广东珠海市广东实验中学金湾学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

珠海市广东实验中学金湾学校高二年级10月月考 数学 (考试时间120分钟，总分150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其它答案。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的 答案无效。 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的。） 1.某中学高二年级有学生960人，为调查学生每天的睡眠时间，按性别采用分层随机抽样的方法从全体 学生中抽取一个容量为120的样本。己知样本中女生有45人，则该校高二年级男生的人数约为() A.540 B.600 C.660 D.720 2.某校举行数学文化节知识竞答，高二（3)班10名同学参加初赛的得分（单位：分）分别为62， 70,74,78,82,84,88,90,94,96,则这组数据的第60百分位数为() A.82 B.84 C.86 D.88 3.已知袋子中装有大小、质地完全相同的4个球，其中2个红球、2个白球，从中一次摸出3个球。记 E=摸出的球中恰有1个红球’，E2=“摸出的球中恰有2个红球”，E=“摸出的球中至少有1个白球”， E4≠“摸出的球中都是白球”，则下列各组事件中，互斥但不对立的是() A.E与E2 B.E与Es C.E2与E D.E4与E1 4.己知空间向量a=(1,2,2),6=(2,-1,0),=(0,1,-1),则(a-)=() A.1 B.0 C.-1 D.2 5.己知直线1的方向向量为元=(1,2，-2)，平面α的法向量为元=(2,4,1)，且直线1不在平面a内， 则直线l与平面α的位置关系是() A.lⅡa B.lLa C.lca D.1与a相交但不垂直 6.从某班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加一项活动，将这55位学生按01、02、、 55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第5个 号码所对应的学生编号为() 06274313243253270941251263176323261680456011 14109577742467624281145720425332373227073607 高二数学试卷第1页共4页 A.51 B.12 C.32 D.25 7.给出下列命题，其中是真命题的是() A.已知向量组{a,6,c是空间的一个基底，若m=a+c,则{a,b,m}不是空间的一个基底. B.若a⊥b,b⊥c,则a/1c C.若a.i<0,则(a,b是钝角 D.若对空间中任意一点0，有OP=}0A-OB+0C,则P,A,B,C四点共面 6 6 8.己知空间向量a=(1,2,2),e的方向与向量(1,0,1)相同，则在e方向上的投影向量为（) a B.(1,0,1) 2 C.(3,0,3) D.(V2,0,V2) 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。) 9.己知数据x,x2,,xo的平均数为a,标准差为b,中位数为c,极差为d由这组数据得到新数据 ,2,,0,其中y=2x+1(i=1,2,,10),则下列命题中正确的是() A.新数据的平均数是2a+1 B.新数据的标准差是4b C.新数据的中位数是2c+1 D.新数据的极差是2d 10.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A=“第一次的点数为3的倍数”，事件B=“第二次为偶数点”， 事件C=“两次掷出的点数之和大于8”，事件D=“两次掷出的点数之和能被4整除'，则下列结论正确 的有() A.A与B相互独立 B.(D) C.PanB)-若 D.C与D相互独立 11.如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，则下列说法正确的是() A.A正=(AB+AD+AP B.若底面边长为2，侧棱PA=V6,则A正=6 C.若F在棱PB上且EFI平面PAD,则PF:FB=1:2 D.AE 1 BD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.已知空间向量a1b,1=2,=3,则a+ 13.已知事件A,B相互独立，P(A)=,P(AUB)=,则P(B)= 14.某中学对高二年级学生进行体质健康测试，按性别用分层随机抽样的方法抽取了男生60人、女 生40人，测得样本中男生的平均身高为170cm、方差为9，女生的平均身高为165cm、方差为4， 则估计该年级全体学生身高的方差为 高二数学试卷第2页共4页 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.(13分)2026年10月，珠海市金湾区举办“青少年科创节”，某校数学建模社团有5名成员（男 生3名，记为a1,a2,Q3;女生2名，记为b1,b2,现从中随机选出2名成员分别担任正队长和副队 长（每人被选到的可能性相同）· (1)写出该随机试验的样本空间： (2)求选出的2名成员中至少有1名女生的概率： (3)求选出的2名成员性别不同的概率. 16.(15分)甲、乙、丙三名同学独立破译一份密码，已知甲能破译的概率为1，乙能破译的概率为1， 3 丙能破译的概率为1 4 (1)求三人都破译出密码的概率： (2)求密码被破译（至少一人破译出）的概率： (3)比赛规则：若至少两人破译出密码，则该团队获一等奖.求团队获一等奖的概率. 17.(15分)在棱长为1的正方体ABCD-ABCD,中，E是棱DD,的中点，P、Q分别为线段B,D,BD 上的点，且3BP=PD (1)求PE的长度： B (2)若P9⊥AE,BD=DQ,求1的值. B 高二数学试卷第3页共4页 18.