2.1 反比例函数的概念&2.2 第1课时反比例函数的图象-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

第2章) 反比例函数 2.1反比例函数的概念 边一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.下列各数量关系中，成反比例关系的是 () A.全班人数一定，出勤人数和缺勤人数 B.运送一批货物，每天运的吨数和需要的天数 C.单价一定，买的数量和总价 D.出油率一定，花生油的质量与花生的质量 2.易错题如果函数y=(m一1)xm-2是反比例函数，那么m的值是 () A.2 B.-1 C.1 D.0 3.有下列函数表达式：①y=一之 专®y=-0y=220y-1y= x二其中，表 示y是x的反比例函数的是 (填序号) 4.已知y与x成反比例，且当x=一3时，y=4,则当x=6时，y的值为 5.用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断其是否为反比例函数.如果是，写出 k的值， (1)底边长为3cm的平行四边形的面积y(cm)随底边上的高x(cm)的变化而变化. (2)检修100m长的管道时，每天能完成10m,剩下未检修的管道长y(m)随检修天数x的变化 而变化、 (3)实数x与y互为倒数，y随x的变化而变化. 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能。▲ 6.观察表格，如果x与y成正比例，那么m的值为 ;如果x与y成反比例，那么m的值为 4 m 6 8 7.已知y与x之间的函数表达式为y=(5m一3)x2-”+(n十m).请求出在下列情况中，m,n满足 的条件： (1)该函数为一次函数. (2)该函数为正比例函数， (3)该函数为反比例函数 “答案与解析”见P12 25 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 2.2 反比例函数的图象与性质 第1课时反比例函数的图象 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.若励<0，则一次函数y=k红十b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致是() 2.在平面直角坐标系中，下列点P,Q在同一反比例函数图象上的是 A.P(-2,-3),Q(3,-2) B.P(2,-3),Q(3,2) C.P(2,3),Q(-4,-1.5) D.P(-2,3),Q(-3,-2) 3.已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过点（一3,2》，则该函数图象在第 象限 4,易题在同一平面直角坐标系中，直线y=一2x与双曲线y=2的交点有 个 2 5.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“整点”.已知双曲线y= (1)求该双曲线上的“整点” (2)顺次连接这些“整点”，能得到一个什么图形？ 幻二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能◆ 6.[2025德州中考]在平面直角坐标系中，函数y=一的图象是 () 六7 7.如图所示为三个反比例函数y= 1 t,y= )在x轴上方的图象，由此 K. y-x 得到k1,k2,k3的大小关系为 A.k1>k2>k3 B.k3>k1>k2 C.k2>k3>k1 D.k3>k2>k1 (第7题) 26 第2章反比例函数 8,如图，在平面直角坐标系中，过原点0的直线交反比例函数y=(k≠0)的图象 于A,B两点，BC⊥y轴于点C,△ABC的面积为6，则k的值为 9.已知A(4,2)为函数y=图象上一点，P为该函数图象上不与点A重合的另一 (第8题) 个点，且满足OA=OP,则所有可能的点P的坐标为 10.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(k≠0)在第一象限内的图象经过点C.