第3章 圆的基本性质 综合素养提升(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

∠FEA.所以AF=EF.因为∠AEB=90°，所以∠ABE 90°-∠FAE,∠BEF=90°-∠FEA.所以∠ABE= ∠B服F,所以BF-R-AF.即AB-F所以器号 [综合素养提升] ①D因为AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H,所 以AB⊥CD,CH=DH.所以∠OHC=∠BHD=90°.在 R△BD中，因为册-专，BD=5,所以易得DH=4, BH=3.所以CH=4.设OH=x,则OC=OB=OH+ BH=x+3.在Rt△OCH中，由勾股定理，得OH十 CH=0,即2+f=(c十3，解得x=所以 oH=6.所以Sam=0H·CH=3×名×4=子 7 2D如图，连结OA,DE.因为AEOD,且AE=OD,所 以四边形OAED是平行四边形.所以OE与AD互相平 分.又因为BE是⊙O的直径，所以OE⊥AD.所以 □OAED是菱形，∠AOE=∠DOE.所以∠OAE= 2∠DAE=2∠OAD.因为∠DOE=2∠DAE,所以 ∠OAE=∠AOE.因为OA=OE,所以∠OAE=∠AEO. 所以∠OAE=∠AOE=∠AEO.所以△AOE是等边三角 形.所以∠OAE=60°，∠DAE=∠OAD=30°.因为BE是 ⊙O的直径，所以∠BAE=90°.所以∠OAB=90° ∠OAE=90°-60°=30°.所以∠BAD=∠OAB+ ∠OAD=30°+30°=60°.因为四边形ABCD是⊙O的内 接四边形，所以∠BCD=180°-∠BAD=180°一60°= 120°. D (第2题) ⊙B因为AC-CD-DB,AB是⊙0的直径，所以 ∠A0C-∠C0D-∠D0B=号X180=60因为E是点 D关于AB的对称点，所以∠BOE=∠BOD=60°.故①错 误因为∠CED=号∠C0D=30.所以∠0B= 附：答案与解析 2∠CED.故②正确.因为M是动点，所以DM不一定垂直 于CE.故③错误.如图，连结EM.因为∠BOE十∠BOD+ ∠COD=180°，所以点C,O,E共线.所以CE是⊙O的直 径.因为点E,D关于AB对称，所以ME=MD.所以 CM+DM=CM+ME≥CE=l0.所以CM+DM的最小 值是10.故④正确.综上所述，正确的个数是2. D (第3题) 01-s3如图，连结OA,0E,OP,过点0作OM1 AF于点M,记扇形半径与AB,EF交于点G,H.因为六 边形ABCDEF为正六边形，所以OA=OE=OF=4, ∠A0F=∠B0F=360=60,∠BAF=120:.所以△0AF 6 和△OEF为等边三角形，∠AOE=60°+60°=120°.所以 ∠OEF=∠OAF=60°.因为OM⊥AF,所以AM=FM= AF=2.所以OM=VP-2=23.所以SAoP= 1 3AF.OM=号×4X25=45.因为∠BAF=120,所 以∠OAG=120°-60°=60°.所以∠OAG=∠OEH.因为 ∠GOA+∠AOH=∠AOH+∠EOH=∠AOE=120°，所 以∠GOA=∠EOH.所以△GOA≌△IHOE.所以SoA= S△HOE.所以S△CDA+Sm边无AOHr=S△HOE十S四边无AOHP.所以 S五边无AGO4r=S四边无AOFr=2S△AOr=8V3.所以S亲色= S前形一S五边无AGOHF 120mX4-83=3 360 6m-83. D (第4题) ⑤2√3如图①，过点E作EN⊥AB于点N.因为 OE=5,所以点E在以点O为圆心，5为半径的圆上.因为 OH⊥AB,EO+OH≥EN,所以当E,O,H三点共线（如 图②)时，EN最大，则△EAB的面积最大.过点O作OG⊥ 59 数学（浙教版）九年级全一册 CD于点G,过点D作HO延长线的垂线，垂足为M,所以 DG=2CD=8,所以GE=GD-ED=8-5=3.所以 OG=√52-3=4.因为DM⊥EM,OG⊥CD,所以∠M= ∠OGE=90°.因为EO=ED,∠MED=∠GEO,所以 △MED≌△GEO.所以MD=OG=4,ME=GE=3.所以 MH=ME+OE+OH=3+5+6=14.所以在Rt△DMH 中，由勾股定理，得DH=√DMP+MH=√/4+14= 2w53. M:r HN ① ① (第5题) ⑥(1)如图①，过点F作FH⊥C,垂足为H.由题意，得 FH=EH=4m,所以EF=√4？+4=4√2(m), ∠GBC=45.易知GC=号×8=4(m),所以易得GE= GC=4m.所以GF=EF-GE=(4√2-4)m.因为4√2- 4<3,所以GF的长度未达到车身宽度.所以长8m、宽3m 的消防车不能通过该直角弯道.(2)如图②，取MM的 中点E,连结OE,交AB于点F,交CD于点G.若点C,D 分别与点M',M重合，则△OGM为等腰直角三角形，所以 易得OG=GM=4m,OM=42m.所以OF=ON= OM-MN=(4√2-4)m.所以FG=OG-OF=4- (4W2-4)=(8-42)m.因为8-4√2<3，所以点C,D在 MM上（不与点M',M重合）.设ON=xm,则OG=(x+ 3)m,OC=(x+4)m在Rt△OCG中，由勾股定理，得 OG2+CG=C,即(x+3)2+42=(x+4)2,解得x= 4.5.所以ON的最小长度为4.5m. M(D)》 0N' M'(C) B ⑦ ③ (第6题) ⑦(1)如图①，过点O作OE⊥AC于点E,则AE= 60 是AC=号×2=1.因为翻折后点D与回心0重合，所以 OE=2在Rt△AOE中，由勾股定理，得A02=AE+ OE,即r2=12 (侵，所以-2所以©0的￥径， 为2g 3· (2)如图②，连结BC.因为AB是⊙O的直径， 所以∠ACB=90°.因为∠BAC=25°，所以∠B=90° ∠BAC=90°一25°=65°.根据翻折的性质，可知AC所对 的圆周角为∠B,ABC所对的圆周角的度数与∠ADC的 度数相等，所以∠ADC+∠B=180°.因为∠ADC+ ∠CDB=180°，所以∠CDB=∠B=65°.所以∠DCA= ∠CDB-∠BAC=65°-25°=40°.(3)如图③，过点C 作CG⊥AB于点G,连结OC,BC.因为BD=5,AD=7,所 以AB=BD+AD=5+7=12.所以⊙O的半径为6.由(2) 知，∠B=∠BDC,所以CD=BC.因为CG⊥BD,所以 DG=G=2BD=号.在R△00G中.OG=0B-BG= 6-号-子，由勾股定里，得cG-V0-0G- 7 √6-()= 2 2,在Rt△ACG中，AG=AD+DG= 7+言=号由勾股定，得Ac=VAG+0G= 2 √（侣）+()=m.所以Ac的长为. (D) E ① ② ③ (第7题) 第4章相似三角形 [高频考点突破] ①①②④因为∠ACB=90°，DE⊥AD,所以∠ADE= ∠ACD=90°.因为AD平分∠BAC,所以∠EAD= ∠DAC.所以△AED∽△ADC.故①正确.因为∠ADE= 90,M为线段AE的中点，所以AM=EM=MD=2AE. 所以∠MAD=∠MDA.因为∠EAD=∠DAC,所以 ∠MDA=∠DAC.所以MD∥AC.所以△BMD∽△BAC.第3章圆的基本性质 閨综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 DH 4 1.如图，AB是O0的直径，且经过弦CD的中点H.已知B册=5，BD=5,则△OCH的 面积为 () 2 A.3 5 7 B. C.1 D. (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结AE,OD.若AE∥ OD,且AE=OD,则∠BCD的度数为 () A.100° B.105 C.110° D.120° 3.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10,AC=CD=DB,E是点D关于AB的对称 点，M是AB上一动点，连结DM,CM,CE,DE,OD.有下列结论：①∠BOE=30°； ②∠DOB=2∠CED;③DM⊥CE;④CM+DM的最小值是10.其中，正确的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 4.[2025烟台中考]如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O,以点O为圆心，以 AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中涂色部分的面积为 120° D (第4题) (第5题) 5.[2025杭州萧山期中]如图，在给定的⊙O中，弦AB的弦心距OH=6,CD=16,点E在 弦CD上，且OE=ED=5,当△EAB的面积最大时，DH的长为 6.青境生活实际车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道，取决于车辆是否能行驶到与路边 界的夹角为45的位置（如图①中B的位置）.如图②所示为某巷子的俯视图，巷子的路 面宽4m,转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD,当CD与DE,CE的夹角都是45° 时，连结EF交CD于点G.若GF的长度能达到甚至超过车身的宽度，则车辆能通过， (1)请证明长8m、宽3m的消防车不能通过该直角弯道 21 数学（浙教版）九年级全一册 (2)为了使长8m、宽3m的消防车能通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（分别是以点 O为圆心，OM和ON的长为半径的弧)，具体方案如图③所示，其中OM⊥OM',请求出 ON的最小长度 tco纶 M ① ② ③ (第6题) 7.在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点，将AC沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD. (1)如图①，若点D与圆心O重合，AC=2,求⊙O的半径r. (2)如图②，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，求∠DCA的度数. (3)如图③，若点D与圆心O不重合，BD=5,AD=7,求AC的长， (D) ① ② ③ (第7题) 22