专项突破04 轴对称的性质与垂直平分线（知识技巧点拨+10种高频考察题型 共30题）期中培优讲练-2025-2026学年人教版2024数学八年级上册考前冲刺

专项突破04 轴对称的性质与垂直平分线 （知识技巧点拨+10种高频考察题型 共30题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：轴对称与轴对称图形的性质 1 知识点梳理02：线段的垂直平分线 1 优选题型 考点讲练 2 题型1 台球桌面上的轴对称问题 2 题型2 轴对称中的光线反射问题 5 题型3 折叠问题 11 题型4 线段垂直平分线的性质 14 题型5 线段垂直平分线的判定 18 题型6 作已知线段的垂直平分线 21 题型7 作垂线（尺规作图） 23 题型8 对称线段问题（轴对称综合题) 29 题型9 面积问题（轴对称综合题) 33 题型10角度问题（轴对称综合题) 37 知识点梳理01：轴对称与轴对称图形的性质 1.轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点梳理02：线段的垂直平分线 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 性质： 性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 　 性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 题型1 台球桌面上的轴对称问题 1．（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，汾河岸边有A，B两个住宅小区，恒富然气公司想在汾河边L上修建一个天然气站，问天然气站位置选在什么地方时，才能使管道铺设用材最少？（写出画法，并保留痕迹） 【答案】见解析． 【思路引导】直接利用轴对称求最短路线方法得出天然气站的位置． 【规范解答】如图所示：首先作出A点关于汾河边L的对称点A′，再连接A′B，A′B与汾河边L的交点处就是P处，即天然气站位置． ． 【考点剖析】此题主要考查了应用设计与作图，在直线L上的同侧有两个点A，B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2．（2021·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是 ． 【答案】674 【思路引导】根据题意易得发光电子经过六次回到点P，进而根据此规律可进行求解． 【规范解答】解：根据题意可得如图所示： 由图可知发光电子经过六次回到点P，则发光电子与AB边碰撞的次数为2次， ∴， ∴发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是（次）； 故答案为674． 【考点剖析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 3．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 【答案】（1）30；（2）的余角是：；（3）见解析（4）； 【思路引导】（1）根据轴对称性质求解即可； （2）根据余角的定义求解即可； （3）根据反射定律得，，又，得出，由平行线的判定即可得出结论； （4）根据，，，得出，根据，证得，根据三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：（1）由题意得：，， ∴， ∴． （2）证明：∵ ∴，， ∵ ∴ ∴的余角是，． （3）， ∴， ∴， 由反射定律得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； （4），，， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了余角的定义，平行线的判定，轴对称的性质，反射定律，三角形内角和定理，熟练掌握余角的定义：两角的和等于90度，这两角互为余角，平行线的判定定理是解题的关键． 题型2 轴对称中的光线反射问题 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）光线镜面反射时，入射光线、反射光线、法线（经过入射点并垂直于反射面的直线）在同一平面内并且入射光线、反射光线在法线的两侧，反射角等于入射角．如图①，为一镜面，为入射光线、入射点为，为法线，为反射光线，此时． (1)如图①，求证：； (2)两平面镜，相交于点，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后恰好过点． ①如图②，若两束光线，相交于点，请探究与之间的数量关系； ②如图③，若两束光线，所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是______． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析；② 【思路引导】本题考查了角的和差，轴对称反射问题，以及三角形内角和等知识，解题的关键是利用镜面反射中反射角等于入射角的性质，结合角的和差关系进行推导． （1）根据镜面反射中“法线垂直镜面”得出，再结合“反射角等于入射角”，利用角的和差关系，即，推导出． （2）①由（1）的结论，设，，先得出；再根据平角定义求出，；最后利用三角形内角和，求出，进而推导出．②设，，先求出，；再根据角的差求出，同时得出，从而推导出． 【规范解答】（1）证明：根据题意，得，， ， ， 即． （2）解：①由（1）可知． 设， ． ，， ； ， 即． ②设，． ，．．． ． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）学科融合：物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 问题解决： （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射后，两反射光线形成的夹角， ； （2）如图3，当两个平面镜，的夹角是多少度时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到．请说明理由； 尝试探究： （3）人们发现了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反射光罩的交点）经反射光罩后沿射出，且，请求出的度数． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定与性质、光线的反射问题等知识点，掌握平行线的判定与性质以及分类讨论思想成为解题的关键. （1）根据光的反射定律以及平行线的性质即可解答； （2）根据光的反射定律和平行线的判定和性质求解即可； （3）分点D在点C下方和上方两种情况，分别根据光的反射定律和平行线的性质求解即可． 【规范解答】解：（1）由光的反射定律可知， ∴， 又∵， ∴， ∴∠2=180°-2∠PCB=180°-100°=80°， 故答案为：． （2）时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，理由如下： 根据光的反射定律及等角的余角相等，可得，， 如图，过点O作， ∵， ， ，，， ，，， ，， ，， ． （3）如图1所示，当点D在点C下方时， 由题意可知， ，， ，，， ； 如图2所示，当点D在点C上方时， 由题意可知， ，， ． 综上，的度数为或． 6．