第4章 相似三角形 综合素养提升(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

第4章相似三角形 综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.如图，点P是△ABC的重心，过点P作AC的平行线，分别交AB,BC于点D,E,作 DFEC交AC于点F.若△ABC的面积为18，则四边形ECFD的面积为 () A.6 B.8 C.10 D.12 D (第1题) (第2题)》 (第3题) 2.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AD交AB于点 E,M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F,BD=4,CD=3.有下列结论： ①∠AED=∠ADC;②BE=DE;③△BED∽△BDA;④3BF=4AC.其中，正确 的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD,且AC=8,BD=4,各边中点分别为A1, B1,C1,D1,顺次连结得到四边形A1B1C1D1,再取各边中点A2,B2,C2,D2,顺次连结 得到四边形A2B,C2D2,…,以此类推，这样得到四边形A,B,CD,则四边形 A,B.C.D,的面积为 () .1 1 A.2 B. 2n-2 C.2 D.2 4.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD,E是AB上一点，且AC=AE,连结 CE交⊙O于点F,连结BD交CF于点G.若EG=4,FG=8,则CE的长为 0 (第4题) (第5题) (第6题》 5.图①是捣谷物的“碓”，图②是其示意图，O为转动支点，CD⊥AB于点B,AB与水平线 MN的夹角∠BOM=30°，BC=40cm,OB=120cm,OA=40cm.当点C绕，点O旋转下 落到MN上时，点A上升 cm. 6.如图，△AOC中三个顶点的坐标分别为(4,0)，(0,0)，(4,3)，∠CAO=90°，AP为 △AOC的中线，以点O为位似中心，把△AOP的每条边扩大到原来的2倍，得到 △AOP',则PP的长为 29 数学（浙教版）九年级全一册 7.新考探究题如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从点 C同时出发，均以1cm/s的速度分别沿CA,CB向终点A,B移动.同时，动点P从点B 出发，以2cm/s的速度沿BA向终点A移动，连结PM,PN,NM,设移动时间为ts (0t2.5). (1)当t为何值时，以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似？ (2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S(cm)有最小值？若存在，求S的最 小值；若不存在，请说明理由， B←N (第7题) 8.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,点M,N分别在AB,AD上，且MN⊥MC,E 为CD的中点，连结BE交MC于点F. (1)当F为BE的中点时，求证：AM=CE. @部2 DV的值 (a)若MN/BE,求N的值 B (第8题) 30数学（浙教版）九年级全一册 ∠PFB=∠PDE,∠CEF+∠DEO=∠PDE十∠EDO= 90°，且∠DEO=∠EDO,所以∠CEF=∠CFE.所以EC= FC=BC一BF=2.过点E作EG⊥CF于点G,所以 ∠EGC=∠ABC=90°.所以EG∥AB.所以△CEGD △CB所密恶器受-号-9所以G 4 5 cG=号所以GF=C-BF-6G=3-1-号-台 8 因为G/BD,所以△BGFO△PBF,所以票蛋，即 84 FB=广.所以PB=2.所以AP=2+4=6,综上所述，AP 55 的长为2或6. E 0 (第5题) [综合素养提升] ①B如图，连结BP并延长交AC于点G.由重心的性 质，得BP:PG=2:1.因为DE∥AC,所以BD:DA= BP:PG=2:1.所以BD:BA=2:3,AD:AB=1：3. 