重难点专训04 圆锥曲线（椭圆）解答题题型归纳（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点专训04 圆锥曲线（椭圆）解答题题型归纳 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 4 题型1 椭圆解答题高考真题回顾学习 4 题型2 弦长问题 5 题型3 斜率问题 6 题型4 定点问题 7 题型5 求点坐标 8 题型6 面积问题 10 题型7 角度问题 11 题型8 对称问题 12 题型9 平行问题 14 题型10 特殊四边形问题 15 题型11 点与椭圆的位置关系 16 题型12 定直线问题 17 题型13 参数问题 19 重难专题分层过关练 20 巩固过关 20 创新提升 22 解题方法及技巧提炼 1、北京卷椭圆解答题的基本特点是： 北京高考数学椭圆解答题秉承“多想少算”的命题精神，多以椭圆为载体，综合考查直线与椭圆的位置关系、弦长、面积、定点、定值、最值及存在性等问题。试题分层设问，第一问通常求椭圆方程（较易），第二问综合考查直线与椭圆的联立、韦达定理及几何条件的代数转化。解答此类题目的基本思路是： （1）根据题目条件确定椭圆方程（求 或待定系数）； （2）设出直线方程，与椭圆联立，消元得到一元二次方程； （3）利用判别式确定参数范围，利用韦达定理写出两根之和与两根之积； （4）将几何条件（斜率关系、向量数量积、面积、距离等）转化为关于两根的代数表达式； （5）整体代入化简，求得定点、定值、最值或判断存在性。 2、核心解题策略： （1）设线策略：优先设 （过 轴定点时），可避免讨论斜率不存在；若过 轴定点，可设 ，但需单独讨论 不存在的情形。北京卷中，设 往往能简化运算，减少分类讨论。 （2）联立与韦达定理：将直线方程代入椭圆方程，消去 或 ，得到关于另一变量的一元二次方程。写出 、、（或 、），后续所有目标式均用这两个对称式表示，整体代入，避免求具体交点。 （3）几何条件的代数转化： 斜率之积为定值： 常数； 向量数量积：； 三点共线：斜率相等或向量共线； 面积：（过焦点弦）或 ； 角度关系： 斜率之和为零或余弦定理。 （4）先猜后证：对于定点、定值问题，先取特殊斜率或特殊位置求出候选值，再证明一般情形。这是北京卷椭圆解答题的常用策略，可大幅降低思维难度。 （5）多想少算：北京卷强调几何直观与代数运算的结合。能利用椭圆定义、对称性、几何关系转化的，不要盲目联立硬算。例如，涉及焦点弦时优先用焦半径公式，涉及中点时优先用点差法。 3、常见题型及解题要点： （1）求椭圆方程 根据题目条件（如离心率、过定点、焦点坐标、与直线位置关系等），列出关于 的方程（组），解出后写出标准方程。注意焦点在 轴还是 轴，以及 的适用条件。 （2）直线与椭圆位置关系 联立后由 判定相交， 相切， 相离。涉及弦长时，用弦长公式 或 ，注意选择使计算更简洁的形式。 （3）弦长与面积问题 弦长公式与韦达定理结合，面积优先选过定点的弦为底，用 。将面积表示为参数 的函数，利用基本不等式或导数求最值，注意取等条件是否满足 。 （4）定点问题 设动直线方程，联立后由条件得到 与 的关系，代回直线方程整理成过定点的形式。若直接化简困难，可先取两条特殊直线求交点作为候选定点，再证明一般性。 （5）定值问题 将目标量（斜率之积、向量数量积、面积、比值等）表示为参数的表达式，利用韦达定理整体代入，化简消参得到常数。常用技巧：齐次化、对称化、点差法。 （6）最值与范围问题 将目标量表示为参数的函数，由判别式确定参数范围，利用基本不等式、导数或三角函数有界性求最值。注意端点是否可取，以及取等时直线是否与椭圆相交。 （7）存在性问题 假设存在满足条件的点或直线，建立方程（组），解出后检验是否满足 及几何约束。若方程无解或解不合题意，则不存在。 4、实用技巧与答题规范： （1）设直线优先用 ，可避免讨论斜率不存在；若用 ，需单独讨论 不存在的情形； （2）联立后写出 、、（或 、），不要解出具体根； （3）目标式尽量用两根之和与两根之积表示，整体代入，减少计算量； （4）涉及弦中点或斜率关系时，优先使用点差法：椭圆 中，弦中点 与弦所在直线斜率 满足 ； （5）求最值时，先确定参数范围，再求函数最值，最后验证取等条件； （6）书写时明确写出“设”“联立”“由韦达定理”“令”“当且仅当”等关键步骤，结论注明取等条件； （7）北京卷解答题步骤分明确，即使最终结果错误，完整的设参、联立、韦达定理步骤也能获得大部分过程分。 5、易错点与关键提醒： （1）忽略判别式：联立后必须写出 ，否则参数范围可能包含无交点情形； （2）斜率不存在漏解：设 时，必须单独讨论斜率不存在； （3）韦达定理符号错误：注意 ，，代入时符号不能出错； （4）基本不等式取等条件不满足：若等号成立时直线与椭圆无交点或参数超出范围，则最值在端点取得，需重新计算； （5）定点验证不充分：猜出定点后，必须证明该点对一般参数情形均成立，不能只验证特殊情形； （6）定值化简不彻底：目标式必须消去所有参数，若最终仍含参数，则说明化简方向有误或题目并非定值； （7）存在性问题未验证：解出参数后必须验证是否满足 及定义域，否则可能得到增解； （8）面积公式漏乘 或点到直线距离公式符号错误； （9）椭圆范围限制：注意椭圆中 ，，涉及动点坐标时不可超出此范围； （10）焦点位置混淆：椭圆焦点在 轴时 ，焦点在 轴时 仍成立但 为长半轴，需根据题目条件正确判断。 题型通法及变式提升 题型1 椭圆解答题高考真题回顾学习 【典例1-1】（2026·北京·高考真题）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，．点关于直线的对称点为，直线与直线交于点．设与的面积分别为与． (1)求椭圆的方程； (2)若，求的值． 【典例1-2】（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 【变式1-1】（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【变式1-2】（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 题型2 弦长问题 【典例2-1】（25-26高三上·北京昌平·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，长轴长为4．过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，求； (3)求的面积的最大值． 核心口诀：设线联立韦达用，弦长公式两根差；焦点弦用定义转，中点弦用点差法。 高分技巧： 设直线：斜率存在时设 ，斜率不存在时单独设 ，避免漏解； 联立消元：联立直线与曲线方程，消去 （或 ），得到关于 （或 ）的一元二次方程，写出韦达定理： 弦长公式： 若设 ，则用 可避免讨论斜率不存在； 焦点弦：抛物线 过焦点弦 ；椭圆、双曲线过焦点弦用焦半径公式 ，转化为 的函数； 中点弦：用点差法求斜率，椭圆中 ，双曲线中 ，抛物线中 ； 已知弦长求参数：将韦达代入弦长公式，列方程解参数，最后必须检验 ； 答题规范：写出“设 ”，联立，韦达，代入弦长公式，化简，下结论。 易错警示：斜率不存在时需单独讨论；弦长公式中根号内必须非负；焦点弦需注意双曲线同支、异支；已知弦长求参数时多解需取舍。 【典例2-2】（2026·北京·三模）已知椭圆:的上、下焦点分别为，，右顶点为，为锐角三角形且面积为． (1)求椭圆的离心率． (2)过的直线交椭圆于，两点（在的左侧），点和点分别在直线两侧，且面积与的面积相等． （ⅰ）求直线的斜率并求的长； （ⅱ）若，求椭圆的方程． 【变式2-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线交于两点，为的中点． (1)求的方程和短轴长； (2)若的垂直平分线交轴于，且. （i）求直线的方程； （ii）点在上，求△面积的最大值． 【变式2-2】已知点在椭圆上，且的焦距为2. (1)求的离心率； (2)过的直线与交于两点，为坐标原点.若的面积为，求. 题型3 斜率问题 【典例3-1】（2026·北京海淀·二模）椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），与轴的交点为．点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率． 核心口诀：斜率之和积，通分韦达；点差法求中点，共线垂直转化。 高分技巧： 斜率公式：，注意分母不为零； 斜率之和/积：写出 或 ，通分后代入韦达定理，化简消参； 点差法：涉及弦中点斜率时，将两点坐标代入曲线方程相减，得中点弦斜率公式，避免联立； 斜率之比：转化为 ，结合韦达建立方程求参数； 证明斜率为定值：将斜率表达式用参数表示，化简后若参数消去则为定值； 垂直与平行：垂直用 或点积为零；平行用 或向量共线； 答题规范：斜率不存在时单独讨论，分式化简注意分母不为零。 易错警示：斜率不存在时不能直接套公式；韦达代入时注意符号；点差法要求弦的中点存在且 。 【典例3-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知椭圆 的两个焦点，焦距为 2，是椭圆上不同于左右顶点的动点，三角形的面积最大值为 . (1)求椭圆方程和椭圆的长轴长； (2)已知点，直线与椭圆交于的另一个交点记为点，关于轴的对称点为， 直线分别交轴于，当时，求直线的斜率. 【变式3-1】（2026·北京丰台·一模）已知椭圆，椭圆上一点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为0，求直线的方程． 【变式3-2】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 题型4 定点问题 【典例4-1】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知椭圆的左顶点为A，离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)设过点的直线交C于两点，过M且平行于y轴的直线与线段交于点T，点Q满足，问：是否存在x轴上的定点K，使得直线始终经过点K． 核心口诀：特殊探路猜定点，设线联立韦达证；参数关系化直线，恒成立处即定点。 高分技巧： 特殊探路：取斜率不存在、斜率为0、过原点等特殊直线，求出交点或直线，猜测定点； 设线联立：设直线 或 ，与曲线联立，用韦达定理表示 、； 参数关系化定点：由题设推出 ，则直线 恒过定点 ； 手电筒模型：若 ，则直线 过定点；若 ，则 过定点或定向； 恒成立思想：将含参直线方程整理为关于参数的恒等式，令参数系数和常数项同时为零，解出定点； 答题规范：先猜后证，证明定点对一般情形也成立，并验证弦存在条件。 易错警示：斜率不存在时单独讨论；定点可能在曲线外部；证明中需保证 。 【典例4-2】（2025·北京昌平·二模）已知椭圆的长轴长为，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为6． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称．在轴上是否存在定点，使三点共线？若存在，求实数的值，若不存在，说明理由． 【变式4-1】（2026·北京丰台·二模）已知椭圆的离心率为，以椭圆的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边长为2的菱形. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为椭圆的左顶点，，为椭圆上两个不同的动点（均不与点重合），且满足直线与直线的斜率之积为.求证：直线过定点. 【变式4-2】（26-27高三上·北京·开学考试）已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点，，．动点，均在椭圆上（不同于顶点），直线交轴于点，直线交轴于点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)若点，满足，试判断直线是否经过定点．如果是，求出该定点坐标，如果不是，说明理由． 题型5 求点坐标 【典例5-1】（25-26高三下·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，焦距为2，点分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆上两动点，不与轴垂直，连接 ，直线与的外角平分线所在直线交于点． (1)求椭圆的方程： (2)当分别为椭圆的上顶点和左顶点时，求点坐标： (3)求的值． 核心口诀：联立求交点，韦达中点；参数表示消参，对称转移坐标。 高分技巧： 交点坐标：联立方程解方程组，注意多解及取舍； 中点坐标：，，用韦达代入； 重心坐标：，同理； 对称点：点关于点对称用中点公式；点关于直线对称用“中点+垂直”列方程组； 轨迹点：设参数表示动点坐标，消参得普通方程，注明范围； 答题规范：写出所求点坐标，代回原方程或条件验证。 易错警示：多解需根据几何位置取舍；对称点必须满足原曲线方程；坐标范围需在定义域内。 【典例5-2】（2025·北京海淀·三模）椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆E上动点．当P点在长轴端点时， ；当P点在短轴端点时，．过作直线的垂线，过作直线的垂线，直线的交点为Q． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若四边形为平行四边形，求平行四边形的面积； (3)若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标． 【变式5-1】已知椭圆经过点. (1)求椭圆的方程及其离心率； (2)若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点，且有，求点的坐标. 【变式5-2】（2025·北京·模拟预测）已知椭圆 的长轴的两个端点分别为 ，短轴的两个端点与 恰构成一个等边三角形的三个顶点. (1)求椭圆 的标准方程； (2)点为椭圆上除，外的任意一点，直线交直线于点，点 为坐标原点：过点且与直线垂直的直线记为，直线交轴于点，交直线于点，问：是否存在点使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 题型6 面积问题 【典例6-1】（2026·北京延庆·一模）已知椭圆与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），且，椭圆的离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C交于不同两点M，N，直线与直线交于点G．设与的面积分别为，，比较与的大小，并说明理由． 核心口诀：弦长乘距除2，原点三角用截距；焦点三角公式，分割求和。 高分技巧： 三角形面积：，先求弦长，再用点到直线距离； 原点三角形：直线 与曲线交于 ，则 若设 ，则 焦点三角形：椭圆 ，双曲线 ； 四边形面积：分割为两个三角形，或利用对角线乘积的一半； 面积最值/定值：韦达代入化为函数，用二次函数、均值不等式或导数求最值；若参数消去则为定值； 答题规范：面积恒正，绝对值不可丢；底与高必须对应。 易错警示：直线过原点时原点三角形面积为0；面积最值需在 范围内取得；分割时不要重复或遗漏。 【典例6-2】（2026·北京西城·二模）已知椭圆（）的左焦点为，点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记和的面积分别为和，求证：. 【变式6-1】（2025·北京西城·一模）已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，且点到椭圆的两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的方程； (2)若关于原点的对称点为，过点与垂直的直线与椭圆的另一个交点为，轴于点，直线与轴交于点．用与分别表示与的面积，证明：． 【变式6-2】（26-27高三上·北京西城·开学考试）已知椭圆的焦点为，长轴长与短轴长的比值为. (1)求椭圆的方程. (2)过点的直线与椭圆交于两点，轴于点，轴于点，直线交直线于点，试比较与面积的大小，并说明理由. 题型7 角度问题 【典例7-1】如图，椭圆 的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为为坐标原点，且是面积为的等边三角形.    (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)若点为椭圆上一点，且在轴左侧，设过点与椭圆相切的直线为，过两点分别作轴的垂线交直线于两点. （i）若点的纵坐标是，求的面积； （ii）证明：. 核心口诀：角度化斜率或向量，余弦定理；焦点三角公式，垂直点积零。 高分技巧： 角度相等：转化为 或斜率关系； 垂直：用向量点积为零或斜率积为 ； 锐角、钝角：用点积正负判断，注意向量方向； 角度定值：证明 或 为常数； 焦点三角形：椭圆 ，双曲线 ，面积与角度互求； 向量法：，用坐标表示后求值或证明； 答题规范：注明角度范围，斜率不存在时角度为 ，单独处理。 易错警示：角度范围需注意；点积符号与锐钝对应；斜率不存在时不能直接套斜率公式。 【典例7-2】已知椭圆：的右焦点为，长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，过焦点的直线与椭圆C相交于，两点，且点位于第一象限.直线和分别与直线相交于M，N两点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)求的值； (3)若线段的中点为T，证明：是的角平分线. 【变式7-1】（2026·北京昌平·一模）已知椭圆的焦点是长轴的四等分点，点和点都在椭圆上，直线与轴交于点． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式7-2】已知椭圆的离心率为，A，C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，且直线CD与圆相切．若直线l与椭圆有唯一的公共点P，l与直线交于点M，直线AP与直线CD交于点N． (1)求椭圆E的方程； (2)求证：直线MN与CD的夹角为定值． 题型8 对称问题 【典例8-1】（2026·北京朝阳·一模）已知椭圆：（）的离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过点的斜率存在且不为1的直线与椭圆交于不同的两点，（均不与点重合），点与点关于原点对称，直线与直线交于点.求证：直线经过点. 核心口诀：点关于点用中点，点关于线用中垂；曲线对称代坐标，椭圆对称轴中心。 高分技巧： 点关于点对称：中点公式， 关于 的对称点为 ； 点关于直线对称：中点落在直线上，连线与直线垂直，列方程组求解； 曲线关于点对称：将 换为 代入原方程，化简得对称曲线； 曲线关于直线对称：将 换为关于直线的对称点坐标代入原方程； 椭圆对称性：椭圆关于原点中心对称，关于坐标轴对称； 答题规范：验证对称点是否在曲线上，注意斜率不存在的情况。 易错警示：对称点需满足原曲线方程；关于直线对称时需考虑直线斜率不存在；多解需取舍。 【典例8-2】已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求的取值范围及的值； (3)点，在椭圆上，且关于坐标原点对称，过点与垂直的直线与椭圆的另一个交点为，轴，垂足为，直线与轴交于点，的面积和的面积分别记为，，求的值. 【变式8-1】已知椭圆方程，椭圆上有三个点，，． (1)求椭圆的标准方程，并求椭圆的离心率： (2)设是椭圆上的动点，且直线关于直线对称，求直线的斜率. 【变式8-2】已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若过点，斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，且与直线交于点，点在线段（不包括两端点）上，为坐标原点，直线与直线，分别交于点．求证：点关于原点对称. 题型9 平行问题 【典例9-1】（2026·北京·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，上顶点为．原点到直线的距离为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，，线段的中点为，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，．判断直线是否与直线平行，说明理由． 核心口诀：斜率相等或向量共线，点差法证中点弦；注意斜率不存在。 高分技巧： 斜率相等：证明两直线平行，只需 ； 向量共线：证明 或 ； 点差法：证明中点弦平行于某直线，用点差法求斜率； 四边形对边平行：用向量或斜率证明两组对边分别平行； 答题规范：斜率不存在时单独讨论；向量共线需非零向量。 易错警示：斜率不存在时不能直接比较斜率；向量共线需排除零向量；平行与重合需区分。 【典例9-2】已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点． (1)求椭圆的方程和焦距； (2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q不在坐标轴上），且直线PQ与x轴平行，线段的垂直平分线与y轴交于点，圆在点处的切线与y轴交于点．求线段长度的最小值． 【变式9-1】如果点在运动过程中，总满足关系式设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点，，为轨迹上一点（不在坐标轴上），设点，分别为的内心和重心， ①证明：所在的直线与轴平行； ②过作直线与轨迹交于点，，且，求面积的取值范围. 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P． （i）若，求直线的斜率； （ii）求证：是定值． 题型10 特殊四边形问题 【典例10-1】（2025·北京门头沟·一模）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，点关于轴的对称点为，求证：四边形为菱形. 核心口诀：平行四边形对角线平分，矩形加直角，菱形加邻边等，正方形两者兼。 高分技巧： 平行四边形：证明 或对角线互相平分； 矩形：先证平行四边形，再证一个内角为直角（邻边点积为零）； 菱形：先证平行四边形，再证邻边相等或对角线垂直； 正方形：先证矩形，再证菱形（或同时满足矩形和菱形条件）； 梯形：证明一组对边平行且另一组对边不平行； 答题规范：按“先平行四边形，再特殊”的顺序证明，逻辑清晰。 易错警示：矩形、菱形、正方形的判定需在平行四边形基础上进行；对角线条件不要混用；点积为零证明垂直时注意向量方向。 【典例10-2】（25-26高三上·北京通州·期末）已知椭圆：（）的离心率为，，分别是的左、右顶点，. (1)求椭圆的方程； (2)若为坐标原点，过点且斜率为的直线交椭圆于不同的两点，（，异于点），直线，分别与直线交于点，.试判断四边形是否为平行四边形，并说明理由. 【变式10-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，且点在椭圆上，动点C，D分别在直线和椭圆上. (1)求椭圆的标准方程及其焦点坐标； (2)若椭圆上存在一点E，使得四边形是矩形，求点D的横坐标. 【变式10-2】已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值. 题型11 点与椭圆的位置关系 【典例11-1】（2025·北京海淀·一模）已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 核心口诀：代入方程判等号，内部小于外大于；直线交点看判别式。 高分技巧： 点在椭圆上：代入椭圆方程，等号成立； 点在椭圆内：； 点在椭圆外：； 直线与椭圆位置关系：联立后判别式 相交， 相切， 相离； 求参数范围：将点坐标代入不等式，或由判别式条件列不等式； 答题规范：注意曲线类型，双曲线与椭圆的内部外部判断不同。 易错警示：等号对应点在曲线上；椭圆与双曲线的位置关系判断不可混用；参数范围需与定义域取交集。 【典例11-2】已知椭圆，P是椭圆的上顶点，过点P作斜率为的直线l交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B. （1）若直线PA、直线PB的斜率分别为，，求； （2）设线段PB的中垂线与y轴交于点N，若点N在椭圆内部，求斜率k的取值范围. 【变式11-1】已知为坐标原点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，其中椭圆的长轴长是短轴长的两倍. (1)求椭圆和抛物线的标准方程； (2)设直线交抛物线于两点，若的中点在椭圆上，求的坐标. 【变式11-2】已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点 ②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆 （1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程； （2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若点在椭圆的内部，求的取值范围. 题型12 定直线问题 【典例12-1】已知椭圆的离心率为，点在C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆C于，两点，试用含的代数式表示； (3)在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M，证明：线段PM的中点在定直线上. 核心口诀：动点消参得直线，动线过定点；两点确定第三点，恒成立找定线。 高分技巧： 动点在定直线上：设动点坐标，消去参数得 ，即为定直线； 动直线过定点：按题型四方法证明直线过定点，定点确定后动直线为过定点的直线系； 证明某直线为定直线：证明直线上所有点满足同一方程； 特殊位置探路：取两条特殊直线或特殊点，确定定直线，再证明一般情形； 参数法：用参数表示动点坐标，消参得直线方程； 答题规范：说明所有情形均满足，不能只验证特殊点。 易错警示：定直线可能斜率不存在；动点轨迹若为线段或射线，需注明范围；证明需完整。 【典例12-2】已知椭圆C： 的左、右焦点分别为、，一个焦点为，P是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知的面积的最大值为2. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆长轴的两个端点分别为，，与相交于点Q，求证：点Q在某条定直线上. 【变式12-1】已知椭圆，、为椭圆的焦点，为椭圆上一点，满足，为坐标原点． (1)求椭圆的方程和离心率． (2)设点，过的直线与椭圆交于、两点，满足，点满足满足，求证：点在定直线上． 【变式12-2】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过右焦点，设，，求的值； (3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上． 题型13 参数问题 【典例13-1】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知椭圆：（）的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）.垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值.若不存在，请说明理由. 核心口诀：参数值代入列方程，参数范围判别式；分离参数求最值，几何约束定范围。 高分技巧： 求参数值：将已知条件代入方程或等式，列方程求解； 求参数范围：由 得不等式；由韦达定理约束得不等式；由几何位置（点在内部、直线过区域等）得不等式； 分离参数法：将参数分离到不等式一边，另一边为关于 的函数，求函数最值即得参数范围； 恒成立问题：转化为求函数最值， 或 ； 有解问题：转化为求函数值域， 的值域； 定值、定点中参数：由恒成立思想确定参数，使参数系数为零； 答题规范：解出参数后必须检验 、定义域及几何条件，多解需取舍。 易错警示：判别式 是两交点必要条件；参数范围需与曲线定义域取交集；分离参数时注意分母正负；恒成立与有解的最值方向相反。 【典例13-2】（25-26高三下·天津南开·阶段检测）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线与椭圆交于不同的两点，设直线，分别与轴交于点，若的面积为1，求直线的斜率． 【变式13-1】（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知点，椭圆的左右顶点分别为，，离心率为，的面积为4． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于点，，若轴上存在点使得为等边三角形，求的值． 【变式13-2】（25-26高三上·北京东城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．设是椭圆上一点，且在第一象限，． (1)求椭圆的方程； (2)已知不与轴垂直．延长分别与椭圆交于点，若点到直线的距离与点到直线的距离之和为，求的值． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（26-27高三上·北京·期中）已知椭圆：的一个焦点为，椭圆的左右顶点分别为，，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，．若四边形的面积为，求直线的方程． 2．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知椭圆过点，且，为坐标原点，平行于的直线l交椭圆于A，B两个不同的点. (1)求椭圆方程 (2)求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形. 3．（26-27高三上·北京平谷·开学考试）已知椭圆：，离心率为，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2． (1)求椭圆的方程； (2)已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 4．（26-27高三上·北京·开学考试）已知椭圆的一个焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，，的中点为．设为原点，射线交椭圆于点．当与的面积相等时，求的值． 5．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知椭圆 的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. (1)求椭圆的方程； (2)，分别是椭圆的左、右顶点， 经过点且斜率存在且不为零的直线与椭圆交于不同的两点，，求直线，的斜率之比. 6．（26-27高三上·北京·开学考试）已知椭圆，直线与相交于，两点，与轴、轴分别相交于、两点，为坐标原点． (1)求椭圆的长轴长和离心率； (2)判断是否存在直线，满足条件：，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 7．（2026·北京海淀·三模）已知椭圆的离心率为，为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，线段的长为． (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆上一点，直线与直线交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率分别为，求的值． 8．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程和焦距； (2)过点的直线与椭圆交于两点，关于轴对称点为，直线，和轴的交点分别为，，求． 9．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当为何值时，为定值． 10．（2026·北京顺义·一模）已知椭圆：的左右顶点为，，，焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，是上不同于，的一点，的中点为，直线与直线交于点，直线与交于点.是否存在点使得直线平行于直线成立?说明理由. 创新提升 11．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知椭圆：的左顶点为，请从下面条件中任选两个作为已知. 条件①：椭圆的离心率为； 条件②：椭圆经过点； 条件③：点到椭圆的左焦点的距离为1. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆的另一个交点为，与轴交于点.过点作的垂线交直线于点.若是等腰直角三角形，求的斜率. 12．（25-26高三上·北京房山·期末）已知椭圆：过点，短轴长为，，分别为椭圆的左、右顶点． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，直线的斜率与直线的斜率的比值是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由． 13．（2026·北京·三模）已知椭圆，现有三个条件：①椭圆过点；②椭圆过点；③椭圆的离心率为．请从这三个条件中选择两个作为已知，使得椭圆存在且唯一． (1)求椭圆的方程； (2)点为椭圆的下顶点，过点的直线与椭圆交于两个不同的点，点分别在射线，射线上，满足，若直线过点，求直线的方程． 14．（2026·北京海淀·一模）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，为第一象限内上的动点，点在直线上，且.过作的垂线交直线于，求的值. 15．（2026·北京门头沟·一模）已知椭圆的离心率为，以椭圆E的短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为8． (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，过点（）且不与y轴平行的直线l与椭圆E交于不同的两点A、B，点B关于x轴的对称点为C，直线AC与x轴交于点D，设和的面积分别为，，当时，求t的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难点专训04圆锥曲线（椭圆）1 解答题题型归纳 内容导航 解题方法及技巧提炼… 题型通法及变式提升 …4 题型1椭圆解答题高考真题回顾学习 …4 题型2弦长问题… 11 题型3斜率问题， …18 题型4定点问题… .25 题型5求点坐标， 31 题型6面积问题。 .38 题型7角度问题， 44 题型8对称问题. 51 题型9平行问题 .58 题型10特殊四边形问题. 64 题型11点与椭圆的位置关系 .70 题型12定直线问题… .75 题型13参数问题， .82 重难专题分层过关练 .89 巩固过关 .89 创新提升。 .102 解题方法及技巧提炼 1、北京卷椭圆解答题的基本特点是： 北京高考数学椭圆解答题秉承“多想少算”的命题精神，多以椭圆为载体，综合考查直线与椭圆的位置关 系、弦长、面积、定点、定值、最值及存在性等问题。试题分层设问，第一问通常求椭圆方程（较易）， 第二问综合考查直线与椭圆的联立、韦达定理及几何条件的代数转化。解答此类题目的基本思路是： (1)根据题目条件确定椭圆方程（求Q,b,c或待定系数）： (2)设出直线方程，与椭圆联立，消元得到一元二次方程： (3)利用判别式确定参数范围，利用韦达定理写出两根之和与两根之积： 1/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)将几何条件（斜率关系、向量数量积、面积、距离等）转化为关于两根的代数表达式； (5)整体代入化简，求得定点、定值、最值或判断存在性。 2、核心解题策略： (1)设线策略：优先设x=y+t(过x轴定点时)，可避免讨论斜率不存在：若过y轴定点，可设 y=kx+m,但需单独讨论k不存在的情形。北京卷中，设X=my+t往往能简化运算，减少分类讨论。 (2)联立与韦达定理：将直线方程代入椭圆方程，消去X或y,得到关于另一变量的一元二次方程。写 出△>0、1+X2、X1x2(或y1+y2、y1y2),后续所有目标式均用这两个对称式表示，整体代入，避 免求具体交点。 (3)几何条件的代数转化： 斜率之积为定值：kk=光二.之2=常数 X1-X0X2-X0 向量数量积：PA·PB=X1X2+y1y2-x1+x2x,“: 三点共线：斜率相等或向量共线： 面积：S=OPyy(过焦点弦)或S=ABd, 角度关系：∠A=∠B一斜率之和为零或余弦定理。 (4)先猜后证：对于定点、定值问题，先取特殊斜率或特殊位置求出候选值，再证明一般情形。这是北 京卷椭圆解答题的常用策略，可大幅降低思维难度。 (5)多想少算：北京卷强调几何直观与代数运算的结合。能利用椭圆定义、对称性、几何关系转化的， 不要盲目联立硬算。例如，涉及焦点弦时优先用焦半径公式，涉及中点时优先用点差法。 3、常见题型及解题要点： (1)求椭圆方程 根据题目条件（如离心率、过定点、焦点坐标、与直线位置关系等），列出关于a,b,c的方程（组）， 解出后写出标准方程。注意焦点在X轴还是y轴，以及α2=b2+c2的适用条件。 (2)直线与椭圆位置关系 联立后由△>0判定相交，△=0相切，△<0相离。涉及弦长时，用弦长公式AB=1+my1-y2 或/1+kx1-x2,注意选择使计算更简洁的形式。 (3)弦长与面积问题 弦长公式与韦达定理结合，面积优先选过定点的弦为底，用S=OFyy。将面积表示为参数m 的函数，利用基本不等式或导数求最值，注意取等条件是否满足△>0。 2/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)定点问题 设动直线方程，联立后由条件得到m与k的关系，代回直线方程整理成过定点的形式。若直接化简困 难，可先取两条特殊直线求交点作为候选定点，再证明一般性。 (5)定值问题 将目标量（斜率之积、向量数量积、面积、比值等）表示为参数的表达式，利用韦达定理整体代入，化简 消参得到常数。常用技巧：齐次化、对称化、点差法。 (6)最值与范围问题 将目标量表示为参数的函数，由判别式确定参数范围，利用基本不等式、导数或三角函数有界性求最值。 注意端点是否可取，以及取等时直线是否与椭圆相交。 (7)存在性问题 假设存在满足条件的点或直线，建立方程（组），解出后检验是否满足△>0及几何约束。若方程无解或 解不合题意，则不存在。 4、实用技巧与答题规范： (1)设直线优先用x=my+t,可避免讨论斜率不存在；若用y=kx+m,需单独讨论k不存在的情 形： (2)联立后写出△>0、X1+x2、X1X2(或y1+y2、y1y2),不要解出具体根： (3)目标式尽量用两根之和与两根之积表示，整体代入，减少计算量： 聚装中取天系，无用直煮精配名十中，洛中点风为与在 斜率k满足k:少=-h (5)求最值时，先确定参数范围，再求函数最值，最后验证取等条件： (6)书写时明确写出“设”“联立”“由韦达定理”“令”“当且仅当”等关键步骤，结论注明取等条 件： (7)北京卷解答题步骤分明确，即使最终结果错误，完整的设参、联立、韦达定理步骤也能获得大部分 过程分。 5、易错点与关键提醒： (1)忽略判别式：联立后必须写出△>0，否则参数范围可能包含无交点情形： (2)斜率不存在漏解：设y=kx+m时，必须单独讨论斜率不存在： (3)韦达定理符号错误：注意X,+X,=- a' x1水2= ,代入时符号不能出错： a 3/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)基本不等式取等条件不满足：若等号成立时直线与椭圆无交点或参数超出范围，则最值在端点取 得，需重新计算； (5)定点验证不充分：猜出定点后，必须证明该点对一般参数情形均成立，不能只验证特殊情形： (6)定值化简不彻底：目标式必须消去所有参数，若最终仍含参数，则说明化简方向有误或题目并非定 值： (7)存在性问题未验证：解出参数后必须验证是否满足△>0及定义域，否则可能得到增解： (8)面积公式漏乘乞或点到直线距离公式符号错误： (9)椭圆范围限制：注意椭圆中-Q≤x≤a,-b≤y≤b,涉及动点坐标时不可超出此范围； (10)焦点位置混淆：椭圆焦点在x轴时a=b+c2,焦点在y轴时a=b2+c2仍成立但a为长半 轴，需根据题目条件正确判断。 题型通法及变式提升 ,题型1椭圆解答题高考真题回顾学习 【典例11】(2026北京高考真题)已知椭圆E:京+尔=1a>b>0)的一个顶点为(2,0)离心率为；， 过点A,)且斜率为k(k≠)的直线与椭圆E交于不同的两点B,C.点B关于直线y=x的对称点为D, 直线CD与直线y=x交于点Q.设△ABg与△AC9的面积分别为SA阳与S△MC0. (1)求椭圆E的方程： ②若Sao-Saeg 8,求k的值. a=2, 【答案】(1)由题设得 a2' 解得 a2=b2+c2. a=2b=V3c=1 所以椭圆6的方程为+了 ()②由题设知S.e=Sm,且SAMe-SA4cDl=SaA0-S△Mcg=SAACD. 直线BC的方程为y-1=k(x-I) 4/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y-1=k(x-1), 得 43 (3+4k2)x2+(8k-8k2)x+4k2-8k-8=0 设B(x,),C(),则D(,x), 42+3,5=2-8跳-8 8k2-8k 且x+x2= 4k2+3 因为AC=V:-12+02-2=1+k2x2-1, 点D到直线®的距离为d=-x+1-4_K2-D-) D BC V1+k2 V1+k2 所以San c2--6-》-5-5-6G+)+可 k2-14k2-8k-88k2-8k 5k2-5 20 +1= 4k2+3 4k2+3 8k2+6 由题设知 中容解得k=t 4 【分析】(1)利用顶点坐标及离心率计算即可得： (2)解法一：设出直线BC,转化条件为S△即-S△@=S△4D,联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦 达定理，再利用点到直线距离公式与两点间距离公式可表示出S△4”，结合题目所给条件与韦达定理计算 即可得解解法二：设出直线BC,联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，再利用点到直线距离公 式与两点间距离公式可表示出S.与S△4c0,结合题目所给条件与韦达定理计算即可得解。 【详解】(1)略 (2)解法二：由题意可得'cy=k(x-l)+1,设B(,)、C(,), 由B关于直线y=x对称的点为D,则D(,x), 联立 二-简去，0(e2--8-0 43 12.127 由4+321，故A在椭圆内部，故A>0恒成立，有x+5 2+3、55=2-8M-8 8k(k-1) 4k2+3: 则y+=k(x-1)+1+k(x2-1)+1=k(x+x)-2k+2, =[k(x-1)+1][k(:-1)+1]=2x+(k-k2)(x+x)+2-2k+1, 5/122 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=为-(x-y)+x y=(x-)+x”联立3-y x2- y=x 则x=点（(x-)+,即（5-)x=0-)x-(0-x)X+(- x2-乃 xx2-yy2 整理得++)即丙+)-识+-区+ 点。到酸0的能离4-点，点C宜统40的能离4=与 √2 风4g-w-4则w分-8w- 2 w小贤-5-k5 20++）+)-0+)(G+++ 1x52-y =5)(G+)+0+》 5-5-k+)+21-k+5)++5-2+ 01-2)5--+x)-2+刊 1L-k2儿4w2-账-8)0-k2)(k-0-2+ 2 4k2+3 4k2+3 14k2-8k-8-4k4+8K2+82_82-8k-8k+8K+44-3k2+42+3 2 4K2+3 4k2+3 4k2+3 15k2-5_5 =24k2+38 即有5-5+华，若>1小则5=无解，不得 则k2<1:有5-5k2=5+ 4,解得k=t2 : 枚k=t② 4 6/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1-2】(2025北京高考真题)已知椭圆E: 言+方-la>h>0的离心率为识，蜗网上上的点到丙 2,y2 焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程： (2)设0为坐标原点，点M(xo,%)(x≠0)在椭圆E上，直线xox+2y-4=0与直线y=2,y=-2分别交 S OA 于点A,B.设AOAM与aOBM的面积分别为S,S,:比较S,与OB的大小. x ,y2 【答案】0)4+2 =1 S=l04 ②s,OBl 【分析】(I)根据椭圆定义以及离心率可求出a,C,再根据a,b,c的关系求出b,即可得到椭圆方程： OA SAM (2)法：联立直线方程求出点4B坐标，即可求出OB,再根据S,BM 即可得出它们的大小关系， 法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到∠AOM=∠BOM,再根据三角形的面积公式即可 解出 【详解】山少新数可知，2=4所以g2又e-日-马 =。=2,所以c=2'6=d2-c2=2 x2,y2 故椭圆的方程为4+2=1： xox+2yo-4=0 (2)联立 4 整理得，(2x6+46)>-16y+16-4x=0①， 又等+号-1，所以25+4城=816-4树=8明 7/122 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故①式可化简为8y2-16yy+8=0,即(y-广=0，所以y=%, 所以直线x+2oy-4=0与椭圆相切，M为切点 设A,),B(5,)易知，当x=飞时，由对称性可知， &-o4 S2OB· nS=A4--刻=-五 故设5<<x:易知5，BM-x-51 xx+2y0y-4= 联立1y=2 0,解得=4仁，男=2， xox+2y-4= 联立y=-2 0解得5-4+奶，乃=-2。 4-40-4-4y。-6 S=-=而 所以S,0--0 4+4yx7-4%-4 26-4y=2- -2y-4%2+0’ 4-4y 12 +4 OA Xo V41-}+V4-⅓}+4-28-4+42-2 OB 4+4y0 2 V401+%/+号V41+%/+4-2V+4+42+%, Xo 故s,OB SOA 法二：不妨设A(x,y),B(5,)易知，当x=5时，由对称性可知，3，O8: 故设x<x<x, xox+2yoy-4= 联立y=2 0,解得=4，=2。 Xo xx+2yy-4=0 联立y=-2 ，解得x 4+40,y2=-2 若x=0,则y%=l,x。=±V2,x2=4V2, 由对称性，不妨取。-2，：2=42，则A(0,2),B4W2,-2,M(V2, 8/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2,2 am∠BOM=2.45=2,所以 tan∠BOM=√2 12x2 24 ∠AOM=∠BOM 同理，当=0时，∠AOM=∠BOM, 誾站0时，则a五2然5k尘=2一ka男 x4-4y。2-2’ x24+4%2+2y。” 又普+号=1，所以6+24 xoyo 所以an∠40M=6-kL-2-2%6 1+koskou1+、。一x0 2-2y0x0 =-6+26-2%=-4-2%=2 (0%-2）x(0%-2)x,· %+。 tan∠BOM=kay-ka= x2+2y0 号+26+2%=4+2%=2 1+kou 'kon 1+yox Xo x(y+2)x(y+2) x0(2+2y% 则tanZAOM=tan∠BOM,即∠AOM=∠BOM, S_|OA OM sin∠AOM_lOA 所以S OB OM sin∠BOM OB y=2 y=-2 x2,y2 【变式1-1】(（2024北京高考真题)已知椭圆g:云+存=1（α>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶 点的四边形是边长为2的正方形过点(0，)>V2)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点 A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D. (1)求椭圆E的方程及离心率： 9/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若直线BD的斜率为0，求t的值. 【答案】+ 2-e=5 42 2 (2)1=2 【分析】(1)由题意得b=c=√2，进一步得a,由此即可得解： (2)设AB:y=:+,(k≠0，>V2),A(x,y),B(,),联立椭圆方程，由韦达定理有 +石资5茶百0y=等之-，令0即可利解 -4kt x1+x2 2 【详解】(1)由题意b=c= =5,从而a=+c=2 √2 2 所以椭圆方程为4+ +=1，离心率为e=2 2 (2)直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾， VA B 从而设AB:y=+k≠0,1>V2),A(),B(5,2) x2y2 联立 4 2 ，化简并整理得 y=kx+1 1+2k2)x2+4kr+212-4=01 由题意△=16k2P-8(2k2+1(2-2=8(42+2-）>0,即k,1应满足4k2+2-2>0, -4k 22-4 所以x+31+22=2K2+1 若直线BD斜率为O,由椭圆的对称性可设D(-x,2), 所以4D:y=太之(x-+儿，在直线AD方程中令x=0 x+x 得.-+，+低+0.25++）_2到+1=2=1， x+x2 x+x2 x+x2 -4kt 所以t=2, 10/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [4k2+2-2=4k2-2>0 此时，应满足k≠0 即k应满足k<- 或kV② 2 2 综上所述，1=2满足思意，此时k<- 2或k2 2 【变式1-2】(2023北京高考真题)已知椭圆E:+62=1(a>b>0)的离心率为3，A,C分别是B的 上、下顶点，B,D分别是E的左、右顶点，|AC上4. (1)求E的方程： (2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2交于点N,求证： MN//CD +=1 【答案】)9 4 (2) 因为圆E的方起为号+号-1，所以40a2.C0,-2,.B30).D(0: 因为p为第一象限6上的动点，设Pm网0<m<30n<2)则号+子l, y=-2 M 易得6c=0+2、2 3-03,则直线BC的方程为y= =一 3-2, ns力 n m-3m-3, 则直线pn的方程为y产-). 3(3n-2m+6) y= 32 x= 3n+2m-6 联立 ,解得 -12n ，即 3(3n-2m+6) -12n y=1 3n+2m-6 3n+2m-6 3n+2m-6 而4=”-2”-2 m-0m, 则直线p4的方程为y=”-2 x+2 m 11/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令)-2则-2=72+2，解得=n m 9+4=1,则m2=9-9 m2,n2 又 ’8m2=72-18n2 -12n +2 3n+2m-6 （-6n+4m-12)(n-2) 所以6w=33n-2m+6）4m(9n-6m+180n-2)+4m(3n+2m-6) 3n+2m-6n-2 -6n2+4mn-8m+24 -6n2+4mn-8m+24 9n2+8m2+6mn-12m-369n2+72-18n2+6mn-12m-36 =-6m2+4mn-8m+24_ 2(-3n2+2mn-4m+12）2 -9n2+6mn-12m+363-3m2+2mn-4m+123' 0+2_2 又ko-3-03,即kw=km' 显然，MN与CD不重合，所以MNIICD 1V5 【分析】(1)结合题意得到二= a=3,2b=4再结合d2-c2=2,解之即可： (2)依题意求得直线BC、PD与PA的方程，从而求得点M,N的坐标，进而求得ww,再根据题意求得 kcD,得到kw=kcD,由此得解 a3,则c= 【详解】（山）依题意，得e=c=5 39, 又A,C分别为椭圆上下顶点，4C=4,所以2b=4,即b=2, 所以g-心-分=4即心-高0-号=4，则r-9 9 所以椭圆E的方程为9+4 (2)略 >题型2弦长问题 典例2-】(25-26高三上北京昌平阶段检即已知椭因。：千+Q>6>0)的离心率为号，长 轴长为4.过点(0，-2)的直线1与椭圆C交于A,B两点，0为坐标原点. (1)求椭圆C的方程； 12/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若△OAB的面积为√2，求AB: (3)求△OAB的面积的最大值. 【米1学+号- + ②V5 ③)V2 【分析】(1)根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程： (2)设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数k表示面积后可求k的值，从而可求弦长. 4t4 0由（②得5oe42K.设 ,则 S.0=2+P2+ 1+2k2 2k2-1=1>02k2=2+1 t,利用基本不等式 求解。 √2 【详解】(1)因为长轴长为4，故a=2,而离心率为2，故c=V2, 故)=2，故椭圆方程为：4+21. (2) B 当直线AB的斜率不存在时，此时A,O,B三点共线，不合要求，舍去， 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为：y=x-2, y=x-2 联立女+父=1消去得， 42 y”(（1+2k2)x2-8k+4=0 由△=(-8-4×40+23)=16(22-)>0，解得2>) 2 设A(x,4),B(x2,y2), 13/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8k 4 x+x32 1+22x=1+2k2, SOAB 2x2x刘6-=G+了-45 8k)2 4×4 V1+2k21+2k2= 42k-1=N2, 1+2k2 解得- +3x2=5 所以AB=+kP压-xF√+2 (3)当直线AB的斜率不存在时，此时A,O,B三点共线，不合要求，舍去， 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为：y=cx-2 y=kx-2 联立 +上=消去得， 4 2 y”（1+2k2)x2-8+4=0 由△=(-8M-4×4+2)=16(22-小>0，解得2> 设A(x,),B(x2,2), 8k 4 x1+X2= 1+2k25=1+2k2, 2 3mx24-小=+-4 8k 4×4 4V2k2-1 V1+2k2 1+2k2= 1+2k2 设√2k2-1=t>0,则2k2=2+1, 44 4 S.0s=2+=2+ ≤- =√2 +t2, 2 -…t 当且仅当子=4，即-2时等号成立，即-， 解得k=土6 时取等号，满足？>】 2 所以△OAB的面积最大为V2 14/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 核心口诀：设线联立韦达用，弦长公式两根差；焦点弦用定义转，中点弦用点差法。 高分技巧： 设直线：斜率存在时设y=k心+m,斜率不存在时单独设X=x,避免漏解： 联立消元：联立直线与曲线方程，消去y(或X),得到关于x(或y)的一元二次方程，写出韦 达定理： X+水=-B C ,xx,=方4>0 弦长公式： AB=1+kx1-x,=1+k2x1+x2P-4x1x2 :若设x=my+t,则用 AB)=1+m2y1-y2) 可避免讨论斜率不存在： 焦点弦：抛物线y=2px过焦点弦AB=x1+x2+P:椭圆、双曲线过焦点弦用焦半径公式 AF=a±ex1,转化为X1+x2的函数： 中点弦：用点差法求斜率，椭圆中k=-5 “,双曲线中k= b a ay 巴，抛物线中k=卫 已知弦长求参数：将韦达代入弦长公式，列方程解参数，最后必须检验△>0： 答题规范：写出“设AX1,y1,B,y2”,联立，韦达，代入弦长公式，化简，下结论。 易错警示：斜率不存在时需单独讨论：弦长公式中根号内必须非负；焦点弦需注意双曲线同支、异支： 想毯长求参教时多解药河—一一 【典例2-2】(2026北京三模)己知椭圆E京+存=(a>b>0)的上、下焦点分别为厅：乃，右顶点为 A'△A厂5为锐角三角形且面积为 a (1)求椭圆E的离心率. (2)过F的直线I交椭圆E于P,两点(P在2的左侧)，点A和点B分别在直线I两侧，且△F面积与 △QFA的面积相等。 (i)求直线I的斜率并求PO的长： (i)若40-P四=各，求精调E的方程 【答案】（四）2 24a ②(i)直线，的斜率为-5，Pg的长为13：(i) 1612 【分折】（山）利用三角聪而制公式来出如∠乐仍-5.得到∠4：进百得到。。关系，代入离心 15/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 率公式求解即可； (2)(1)由S△s5=S△54得到点A和点B到直线I的距离相等，结合点A和点F分别在直线l两侧， 直线I过A的中点，计算A的斜率：设出直线！的方程，与椭圆方程联立，根据弦长公式，结合韦达定 理求解即可； (ii)由P2垂直平分AE,结合椭圆定义转化得Ag-PF=2a-P四，进而求出a,b,即可求得椭圆 方程 【解】c山1因为8s44m5Gnf=5d, 4 5 所以sin∠FAF2= 2 又△AFF为锐角三角形，所以∠A=60°，即△AE为等边三角形， 所以a=2c,即e=C={ a 2 (2凶(i)由)知e=台，所以6=3e 因为S△5s=S△s4,所以点A和点F到直线l的距离相等， F 又点4和点万分别在直线，两侧，所以直线过A5的中点M?) 所以4=6w=之c3 b =-5 b 2 则直线l的方程为y=-V3x+c, 与椭圆方程联立，整理得13x2-6V3cx-9c2=0, △=(-63c-4x13x(-9c2）=576c2>0, 16/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6V3c 设P(x,)Q(32,2)则x+五= 13,5= 9c2 13 2 所以Pg=+2V(x+)-4x,=+3 -4×1 9c2 =2× 24c_24a 13 13 13-13 24a 故直线1的斜率为-√，P四的长为13 (i)由(i)知，P9垂直平分AE,故4g=QF, 所以4g-P-5-PRl=2a-Q-Psl=2a-Pg=2a-24a-2a-8 131313, 所以a=4,所以c=2,b=2N3, 收锅画6的方程为后+活-1 【变式2】(2526筒三上北京阶假检测)已知桶四号+芳-1a>6>0的离仓泽为片，有货点为 FL,O),过F的直线交E于A,B两点，M为AB的中点. (1)求E的方程和短轴长： (☒若AB的垂直平分线交y轴于N,且-4B ()求直线AB的方程； (i)点P在E上，求△PAB面积的最大值 【客案106的方程为普+亏=1，复轴长6-25 x2 3V 7x-0:(i 8V57+24 (2)(i)y= 19 【分析】(l)根据焦点与离心率，以及椭圆中abc的关系求解即可： (②)（①）设直线与椭圆联立，根据韦达定理得出中点，根据弦长公式以及W=4建立方程求解即 可； ()利用椭圆的参数方程设点，写出点到直线距离公式，结合辅助角公式求最大值即可 【详解】()由题意，c=1, a2,则a=2:b=V-c=5, 17/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2,y2 则E的方程为4+3=1，短轴长2b=25 (2)(i当直线AB斜率不存在时，ML,0),N(0,O),不合题意， 故设直线AB的方程为：y=(x-I),A(x,,Bx2y2), y=k(x-1) 联立父+上-1得 43 (4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0' 8k2 x+=4K2+3 4k2-12 书= 42+3 所以xw=+五=42 2 42+3 M=1+VG+xP-45-12+D 42+3 1 4k2(k2+1) 4k2+3 W=8得4+D32+D 4k2+3 4k2+3 解得=t3 7 所以直线的方程为：y=士3y 7(x-0. (i)由于点P在E上，故设P(2cosa5sina), 由对称性，设k= 7，AB:y-+k=0,1AB122+D_64 4k2+319’ 3sina-2k cosa+k 3+4k2 sin(a+p)+k 则点到的距离d= P AB V1+k2 V1+k2 其中sinp= 2k V3+4k7cosp= 3 3+4k2, 当a+p=时，dn 3+4k+为_57+3 V1+2 4 18/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.PA= AB d= V57+24 19 所以△PAB 8V57+24 面积的最大值为 19 【变式2-2】已知点(2,0)在椭圆C:兰+二 元+尔=1(a>b>0)上，且c的焦距为2 (1)求C的离心率； (2)过(0，-2)的直线1与C交于A,B两点，0为坐标原点若a0AB的面积为5，求OA+0B 【答案】)2 (2)7 【分析】(1)由题求得a,c,进而求得离心率： (2)设1的方程为y=:-2,与C的方程联立可得，+x,xx,利用弦长公式求得4B,再根据点到直线 距离公式求得高，结合SoB=V5求得k2,进而代入OA+OBP计算得解 【详解】(1)依题可知，2c=2,“c=1,又点(2,0)在椭圆上，故a=2, 则椭圆的离心率e=C=1 a 2 （②易知C的方程为后+苦=1，且，的制率必然有在，否明01B不布在， 不妨设I的方程为y=c-2,且Ax,),B(x,), -=1 联立与的方程 43，消去可得 y=kx-2 y(4k2+3)x2-16+4=01 △=（16-4×4x(4k2+3)>0,解得2> 16k 4 六x+=4k2+3=4k2+3’ 由弦长公式，得AB=V1+k2k-, 2 由点到直线的距离公式，得0到边4B的距离为+， a分imFk-6e-6, 19/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k-=+--4写-那阳- 4k2+3 or408-+后++g=后+后+-引+46， (16k28 256x5 4 P -=4 +3 4 4 04+OBP=7 >题型3斜率问题 例31】(2026北京海淀二模)椭圆：。+尔a>b>0)的下顶点为A0,-左焦点到 为V3. (1)求椭圆E的方程及离心率： (2)经过点A的直线与椭圆的另一个交点为D(位于x轴上方)，与x轴的交点为M.点D关于x轴的对称 点为E,过点D作与x轴平行的直线交直线AE于点N.设△DEN与△AEM的面积分别为S△Dw与S△MBM, 若SAv=3S△Bw,求直线AD的斜率. 【答案】)椭圆E的方程为3+广=1，离心率为e 6 3 (2)±1 【分析】(1)由题意知b=l,a=V5,进而求得答案： 6k1-32 (2)设直线 方程为y=:-1 进而求得点M D AD 1+3k2'1+3k2 18k33k2-1 1+3k2'1+3k2 再结合弦长公式，面积公式求解SD 面积，建立关于，的方程并解方程即 可得答案 20/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【样解16设版公号+云=o>6>0的会面为2 则下顶点坐标为(0，-b),左焦点(-c,0)到下顶点(0，-b)的距离为a, 因为椭圆E+a>b>0的下顶点为A0,-]),左焦点到4的距离为3 所以b=l,a=5,c=V2, 所以椭圆E的方程为了+广=1： c2√6 离心率为e=一= a53: (2)由题意知，直线AD的斜率存在且不为零， 设直线D方程为，=红-1令y=0得x=名，故M20） y=kx-1 联立方程 得(+3)-6=0解得或x=6 x=0 1+3k2 1+321321 所以+，代入y=红-1得=太6 6k 1+3k2, 6k3k2-1 所以D+3球1+3k 6k1-3k2 1+3k2'1+3k2 1-3k2 所以66=1+32() 21 1+32-0 6k 6k 3k' 1 所以直线4B的方程为y3头X-l, 3k2-1 因为DN的方程为y=+3欢， 3k2-1 y= 1+3k2 所以 1 得 18k33k2-1 y=3-1 1+3k2'1+3k2 所以aDE.DW 12(3k2-118 6k 6(32- 21+3k2 1+3k21+3k2 (+32 21/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 因为4=1+3 6k2V1+9k2 1+3k2 1+3k2, 1 3k21 3-3e 3k2 1-32 点 到直线 的距离为d (1 V1+9k2 kV1+92, AE 1+3k) 1-32 1-3k2 所以Sw=2 Bd=121+9k 21+3k2 |kV1+9k2 k(1+3k2): 因为SSDEN=3S△MBM, k3x2-12,1-321 所以 (+32）月 k01+32: 即23-」- 1+3k2 设椭圆的右顶点为C(V3,0), 因为经过点A的直线与椭圆的另一个交点为D(位于x轴上方)， 所以>ke=0-v5 3-03，故k2>3?32-10 所以2k2(3k2-)=1+3X2, 令t=k2,则21(31-)=1+31，即62-51-1=0， 所以62-51-1=(61+1)(t-1)=0, 解得1=1或1=一6（舍去)，则2=1 所以k=±L,即直线AD的斜率为1. D A 高分选 核心口诀：斜率之和积，通分韦达；点差法求中点，共线垂直转化。 