（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据已知条件得出，根据内错角相等，两直线平行即可判断； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据平角的意义及角的和差得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （3）先求出，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：（1）理由：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）如图 ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 当时， ∴ 解得： 题型3 折叠问题 7．（24-25八年级上·安徽·期末）将的短直角边对折到长直角边上，使点与边上点重合，折痕，且有，以下结论正确的是（   ） ①；②；③；④点到直角边、的距离相等． A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④ 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确折叠后图形相对应的边和角大小不变． 由，得出，因为，由折叠性可知，所以，再由，解得即可判断①，由折叠性可知，若则有，不能同时垂直两条相交线，所以错误即可判断②；由①知，，若，由折叠性可知，是等边三角形，得到，所以即，由②知错误即可判断③；由折叠性可知，，即是的角平分线，所以点到直角边、的距离相等． 【规范解答】， ， ， 由折叠性可知， ， ， ，即， ，故①正确； 由折叠性可知， 若，则有， 不能同时垂直两条相交线，所以错误，故②错误； ，， 若，由折叠性可知，是等边三角形， ， ，即， 由②知错误，故③错误； 由折叠性可知，，即是的角平分线， 所以点到直角边、的距离相等，故④正确； 故选：D． 8．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，沿折叠使点落在点处，、分别是、平分线，若，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，理解折叠性质是解答的关键．先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形的内角和定理和外角性质求得，由折叠性质和平角定义求得，然后利用三角形的内角和定理求得，进而利用平角定义求解即可． 【规范解答】解：∵分别是、平分线， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∵沿折叠使点A落在点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是纸飞机的示意图，在折叠的过程中，使得和能够重合，和重合，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②④ 【思路引导】由折叠得，根据全等三角形性质判断①②③，进而推出，由此判断④，即可求得答案． 本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 【规范解答】解：由折叠得， ∴，，， ∴，，， 故结论①正确，②正确，结论③错误； 又∵，即， 故结论④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故答案为①②④． 题型4 线段垂直平分线的性质 10．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）尺规作图 (1)如图，在的网格中，的顶点均在格点上，借助网格特征，只利用直尺画出直线，使得直线垂直平分． (2)如图，在中，，求作点，使点在内部，且，(不写作法，保留作图痕迹)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）结合网格特征，得出，，，，即，故垂直平分，即直线垂直平分． （2）结合在中，，，则作出的角平分线，且，所以作出的垂直平分线，的角平分线与的垂直平分线的交点即为点P，即可作答． 【规范解答】（1）如图①，直线l即为所求 （2）如图②，点P即为所求 【考点剖析】本题考查了作垂线，角平分线，垂直平分线的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 11．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，． (1)用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D，在射线上截取线段（点F在的下方），使得，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)根据（1）中作图，若，证明：． 证明： 垂直平分， ①________，， ，， ，． 在和中， ， ． ③________． 在中，， ， ， 即④________． ． 【答案】(1)图见解析 (2) ；；； 【思路引导】本题考查的是尺规作图—作垂直平分线、线段及全等三角形的判定与性质， （1）按要求先作线段的垂直平分线，再截取线段，连接即可； （2）先证明，再证，得出，即可证明从而得出结论． 【规范解答】（1）解：如下图，即为所求作； （2）证明： 垂直平分， ，， ，， ，． 在和中， ， ． ． 在中，， ， ， 即． ． 12．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）已知直线及其两侧两点，，如图．    (1)在直线上求一点，使； (2)在直线上求一点，使直线平分． (以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查线段的垂直平分线的运用，掌握基本作图是解题关键． （1）作线段的垂直平分线与l的交点即为所求； （2）找出点B关于直线l对称的点C，再连接并延长，交直线l于点Q，再作射线即可． 【规范解答】（1）解：如下图所示：点P即为所求作的点，    （2）解：如下图所示：点Q即为所求作的点，    题型5 线段垂直平分线的判定 13．（2025八年级上·全国·专题练习）课本再现： 前面已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？ 事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理． 现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程： 已知：如图，线段，，求证：点在线段的垂直平分线上．证明： 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明． 连接点P与的中点O，利用可证，根据全等三角形对应角相等可证，所以可证是的垂直平分线． 【规范解答】连接点P与的中点O， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴点在线段的垂直平分线上． 14．