验内角和，排除大于 180° 的错解 等腰三角形求边长 —— 三边检验法 边长不确定时分类讨论，算出结果必须验证三角形三边关系，舍去不能构成三角形的解 垂直平分线线段转化 —— 等线段搬家法 看见垂直平分线，直接把线段转移，将分散线段汇总，用于周长代换计算 三线合一使用技巧 —— 知一推二法 等腰 + 角平分线 / 高 / 中线，只要一个条件，直接推出另外两个结论，快速证垂直、证线段相等 最短路径（将军饮马）—— 对称化折为直法 求折线段最小值，做定点对称，把折线转成两点之间直线，交点即为动点位置 等边三角形角度计算 ——60°固定结论法 等边三边相等、三角都是 60°；手拉手模型，先找全等，固定夹角 60° 含 30° 直角三角形计算 —— 边长比例速算法 看到 Rt△+30°，直接记住 30° 对边是斜边一半，快速求边长 坐标轴对称点 —— 符号口诀法 关于 x 轴对称：横不变，纵变号；关于 y 轴对称：纵不变，横变号 轴对称作图 —— 对应点连线法 作轴对称图形，先找关键点对称点，依次连接对应点，最后标注对称轴 最短路径证明 —— 两段对比法 求出最短位置后，要写证明：任取其它动点，利用三角形两边之和大于第三边说明更长 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $