第十九章实数（期中知识清单）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

第十九章 实数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 算术平方根 1.1 算术平方根的定义 一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 叫作 的算术平方根。 的算术平方根记为”“，读作”根号 “。 叫作被开方数。 示例：因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 。 1.2 0 的算术平方根 因为 的平方是 ，所以规定 的算术平方根是 ，记为 。 示例：。 1.3 算术平方根的小数点移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位。 示例：因为 ，所以 ；因为 ，所以 。 2. 平方根 2.1 平方根的定义 一般地，如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 叫作 的平方根，也称为二次方根。 叫作被开方数。 示例：因为 ，，所以 的平方根是 。 2.2 开平方 求一个数 的平方根的运算叫作开平方。 示例：求 的平方根，就是要对 进行开平方运算， 是被开方数。 2.3 平方根的性质 被开方数 平方根的情况 正数 有两个平方根，它们互为相反数 平方根是 负数 没有平方根 示例： 的平方根是 ； 的平方根是 ； 没有平方根。 注意：正数 的正的平方根就是 的算术平方根。 示例： 的两个平方根 中，正的 是 的算术平方根。 2.4 平方根的符号表示 正数 的两个平方根可以用符号”“表示。其中，”“表示 的正的平方根，即 的算术平方根；”“表示 的负的平方根，读作”负根号 “。 的平方根记为”“，。 示例： 的两个平方根是 ；。 3. 立方根 3.1 立方根的定义 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 ，那么这个数 叫作 的立方根，也称为三次方根。 叫作被开方数。 示例：因为 ，所以 的立方根是 ；因为 ，所以 的立方根是 。 3.2 开立方 求一个数 的立方根的运算叫作开立方。 示例：求 的立方根，就是要对 进行开立方运算， 是被开方数。 3.3 立方根的性质 被开方数 立方根的情况 正数 立方根是正数 立方根是 负数 立方根是负数 示例： 的立方根是 ； 的立方根是 ； 的立方根是 。 注意：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根。 示例：正数、、负数都只有一个立方根。 3.4 立方根的符号表示 数 的立方根用符号”“表示。一般地，。 示例：，。 3.5 立方根的小数点移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位。 示例：因为 ，所以 ；因为 ，所以 。 4. 有理数的小数形式 4.1 有理数与有限小数、无限循环小数 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。即有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数。 示例： 化成有限小数， 化成无限循环小数，它们都是有理数。 5. 无理数 5.1 无理数的定义 无限不循环小数又叫作无理数。 示例：、、 等都是无理数， 也是无理数。 注意： 不是有理数，它是无限不循环小数。 示例：。 6. 实数与数轴 6.1 实数的定义与分类 有理数和无理数统称为实数。实数分为有理数和无理数： 类别 含义 分类 有理数 有限小数或无限循环小数 正有理数、、负有理数 无理数 无限不循环小数 正无理数、负无理数 实数也可以分为正实数、、负实数。 示例：、、、 是有理数；、 是无理数。 6.2 实数与数轴上的点一一对应 实数与数轴上的点一一对应。 示例：任意一个实数在数轴上都有唯一的对应点；反过来，数轴上任意一点都对应一个有理数或一个无理数。 7. 实数的绝对值和大小比较 7.1 实数的绝对值 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值。实数 的绝对值记作 。设 表示一个实数，则 的取值 的值 示例：因为 ，所以 ；因为 ，所以 。 7.2 实数的相反数 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数； 的相反数是 。非零实数 的相反数是 。 示例：，，所以 、 的相反数分别是 、。 7.3 实数的大小比较 从数轴上看，右边的点对应的实数总比左边的点对应的实数大。负实数小于 ； 小于正实数；负实数小于正实数。两个正实数，绝对值大的数较大；两个负实数，绝对值大的数较小。 示例：因为负数小于正数，所以 ；因为 ，所以 ；因为 ，，且 ，所以 。 8. 实数的运算 8.1 实数的运算法则与运算律 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样。有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用。 若 、、 为实数，则有：加法交换律 ；加法结合律 ；乘法交换律 ；乘法结合律 ；乘法对加法的分配律 。 示例：。 8.2 实数混合运算的顺序 正数和 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。实数混合运算的顺序为：先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减。 示例：。 注意：涉及无理数的实数运算需要取近似值时，可以先对算式适当化简，再用”四舍五入法”按要求的精确度取近似值。 示例：。 9. 科学记数法 9.1 科学记数法的定义 把一个数表示成 （， 是整数或小数， 是整数）的形式，这种记数方法叫作科学记数法。当 或 时，“”常省略不写。 示例：；；。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 算术平方根的双重非负性 具有双重非负性：被开方数 ，且 。如 有意义，须 ，即 。 【使用提醒】由 有意义的条件列不等式时，双重非负性缺一不可。 1.2 与 的区别 （须 ）；（ 为任意实数），即当 时 ，当 时 。如 ，不能写成 。 【使用提醒】 先取绝对值再化简，结果恒为非负，符号由 的正负决定。 1.3 立方根的三条恒等式 ，。如 ，。 1.4 几个非负数的和为 0 、、 等非负数之和为 时，每一项都等于 。如 ，则 ，，。 【使用提醒】只有非负数才有”和为 则各项为 “的性质； 形项本身已非负，不必再加绝对值。 1.5 无理数的整数部分与小数部分 若 （ 为整数），则 的整数部分是 ，小数部分是 。如 ，故 的整数部分是 ，小数部分是 。 【使用提醒】小数部分必在 与 之间，写 而非 。 1.6 数轴上两点间的距离 数轴上点 、 对应的实数分别为 、，则线段 的长为 。如点 对应 ，点 对应 ，则 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求平方根、算术平方根、立方根的步骤 先由乘方关系找底数：求算术平方根找”哪个正数的平方等于它”；求平方根在算术平方根前加”“；求立方根找”哪个数的立方等于它”。如求 的平方根：由 ，，得 。 2.2 判断一个数是有理数还是无理数的步骤 先看形式：有限小数、无限循环小数、能化成分数的数是有理数；无限不循环小数是无理数。特别地， 是无理数，含 的式子通常是无理数；带根号的数须化简后判断，如 是有理数。 2.3 化简 类式子的步骤 先由 的符号写 ，再去绝对值。如化简 ：因为 ，所以原式 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 比较两个正无理数 、 比较被开方数：若 ，则 ，所以 比较两个负无理数 先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小 ，所以 估算无理数的整数部分（夹逼法） 找相邻整数 、 使 ，则 ，得 ，整数部分是 带分数化假分数再开方 先把带分数化成假分数，再开平方 被开方数化为平方数 开平方前把被开方数写成一个数的平方 由 得 实数混合运算的化简顺序 先开方、乘方，再乘除，后加减；同含 的项合并 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：混淆平方根与算术平方根，丢掉负的平方根 典例：填空：______。 错解：。 正解：。 表示 的算术平方根，只能取非负的那一个，所以 ；而 的平方根才是 。 原因：概念理解错误。“”是算术平方根的专用记号，结果只有非负的那一个；而” 的平方根”要写成”“，有两个。学生把” 的平方根”与”“混为一谈，见到根号就写成带正负号。 易错点 2：，忽略 的符号 典例：化简 。 错解：。 正解：（或由 ，得 ）。 原因：忽略算术平方根的非负性。学生把根号里的负号直接”搬”出来，忽略了 应等于 ，其值恒为非负。当 时 ，结果仍为正，不能简单照抄 。 易错点 3：认为负数没有立方根，混淆平方根与立方根的性质 典例：求 的立方根。 错解：因为负数没有平方根，所以 没有立方根。 正解： 的立方根是 ，因为 。负数的立方根是负数。 原因：概念迁移错误。学生把”负数没有平方根”错误地迁移到立方根上。实际上，正数、、负数都有立方根，且都只有一个立方根；负数没有的是平方根，立方根与平方根的性质恰好相反。 易错点 4：认为”带根号的数就是无理数” 典例：判断 是不是无理数。 错解：因为 带根号，所以 是无理数。 正解：，是有理数，不是无理数；而无理数 不带根号。判断无理数的依据是”是不是无限不循环小数”，与是否带根号无关。 原因：概念理解错误。学生把”带根号”当作无理数的标志。实际上，带根号的数化简后可能是有理数（如 、），而不带根号的 反而是无理数。判断的关键是小数点后是否”无限不循环”。 易错点 5：把无限循环小数当成无理数 典例：判断 是不是无理数。 错解： 是无限小数，所以是无理数。 正解：，是无限循环小数，属于有理数；只有无限不循环小数才是无理数。 原因：概念理解错误。学生把”无限小数”与”无限不循环小数”混为一谈，只记住了”无限”二字。判断的关键是小数点后是否循环：循环则是有理数，不循环才是无理数。 易错点 6：科学记数法中 10 的指数 确定错误 典例：用科学记数法表示 。 错解：。 正解：。 原因：指数确定错误。科学记数法要求 ；当原数是小于 的小数时， 是负整数，其绝对值等于小数点后第一个非零数字前面 的个数（ 中小数点与 之间有 个 ，故 ）。学生容易在 的符号与大小上出错。 学科网（北京）股份有限公司 $