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，当时，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【思路引导】此题主要考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题关键是根据证明和全等． （1）根据证明和全等即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段垂直平分线的性质解答即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴． ∵E为的中点， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴． 答：的长为5． 15．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）如图，在中，分别是边的垂直平分线，，则的周长是________． （2）如图，，连接交于点，则________． 【答案】（1）11；（2）2 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． （1）本题需要利用线段垂直平分线的性质，将的周长转化为已知线段的和来求解； （2）本题要根据线段垂直平分线的判定与性质，确定是的垂直平分线，从而得出的长度． 【规范解答】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为：． （2）∵，根据线段垂直平分线的判定，可知点都在的垂直平分线上． ∴是的垂直平分线． ∴． ∵， ∴． 题型6 作已知线段的垂直平分线 16．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）为了迎接九十校庆，学校要修建一处公共设施，使它到校史馆、办公楼、体育馆的距离相等，若、、的位置如图①所示，请你在图中确定这处公共设施（用点表示）的位置．（不写作法，仅保留作图痕迹） 【答案】见解析 【思路引导】此题主要考查了线段垂直平分线的作法及其性质，作出垂直平分线是解题关键．连接，，分别作出，的垂直平分线，交点即为点． 【规范解答】解：如图所示：所以点即为所求． 17．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，已知，，完成以下问题： (1)利用尺规作图，作出的中线；（不写作法，保留作图痕迹）． (2)过点M与垂直的直线交于点 D，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作垂直平分线，熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键． （1）利用基本作图作的垂直平分线交于点M，连接即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长求解即可． 【规范解答】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图所示，连接，根据题意易知，是边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 18．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在边找一点，使得点到边距离相等； (2)如图2，找一点，使得点到的三个顶点距离相等． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【思路引导】本题考查了作图—角平分线的作法、作图—线段垂直平分线的作法： （1）作出的角平分线，要求的点为该角平分线与的交点； （2）作出三角形任意两边的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点． 【规范解答】（1）解：如图： 以为圆心画圆弧与分别交于，以分别为圆心，的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接并延长交于，点即为所求； （2）解：如图： 以为圆心，大于的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接； 以为圆心，大于的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接； 和交于即为所求点． 题型7 作垂线（尺规作图） 19．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知，． (1)在边上求作一点P，使． (2)在上求作一点M，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了垂线和角平分线的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键． （1）过点B作交于P，根据可得； （2）根据角平分线的尺规作图方法作图即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，点P即为所求； （2）解：如图所示，点M即为所求． 20．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题： （一）已知：为锐角三角形，求作：的平分线． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； ③画射线，则射线即为所求． （1）如图1，射线就是的角平分线的依据是______； A．   B．    C．    D． （2）课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角平分线的方法？ 下面是两位同学给出的两种方法： ①甲同学：用三角板按下面方法画角平分线：如图2，在已知的边，上分别取，再分别过点，作，的垂线，两垂线交于点，画射线，则平分． 请你帮这位同学证明：平分； ②乙同学：用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图3，以点为圆心，以任意长为半径画弧与，分别交于点，，再以任意长为半径画弧与，分别交于点，，连接，交于点，画射线，则平分．你认为同学乙的这种作角平分线的方法是否正确：______（填“正确”或“错误”）． ③丙同学：如图4，把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线，再把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线；与相交于点，连接，则是的角平分线．你认为丙同学的这种作角平分线的依据是：______ （3）你还有什么作角平分线的方法（与以上作法原理不一样）？请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （二）请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．写出必要的文字说明 如图，在边上找一点，使点到点的距离等于点到边的距离． 【答案】（一）（1）C；（2）①见解析；②正确；③角平分线的判定定理；（3）见解析；（二） 【思路引导】（一）（1）连接，，由作图可得，，证明得出，即可得解； （2）①由作法可得，证明，得出，即可得证； ②由作法可得，，，从而得出，证明，得出证明，得出，最后证明，得出，即可得解； ③根据角平分线的判定进行求解即可； （3）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点C，交于点D，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，则过点O，即为的平分线； （二）延长，过点B作，交的延长线于点D，作的角平分线，交于点E，则点E即为所求作的点． 