2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

讲课人： 日期： 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标 学习目标 核心素养 1.结合具体情境，了解一元二次不等式的概念. 数学抽象 2.理解二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系，会解一元二次不等式. 逻辑推理 直观想象 复习回顾 一元二次方程 时 根与系数的关系（韦达定理） 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 思考：在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题： y=x+1 -1 1 方程x+1=0的解为x=-1 不等式x+1>0的解为x>-1 不等式x+1>1的解为x>0 对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，他们的联系又是怎样的呢？ y=ax2+bx+c ax2+bx+c=0 探索新知 思考：①式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ 探索新知 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般表达式ax2+bx+c>0 (a≠0)或ax2+bx+c<0 ，其中a，b，c均为常数，a≠0. 刚刚问题中得到的x2－12x＋20＜0，x∈{x|0＜x＜12}就是一个一元二次不等式.那么，如何求解这个不等式呢？ 一元二次不等式的概念 探索新知 1、不等式 的解集为 . 2、不等式 的解集为 . 3、不等式 的解集为 . ( -∞,-1 ) ∪（3，+∞） ［ -1 ,3 ］ (-∞，-1］∪［3，+∞) 看图说话 探索新知 自主探究 一元二次不等式 x2－12x＋20<0 与二次函数 y＝x2－12x＋20 之间的关系． 方程x2－12x＋20=0的两个实根 x1=2，x2=10 二次函数y=x2－12x＋20与x轴的两个交点 (2,0), (10,0) 不等式x2－12x＋20<0的解集，即为二次函数y<0对应的x的集合 y=x2－12x+20 y x O 15 2 5 10 20 5 10 －5 －10 －15 一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使得ax2+bx+c=0的实数x叫做函数y=ax2+bx+c的零点. 所以一元二次不等式x2－12x＋20＜0的解集｛x|2＜x＜10｝ 探索新知 一元二次不等式的解法 因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.对应关系如表： 的解集 的解集 没有实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 或 的根 的图象 探索新知 例1 求不等式x2-5x+6＞0的解集. 解:对于方程x2-5x+6=0,因为∆＞0，所以它有两个实数根.解得x1=2，x2=3. 画出二次函数y=x2-5x+6 的图象. 结合图像，可知不等式x2-5x+6＞0的解集为{x|x＜2，或x＞3}. 2 6 y x 3 探索新知 解:对于方程9x2-6x+1=0,因为∆=0，所以它有两个相等的实数根.解得 . 画出二次函数y=9x2-6x+1的图象，结合图像得不等9x2-6x+1＞0的解集为 . 0.2 0.6 y x 0.4 y=9x2-6x+1 例2 求不等式9x2-6x+1＞0的解集. 探索新知 例3 求不等式-x2+2x-3＞0的解集. 解:不等式x2-2x+3＜0. 画出二次函数y=x2-2x+3 的图象. 结合图象得不等式x2-2x+3＜0的解集为Ø，因此，原不等式的解集为Ø. 因为∆=-8＜0，所以方程x2-2x+3=0无实数根. 2 6 y x 4 3 探索新知 总结：用二次函数解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)和ax2+bx+c＜0(a＞0)的一般步骤： (1)把一元二次不等式化为基本形式(二次项系数为正，右边为0的形式)； (2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； (3)有根求根； (4)根据图象写出不等式的解集. 探索新知 将原不等式化为ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的形式 计算Δ=b2-4ac的值. △>0方程ax2＋bx＋c=0 有两个不相等的实数根，解得x1，x2（x1＜x2） 方程ax2＋bx＋c=0没有实数根 原不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2} 原不等式的解集为{x|x≠－ } 原不等式的解集为R 求解一元二次不等式的过程 探索新知 变式1、解下列不等式：x2－5x－6>0； 解 y＝x2－5x－6 探索新知 变式2、解下列不等式：(2－x)(x＋3)<0； 解 y＝(x－2)(x＋3) 探索新知 变式3、解下列不等式：4(2x2－2x＋1)>x(4－x). 解 y＝9x2－12x＋4 课堂小结 一元二次不等式的概念 一元二次不等式的解法 课堂检测 D 课堂检测 2.已知不等式的解集为{|}，求的值 法一：由题设条件知，且1，2是方程的两实根. 由韦达定理知 解得 法二：把 ，分别代入方程中， 得 解得 课堂检测 3.若不等式的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式的解集． 课后作业 课本第53页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知， 原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}. 原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0. 方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知， 原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}. 由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2. ∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0. 解方程9x2－12x＋4＝0， 得x1＝x2＝. 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知， 原不等式的解集为. 解　∵不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，所以a<0，且－3,4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－3＋4＝－\f(b,a)，,－3×4＝\f(c,a).))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－a，,c＝－12a.)) ∴不等式bx2＋2ax－c－3b≥0可化为－ax2＋2ax＋15a≥0， 即x2－2x－15≥0，解得x≤－3或x≥5， ∴所求不等式的解集为{x|x≤－3或x≥5}． $