第1章 二次函数 高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

附：答案与解析 上册 第1章二次函数 [高频考点突破] ①D由题图可知，二次函数的图象的开口向下，与y轴 交于正半轴，所以a<0,c>0.因为对称轴为直线x= 会=2，所以6=-a>Q所以k>0,4a十6=0故A出 正确，不符合题意.因为ax十bx1=a.x号十b2且x1≠x2, 所以ax号十bx1+c=a.x十bx2十c.所以x=x1和x=x2 关于对称轴直线x=2对称.所以x1十x2=4.故C正确， 不符合题意.因为二次函数的图象开口向下，所以二次函 数的图象上的点离对称轴越远，函数值越小.因为（一1， y1),(3,y2)两点都在二次函数y=ax2十bx十c的图象上， 且|-1一2>3一2，所以y1<y2.故D错误，符合题意. ②1)该二次函数图象的对称轴是直线x=-,24=1, (2)由题意，得y=a.x2一2a.x十4=a(x2-2x)十4.因为无 论a取何非零实数，该二次函数图象都经过A(x1,y,), B(x2,y2)两个定点，所以令x2-2x=0,解得x=0或x= 2.又因为x1<x2,所以x1=0,x2=2.所以x1十2x2=0十 2×2=4.(3)当a=1时，y=x2-2x+4=(x-1)2+3, 所以当x=1时，y取得最小值3；当x<1时，y随x的增 大而减小：当x>1时，y随x的增大而增大.因为二次函 数的图象开口向上，所以图象上的点离对称轴越近函数值 越小.令x=t,得y=t2-2t+4;令x=t-1,得y=(t 1)2-2(t-1)+4=t2-4t+7.①当t≤1时，t2-4t+7- (2-2x+0=2,解得1=2.@当1-1<1<，即1<4<2 时，t2-4t+7一3=2或t2-2t+4-3=2,解得t=2士√2 (舍去)或t=1士√2（舍去）.③当t-1>1,即t≥2时，t2一 2+4一(：一4红十)=2，解得1=号.综上所述1的值为 1 .5 2或 ③(1)66.因为起跳台的高度OA为66m,所以A(0, 66).把点A(0,66)的坐标代入y=a.x2十bx十c,得c=66. (2)①因为a= 50,69 1 ,所以y=一 02+ 66.因为基准点K到起跳台的水平距离为75m,所以 一X752十075+66=21.所以基准点K的高度 y=一50 为21m. ②>品 国为a=一0所以y=-品+6z十6因 为运动员落地点要超过K点，所以当x=75时，y>21, .9 即-50×75+756+66>21，解得6>10 (3)他的落地，点能超过K点.理由：因为当运动员飞行 的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m,所以抛物 线的顶点为(25,76).所以抛物线对应的函数表达式可转化 为y=a(x-25)2+76.把(0,66)代入，得66=a(0一 25)+6,解得。=一品所以抛物线对痘的函数表达式 为y=2-25+76当x=石时.y=房×5 2 25)2+76=36.因为36>21，所以他的落地点能超过K点. ④(1)因为抛物线的对称轴是直线x=一1，抛物线交 x轴于点A,B(1,0),所以A(-3,0).所以OA=OC=3. 所以C(0,3).设抛物线对应的函数表达式为y=a(x十3)· (x一1).把(0,3)代人，得a=一1，所以抛物线对应的函数 表达式为y=-(x十3)(x-1),即y=-x2-2x+3. (2)如图①，连结OP.设P(,一m2-2十3)，一3<m< 0,四边形PABC的面积为S,则S=S△Po+S△POc+ SAOnC= ×3(-m2-2m+3)+2×3-m)+号×1× =号(-m-m+40=-(+2+为 一是<0，所以当m=一号时5的直最大最大值为得所 以四边形PABC面积的最大值为空，此时点P的坐标为 (3)存在.如图②，当点N在y轴上时， 四边形PMCN是矩形，此时P(一1,4)，N(0,4).如图③， 当点N在x轴上时，四边形PMCN是矩形，设M(-1, 53 数学（浙教版）九年级全一册 n),P(t,-t-2t+3),则N(t十1,0.由题意，得 /m-(-t-2t+3)=3, 3 消去n,得3t2+5t一10=0，解得 3-nt+11 =-5±1西，所以P(仁5+1西，--1) 6 6 18 N+西o戌p(5压，压. 6 N(-压.o)综上所述，p(-1,N0.4)或 p-5+压，--)N+g西o0或 6 p(5,压，)N-压 0 0 ① ② M件 A N'O N ③ (第4题) [综合素养提升] ①B因为二次函数图象的对称轴为直线x=1,所以 一会-1，即6-2a,所以2☑+6-Q故①正确国为二次 函数图象的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点在点 (2,0),(3,0)之间，所以与x轴的另一个交点在点（一1， 0),(0,0)之间.所以关于x的方程ax2十bx十c=0一定有 一个根在一1和0之间.故②错误.因为二次函数图象与直 线y-号有两个交点，所以方程ar2+hx+c-号-0一定 有两个不相等的实数根.故③正确.因为二次函数图象与 x轴的另一个交点在点（一1,0），(0,0)之间，所以a一b十 c<0.因为二次函数图象与y轴交点的纵坐标是2，所以 54 c=2.所以a一b十2<0，则b一a>2.故④错误.综上所述， ①③正确，即正确结论的个数为2. ②B因为点A(0,1)在抛物线y=a(x一2)2+2上，所以 1=u(0-2》+2解得a=-子所以第一次首地前抛物线 对应的函数表达式为y=-(x-2)+2.当y=0时， 子-2+2=0，解得，=2+2，=2-2（会 去).所以点B的坐标为(2十22,0).因为两条抛物线的形 状相同，且在点B处着地后抛物线的高度是在点B处着地 前抛物线高度的一半，所以设弹力球第一次着地后的抛物 1 线对应的函数表达式为y=一(x一h)P十1.将B(2+ 2E,0)代人，得0=-(2+22-h)+1,解得h,=25 (舍去)，h2=22+4,所以弹力球第一次着地后的抛物线 对应的函数表达式为y=-子（一2疗-4）+1.因为弹 力球第一次着地后的抛物线的对称轴为直线x=2√2十4， 点B的横坐标为22+2，所以易得C(2√2+6,0).所以弹 力球第二次着地，点到点O的距离为(2√2十6)m.因为圆柱 形筐的高为0.5m,所以当y=0.5时，-子（-22- 4)2+1=0.5,解得x,=4+32,x2=4十2（舍去）.所以 当弹力球恰好砸中筐的最左端时，=4十3√2.因为筐的底 面半径为0.5m,所以当弹力球恰好砸中筐的最右端时， n=4+3W2-1=3+3W2.所以3+3√2≤n≤4+32.只有 B选项符合题意. ③m>3因为二次函数y=x2+4x+m=(x+2)2+ m一4，所以把它的图象先向上平移1个单位，再向右平移 3个单位后得到的图象对应的函数表达式为y=(x十2一 3)2十m一4+1=x2一2x十m一2.因为平移后所得抛物线 与坐标轴有且只有一个公共点，而抛物线与y轴一定有一 个交点，所以这个公共点为抛物线与y轴的交点.分两种 情况讨论：①若这个公共点为坐标原点，则m一2=0，所以 m=2.此时抛物线对应的函数表达式为y=x2一2x,易知 此抛物线与坐标轴有两个交点，不合题意.②若这个公共 点不是坐标原点，则此抛物线与x轴无交点，即方程x2一全一册知识结构 概念 形状是一条抛物线 图象 画法（用描点法或平移法） 二次 函数 等可能事件概率的概念及公式 性质 随机事件的 增减性、最大（小）值 概率 概率的求法：列表法、画树状图法 实际问题、最值、二次函数 应用 用频率估计概率及概率的简单应用 与一元二次方程的关系 点与圆的位置关系 比例的基本性质、比例中项、黄金 分割 三角形的外接圆的概念、画法 圆的 平行线分线段成比例 基本 相似 性质 圆的性质、圆内接四边形的概念与性质 相似三角形的概念、性质、判定及 三角形 正多边形、圆内接正多边形的概念、性质 应用 及作法 相似多边形和图形的位似 九年级 圆的有关计算：弧长、扇形面积 全一册 锐角三角函数 直线与圆的位置关系 解直角 锐角三角函数的有关计算 三角形 直线与圆的 切线的性质和判定方法 位置关系 解直角三角形的概念及应用 切线长定理 三角形的内切圆 中心投影 投影 平行投影 三视图 反比例函数 反比例 与表面 简单几何体的三视图的概念及画法 函数 展开图 反比例函数的图象与性质 由三视图描述几何体 反比例函数的应用 简单几何体的表面展开图 上册 第1章 二次函数 P]高频考点突破 聚焦高频考点，冬个击破 考点一二次函数图象与系数的关系 有两个不同的交点.所以关于x的方程 典例1[2025绥化中考]如图，二次函数 a.x2+bx+c一5=0有两个不相等的实数 y=ax2十bx十c的图象与x轴交于点A(3, 根.故②错误.因为二次函数y=a.x2十bx十 0),B(-1,0),与y轴交于点C(0,m), c的图象与y轴交于点C(0,m),一4<m< -4<m<-3.有下列结论：①a-c>0;②关 3,所以当x=0时，y=c=m.所以一4< 于x的方程a.x2+bx+c一5=0没有实数 c<-3.因为c=-3a,b=-2a,所以c= 根；③- <-2:@>0其中，错 b-a 6所以-水长0<-3解得S <b<-2. 误的个数为 故③正确.当x=1时，函数有最小值，最小 A.1 值为y=a+b+c<0.又因为b-a= B.2 ,012 C.3 -4=-3a<0,所以4+6+>0.故④ 2a b-a D.4 正确.综上所述，只有②是错误的，即错误的 (典例1图) 个数为1. 分析 根据题意，得图象开口向上，对称轴为直线 小结 本题是典型的二次函数图象与性质的综合 x=- b=-1十3=1，a>0,则b=-2a,当x= 2a2 题，解题的关键在于将图象信息（开口方向、对称 一1时，代入计算可判定①.根据二次函数的图 轴、与坐标轴交点、顶，点位置)转化为代数条件 象与直线y=5的位置关系可判定②.先判断出 (a,b,c的符号及取值范围)，再逐一分析每个 c与b的关系，根据二次函数的图象与y轴交点 结论 的纵坐标在一4与一3之间建立不等式求解可 对应练习 判定③.分别判断出a十b十c与b一a的符号即 1.[2025凉山中考]二次函数y=ax2+ 可判定④. bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为 解答：因为二次函数y=ax2十bx十c的图 直线x=2,且图象经过点(6,0)，则下列 象与x轴交于点A(3,0),B(一1,0)，图象 结论中，错误的是 开口向上，所以对称轴为直线x=一 b A.bc0 2a B.4a+b=0 -1+3=1.4>0.所以b=-2a.当x=-1 2 C.若ax十bx1=ax号十 0263 时，y=a-b+c=0,所以a-(-2a)+c= b2且x1≠x2,则x1十 0,即3a十c=0.所以c=-3a.所以a-c= x2=4 (第1题) a一(-3a)=4a>0.故①正确.因为图象开 D.若（一1，y1),(3,y2)两点都在二次函 口向上，图象的最低点在x轴下方，所以二 数y=ax2十bx+c的图象上，则 次函数y=a.x2+bx+c的图象与直线y=5 y2<yi 第1章二次函数 考点二二次函数的性质 (2)因为点B(1,7)向上平移2个单位，向左 典例2[2024浙江中考]已知二次函数y 平移m(m>0)个单位，所以平移后的点为 x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点 (1-m,9).又点(1-m,9)在二次函数y= x2+x+3的图象上，所以9=(1一m)2+ A(-2,5),对称轴为直线x=- 2 (1-m)+3,解得m=4或m=-1(舍去). (1)求二次函数的表达式. 所以m=4. (2)若点B(1,7)向上平移2个单位，向左平 移m(m>0)个单位后，恰好落在二次函数 (3)因为y=x2+x+3=(+》°+，所 y=x2+bx十c的图象上，求m的值. (3)当一2≤x≤n时，二次函数y=x2十 以当x<一时，y随x的增大而减小；当 x+c的最大值与最小值的差为，求n的 x>一 2时y随x的增大而增大；当x= 取值范围. 分析 2时y取得最小值，最小值为只当 (1)根据题意，由二次函数y=x2十bx十G x=-2时，y=(-2)2+(-2)+3=5,点 的图象的对裕轴为直线x一一合一一司·可得6 （-2,5)关于直线x=-2的对称点为1， 的值，再由图象经过点A(一2,5)，求出c的值， 进而可以得解。 5).①当n<-2时，y的最大值为5，最小 (2)根据题意，由点B(1,7)向上平移2个 单位，向左平移m(m>0)个单位，进而可得平 值为+》°+所以最大值与最小值的 移后的，点为(1-m,9).将(1一m,9)代入(1)中 求得的函数表达式，通过解方程可得m的值 差为5-《a+}+-解得 (3)将函数表达式化为顶点式，确定二次 函数图象的对称轴及二次函数的最小值.再结 n2= 2,不符合题意，舍去②当- 合一2≤x≤n,分三种情况进行讨论分析，确定 相应范围内的最大值与最小值，验证是否满足 n≤1时y的最大值为5，最小值为，所以 题日中或大位与最小值的差为的条件。 最大值与最小值的差为5斗-号，符合题 解答：(1)因为二次函数y=x2+bx+c的 图象的对称轴为直线工=名-一·解得 意.③当n>1时y的最大值为0+》十 b=1,所以二次函数的表达式为y=x2十 ,最小值为，所以最大值与最小值的差 x十c.又图象经过点A(一2,5)，所以4 2十c=5,解得c=3.所以二次函数的表达式 为a+》+-号-是解得=1， 为y=x2+x十3. n2=一2，均不符合题意，舍去.综上所述，n 3 数学（浙教版）九年级全一册 的取值范围是 2≤n≤1. 考点三二次函数的实际应用 典例3衡情境生活实夙如图①，灌溉车沿 小结 本题综合考查了二次函数的表达式求解、点 着平行于绿化带底部边线1的方向行驶，为 的平移以及范围内的最值问题，体现了数形结合 绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度为 和分类讨论的数学思想.对于开口向上的二次函 hm.如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下 数，若对称轴在范围内，则函数的最小值在顶点 边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线 处取得，最大值则需比较端点的函数值，结合对 的一部分，把绿化带横截面抽象为矩形 称轴的位置判断.本题中，通过“最大值与最小值 DEFG,其水平宽度DE=3m,竖直高度为 的差”反推出最大值，再利用函数图象的对称性 EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线 确定范围的边界 向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A 对应练习 离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口 2.已知二次函数y=ax2一2ax+4,其中 0.5m,灌溉车到l的距离OD为dm. a≠0. y/m h+0.5 (1)求该二次函数图象的对称轴， 上边缘 喷水口 (2)无论a取何非零实数，该二次函数图 边缘 0 dm D D Cx/m 象都经过A(x1y1),B(x2,y2)两个定 ① ② 点，其中x1<x2求x1十2x2的值 (典例3图)》 (3)若a=1,当t一1≤x≤t时，该二次 (1)若h=1.5,EF=0.5m. 函数的最大值与最小值的差为2，求t ①求上边缘抛物线对应的函数表达式，并 的值 求喷出水的最大射程OC ②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B 的坐标 ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整 个绿化带，求d的取值范围！ (2)若EF=1m,要使灌溉车行驶时喷出的 水能浇灌到整个绿化带，求出h的最小值， 分析 (1)①由顶点A(2,2),设y=a(x-2)2十 2,再根据抛物线过点(0,1.5)，可得a的值，从 而解决问题.②由抛物线的对称轴确定点(0， 1.5)的对称点，从而判断下边缘抛物线是由上 边缘抛物线如何向左平移得到的，可得，点B的 坐标.③根据EF=0.5m,求出，点F的坐标，利 用二次函数的增减性可得d的最大值和最小 值，从而得出答案 4 第1章二次函数 (2)当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整 (2)当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到 整个绿化带时，点D,F恰好分别在两条抛物线 个绿化带时，点D,F恰好分别在两条抛物 上，分别设出，点D,F的坐标，根据EF=1m, 线上.设点D(m,名m+2)+h+0.5小， 可建立方程确定点D的坐标，由点D在x轴上 确定h的最小值 Fm+3,-8(m+3-2)2+h+0.5, 则 解答：(1)①由题意，得A(2,2)是上边缘 抛物线的顶点，设y=a(x一2)2十2.又因为 8m+3-2)2+h+0.5-[-g(m十 抛物线过点(0,1.5)，所以1.5=4a+2,解 2)2+h十0.5=1，解得m=2.5,所以点D 得a=- 所以上边缘抛物线对应的函数 的纵坐标为h 65 3. 所以h 65 32 =0,解得 表达式为y= 8(x-2)2+2.当y=0时， 65 h= 32 所以A的品小值为号 0=一 8(x-2)2+2,解得x1=6,c2=-2 小结 本题将灌溉喷水的实际问题抽象为二次函 (舍去)，所以喷出水的最大射程OC为6m. 数模型，通过建立平面直角坐标系，把物理运动 ②因为上边缘抛物线的对称轴为直线x= 轨迹转化为可计算的数学曲线.这体现了“实际 2,所以点(0,1.5)关于对称轴对称的点为 问题→数学模型→求解分析→回归应用”的完整 (4,1.5).所以下边缘抛物线是由上边缘抛 思维链条，是解决此类问题的关键 物线向左平移4m得到的.所以点B的坐 对应练习 标为(2,0).③先看上边缘抛物线，因为 3.境体育比赛跳台滑雪运动可分为助 EF=0.5m,所以点F的纵坐标为0.5，所 以0.5=- 日x-2+2.解得x=2-25 滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员 起跳后飞行的路线是抛物线的一部分 或x=2+23.因为x>0,所以x=2十23. (如图中实线部分所示)，落地点在着陆 当x>2时，y随x的增大而减小，所以当2≤ 坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上 x≤6时，要使y≥0.5，则2≤x≤2+23. 的基准点K为飞行距离计分的参照点， 因为当0≤x≤2时，y随x的增大而增大， 落地点超过K点越远，飞行距离分越高， 且当x=0时，y=1.5>0.5,所以当0≤x≤ 起跳台的高度OA为66m,基准点K到 6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+23.因为 起跳台的水平距离为75m,高度为定值. DE=3m,灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到 设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m) 整个绿化带，所以d的最大值为2+2 与水平距离x(m)之间的函数关系为 3=2√3一1.再看下边缘抛物线，喷出的水 y=a.x2+bx+c(a≠0) 能浇灌到绿化带底部的条件是d≥2.综上 (1)c的值为 所述，d的取值范围是2≤d≤23一1. (2)①若运动员落地点恰好到达K点， 数学（浙教版）九年级全一册 且此时a=一品6一0求基准点K的 1 所有点P的坐标；若不存在，请说明理由 高度 ②若a= 0,运动员落地，点要超过K 1 点，则b的取值范围是 (3)当运动员飞行的水平距离为25m (典例4图) 时，恰好达到最大高度76m,试判断他的 分析 (1)将点B,C的坐 列关于b, 落地点能否超过K点，并说明理由。 标分别代入y c的方程， -x+bx+c 求解 ↑y/m 起跳点A (2) 欲求 需表示 点M,N的纵 设点M(x, MN的 出MN 坐标之差 -x2+4x-3), 最大值 的长度 （yw>yw） N(x,x-3) 基准点K 、着陆坡 (3)分类 分NB=NP,BN=BP 0 x/m 讨论 NP=PB三种情况 (第3题) 解答：(1)因为点C(0,一3)在抛物线 y=-x2+bx+c上，所以c=一3.将点 B(3,0)的坐标代入y=一x2+bx-3,得 一32+3b一3=0，解得b=4.所以抛物线对 应的函数表达式为y=一x2+4x一3. (2)因为点B(3,0),C(0,一3)，所以易得直 线BC对应的函数表达式为y=x一3.设点 M(x,一x2+4x-3),则点N(x,x-3),所 考点四抛物线与几何图形的综合 以MN=-x2+4x-3-(x-3)=-x2+ 典例4如图，抛物线y=一x2十bx十c与 3x=--2+9在y=-2+r-3 x轴交于点A和点B(3,0),与y轴交于点 中，令y=0,得x=1或x=3,所以A(1, C(0,-3. 0).所以1<x<3.因为一1<0，所以当x (1)求抛物线对应的函数表达式， (2)若M是抛物线在x轴上方的部分上的 时Mv有袋大值此时点N侣一》 动点，过点M作MN∥y轴，交直线BC于 (3)存在.易得抛物线的对称轴为直线 点N,求线段MN的最大值及此时点N的 =2,设点P(2m以.由(2知N(-》 坐标. (3)在(2)的条件下，当MN取最大值时，在 又B(3,0,所以BN=(6-)+ 抛物线的对称轴h上是否存在点P,使 △PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出 0-(=+=Np= 6 第1章二次函数 2-)+m-(】-+(m+: 对应练习 4. 考而探究题如图①，在平面直角坐标 PB2=(2-3)2+(m-0)2=1+m2.①当 系中，抛物线y=a.x2十bx十c(a<0)与 NB=NP时，号-+m+》,解得m= x轴分别交于点A和点B(1,0),与y轴 -3士√17 交于点C,对称轴为直线x=一1，且 ②当BN=BP时，同理，可得 OA=OC,P为抛物线上一动点. m=士.③当NP=PB时，同理，可得 (1)求抛物线对应的函数表达式， (2)如图②，连结AC,当点P在直线AC m= 2·所以点P的坐标为2,3)或 上方时，求四边形PABC面积的最大值， 并求出此时点P的坐标， .3或或.)或 (3)设M为抛物线对称轴上一动点，当 点P,M运动时，坐标轴上是否存在点 N,使四边形PMCN为矩形？若存在， 小结 直接写出点P,N的坐标；若不存在，请 “两圆一线法”求解等腰三角形的存在性问 说明理由。 题：当要求以一条确定的线段为边的三角形是等 腰三角形，但没有明确这条线段是腰还是底边 时，一般需要分类讨论，此时可借助草图确定要 求的点的位置：①分别以这条线段的两个端点 为圆心，以这条线段的长为半径画圆；②作这条 线段的垂直平分线.由作图可知，两圆和垂直平 1 分线分别与直线h相交的，点即为满足条件的，点， 如本题第(3)问的图解如下： P2, W14 y -3+17 h M 2 W14 备用图 (第4题) P2, 3-17 2 ① ②