【规范解答】解：（一）（1）连接，， 由作法可得，， ∵， ∴， ∴， ∴射线就是的角平分线的依据是， 故选：C； （2）①证明：由作法可得，， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②正确，理由如下： 由作法可得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即平分； ③根据作图可知：点P到的距离等于直尺的宽度，点P到的距离等于直尺的宽度， ∵直尺的宽度不变， ∴点P到的距离等于点P到的距离， ∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上， ∴平分， 即丙同学的这种作角平分线的依据是角平分线的判定定理； （3）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点C，交于点D，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，则过点O，即为的平分线； 根据作图可知：，垂直平分， ∵到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上， ∴此时的垂直平分线过点O， ∵，， ∴根据等腰三角形三线合一可知，平分． （二）如图，点E即为所求作的点． 根据作图可知：，平分， 因为角平分线上点到角的两边距离相等，所以点E到的距离等于点E到的距离， 即点E到点B的距离等于点E到的距离． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，尺规作角平分线和垂直平分线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 21．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知点A．点B以及直线l． (1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使．(保留作图痕迹，不要求写出作法)； (2)在（1）中所作的图中，若，，垂足分别是M，N，且． ①求证：． ②求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【思路引导】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练应用线段垂直平分线的性质是解题关键． （1）连接，利用线段垂直平分线的尺规作图法，作出的垂直平分线得出即可； （2）①利用全等三角形的判定方法证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论； ②根据三角形的外角性质可得结论． 【规范解答】（1）解：如图，点P即为所求作： （2）①证明：∵，， ∴， 在和中， ， ， ． ②解：∵，， ∴． 题型8 对称线段问题（轴对称综合题) 22．（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了最短路径的数学问题．解决本题的关键是是熟练掌握轴对称的性质． 利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【规范解答】解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于M． 根据两点之间，线段最短，则所需管道最短． 故选：C． 23．（2024·福建厦门·模拟预测）已知的各顶点坐标分别为，，， (1)画出； (2)画出关于y轴对称的，并写出坐标； (3)请在x轴上找到一个点P，使得P点到点B、点A的距离的和最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了坐标系中描点，轴对称坐标，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）根据点，点，点，在平面直角坐标系中描点，然后连线即可； （2）作点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后再顺次连接即可； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求作的点． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求作的三角形，点的坐标为； （3）解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求作的点． 连接，根据轴对称可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 24．（24-25八年级上·江苏南通·期末） 如图，已知△ABC 的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于直线 的轴对称图形，A，B，C的对应点分别是 D，E，F，并直接写出 D，E，F的坐标； (2)求四边形的面积； (3)若点 P 在 x 轴上，且 的值最小，请直接写出点 P 的坐标． 【答案】(1)图形见解析，； (2)14； (3) 【思路引导】本题考查了轴对称作图、平面直角坐标系，求最短路径问题，解题的关键是根据轴对称的性质，找出对应点的坐标． （1）根据轴对称的性质，找出对应点D、E、F的坐标，连结即可； （2）利用梯形的面积公式计算即可； （3）根据轴对称的性质，先作出点A关于x轴对称点，再连结，与x轴相交于点，点P即为所求． 【规范解答】（1）解：如下图所示：即为所求，； （2）解：， ； （3）解：作点A关于x轴对称点，连结与x轴相较于点，点P即为所求． 理由：根据轴对称的性质，可知， ， 因为两点之间线段最短，所以的长度是的最小值，故点即为所求． 题型9 面积问题（轴对称综合题) 25．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为 ．(用含a，b的代数式表示) 【答案】 【思路引导】本题考查了轴对称图象的性质，全等三角形的性质，解题的关键是证明出为直角三角形，利用轴对称的性质得到三角形全等，证明出为等腰直角三角形，进一步证明出为直角三角形即可求解． 【规范解答】解：连接， 根据轴对称的性质可知：， ，，， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， 故答案为：． 26．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图所示． (1)作出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2)4 【思路引导】此题考查了轴对称作图，利用割补法求网格中三角形的面积，正确理解轴对称的性质是解题的关键． （1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接；根据图示以及直角坐标系的特点写出点的坐标； （2）利用割补法求三角形的面积． 【规范解答】（1）如图所示：    ∴点的坐标为； （2）由图可知，． 27．（21-22八年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为． (1)若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到，并写出的坐标； (2)求出△ABC的面积； (3)在y轴上找一点P，使得的值最小(保留作图痕迹，不写作法)． 