3.4 第2课时圆周角定理的推论2-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

第3章圆的基本性质 第2课时 圆周角定理的推论2 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基山 1.[2025青海中考]如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=40°，则∠ADC的度数是 () A.80° B.50° C.40 D.25 D (第1题)》 (第2题) (第3题) 2.如图，点A,B,C,D,E,F均在⊙O上.若∠ADF=20°，∠FEC=35°，则∠ABC= 3.一题多解如图，点A,B,C均在⊙O上，AD是直径且AD=2,∠B=45°，则AC的长为 4.已知⊙O的两条弦AB,CD相交于点M,且AB=CD (1)如图①，连结AD.求证：AM=DM. (2)如图②，若AB⊥CD.在BD上取一点E,使BE=BC,连结AE交CD于点F,连结AD, DE.判断∠E与∠DFE是否相等，并说明理由： 0. ② (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.方程思想如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，BC∥AD,AC⊥BD于点E.若∠AOD= 120°，AD=√3，则∠CAO的度数与BC的长分别为 () A.10°，1 B.10°，√2 C.15°，1 D.15°，W2 B (第5题) (第6题) 6.如图，AB是⊙O的弦，AB=10,C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°.若M,N分别是AB, BC的中点，则MN长的最大值是 49 拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 7.★如图，MN是⊙O的直径，弦AB⊥MN,垂足为D,连结AM,AN,OB,C 为AN上一点，且AC=AM,连结AC,CM,CM分别交AB,AN于点E,F. 有下列结论：①∠MAN=90°；②AM=BM;③∠ACM+∠ANM=M 70 ∠MOB;④AE=号MF.其中，正确的是 (填序号). (第7题) 8.如图，BC是半圆O的直径，点D在半圆O上，A是BD的中点，AE⊥BC,垂 足为E,BD分别交AE,AC于点F,G. (1)求证：AF=BF. (2)当点D在何处时，有AG=G？请说明理由. 3 E O (第8题) 道]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.如图，在⊙O中，两条互相垂直的弦AB,CD交于点E. (1)若M是CD的中点，OM=3,CD=12,求⊙O的半径. (2)若点F在CD上，且CE=EF,求证：AF⊥BD. (第9题) 50 >“答案与解析”见D32三角形.设PC=BC=x,则易知PA=PB=√2x.所以 AC=PA-PC=(W2-1)x.因为AB2=AC+BC,AB= √JAO+B0=√？+1下=√2，所以2=[(W2-1)x]+ .所以2=22所以Sa=号PA·C=号。 2 x2=②+1 2 M (第8题) 9.(1)如图，连结BE.因为BC为半圆O的直径，所以 ∠BEC=90°.所以BE⊥AC.因为AB=BC,所以AE= CE.(2)如图，连结CD.因为BO=r,所以BC=2BO= 2r.所以AB=BC=2r.因为BC为半圆O的直径，所以 ∠BDC=90°.在Rt△BCD中，因为∠ABC=45°，所以 ∠BCD=45°.所以BD=CD.根据勾股定理，得BD2十 CD2=BC2,所以2BD=(2r)2.所以BD=√2.所以 AD=AB-BD=2r-√2r=(2-√2)r. 0 (第9题) 第2课时圆周角定理的推论2 1.B因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°.所以 ∠CAB+∠B=90°.因为∠CAB=40°，所以∠B=50°.所 以∠ADC=∠B=50°， 2.55°如图，连结BF,所以∠ABF=∠ADF=20°， ∠FBC=∠FEC=35°.所以∠ABC=∠ABF+∠FBC= 20°+35°=55°. D (第2题) 3.√2解法一：如图①，连结CD,则∠CDA=∠B=45, 因为AD是⊙O的直径，所以∠ACD=90°.所以∠CAD= ∠ADC=45°.所以AC=CD.在Rt△ACD中，由勾股定 理，得AC2+CD=AD,即2AC2=2,解得AC=√2（负 D 值舍去).解法二：如图②，连结O℃.因为∠B=45°，所以 ∠COA=2∠B=90°.因为直径AD=2,所以OA=OC= AD=1在R△A0C中，由勾殷定起，得AC √OA+OC=+1下=√2. C 0 D D ① ② (第3题) 4(1)因为AB=CD,所以AB=CD,即AC+BC-BC+ BD.所以BD=AC.所以∠A=∠D.所以AM=DM (2)∠E与∠DFE相等.理由：如图，连结AC.因为BE= BC,所以∠EAB=∠CAB.因为AB⊥CD,所以∠AMF= ∠AMC=90°.所以90°-∠EAB=90°-∠CAB,即 ∠AFC=∠ACF.因为∠ACF=∠E,∠AFC=∠DFE,所 以∠E=∠DFE. 0.F D (第4题) 5.C如图，连结OB,OC.因为BC∥AD,所以∠DBC= ∠ADB.所以CD=AB.所以∠COD=∠AOB,∠CAD= ∠BDA.因为DB⊥AC,所以∠AED=90°.所以∠CAD= ∠BDA=45.所以∠AOB=2∠ADB=90°，∠COD= 2∠CAD=90°.因为∠AOD=120°，所以∠BOC=360° ∠AOB-∠AOD-∠COD=360°-90°-120°-90°=60° 因为OB=OC,所以△OBC是等边三角形.所以BC=OB. 因为OA=OD,∠AOD=120°，所以∠OAD=∠ODA= 180-∠A0D)=专×(180-120)=30.所以 1 ∠CAO=∠CAD一∠OAD=45°一30°=15°.过点O作 OF LAD于点F,则AF=AD- 2.在Rt△OFA中， ∠OAF=30°，则OA=2OF.又由勾股定理，得OF2+ AP=0,所以0F+()=(20F,架得0e=月 27 (负值舍去).所以OA=1.所以BC=OB=OA=1.综上所 述，∠CAO=15°，BC=1. (第5题) 32 6.5√2因为M,N分别是AB,BC的中点，所以MN= 2AC.所以当AC的长最大时，MN的长最大如图，连结 AO并延长，交⊙O于点D,连结BD,则AD为⊙O的直 径.当点C与点D重合时，AC的长最大.易知∠D= ∠ACB=45°，∠ABD=90°，所以BD=AB=10.所以 AD=√AB2+BD=√102+10=10√2.所以MN长的 最大值为2AD=52. (第6题) 7.①②③④因为MN是⊙O的直径，AB⊥MN,所以 AD=BD,AM=BM,∠MAN=90°.故①②正确.因为 AC=AM,所以AC=AM=BM.所以∠ACM+∠ANM= ∠MOB.故③正确.因为BM=AC,所以∠MAE= ∠AME.所以AE=ME.因为∠MAN=90°，所以 ∠EAF+∠MAE=∠AME+∠AFM=90°.所以 ∠EAF=∠AFM所以AE=EF.所以AE=专ME.故④ 正确.综上所述，正确的是①②③④. 方法归纳 与圆周角有关的求角度问题的常见解题思路 (1)在圆中，构造同弧或等弧所对的圆周角可得到 有关角相等. (2)见直径，构建直径所对的圆周角是常用且重要 的构建辅助线的思路」 (3)在已知条件下，若有与半径或直径垂直的线段， 常延长此线段，这样可利用垂径定理得到线段相等、孤 相等 8.(1)连结AB.因为BC是半圆O的直径，所以∠BAC= 90°.所以∠ACB+∠ABC=90°.因为AE⊥BC,所以 ∠BAE+∠ABE=90°.所以∠BAE=∠ACB.因为A是 BD的中点，所以AB=AD.所以∠ACB=∠ABD.所以 ∠BAE=∠ABD.所以AF=BF.(2)当D是AC的中 点时，有AG=FG.理由：因为D是AC的中点，所以 AD=CD.因为A是BD的中点，所以AB=AD.所以 AB=AD=CD.所以∠ACB=∠EBF.由(1)，得∠ACB= ∠ABD=∠BAF,所以∠BAF=∠EBF.因为∠BAC= ∠AEB=90°，所以∠BAF+∠FAG=∠EBF+∠BFE 所以∠FAG=∠BFE=∠AFG.所以AG=FG. 9.(1)如图①，连结OD.因为M是CD的中点，CD=12, 所以DM=CD=6,OM⊥CD.所以在R△OMD中， D OD=√OMP+DM派=√3+6=35，即⊙O的半径为 35.(2)如图②，连结AC,延长AF交BD于点G.因为 AB⊥CD,CE=EF,所以AB是CF的垂直平分线.所以 AF=AC,即△ACF是等腰三角形.因为CE=EF,所以 ∠FAE=∠CAE.因为BC=BC,所以∠CAE=∠CDB. 所以∠FAE=∠CDB.因为在Rt△BDE中，∠CDB十 ∠B=90°，所以∠FAE十∠B=90°.所以∠AGB=90°.所 以AG⊥BD,即AF⊥BD D ① ② (第9题) 专题特训三 巧添辅助线解决圆中的 计算和证明 1.22设∠CBA=x°.如图，连结EC,ED,所以EA= EC=ED=DB.所以∠CAB=∠ACE=57°，∠1= ∠CBA=x°，∠3=∠2=∠1+∠CBA=2x°.因为∠4= 180°-∠CAB-∠ACE,∠4=∠3+∠CBA,所以180°- 57°-57°=2x°+x°，解得x=22.所以∠CBA=22°. D (第1题)》 方法归纳 连半径构造等腰三角形 点在圆上时，利用同一圆中的半径都相等的性质， 连半径，构造等腰三角形，由等腰三角形的性质和圆的 性质进行角度转换求解」 2.A如图，过点O作OH⊥AB于点H,连结OA,所以 AH=2AB.因为PA=4,PB=2,所以AB=PA+PB= 4+2=6.所以AH=3.所以PH=AP-AH=4-3=1.因 为OP=√I7,所以在Rt△OPH中，OH=√OP-PI平= √（√7）2-12=4.所以在Rt△OAH中，OA= √AH+OH=√32+4=5.所以⊙0的半径为5. 0 HP B (第2题) 33