因为DEAC,DF∥BC,所以△BDE∽△BAC,△ADF △ABC.所以S△E:S△BAC=4:9,SAADF:S△Ax=1: Q所以Sams=号Sac=8,Sm=Sae=2所以 四边形ECFD的面积=18-8-2=8. (第1题) ②C因为AC⊥BC,DE⊥AD,所以∠ADE=∠ACD= 90°.所以∠AED=90°-∠EAD,∠ADC=90°-∠DAC. 因为AD平分∠BAC,所以∠EAD=∠DAC.所以 ∠AED=∠ADC.故①正确.因为BF⊥BC,AC⊥BC,所 以FB∥AC,∠CAD+∠ADC=90°.所以∠FBA= ∠CAM.因为AD平分∠BAC,所以∠CAM=2∠CAD.所 以∠ABD=90°-∠FBA=90°-∠CAM=90°-2∠CAD. 62 因为DE⊥AD,所以∠BDE十∠ADC=90°.因为 ∠CAD+∠ADC=90°，所以∠CAD=∠BDE.因为90°- 2∠CAD与∠CAD不一定相等，所以∠ABD与∠BDE不 一定相等.所以BE与DE不一定相等.故②不正确.由① 知∠AED=∠ADC,所以180°-∠AED=180°-∠ADC. 所以∠BED=∠BDA.又因为∠DBE=∠ABD,所以 △BEDP△BDA.故③正确.如图，连结DM,在Rt△ADE 中，MD为斜边AE的中线，所以DM=MA.所以 ∠MDA=∠MAD=∠DAC.所以DM∥BF∥AC.所以 畏-青，△FNB△CM.所凭-器专 所以3BF=4AC.故④正确.综上所述，正确的有①③④， 共3个. (第2题) ③C因为A1,B,分别为AB,BC的中点，所以A,B1∥ AC,A,B,=AC.所以△BA,B,△BAC.所以 SaA=子Se,月是，可正Sag,=子Sac, 1 1 1 S△AD,A,= Sam,Sa,G=Sacm,所以易得 1 Sm边蒂A,BCm,=2S如流秀An…同法可证S边A,C,,= 1 1 Sa地A,4C,A=2S泣韦m·所以SA,CD,= 之S边无An.因为四边形ABCD的对角线AC=8,BD=4, ACLBD,所以四边形ABCD的面积是7AC·BD=16. 161 所以Sm边无An5,CDn=2m=2 ④6如图，连结BC.因为EG=4,FG=8,所以EF=12. 因为AE=AC,所以∠ACE=∠AEC.因为∠ACE= ∠ABF,∠AEC=∠BEF,所以∠ABF=∠BEF.所以 BF=EF=12.设∠ACD=a,则易得∠CAE=90°-a.所 以∠ACE=180-CAE=4S+7a.所以∠CF= 2 ∠ACE-∠ACD=45-2a.所以∠FBG=∠DCF= 45°-a.因为AB为直径，所以∠ACB=90所以 ∠FCB=90-乙ACE=45°-2.所以∠FBG=∠FCB. 又因为∠F=∠F所以△FBG△B.所以畏-侣， 即是-总所以PC=1风所以CE=PC-EF=6 (第4题) ⑤(20-4√10)如图，连结OC,将△OBC和OA绕点O 旋转到△OB'C和OA',使点C的对应点C'落在OM上. 设点A'上升的高度为hcm,过点B作BF⊥MN于点F, 过点B'作B'E⊥MN于点E,B'G⊥BF于点G,则四边形 B'EFG是矩形.所以FG=B'E.因为∠BOM=30°，OB= 120cm,所以易得BF=2OB=60cm因为CD⊥AB于 点B,BC=40cm,所以OC=√OB+BC=40√10cm 所以OC'=40√10cm.因为∠OB'C'=∠OBC=90°，所以 ∠OB'C'=∠OEB'=90°.因为∠B'OC'=∠EOB',所以 △0B∽△0BC,所以器-8票因为BC-仪 40cm,OB'=OB-120cm,所以BE=OB',BC OC 12√10cm.所以FG=12√1ocm.所以BG=BF-FG= (0侧-12V而)m因为完-8洽，0A=40m所以A 20-4√10，即点A上升(20-4√/10)cm. D C M-CEF 0 (第5题) 0或5 因为点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为(4， 3),所以OA=4,AC=3.因为∠CAO=90°，所以由勾股定 理，得OC=√OA2+AC=√4+32=5.