【答案】(1)作图见解析，B1(3，－2) (2)5.5 (3)作图见解析 【思路引导】（1）根据平移的定义画出图形，写出坐标即可． （2）从图中可知△ABC的面积即为3×4网格减去三个小三角形的面积． （3）作A点关于y轴对称点 ，连接交y轴于点P，点P即为所求． 【规范解答】（1）解：如图， 为所求图形.     由图可知: （2） （3）解：如图， 点P即为所求． 【考点剖析】本题考查平移与坐标系，解题的关键在于理解平移的概念，利用对称求两线段最短值. 题型10角度问题（轴对称综合题) 28．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【思路引导】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【规范解答】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 29．（2025·河北石家庄·三模）如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了折叠的性质，轴对称的性质. 分别求出两极值点即可. 【规范解答】由题意可知 当点F在上时，点E，F重合， 此时 即； 当点F在上时， ∴ ∵， ∴， 解得． 所以x的取值范围是． 故选B． 30．（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，点为内一定点，点，分别在的两边上，若的周长最小，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】作点关于的对称点，点关于的对称点，其中交于，交于，此时的周长最小值等于的长，由轴对称的性质可知△是等腰三角形，所以，推出，所以，即得出答案． 【规范解答】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点， 连接，，，其中交于，交于， 此时的周长最小值等于的长， 由轴对称性质可知：，，，， ， ， ， 即， 故选：D． 【考点剖析】本题考查了轴对称-最短路径问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破04 轴对称的性质与垂直平分线 （知识技巧点拨+10种高频考察题型 共30题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：轴对称与轴对称图形的性质 1 知识点梳理02：线段的垂直平分线 1 优选题型 考点讲练 2 题型1 台球桌面上的轴对称问题 2 题型2 轴对称中的光线反射问题 4 题型3 折叠问题 6 题型4 线段垂直平分线的性质 7 题型5 线段垂直平分线的判定 9 题型6 作已知线段的垂直平分线 10 题型7 作垂线（尺规作图） 12 题型8 对称线段问题（轴对称综合题) 14 题型9 面积问题（轴对称综合题) 15 题型10 角度问题（轴对称综合题) 17 知识点梳理01：轴对称与轴对称图形的性质 1.轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点梳理02：线段的垂直平分线 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 性质： 性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 　 性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 题型1 台球桌面上的轴对称问题 1．（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，汾河岸边有A，B两个住宅小区，恒富然气公司想在汾河边L上修建一个天然气站，问天然气站位置选在什么地方时，才能使管道铺设用材最少？（写出画法，并保留痕迹） 2．（2021·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是 ． 3．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 题型2 轴对称中的光线反射问题 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）光线镜面反射时，入射光线、反射光线、法线（经过入射点并垂直于反射面的直线）在同一平面内并且入射光线、反射光线在法线的两侧，反射角等于入射角．如图①，为一镜面，为入射光线、入射点为，为法线，为反射光线，此时． (1)如图①，求证：； (2)两平面镜，相交于点，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后恰好过点． ①如图②，若两束光线，相交于点，请探究与之间的数量关系； ②如图③，若两束光线，所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是______． 5．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）学科融合：物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 问题解决： （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射后，两反射光线形成的夹角， ； （2）如图3，当两个平面镜，的夹角是多少度时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到．请说明理由； 尝试探究： （3）人们发现了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反射光罩的交点）经反射光罩后沿射出，且，请求出的度数． 6．（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3） 调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 题型3 折叠问题 7．（24-25八年级上·安徽·期末）将的短直角边对折到长直角边上，使点与边上点重合，折痕，且有，以下结论正确的是（   ） ①；②；③；④点到直角边、的距离相等． A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④ 8．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，沿折叠使点落在点处，、分别是、平分线，若，，则 ． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是纸飞机的示意图，在折叠的过程中，使得和能够重合，和重合，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有 （填序号）． 题型4 线段垂直平分线的性质 10．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）尺规作图 (1)如图，在的网格中，的顶点均在格点上，借助网格特征，只利用直尺画出直线，使得直线垂直平分． (2)如图，在中，，求作点，使点在内部，且，(不写作法，保留作图痕迹)． 11．