4.1指数（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.1指数 4.1指数 学 习 目 标 1 2 3 理解n次方根、根式的概念与性质，掌握分数指数幂的定义和运算公式，熟练实现根式与分数指数幂的互化，能进行指数幂的简单运算. 经历整数指数幂拓展为分数指数幂的推导过程，体会等价转化、由特殊到一般的数学思想，提升运算求解与归纳推理能力. 感受指数运算体系的完整性与统一性，体会数学知识的递进规律，养成严谨细致、规范运算的良好学习习惯。 新课引入 情境1：公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，该学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生. 在上一章学习幂函数时，我们也将记作，这样做的意义是什么呢？下面我们从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究． 新课引入 问题1：初中我们就已经学习过平方根，立方根。同学们是否还记得它们是怎样定义的吗？ 如果,那么就称为的平方根，记作 正的平方根叫的算术平方根，记作 注意：一个非负数的平方根有两个，且它们互为相反数； 特别地，0的平方根为0，记作 例如：∵，∴4的平方根为，记作， 其中4的算术平方根为，记作 新课引入 问题1：初中我们就已经学习过平方根，立方根。同学们是否还记得它们是怎样定义的吗？ 如果,那么就称为的平方根，记作 如果,那么就称为的立方根，记作 注意：一个实数的立方根只有一个，且立方根与被开方数符号一致； 特别地，0的立方根为0，记作 例如：∵， ∴8的立方根为，记作 ∵， ∴0的立方根为，记作0 ∵，∴-8的立方根为，记作 新课引入 如果,那么就称为的平方根，记作 如果,那么就称为的立方根，记作 类似地，由于(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根. 若，我们把叫做_____________. 若，我们把叫做_____________. 若，我们把叫做_____________. 的4次方根 的5次方根 的次方根 探究一：次方根 新知探究 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且 辨析1.填空： 4的平方根是__________； -4的平方根是___________; 8的平方根是_________； -8的平方根是_________； −27的立方根是__________; 27的立方根是________； 16的4次方根是________； −16的4次方根是_________; 64的4次方根是_______； 32的5次方根是________； −32的5次方根是_________. 不存在 - 3 不存在 - 思考1：从辨析1中，你能发现并总结次方根的性质吗？ 不存在 探究一：次方根 新知探究 为奇数 为偶数 ______ 不存在 次方根的性质: 思考2：为什么负数没有偶次方根？ 因为任意实数的偶次方都是非负数 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 探究一：次方根 新知探究 辨析2.求下列各式的值： (1) (2) ; (3); (4). 【答案】：(1)； (2)； (3)； (4) 问题2：表示的次方根，那么一定成立吗？ 不一定， 问题3：一定成立吗？ 一定成立 典例精讲 例1：求下列各式的值： (1) (2) ; (3); (4). 【分析】①② 解：(1)； (2)； (3)； (4) 探究二：分数指数幂 新知探究 问题4：若，试化简，， ① ② ③ 追问1：观察上述式子，你能发现什么吗？ 当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式. 探究二：分数指数幂 新知探究 追问2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？ 可以，把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把，等写成下列形式： 探究二：分数指数幂 新知探究 由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是 于是，在条件下，根式都能写成分数指数幂形式. 正数的正分数指数幂的意义： 正数的负分数指数幂的意义： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 探究二：分数指数幂 新知探究 问题5：与所表达的意义是否相同，你发现了什么？ ； 无意义， 分数指数不能随意约分，因为约分之后可能会改变根式有意义的条件 规定了分数指数幂的意义后，幂中指数的取值范围就从整数拓展到了有理数. 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数均有下面的运算性质. (1); (2); (3) 典例精讲 例2：求值：(1) 【分析】 解：(1) (2) 例3：用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中） (1) 解：(1) (2) 典例精讲 例4：计算下列各式(式中字母均是正数)： (1)； (2)； (3)(). 解：(1) (2) 【分析】 典例精讲 例4：计算下列各式(式中字母均是正数)： (3)(). 【分析】 解：(3)() 探究三：无理数指数幂 新知探究 上面我们将中指数的取值范围从整数拓展到了有理数.那么，当指数是无理数时，的意义是什么?它是一个确定的数吗?如果是，那么它有什么运算性质? 在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数．类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂． 探究三：无理数指数幂 新知探究 问题5：根据的不足近似值和过剩近似值(如下表)，利用计算工具计算相应的，的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？ 的近似值 的近似值 1.4 1.5 1.41 1.42 1.414 1.415 1.414 2 1.414 3 1.414 21 1.414 22 1.414 213 1.414 214 1.414 213 5 1.414 213 6 1.414 213 56 1.414 213 57 1.414 213 562 1.414 213 563 … … 探究三：无理数指数幂 新知探究 的近似值 的近似值 1.4 9.518 269 694 1.5 11.180 339 89 1.41 9.672 669 972 9 1.42 9.829635 328 1.414 9.735 171 039 1.415 9.750 851 808 1.414 2 9.738 305 174 1.414 3 9.739 872 62 1.414 21 9.738 461 907 1.414 22 9.738 618 643 1.414 213 9.738 508 928 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 5 9.738 516 765 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 56 9.738 517 705 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 562 9.738 517 736 1.414 213 563 9.738 517 752 … ………… … … 问题5：根据的不足近似值和过剩近似值(如下表)，利用计算工具计算相应的，的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？ 探究三：无理数指数幂 新知探究 可以发现，当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时， 和都趋向于同一个数，这个数就是. 也就是说，是一串逐渐增大的有理数指数幂 和另一串逐渐减小的有理数指数幂逐步逼近的结果，它是一个确定的实数. 这个过程可以用图 4.1-1 表示 探究三：无理数指数幂 新知探究 (1); (2); (3) 一般地，无理数指数幂为无理数是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数.实数指数幂是一个确定的实数.整数指数幂的运算性质也适应于实数指数幂，即对于任意实数均有下面的运算性质. 即时训练 题型1 根式的化简与求值 1、化简： (1) (2) (3). 解：(1) (2)显然，有意义，所以. 即 (3) 即时训练 题型1 根式的化简与求值 2、设,求的值. 解：原式, 而∴分情况讨论： 当时，原式； 当时，原式. 综上， 即时训练 题型1 根式的化简与求值 3、将下列根式化成分数指数幂形式. 解：(1) (2). (3) (4) 即时训练 题型1 根式的化简与求值 4、用分数指数幂表示下列各式： 解：(1) (2)； (3) 即时训练 题型2 实数指数幂的运算 1、计算下列各式（式中字母都是正数）. . 解：(1)原式 (2)原式； (3)原式 即时训练 题型2 实数指数幂的运算 2、化简或计算下列各式： 解：(1)原式 (2)原式 即时训练 题型3 整体代换法求分数指数幂 1、已知，求下列各式的值： 解：将两边同时平方，得：. (1) (2)将两边同时平方，得：.∴ (3) 课堂小结 感谢聆听! $