(17分)随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行 研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分， 绘制频率分布直方图（分组区间为(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100），已知样本中评分在(70,80] 内的频率比评分在(60,70]内的频率多0.2. (1)求a,b的值： (2)现根据频率分布直方图对所有无人快递车划定等级，规定分数不低于70%分位数的车为A等车，其余 为B等车，估计A等车的分数线： (3)为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取 了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率. 频率/组距 0.040 6! a- 0.010 060708090100评分1分 19.(17分)如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PB⊥平面ABCD,AB=2BC,点E,F分别为棱 CD,PA的中点 (I)证明：平面PEF⊥平面PBE: (2)点H为线段AD上的点，且满足PE∥平面BFH. (i)确定点H在AD上的位置： (ii)若PB=2V3,BC=3,求直线PC与直线FH所成角的余弦值. 高二数学试卷第4页共4页珠海市广东实验中学金湾学校高二年级10月月考数学参考答案 题号 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 0 D B ACD ABC AD 一、选择题 1.【答案】B 样本中女生所占比例为铝=忌由分层随机抽样按比例分配，全校女生约为960×=360（人）， 8 所以该校高一年级男生人数约为960-360=600。故选B。 2.【答案】C 将10个数据从小到大排列（题中已排列）：62,70,74,78,82,84,88,90,94,96。因为n=10,p= 10×60%=6为整数，所以第60百分位数为第6个数与第7个数的平均数，即4+88=86。 3.【答案】D 袋子中只有2个红球、2个白球，一次摸出3个球，结果只能是“1红2白”或“2红1白”，所以 E1=“恰有1个红球，E2=“恰有2个红球”，E3=“至少有1个白球”=2（必然事件），E4=“都是白 球”=0（不可能事件）。 E1与E2互斥且E1UE2=2,二者对立：E1CE3、E2CE3,均不互斥；E4与E1满足E4∩E1=0但 E4UE1≠2，故互斥但不对立的是D。 4.【答案】A 因为a-万=(1,2,2)-(2，-1,0)=(-1,3,2)，所以（a-b)·c=(-1,3,2)·(0,1,-1)=0+3-2=1。 故选A。 5.【答案】D 因为元·元=1×2+2×4+(-2)×1=8≠0，所以方向向量元与法向量元不垂直，即直线不平行 于平面a:又(1,2，-2)与(2,4,1)的坐标不成比例，故直线l不垂直于平面a。因为直线l不在平面α内，所 以l与a相交但不垂直。故选D。 6.【答案】B 从随机数表第1行第2个数字6开始，由左向右依次取两个数字，得到 62,74,31,32,43,25,32,70,94,12,。剔除大于55及重复的编号，选出的前5个有效编号 依次为31,32,43,25,12，所以第5个号码所对应的学生编号为12。故选B。 7.【答案】D A不正确：设a+Bb+y(a+)=0,即(a+y)a+Bb+y=0。因为{a,b,是空间的一个基底， 所以+y=0,B=0,y=0,从而a=B=y=0,故{a,b,a+}仍是空间的一个基底。 B不正确：若d1,1c,则a与不一定平行。如取a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,1),则d1 b,b1,但a与不平行。 C不正确：·b<0时，夹角0满足cos0<0,0∈（π/2，π]，当a与b反向时6=π（平角），不一 定是钝角。 1 D正确：对空间中任意一点0，有0币=0A-0+0元，三个系数之和}-名+=1，所以P, A,B,C四点共面。故选D。 8.【答案】A 与同方向的单位向量瓜。=2四，所以ā：瓜。=+t2”=青故a在日方向上的投影向量为 V2 (d)。=后×（位0，）=(，0，引)。故选A。 9.【答案】ACD A正确：平均数变为2a+1。B错误：标准差变为2b,不是4b。 C正确：中位数变为2c+1。D正确：极差变为2d。故选ACD。 10.【答案】ABC 抛掷一枚骰子两次，样本空间共有36个等可能样本点。 A正确：P(A=兰=P(B)=8=克PAnB)=品-言P(P(B),所以A与B相互独立。 B正确：P(D)=品=（点数之和为4,8,12）。 C正确：PAnB)=无= D错误：P(O)=8=&,P(CnD)=名P(C)P(D)=克所以C与D不相互独立。故选ABC。 11.【答案】AD A正确：E为PC的中点，A正=+延_丽+而+正 2 B不正确：设底面中心为0，则A010P,AO=V2,所以AP·AC=(A0+OP)·2A0= 2ao=4,故-(+ac+2F.Ac)=+-共 C不正确：设PF:FB=:(1-),即P示=PB,则EF=(-入)AP+(2-)AB-AD。若EF 平面PAD,则EF可由AP,AD线性表示，故AB的系数1-=0，得入=即PF:FB=1:1,与选项 C不符。 D正确：A正·BD=(AP+AB+AD)·(AD-AB)。因为AP·AB=AP·AD，,AB·AD=0,且 AB|=AD,所以AE·BD=0,即AE 1 BD。故选ABD. 二、填空题12.【答案】V13 因为à16，所以|a+=l2+2a.i+-=V4+0+9=13。 13.【答案】子A,B相互独立，所以P(AnB)=P(A)P(B)。由P(AUB)=P(A+P(B)-P(AP(B), 得=+P(B)-P(B),即P(B)=所以P(O)= 14.【答案】13 全体学生的平均身高元=60x170+40x165=168(cm)。由分层随机抽样方差公式，总体方差s2= 100 60×[9+(170-1683]+40x[4+(165-168)]=60×13+40x13=13。 100 100 2 三、解答题 15.解：(1)用有序数对(x,y)表示选出正队长为x、副队长为y。样本空间2= {(a1,a2),(aa3),(a1b1),(a1b2),(aza1),(a2,a3),(a2b1),(a2b2,(a3,a1), (a3,a2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,a1),(ba2),(b1a3),(b1,b2),(b2a1),(b2,a2), (b2,a3),(b2b1)},共有5×4=20个样本点。 (2)设“选出的2名成员中至少有1名女生"为事件M,则M包含14个样本点，所以P0)=若=0 (3)设“选出的2名成员性别不同”为事件W,则N包含3×2+2×3=12个样本点，所以P(N)= 16.解：记甲、乙、丙破译出密码分别为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=子且A,B,C相互 独立。 (1)三人都破译出密码的概率为P(ABC)=P(AP(B)P(C)=××=六： .1 (2)密码被破译（至少一人破译出）的概率为1-P(团P⑥P(©=1-×号×？=1- (3)设团队获一等奖为事件D,即至少两人破译出密码，则P(D)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+ P4B0)=××+××+××+x×经是+员++六=石 17.解：(1)以D为原点，{DA,DC,DD为正交基底，建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0),E(0,0,)B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1)。 由题意，可设点P的坐标为(a,a,1)。因为3B1P=PDi,所以3(a-1,a-1,0)=(-a,-a,0),所以 3a-3=-a,解得a=子所以点P的坐标为PG,,1) 所以P店=(--，所以面=、32+(+(2-区，即E的长度为受 4 (2)由题意，可设点Q的坐标为(b,b,0)。因为P01A正，所以P0·A正=0，所以（仍-，b ,-1)·(-10,2=0,即-6-)-=0，解得b=子所以点Q的坐标为Q0)。 因为BD=D0,所以(-1，-1,0)=1G,,0),所以=-4。 18.解：(1)由频率分布直方图各小矩形面积之和为1，得10a+10b+0.4+0.1=1,即a+b= 0.05①： 由题意可得，10b-10a=0.2,即b-a=0.02②。联立①②，解得a=0.015,b=0.035。 (2)由题意可知，估计A等车分数线，即求第70百分位数。 各组频率分别为0.15，0.35,0.40,0.10：前2组累计频率为0.50，前3组累计频率为0.90，所以第 70百分位数位于[80,90]内。 设分数线为x,则0.50+8×0.40=0.70，解得x=85。故估计A等车的分数线为85分。 (3)评分超过80分的车辆共有100辆，其中[80,90]组80辆，[90,100]组20辆。按比例抽取5辆， 「80,90]组抽4辆，「90,100]组抽1辆。 3 将[80,90]组4辆车分别记为A1,A2,A3,A4,[90,100]组1辆车记为B1。从这5辆车中随机抽取2 辆，所有等可能结果共有10个：(A,A),(A1,A),(A1,A4),(A,B),(A2,A),(A2,A4),(A2,B),(A,A4), (A3,B),(A4,B1)0 其中“两车评分均不超过90分”的结果有6个：(A1,A),(A,A),(A,A),(A2,A),(A2,A),(A,A4) 所以所求概率P=品= 3 10 A A B A A A A 19.解：以B为原点，BC,BA,BP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系。设BC=a (a>0)，则AB=2a,得B(0,0,0),C(a,0,0),A(0,2a,0),D(a,2a,0),P(0,0,h)(h=PB)。因为E, F分别为棱CD,PA的中点，所以E(a,a,O),F(O,a,。 心设平面PBE的一个法向量为远三2，则·Q所以7.0 n·BP=0' 取x1=1,则y1=-1,z1=0,所以n=(1,-1,0): (ax2+ay2-hz2 =0 设平面哪的一个法向量为远三222则店票人所以220”一 (n2.PF=0 取z2=2a,则x2=h,y2=h,所以n2=(h,h,2a)。 因为m·2=1×h+(-1)×h+0×2a=0,所以n12,故平面PEF1平面PBE。 (2)设HG2A0)(0≤t≤a）,设平面B的一个法向量为n=k,).则元正-=0所以 (·BF=0 (四+2=0取z=t,则x=九，y=一总所以=-益切 tx 2ay=0 因为PE平面BPH,所以西P店=0，即(a,a-)·(仇-签)=0，得h-竺-t=0,解得t=受。 故AHHD-t:(a-)=号号=2：1，即点H为线段AD上靠近D的三等分点。 (3)此时a=BC=3,h=PB=2V3,所以F(0,3,V3),H(2,6,0)。 P元=0元-0p=(3,0,-23),PC1=V9+0+12=V21:F7=0i-0F=(2,3,-3) Fi=V4+9+3=4:PC.F7=3×2+0×3+(-23)×(-V3)=12。 设直线心与直线H所成角为0，则os9=0s<元，丽>=号品= 故直线PC与直线I所成角的余弦值为区。 70 又