22/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 斜率公式：k=少 ,注意分母不为零： X2-X1 斜率之和/积：写出kA+kPB或KPA KPB,通分后代入韦达定理，化简消参； 点差法：涉及弦中点斜率时，将两点坐标代入曲线方程相减，得中点弦斜率公式，避免联立： 斜率之比：转化为k1=入k2,结合韦达建立方程求参数： 证明斜率为定值：将斜率表达式用参数表示，化简后若参数消去则为定值； 垂直与平行：垂直用k1k2=一1或点积为零；平行用k1=k2或向量共线： 答题规范：斜率不存在时单独讨论，分式化简注意分母不为零。 易错警示：斜率不存在时不能直接套公式：韦达代入时注意符号：.点差法要求弦的中点存在具y0。.! 【典例32】(25-26高三上北京阶段检测)已知椭圆E:+P=1(a>b>0)的两个焦点E,E,焦 为2，P是椭圆上不同于左右顶点的动点，三角形△PFB的面积最大值为3： (1)求椭圆方程和椭圆的长轴长： (②)已知点A(O,),直线PA与椭圆交于的另一个交点记为P点，A关于x轴的对称点为B,直线BP,BO分 别交x轴于M,N,当MW=2V3时，求直线PA的斜率. 【答案】)4+3 四±度±号 +2 【分析】(1)由椭圆E的焦距为2，求得c=1,再由△PFB的面积最大值为V5,求得b=5,得到a=2, 即可求得椭圆E的标准方程： -8k -8 (2)设直线PA的方程为y=+1,联立方程组得到x+33+4x=3+4状，求得直线BP和B0的 X2 方程，令y=0得到w十2和w,+2,结合MN=25,列出方程，即可求解 【详解)少因为椭圆E:。+的焦距为2可得2=2：可得c 又因为aPF5的面积最大值为、5，可得2F5引-b=c=5,所以b=V5, 2+y=1 则a=V6+c=2:所以椭圆E的标准方程为4+3 (2)设直线PA的斜率为k,可得直线PA的方程为y=a+l, y=kx+1 联立方程组女+少-1'整理得 十 43 3+4k2)x2+8x-8=0 23/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -8k 8 显然A>0设P,,0,2）)则x+5=3+4= 3+4k2, 又由点A(0,)关于x轴的对称点为B(0,-), 可得直线即的方程为1=，令y0可得怎 +1+2, 同理可得，直线B0与轴的交点N的横坐标为w,+2, 所以MN= 2(x-x2) +2,+2kx5+2k(x+)+4: 由x-x2=V(+x2)2-4xx2= 4V6V2k2+1 3+4k2 kx5+2kx+5)+4=43=26) 3+4k2 262+1=25,整理得 因为MN=25,可得3-2k网 k4-16k2+7=0 解狗-号或-行所以太=±或=±马 2 F F2 【袋式】(26北家丰台一酒)已刻精周号+芳-o>60.院两g上一点A2)两共点的 距离之和为2V6 (1)求椭圆E的方程和离心率： (2)过点P(2,3)的直线1与椭圆E交于不同的两点B,C.若直线AB与直线AC的斜率之和为0，求直线1的 方程. 【答案】0 +”=, 63 2 (2)x-y+1=0 【分析】(1)根据题意寻找方程，求解基本量 (②)设直线方程，引入参数‘，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入斜率之和为零的等式中计算未知数 24/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的值即可 【详解】(1)由题意，得2a=26,解得a=V6, 故尽女严 61. 4.1 代入点A(2,),得6+京=1，解得6=5 631, 由。=-，得。=5，故离心率e== a 2 (2) 设直线1的方程为x-2=(少-3列，由题意可知1存在且1≠0. x-2=1(y-3), 联立 消去，得 6+3= x(t+2)y2+21(2-3)y+(2-32-6=0 设B(x,y),C(x,2), 则△=[21(2-3)]-4(+2(2-30)}-6=-16(32-6t-1）. 由韦达定理，得+-2,3刘，-2-3刘-6 2+2 2+2 由已知，得a+kc=-+h-l x-2x2-2 -1y2-1 0-可g习0 所以(4-1y-3)+(y2-1)(y-3)=0 整理得y-2(y+2)+3=0. 代入02-3-6-2.22，刘+3=0. 2+2 2+2 25/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得1=1，符合△>0 所以直线l的方程为x-2=y-3,即x-y+1=0 6 【变式32(25.26高三上北京海淀阶段检测)椭圆C:+片=>6>0)的离心率为 左右顶点 分别为A,4,上下顶点分别为B,B,四边形AB,4,B是边长为22的菱形. (1)求椭圆C的方程： (②)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，B为椭圆C的右焦点，连接AB与BF,并 延长交椭圆C于D,B两点，若直线AB的斜率为k,直线DB的斜率为飞，试探究飞是否为定值.若是， 则求出这个定值：若不是，请说明理由。 【答案10+1 62 k_1 (②是定值，k5· 【分析】(1)根据离心率和菱形的边长，建立关于，b的方程组，求解即得椭圆方程： (②)设化，以小求出一兰，写出直线D的方程并与候圆方程联立，消去，后利到达定理，从而用 x,以，表示出点D,E的坐标，写出k的算式并化简即可求出无的定值 【详解】c少由e=V-合=6 3可得a=5b 又由题意，d2+62=(22=8, a2=6, 联立两式，解得16=2. x2,y2 所以椭圆C的方程为6+2 =1 (2) 26/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设A(x%),则B(-,-),F(2,0),D(x,), 则+3好-6=0,4=}五 0-（-x)0 则直线AD:x=-2 )2与话面方程后+片=1联之 消去x可得：[（6-2+3]Y+4(6-2)%y-2=0, 即(10-4x)y2+4(x。-2)y%y-2y=0 -2y6 显然A>0%410-4玩， 142%。=,05=2h+2=6-12 所以= %2x。-5 2x-5· 所以D 5x。-12% 5x+12 同理可得E 。 2x-5’2x。-5 2x+5’2x+5月 Yo 所以k= 2x-52x+5 (2x+5)-(2x-5) =10%=5k 5x。-12_5x+12(5x。-12)2x。+5)-(5x+12)2。-5)2x 2x-52x+5 所号 题型4定点问题 【集例41】(2526高三上北京海淀阶段检测)已知椭圆C:二+ 京+尔=1a>b>0)的左顶点为4，离心率 为 (1)求椭圆C的方程： (②)设过点P(-2,)的直线交C于M,N两点，过M且平行于y轴的直线与线段AB交于点T,点O满足 27/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 QT-)QM,问：是否存在x轴上的定点K,使得直线QN始终经过点K 2 xt- 【答案】①4+3 1 (2)存在，K(-2,0) 【分析】(1)根据题意列出关于a,b,c的方程组，求解可得椭圆C的方程： (2)设直线MN的方程为y=k(x+2)+1,M(:,乃)，N(x,),联立椭圆的方程，根据韦达定理，结合点0 满足QT-)QM,表示出点Q的坐标，进而得出直线QN始终经过定点， 2 e= a 2 【详解】(1)由已知得a2=2+c2 3)2 1(2 = 解得a2=4,b=3,c2=1, 放c的6e为号+芳-1 (2)依题意可得过P(-2,)的直线的斜率存在，设y=k(x+2)+1,M(x,),N(x2,y2) c-y+2k+1=0 联立父+上1 4 3 ，得4+3)r+80+2)x+4(4+4k-2-=0 △>0即64k2(2k+-16(4k2+34k2+4k-2)>0,即k<2 X+为= 16k2+8k 由韦达定理可知， t) xx=- 4k2+3 由4-2,0，B)可得线度By=多c+2), 点Q满足07-OMT为M0的中点， x=x 联立 28/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 下面证明定点K为(-2,0) KE=(x+2,3(x+2)-y),K=(x2+2,2) 下面证明KQ/KN, 则只需证明：(x+2)y2=(:3+2)(3x+6-y) 即：-6(：+x)+2(y+y2)+xy+xy-3xx2-12=0, 代入=+2k+1,y2=x2+2k+1 只需证：-6(x+x2)+2(c+2+4k+2)+2kxx2+(2k+1)(x+x)-3xx2-12=0 即(4k-5)(x+x2)+(2k-3)xx2+8k-8=0 将(*)代入，只需证明：(4k-5)16k2+8k)+(2k-3)(16k2+16k-8)+(8k-8)(4k2+3)=0. 展开可得(-64+32+32)k3+(80-32-48+32-32)k2+(40-48-16+24)k+24-24=0 显然成立 由于x轴上不可能存在第二个定点，否则直线N即为x轴，可知K(-2,0)为唯一定点，故直线QW过定点 K(-2,0) 分 核心口诀：特殊探路猜定点，设线联立韦达证；参数关系化直线，恒成立处即定点。 高分技巧： 特殊探路：取斜率不存在、斜率为0、过原点等特殊直线，求出交点或直线，猜测定点： 设线联立：设直线y=kx+m或X=my+t,与曲线联立，用韦达定理表示x1+x2、X1X2: 参数关系化定点：由题设推出m=k+μ，则直线y=kx+m=kx+入+μ恒过定点-入，μ； 手电筒模型：若kA+kPB=0,则直线AB过定点；若KPA KPB=入，则AB过定点或定向： 恒成立思想：将含参直线方程整理为关于参数的恒等式，令参数系数和常数项同时为零，解出定点； 答题规范：先猜后证，证明定点对一般情形也成立，并验证弦存在条件。 易错警示：斜率不存在时单独讨论：定点可能在曲线外部：.证明中需保证A>0。.一.一一.