已知点A 的坐标为(1,0)，将线段CA绕，点C按顺时针方向旋转90°，点A的对应点恰好落在y轴上的，点 B(0,3)处，过点C作CD⊥x轴于点D,作CE⊥y轴于点E. (1)求证：四边形ODCE为正方形 (2)求反比例函数的表达式. OAD (第10题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维山 11.已知点P(m,n)在直线y=一x十2上，也在双曲线y=一上，则m2+n2= 12.如图，M(0,m)为y轴上一点，m<0,过点M作y轴的垂线l,与反比例函数y=二的图象交于 点P.把直线L下方的反比例函数的图象沿着直线！翻折，其他部分保持不变，所形成的新图象 称为“G图象”. (1)当m=一1时，求“G图象”与x轴交点的横坐标. (2)过y轴上另一点N(0,n)作y轴的垂线，与“G图象”交于点A,B. ①若n=2,且AN=2BN,求m的值， ②若AN=2BN,求m与n之间的数量关系 M (第12题) ●“答案与解析”见P12 2719.根据题意，设AB=xm,则BC=(18+2一x)m. 2十14=36.经检验，符合题意.∴.这两个两位数分别为 .x(18十2-x)=96,整理，得x2一20x+96=0,解得 42和36. x1=8,x2=12.当x=8时，BC=18十2-x=18十2一8= 21.(1)设y关于x的函数表达式为y=kx十b.根据题 12(m);当x=12时，BC=18+2-x=18+2-12=8(m). 68k+b=40, k=-5, 意，得 解得 .y关于x的函数表达 ∴.当车棚的长为12m,宽为8m时，能围成一个面积为 67k+b=45, 6=380. 96m的车棚. 式为y=-5.x+380.(2)由题意，得(x-40)(-5x+ 20.(1)21与48是“幸福数对”.理由：21×48=1008， 380)=1600,解得x1=56,x2=60.,要使顾客获得实惠， 12×84=1008..21×48=12×84..21与48是“幸福数 .x=56.∴.售价应定为56元/箱.(3)在(2)的条件下， 对”.(2)由题意，得这两个两位数分别为10(x十2)十 当x=56时，y=-5×56+380=100,17号到31号共计 x=11x+20,10(x+1)+x+4=11x+14.将它们各自的 15天.由题意，得1600×(31-15)=[56×(1-m%)- 十位上的数字和个位上的数宇交换位置后，得到的新两位 40×(1一10%)]×100×(1+2m%)×15+7120.整理，得 数为10x+x+2=11x+2,10(x+4)+x+1=11x+41. 7m2+100m-4800=0,解得m,=20,m2=-7(舍去). 这两个数为“幸福数对”，.(11x十20)(11x+14) (11x+2)(11x十41)，解得x=2.∴.11×2+20=42,11× .m的值为20. 第2章 反比例函数 2.1反比例函数的概念 是x的反比例函数.(2)由题意，得y+10x=100,∴.两 个变量之间的函数表达式为y=100一10x,故y不是x的 1.BA.全班人数一定，出勤人数和缺勤人数的和为定 反比例函数.(3)实数x与y互为倒数，∴.两个变量 值，∴.A选项不符合题意.B运送一批货物，每天运的吨 数和需要的天数的积为定值，∴，B选项符合题意.C.单价 之间的函数表达式为y一故y是x的反比例函数，且 一定，买的数量和总价成正比，∴，C选项不符合题意.D.出 k=1 油率一定，花生油的质量与花生的质量成正比，∴·D选项 16 3当x与y成正比例时，4：6=m:8,解得m= 不符合题意 6.3 2.B函数y=(m一1)xm-2是反比例函数，.m 15.当x与y成反比例时，8m=4X6,解得m=3 3 2=-1且m-1≠0.由m|-2=-1,得m=±1.由m- 7.(1)当函数y=(5m一3)x2”十(n十m)为一次函数时， 1≠0，得m≠1.，.m=一1. 易错警示 2-n=1, n=1, 解得 3 (2)当函数y=(5m-3)· 忽视概念隐含条件导致错误 5m一3≠0， m≠ 5 解决反比例函教y=的概念问题时，常常会因忽 2-n=1, n=1, 视系数k≠0的隐含条件而出现错误 x2"十(n十m)为正比例函数时，n十m=0,解得 m=一1. 5m一3≠0， 3②0①y-号异二次函数：@y是y关于： (3)当函数y=(5m-3)x2"十(n十m)为反比例函数时， 2-n=-1, 的反比例函数：③y=②一5是y关于x的反比例函数： n=3, 5.x 了n十m=0, 解得 m=-3. 5m-3≠0， @y一1-不是y关于：的反比例函数：⊙y名不 2.2反比例函数的图象与性质 是y关于x的反比例函数. 4一2设反比例函数为y=冬.：当x=一3时，y=4, 第1课时反比例函数的图象 1.CA.由一次函数的图象可知，k>0,b>0.由反比例函 六4气解得一12六反比例国数为y-兴 数的图象可知，k>0.两者一致，但不满足kb<0,故此项错 ·当x=6时y=12 误，不符合题意.B由一次函数的图象可知，k<0,b<0.由 =-2 6 反比例函数的图象可知，k>0.两者不一致，且不满足b< 5.(1)根据平行四边形的面积公式，可得y=3x,.y不 0,故此项错误，不符合题意.C.由一次函数的图象可知， 12 k<0,b>0.由反比例函数的图象可知，k0.两者一致，且 上所述，点P的坐标可能是(2,4)或（一2，一4）或（一4，一2）： 满足b<0,故此项正确，符合题意.D.由一次函数的图象 10.(1)CD⊥x轴于点D,CE⊥y轴于点E, 可知，k>0,b<0.由反比例函数的图象可知，k<0,两者不 .∴.∠CDO=∠CEO=90°=∠EOD..四边形ODCE为 一致，故此项错误，不符合题意 矩形.∴.∠ECD=90°.由旋转的性质，得BC=AC, 2.CA.(-2)×(-3)≠3×(-2)，故点P,Q不在同 ∠BCA=90°，∴.∠BCA-∠ECA=∠ECD-∠ECA,即 一反比例函数图象上.B.:2×(一3)≠3×2，故点P,Q ∠BCE=∠ACD.∠BEC=∠ADC=90°，BC=AC, 不在同一反比例函数图象上.C.2X3=(一4)×（一1.5）， ∴.△BEC≌△ADC(AAS).∴.EC=DC..四边形 故点P,Q在同一反比例函数图象上.D.:'(一2)X3≠ ODCE为正方形.(2)设正方形ODCE的边长为a. (-一3)X(一2)，故点P,Q不在同一反比例函数图象上 A(1,0),B(0,3),∴.OA=1,OB=3..AD=a-1.由 3.二、四：反比例函数y=的图象经过点(-3,2)， (1)知，△BEC2△ADC,.BE=AD=a-1..OB= OE+BE=a十a-1=3..∴.a=2..∴.EC=DC=2..∴.点C ∴，图象必过第二象限.：反比例函数的图象关于坐标原 点成中心对称，.另一分支必在第四象限..该函数图象 的坐标为2.2).把C2,2代入y-冬（≠0)，得2=台， 在第二、四象限」 解得及=4“反比例函数的表达式为y一兰 40:直线y=一2x经过第二四象限，双曲线y= x 11.6.点P(m,n)在直线y=一x十2上，，.m十n=2. 位于第一、三象限，∴.它们的交点个数是0。 又：点P(m,n)也在双曲线y=-上上，m=-1 易错警示 不会根据条件画出函数图象易导致错误 ∴.m2+n2=(m+n)2-2m=22-2X(-1)=4+2=6. 解答这类关于图象交，点个数问题时，若不会根据条 12.(1)当m=一1时，M(0,一1)，“G图象”与x轴的 件或相关函数的图象性质画出图象，确定可能经过或分 交点的纵坐标为0，.它关于过点M的直线l对称的点的 布的象限，则容易导致错误。 纵坐标为一2.由翻折，可得此对称点在反比例函数y=】 5.(1)(1,2),(2,1),(-1,-2),(一2，-1).(2)矩形 6.C当>0时，x=xy=- 的图象上把y=-2代入y=得x=-分G <0.∴.此时图象 1∠0 .(2)①由题意知， 分布在第四象限当x<0时，x=一xy= 图象”与x轴交点的横坐标为一 N(0,2),点A和点B的纵坐标都是2.当点A在y轴的右 ·此时图象分布在第三象限综上所述y=一可的图象 侧，点B在y轴的左侧时，点A在反比例函数y=二的图 分布在第三、四象限 7.C由题图可知，反比例函数y-:在x轴上方的图象 象上点A的横坐标为2，则A(2,2.AN=号 y-在 位于第二象限，故k,<0.反比例函数y=, :AN=2BN,BN=子点B的横坐标为-子，则 x x轴上方的图象位于第一象限，且函数y=:的图象距原 B(-,2由题易知，点B关于直线1的对称点B的坐 点较远，故有0<k3<k2.综上所述，k2>k3>k1. 标为-子，m-(2-m)）,即B(-,2m-2)且点B 8.一6由对称性可知，OA=OB,:易得S△c= Sax=名Sa,”C1y铂，△AC的面积为6， 在反比例函数y=子的图象上.一十×(2m一2)=1，解 得m=一1.当点A在y轴的左侧，点B在y轴的右侧时， S=Sa=号×6=1k1.又：<0, 点B在反比例函数y=二的图象上，.点B的横坐标为 .k=-6. 9.(2,4)或(-2，-4)或(-4，一2)OA=OP,点A的 2则B(分，2小BN=2:AN=2BN=1,点A 坐标为4,2，双曲线y一冬关于原点成中心对称，关于直 的横坐标为一1，则A(-1,2).由题意易知，点A关于直线 1的对称点A'的坐标为(-1，m一(2-m),即A'(一1， 线y=x成轴对称，.若点P在第一象限，其坐标为(2,4)； 若点P在第三象限，其坐标为（一2，一4）或（一4，一2）.综 2m-2,且点A在反比例函数y-士的图象上，-1X 13 2m-2)=1,解得m=>0.与题中的m<0的条件牙 第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大 盾，∴.不符合题意，舍去.综上所述，m的值为一1.②由题 3-2衣<-号：点A(-2,在反比例函数y=号 意知，N(0,n),点A和，点B的纵坐标都是n.当n>0,点A 的图象上，=一2X1=一2.y=-2.当x=1时， 在y轴的右侧，点B在y轴的左侧时，点A在反比例函数 1 y=的图象上点A的横坐标为，则A(分m小 y=-2:当x=4时y=-2:k=-2<0,·当x>0 时，y随x的增大而增大..当1<x<4时，y的取值范围 :AN=:AN=2BNBN=易点B的横坐标 是-2y<-号 为-，则B(云小由题意易知，点B关于直线1的 易错警示 对称点㎡的坐标为(-易，m-(”一n),即 不会依据图象性质确定函数值的取值范围 解答这类问题时，应先根据条件确定反比例函数 B(-易2m-小，且点B在反比例函数y-的图象 的系数k的值，进而根据反比例函数的性质得到 y= 上一·(2m-n）=1,解得m=-2.当n>0,点A 在每个象限内函数值y随自变量x的变化情况.解题时 往往会由于不能正确理解反比例函数的性质而导致 在y轴的左侧，点B在y轴的右侧时，点B在反比例函数 错误 y=的图象上点B的横坐标为，则B(号n): 4(1)一2：反比例函数y=(a一1)x-5的图象在每 BN=是：AN=2BN=号，“点A的横坐标为 个象限内y随x的增大而增大，口-10， 解得 a2-5=-1, 一号，则A(一号小：由题意易知点A关于直线1的对称 a=-2(2)1(答案不唯一）：反比例函数y=兰的 点A的坐标为(-子m一0m-m小，即A(一子2m一小 图象分别位于第一、三象限，.k>0.∴.k=1(答案不 唯一) 且点A”在反比例函数y=的图象上一名(2m 5作出反比例函数y=一4的图象如图所示.()把 x )=1,解得m=.“>0“m>0.这与题中的m<0 2代人y=-得)=-号=-22)当=1时， 的条件矛盾，.不符合题意，舍去.当m<<0时，点A和 y=-4;当x=4时，y=一1.由图象可知，当1<x≤4时， 点B在第三象限.'AN=2BN,.易得点A在反比例函 y的取值范围是-4<y≤一1.(3)当y=-1时，x=4: 数y一的图象上.点A的横坐标为}，则A(只n): 当y=4时，x=-1.由图象可知，当一1≤y<4且y≠0 :m<0AN=-.:AN=2BN.BN=-20 时，x的取值范围是x<-1或x≥4. n ·点B的横坐标为易，则B(易)小：由题易知点B关于 直线1的对称点B的坐标为（易m-m一m小，即 B(公，2m一)，且点B在反比例函数y=的图象上， ·（2m-)=1,解得m=号.综上所述m与u之间 (第5题) 的数量关系为m=一 n或m=多 6B当k>0时，函数y=的图象位于第一、三象限，函 数y=kx十3的图象经过第一、二、三象限，故选项B符合 第2课时反比例函数的图象特征和性质 题意，选项C不符合题意，当k<0时，函数y的图象 1.C由题意，得m-1<0,解得m<1, 位于第二、四象限，函数y=kx十3的图象经过第一、二、四 2C反比例函数y=,k=一7<0，·函数图象在 象限，故选项A,D都不符合题意. 14