在Rt△OAC 附：答案与解析 中，AP为△0C的中线，所以0P-0C-以点0 为位似中心，把△AOP的每条边扩大到原来的2倍，得到 △A'OP',所以当△A'OP'在第三象限时，OP'=5,则 Pp'-0p+Op'=号+5=只：当△AOP在第-象限时， 0p=5则m'=0pP-0r=5-号=号综上所述，P 的长为号或号 e15 ⑦因为在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm,BC=3cm, 所以AB=√AC+BC-5cm.由题意，得CN=CM- t cm,AM=(4-t)cm,BN=(3-t)cm,BP=2t cm,AP= (5-2t)cm.(1)分两种情况：①当△AMP∽△ABC时， C-谱即5-号，解得=受：②当△APM △A议时福即号-5号解得(=0（不合题 意，舍去)，综上所述，当1=号时，以A,P,M为顶点的三 角形与△ABC相似.(2)存在.过点P作PH⊥BC于点 H.因为∠C=90°，所以AC⊥BC.所以PH∥AC.所以 △BPH∽△BAC.所以 C-肝所以PH-:em所 PH BP 以S=5ac-5aew=号×3X4-2×8-4)Xg= 1 号(-多)'+因为号>0,01<2.5，所以当1=号 ,21 时，S有最小值，为5 ⑧(1)因为F为BE的中点，所以BF=EF.因为四边形 ABCD是矩形，所以AB∥CD,AB=CD.所以∠BMF= ∠ECF.因为∠BFM=∠EFC,所以△BMF≌△ECF.所 以BM=CE.因为E为CD的中点，所以CE=DE.所以 BM=CE=DE.因为AB=CD,所以AM=CE.(2)因 为∠BMF=∠ECF,∠BFM=∠EFC,所以△BMFC∽ △CF,所以票-受-子，园为E为CD的中点，四边 形ABCD是矩形，所以∠A=∠MBC=90°，AD=BC=4, CD=AB=6,EC-号CD=3所以BM=三所以AM= 号.因为GMLN,所以∠CMN=g.所以∠AMN+ 63 数学（浙教版）九年级全一册 ∠BMC=90°.因为∠AMN+∠ANM=90°，所以 ∠ANM=∠BMC,所以△ANM△BMC.所以然 所以4N-三 AM 3 所以AN= 16所以DN=AD- 2 27 AN=4器器所u、豆器 DN3737 (3)因为MN∥ 公 BE,所以∠EFC=∠CMN=90°.所以∠BF℃=90°.所以 ∠FBC+∠BCM=90°.因为∠BCM+∠BMC=90°，所以 ∠FBC=∠BMC.因为易知∠BCE=∠MBC=90°，所以 △CE∽△MnC,所以装-器所以子-赢所以 4 BM-兰所以AM=AB-BM=6-9-号由2，同 墨再然议所以-享解得AN=所以 3 8 DN-AD-AN-音-答所六 下册 第1章解直角三角形 [高频考点突破] O号如图，过点E作EFLBC,交BC的延长线于点F. 设DE=CE=a.因为△CDE为等腰直角三角形，所以 CD=√2CE=√2a,∠DCE=45°.因为四边形ABCD为正 方形，所以CB=CD=√2a,∠BCD=90°.所以∠ECF= 180°-∠DCE-∠BCD=180°-45°-90°=45°.所以 CE-2 △CEF为等腰直角三角形.所以CF=EF-2 20. 在Rt△BEF中，tan∠EBF=EE- BF、 3 a 64 tan∠EBC=3 B (第1题) ②(1)如图①，过点P作PH⊥AB于点H.因为 ∠BPC=0,PB-名，C-1.所以m∠CBP设 安所以∠C即=60因为∠ABC=90,所以∠PBH- ∠ABC-∠CBP=90°-60°=30°.所以在Rt△PHB中， PH-号PB=子则BH-5PH-因为AB=5,所 以AH=AB-BH=3-3-3 4 4 .所以在Rt△PHA 中，AP=P+AF=√（)+()-号 (2)如图②，过点A作AT⊥BP,交BP的延长线于点T. 因为在△ATB中，m∠TA-君-复，所以易得 √21 sin∠TBA= ,cos∠TBA= √(W3)2+22 7 2 .又AB=3,所以AT=AB、 √(W3)2+2 m∠IBA-39,BT=ABs∠TBA=2.因为 7 ∠BCP+∠CBP=90°，∠CBP+∠ABP=90°，所以 ∠CP=∠AB即，所以m∠P-股=号.所以 如∠P=-因为C=1,所以在△CB中， PB=C·m∠Bn=,所以PT=BT-PB= 2-四-所以m∠APT-号.则 AT 7 ∠APT=60°.所以∠APB=120° (第2题)》