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，． (1)用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D，在射线上截取线段（点F在的下方），使得，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)根据（1）中作图，若，证明：． 证明： 垂直平分， ①________，， ，， ，． 在和中， ， ． ③________． 在中，， ， ， 即④________． ． 12．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）已知直线及其两侧两点，，如图．    (1)在直线上求一点，使； (2)在直线上求一点，使直线平分． (以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法) 题型5 线段垂直平分线的判定 13．（2025八年级上·全国·专题练习）课本再现： 前面已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？ 事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理． 现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程： 已知：如图，线段，，求证：点在线段的垂直平分线上．证明： 14．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，当时，，，求的长． 15．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）如图，在中，分别是边的垂直平分线，，则的周长是________． （2）如图，，连接交于点，则________． 题型6 作已知线段的垂直平分线 16．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）为了迎接九十校庆，学校要修建一处公共设施，使它到校史馆、办公楼、体育馆的距离相等，若、、的位置如图①所示，请你在图中确定这处公共设施（用点表示）的位置．（不写作法，仅保留作图痕迹） 17．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，已知，，完成以下问题： (1)利用尺规作图，作出的中线；（不写作法，保留作图痕迹）． (2)过点M与垂直的直线交于点 D，求的周长． 18．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在边找一点，使得点到边距离相等； (2)如图2，找一点，使得点到的三个顶点距离相等． 题型7 作垂线（尺规作图） 19．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知，． (1)在边上求作一点P，使． (2)在上求作一点M，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法） 20．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题： （一）已知：为锐角三角形，求作：的平分线． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； ③画射线，则射线即为所求． （1）如图1，射线就是的角平分线的依据是______； A．   B．    C．    D． （2）课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角平分线的方法？ 下面是两位同学给出的两种方法： ①甲同学：用三角板按下面方法画角平分线：如图2，在已知的边，上分别取，再分别过点，作，的垂线，两垂线交于点，画射线，则平分． 请你帮这位同学证明：平分； ②乙同学：用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图3，以点为圆心，以任意长为半径画弧与，分别交于点，，再以任意长为半径画弧与，分别交于点，，连接，交于点，画射线，则平分．你认为同学乙的这种作角平分线的方法是否正确：______（填“正确”或“错误”）． ③丙同学：如图4，把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线，再把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线；与相交于点，连接，则是的角平分线．你认为丙同学的这种作角平分线的依据是：______ （3）你还有什么作角平分线的方法（与以上作法原理不一样）？请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （二）请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．写出必要的文字说明 如图，在边上找一点，使点到点的距离等于点到边的距离． 21．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知点A．点B以及直线l． (1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使．(保留作图痕迹，不要求写出作法)； (2)在（1）中所作的图中，若，，垂足分别是M，N，且． ①求证：． ②求的度数． 题型8 对称线段问题（轴对称综合题) 22．（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 23．（2024·福建厦门·模拟预测）已知的各顶点坐标分别为，，， (1)画出； (2)画出关于y轴对称的，并写出坐标； (3)请在x轴上找到一个点P，使得P点到点B、点A的距离的和最短． 24．（24-25八年级上·江苏南通·期末） 如图，已知△ABC 的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于直线 的轴对称图形，A，B，C的对应点分别是 D，E，F，并直接写出 D，E，F的坐标； (2)求四边形的面积； (3)若点 P 在 x 轴上，且 的值最小，请直接写出点 P 的坐标． 题型9 面积问题（轴对称综合题) 25．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为 ．(用含a，b的代数式表示) 26．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图所示． (1)作出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标． (2)求的面积． 27．（21-22八年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为． (1)若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到，并写出的坐标； (2)求出△ABC的面积； (3)在y轴上找一点P，使得的值最小(保留作图痕迹，不写作法)． 题型10 角度问题（轴对称综合题) 28．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 29．（2025·河北石家庄·三模）如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，点为内一定点，点，分别在的两边上，若的周长最小，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $