3.3 第2课时垂径定理的逆定理-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

第3章圆的基本性质 第2课时垂径定理的逆定理 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，在⊙0中，点P在弦AB上.CD是过点P的直径有下列条件：①AP=2AB:②OP= PC;③AB=2BC:④AD=BD.其中，能得到CD⊥AB的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (第1题) (第2题) 2.如图，AB是⊙O的直径，∠BOD=120°，C为BD的中点，AC交OD于点E,DE=1,则AE的 长为 3.如图，⊙O的直径AB交弦CD于点P,CP=PD,CD=10,AP：PB=1：5.求⊙O的半径. P 0 D (第3题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.如图，⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB=8,Q为AB的中点，P是⊙O上的一点（不与点A, B重合)，连结PQ,则PQ长的最小值为 () A.1 B.2 C.3 D.8 0 0. B,水面 (第4题) (第5题) 5.箭境数学文化简车是我国古代人民发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全 书》中用图描绘了筒车的工作原理.如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，圆心 O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB的长为6m,⊙O的半径为4m.若C为运行轨道的 最低，点，则点C到弦AB所在直线的距离是 () A.1m B.(4-√7)m C.2m D.(4+√7)m 45 拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 6.方程思想如图，在⊙O中，C是ACB的中点，弦AB=6cm,E为半径OC上任意一点，动，点F从 点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向点B匀速运动.设动点F的运动时间为xs,若y= AE2一EF2,则y与x(0≤x≤3)之间的函数表达式为 D 0 (第6题) (第7题) 7.方程思想如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为ABE的中点，CD⊥AB,垂足为D.若 AE=8,DB=2,则⊙O的半径为 8.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，AC,BC的中点分别是P,Q,连结AC,BC,分别以 AC,BC为直径作半圆，其中M,N分别是以AC,BC为直径所作半圆弧的中点.若MP+NQ 7,AC+BC=26,求AB的长. 0 (第8题) 微专题·圆中的多解问题 1.分类讨论思想在⊙O中，C为弦AB的中点，过点C的直径交⊙O于点D,E.如果AB=8cm, OD=5cm,那么CD的长为 () A.2 cm B.3 cm C.2cm或8cm D.3cm或8cm 2.分类时论思想如图，AB是⊙O的直径，半径为1，点C在线段AB上运动，DE是过点C的弦， 将DBE沿DE翻折交直线AB于点F,当DE的长为正整数，且B是DBE的中点时，求线段 FB所有可能的长 B (第2题) 46 >“答案与解析”见D2913一5=8(m).因为8÷4=2(h),所以经过2h桥洞会被水 灌满。 E D 0 (第8题) 9.(1)过点O作OH⊥MN于点H,连结ON.因为AP= 2,BP=6,所以AB=AP+BP=2+6=8.所以OA= 0N=3AB=4所以0P=0M-AP=4-2=2在 R△PHi0中，因为∠0PH=45,所以易得OH-号0n √2.在Rt△OHN中，因为ON=4,OH=√2，所以NH= √ON2-OH=√4-(2)2=√14.因为OH⊥MN,所 以MH=NH.所以MN=2NH=2√I4.(2)过点O作 OH⊥MN于点H,连结ON,则MH=NH.因为MP=3, NP=5,所以MN=MP+NP=3+5=8.所以MH= NH=2MN=4.所以PH=MH-MP=4-3=1.在 Rt△POH中，因为∠OPH=45°，所以OH=PH=1.在 Rt△OHN中，因为NH=4,OH=1,所以ON= √OI+NΠ=√+4F=√17.所以AB=2ON= 2m.(3PMPN的值不发生变化.如图O,当点 AB2 P在点O的左侧时，过点O作OH⊥MN于点H,连结 ON,则MH=NH.设⊙O的半径为R,在Rt△OHN中， OH+NH=ON2=R.在Rt△POH中，因为∠OPH= 45°，所以OH=PH.所以PH+NH=R2.因为PMP+ PN2=(HM-PH)2+(NH+PH)2=(NH-PH)2+ (NH+PH)2=2(PH+NH)=2R2.又AB2=4R2,所 以N-瓷=如周@，当点P与京0速合 时，MN是⊙O的直径，此时PM=PN=R,所以 PF+P心_RtR-如图@，当点P在点O的右 AB 4R2 侧时，同理可得PM+PN=(HM+PH)+(NH一 PH)2=(NH+PH)2+(NH-PH)2=2(PH2+ NH)P=2R.又AB2=4R,所t以PM+PN_2R=1 AB2 4R22 综上所述，PMrP心的值不发生变化，为定值 AB? A B O(P) ① ② ③ (第9题) D 第2课时垂径定理的逆定理 1C当AP-号AB时，AP=PB,即宜径CD平分弦 AB,所以CD⊥AB.故①正确.当OP=PC时，过点P的 弦有无数条，不能得到CD LAB.故②错误.当AB-2BC 时，AC-BC,即直径CD平分AB,所以CD⊥AB.故③正 确.当AD=BD时，直径CD平分ADB,所以CD⊥AB. 故④正确.综上所述，①③④符合题意，共3个. 2.√3如图，连结OC.因为∠DOB=120°，所以∠AOD= 180°-∠BOD=180°-120°=60°.因为C为BD的中点， 所以D=.所以∠0C=∠B0C-号∠DOB=60 所以∠AOD=∠DOC.所以AD=CD.所以OD⊥AC.所 以∠OAE=90°-∠AOD=90°-60°=30°.设OA=r,则在 R△AB0中，OE==DE=1,所以OM=2所以AE √OA2-OE=√/22-1平=3. A 0 B (第2题) 3.连结OC.设⊙O的半径为R.因为AP：PB=1:5, AP+PB=2R所以OP-号R.因为CP-PD.即直径 AB平分弦CD,所以CP=CD=50P1CD.所以 O=Op+CP.所以R=(号R)°+5，解得R=3后 (负值舍去).所以⊙0的半径为35. 4.B易知当PQ的长取得最小值时，点P在AB上.如 图，连结OQ,OA,OP.因为AB=8,Q为AB的中点，所以 AQ=2AB=4,0Q⊥AB.因为∠AQ0=90,所以0Q= √OA-AQ=√52-4=3.因为PQ≥OP-0Q=5- 3=2,所以当O,Q,P三点共线时，PQ长取得最小值， 为2. (第4题) 5.B如图，连结OA,OC,OC交AB于点D.由题意，得 OA=OC=4m.因为C为运行轨道的最低点，所以AC= 29 BC,OC⊥AB.所以线段CD的长就是点C到弦AB所在 直线的距离，AD-BD-2AB-2×6=3(m,∠AD0- 90°.所以OD=√OA2-AD=√4-32=√7(m).所以 CD=OC-OD=(4-√7)m,即点C到弦AB所在直线的 距离是(4-√7)m. 0, D B水面 (第5题) 6.y=一x2十6x如图，延长CO交AB于点G.因为C是 ACB的中点，所以@OLAB,AG=号AB=号×6= 3(cm).所以AE2=AG2+EG,EF2=FG+EG2.当0≤ x3时，AF=xcm,FG=AG一AF=(3一x)cm,所以 y=AE2-EF2=AG2+EG2-FG2-EG2=AG2-FG2= 9-(3-x)2=-x2+6.x. B (第6题) 7.5如图，连结CO并延长，交AE于点T.因为C为 ABE的中点，所以AC=CE.所以CT⊥AE,AT=TE= 名AE=4所以∠A0=0.因为CD LAB,.所以 1∠AT0=∠CDO=90°， ∠CDO=90°.在△AOT和△COD中，{∠AOT=∠COD, AO-00, 所以△AOT≌△COD.所以AT=CD=4.设⊙O的半径 为r则OC=OB=r,OD=OB一BD=r-2.在Rt△COD 中，由勾股定理，得OC2=CD2+OD,即r2=4+(r 2)2,解得r=5.所以⊙0的半径为5. (第7题) 8.如图，连结OP,OQ,分别交AC,BC于点H,I.因为 AC,BC的中点分别是P,Q,所以OP⊥AC,OQ⊥BC,H, I分别是AC,BC的中点，即点H为以AC为直径作半圆 的圆心，点I为以BC为直径作半圆的圆心.由对称性易 知，点H,P,M共线，点I,Q,N共线.所以OH,OI为 D △ABC的中位线所以OH+OI=号BC+2AC= 号(Ac+BC)=3×25=13,MH+NI=AC+ 号C=2(AC+BC)=号×2s=1R.又因为MD+Q 7,所以PH+QI=MH-MP+NI一NQ=(MH+NI)一 (MP+NQ)=13-7=6.所以AB=OP+OQ=OH+ PH+OI+QI=OH+OI+PH+QI=13+6=19. 0 (第8题) 一微专题·圆中的多解问题 1.C当点D在优弧AB上时，如图①，连结OB.因为 C为弦AB的中点，DE是⊙O的直径，AB=8cm,所以 1 DELAB,BC=zAB=4cm又因为OB=OD=5cm, 所以在Rt△OCB中，OC=√OB2-BC=√5-4= 3(cm).所以CD=OD+OC=5+3=8(cm).当点D在 劣弧AB上时，如图②，同理，CD=OD一OC=5-3= 2(cm).综上所述，CD的长为2cm或8cm. E D R 01 0 D ② (第1题) 2.因为AB是⊙O的直径，DE是⊙O的弦，所以DE≤ AB.因为⊙O的半径为1，所以当DE的长为正整数时， DE=1或2.因为B是DBE的中点，所以DE⊥AB, DC=DE.分三种情况讨论：如图①，当DE的长为1， 且DE在点O右侧时，则DC-DE-=连结OD.则 0D-1,所以0c-V0D-C-√1-(】 号所以FB=2BC=2×(1-）=2-5.如图②，当 DE的长为2时，则DE是⊙O的直径，所以点C与点O 重合，点F与点A重合，所以FB=2.如图③，当DE的 长为1，且DE在点0左侧时，则DC-2DE=2连结 OD,则OD=1,所以OC=√OD2-DC= √F-(T-号所以FB=2=2×(+号） 30 2十3.综上所述，线段FB的长为2-3或2或2+3. D B 0 F C A(F) (C)B ① ③ D B ③ (第2题) 3.4圆周角 第1课时圆周角定理及其推论1 1.B如图，连结OC.因为AC=BC,AB为⊙O的直径， 所以∠AOC=∠BOC= 是∠A0B=90.所以∠D 2∠A0C=459 (第1题) 2A因为∠A0D=50,所以∠ABD=号∠A0D=25 因为BA平分∠CBD,所以∠ABC=∠ABD=25°.因为 AB是⊙O的直径，所以∠C=90°.所以∠A=90° ∠ABC=90°-25°=65°. 3.10如图，连结FE.因为OE⊥OF,所以∠FOE=90° 所以FE为圆的直径.在Rt△FOE中，FE= √OF2+OE=√62+82=10. 0 E A (第3题) 4.(1)因为在⊙C中，OA是直径，所以∠ADO=90°，即 OD⊥AB.因为在⊙O中，OD⊥AB,所以AD=DB. (2)因为E0=AO=10,DE=4,所以OD=E0-DE= 10-4=6.在Rt△ADO中，由勾股定理，得AD= √AO-OD=√102-6=8.在Rt△ADE中，由勾股 定理，得AE=√AD+DE=√82+4F-4V5. 5.D如图，连结BC,OE.因为C是ACB的中点，所以 BC=AC.因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°.所以 ∠CBA=∠A=45°.因为AB=2DE,AB=2OE,所以 DE=OE.所以∠D=∠BOD.因为∠CB=∠BOD,所 以∠DCB=2∠D.因为∠CBA=∠D+∠DCB,所以 ∠D+2∠D=45°所以∠D=30 E B 0 (第5题) 6.√5如图，连结BC.因为ACLAB,所以∠CAB=90°. 所以BC是⊙O的直径.所以OA=OB=OC.在Rt△ABC 中，由勾股定理，得BC=√AC+AB2=√22+4=25， 所以OA=2BC=5. B (第6题) 7.8如图，连结AE.因为AD是⊙O的直径，所以 ∠AED=∠AEB=90°.所以点E在以AB为直径的⊙Q 上.连结QE,QC.因为AB=10,所以Q1-QB=AB= 5.又AC=12,所以在Rt△QAC中，QC=√QA+AC= √5+12z=13.因为QE+CE≥QC,即CE≥QC-QE 13-5=8,所以当点Q,E,C共线时，线段CE的长取得最 小值，为8. D (第7题) 8.(1)45.由题图可知，∠AOB=90°，则∠APB= ∠AOB=45 1 (2)如图，过点B作BC⊥PA于点C,则∠PCB=90°.因为 P是AMB的中点，所以PA=PB.所以PA=PB.由(1) 知，∠APB=45°，所以∠PBC=90°-45°=45°.所以 ∠APB=∠PBC.所以PC=BC.所以△PBC是等腰直角 31