一 【典例42】(2025北京昌平二模)已知椭圆E: +云-06o长销长2G以国e的点 29/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 和短轴端点为顶点的四边形的面积为6. (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)过点(2,0)且斜率为k(k≠0)的直线与椭圆E交于A,B两点，点C与点B关于x轴对称.在x轴上是否存 在定点D(m,O),使A,C,D三点共线？若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由 【指10后+1.号 (2)存在；m=3 【分析】(1)利用椭圆的性质，结合面积公式可列出方程组求解椭圆各参数即求解： (2)利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，假设存在点D(m,0),则可得相等关系kD-kn=0,然 后利用韦达定理来进行化简，计算即可得结果. 2a=2v6 【详解】(1)由题意得2bc=6 ，解得 a2=b2+c2 a=V6,b=V3,c=/3 所以桶国g的方程为石+兮=1，高心串e=8-号 x y2 a2· (2) D 设直线AB的方程为y=k(x-2),点A(x,),点B(x,) y=k(x-2) 由x+2y=6,得(1+2k2)x2-8x2x+8k2-6=0 8k2-6 医据题意，A之0+5十25干/422 因为点C与点B关于x轴对称，所以点C(x,)】 若在x轴上存在定点D(m,O),使A,D,C三点共线，则kD-kn=0 kn-n=片--少=5-m)+⅓G-m)） x-m x2-m xx2-m(x+x2)+m2 k(x-2)x2-m)+k(x2-2)x-m) xx2-m(x+x2)+m 30/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k[2x2-(m+2)(x+x3)+4m xx2-m(x+x2)+m 由ko-kn=0,得[2x5-(m+2)(x+x)+4m]=0. 由k≠0，得2xx2-(m+2)(x+x2)+4m=0. 因为2x-(m+2)(x+x)+4m =2a+ 1+22+4m 162-12-8mk2-162+4m+8m-2m-0,解得m=3° 1+2k2 1+2k2 故在x轴上存在定点D(3,0),使A,C,D三点共线。 【变式4)(2026北京丰台二模)已知椭圆E:之+？=1(a>b>0)的离心率为2，以椭圆F的焦点和 短轴顶点为顶项点的四边形是边长为2的菱形 (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知A为椭圆E的左顶点，M,N为椭圆E上两个不同的动点（均不与点A重合），且满足直线AM 5 与直线AN的斜率之积为4·求证：直线MN过定点 【路)0写+P- (2)证明：由题意可知：A(-2,0),直线MN的斜率存在， 设直线MN:y=+m,M(:,h),N(x,), y=kx+m 联立方程任+户1消去可 (4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0' 则△=642m-4(4k2+1(4m2-4)>0,可得m2<4k2+1, 8km _4m2-4 则+3=4+x=4k2+1, 31/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为kwkw=片。乃。=(c+m+m）5 x+2x2+2(x+2)(32+2）4’ 整理可得(4k2-5)x+(4km-10)(x+x)+4m2-20=0, 即4k2-54n2-4）_8km(4km-10）+4m2-20-0. 4k2+1 4k2+1 整理可得m2-5km+6k2=0,解得m=2k或m=3k, 若m=2k,则直线MN:y=c+2k=k(x+2)过定点A(-2,0),不合题意： 若m=3k,则直线MN:y=a+3k=k(x+3)过定点(-3,0)，符合题意： 综上所述：直线MN过定点(-3,0)： 【分析】(1)根据题意结合离心率可得a=2,c=V5,即可得b=1和椭圆方程： (2)设直线MN:y=c+m,M(:,乃)，N(:,),与椭圆方程联立可得韦达定理，根据斜率关系结合 韦达定理可得m=2k或m=3k,进而分析证明 【详解】()由题意可得：e=C=3 a=2,a=2可得c=5’6=d2-c2=1 x 所以椭圆E的标准方程为手+少=1 (2)略 、【变式42】2627高三上北京开学考试)已知椭圆少：+广。 +京=1(a>b>0)的左右顶点分别为A(-a,0, B(a,0),右焦点F(c,0),FA=3FB,AB=8.动点T,s均在椭圆E上（不同于顶点），直线AS交y 轴于点M,直线BT交y轴于点N. (1)求椭圆E的方程和离心率； (②)若点M,N满足30M=-5ON，,试判断直线TS是否经过定点.如果是，求出该定点坐标，如果不是， 说明理由， 【答案】①6+i2 2 (②)直线S经过定点(-1,0)，理由如下： 32/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图所示，已知A(4,0),B(4,0),设动点S(x,y),T(:,2)均在椭圆上（不同于顶点）， 百线8的方程为=产4红+，令-0将y点织坐标年。 +4,即M0】 、+4 4即N0〉 直线Br的方程为y产4红-，令x=0得V点级坐标，一 BT （x2-4 已知30M=-50N,即3yM=-5yw, 代入坐标得34=-5.4少 12y-20y2 3y=5y -5.2 +4-55-4,即x+45-4,化简得x+4-4,则有+43一4： 设直线TS的方程为x=my+n,将直线代入椭圆方程3x2+4y2=48,得3(y+n°+4y2=48,展开得 (3m2+4y2+6mmy+3n2-48=0. 由韦达定理可得y+y, 6mn 3n-48 3m2+4 y1y2=3m2+4 同时=m%+n,x2=my2+n, 3y-5y2 34=5y 由条件x+4与-4，代入x=m+n:x=m,+n?得my+n+4m+n-4:化简得 -2myy2+3(n-4)y-5(n+4)y2=0. 由-”2x+g）小则--+T为-0→-4o+到]-0 -n 所以当n=-l时，上式恒成立， 所以直线TS:x=my-1恒过定点(-l,0) 【分析】(1)根据题意，结合椭圆的几何性质即可求解： _5.2 (2)设动点S(:,y)T(,2)均在椭圆上，根据30M=-50N得到x+43为4，设直线7s的方程 为x=y+n,联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得到关于y的表达式，令的系数为0，求出n即可. 〖鲜解少已知椭圆E:+片ab>0之的左顶点分别为Aa0,8a0,右焦点FC0 33/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据题意，AB=8,即2a=8,所以a=4, 又因为FA=3FB,其中FA=a+c,FB=a-c, 将a=4代入F4=3FB中，得4+c=3(4-c),解得c=2, 根据椭圆性质b2=a2-c2,可得b2=42-2=16-4=12, 椭圆E 的积为后后1，度e*e-后-子 a4-21 (2)略 >题型5求点坐标 【典例51】(25：26高三下北京开学考试)已知椭圆￡：+二 京+尔=1(a>b>0)的离心率为2，焦距为2， 点F,F分别是椭圆E的左右焦点，点A,B是椭圆E上两动点，AB不与x轴垂直，连接AS,B5,直线 AB与∠AB的外角平分线所在直线交于点C. (1)求椭圆E的方程： (2)当A,B分别为椭圆E的上顶点和左顶点时，求C点坐标： (3)求0EOC的值， 【答案】)4十 3 2C4,33 3)4 【分析】(1)由椭圆的离心率、焦距及d2=b2+c2列方程组求解a,b,c,进而得到椭圆方程： (2)先根据椭圆方程确定A,B,的坐标，再求出∠AO的外角平分线的斜率或方程，同时求出直线AB 的方程，联立两个方程即可得到点C的坐标： (3)设出点A,B,C的坐标，利用角平分线的性质得到相关线段或斜率的关系，结合椭圆方程和直线AB的 方程，通过向量数量积的坐标运算，推导O·OC的值， e=1 a21 【详解】(1)依题意， 2c=2, a=2, 解得 a2=b+c2, b=V3, a>b>0,c>0, c=1, 34/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 椭圆E的方程为4+3=1， （②)当么B分别为椭圆E上顶点和左顶点时，B:y= 2(x+2. 因为04-5，oE=1tan∠A50= OA OF =50- .ko.=tj(x-ZAFO)=/3..FC:y-(-I) y=V3(x-1) y=35 所以C4,33 (3)首先证明C在：x=4上. 设A(x,),B(x,),直线AB:y=x+m,AB与1：x=4交于D, 易知D(4,4k+m, ①当￥≠1，为≠1时。 A5:y=片，(x-) x-1 点D4,4秋+网到45：y产c-的距离 3y_4k-m 3(c+m）-4k-m d= -1 x-1 因为点在直线：y=红+口和骑圆号+号1上，所以人=：十n且手+号 t 35/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3(x+m 2-4k-m x-1 d,= 2k+m05-4=2(k+m 31 (x-4) 4 + (:-12 同理点D秋+到的y2红-的距离4=2k+ 所以d=d2 ②当=1，或为=1时不妨设=1此时必有x≠1， 0知点D软+m到5：y=产-)的距离d=2+m BE与h平行，所以d,=3 因为直线:y+过） 所以k+m叫-多 所以d=d: 综合①②4=d2. 所以点D在∠A5B内角平分线或其外角平分线上，而∠AB内角分线与AB交点在椭圆内， 所以点D在∠AFB外角平分线上， 所以l,AB,∠AFB外角平分线交于一点，所以C在x=4上， .0E0C=4. 【点睛】本题是椭圆结合角平分线性质的定值问题，核心是将向量数量积转化为C点横坐标，利用角平分 线夹角性质结合韦达定理推导定值. 核心口诀：联立求交点，韦达中点；参数表示消参，对称转移坐标。 高分技巧： 交点坐标：联立方程解方程组，注意多解及取舍： 2,y=+ 中点坐标：七，=十龙 2兰，用韦达代入： 重心坐标：X。=+X+飞 3 ，同理 对称点：.点关于点对称用中点公式：点关于直线对称用“中点+垂直”列方程组： 36/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 轨迹点：设参数表示动点坐标，消参得普通方程，注明范围； 答题规范：写出所求点坐标，代回原方程或条件验证。 易错警示：多解需根据几何位置取舍：对称点必须满足原曲线方程：坐标范围需在定义域内。一.一· 【典例52】(2025北京海淀三模)椭圆E:+ 京+存=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,乃，点P为椭圆 E上动点.当P点在长轴端点时，P哌·P瓦=l,当P点在短轴端点时，P所P瓦=0，过作直线PE的 垂线马，过F作直线PE的垂线马，直线，4的交点为Q. (1)求椭圆E的标准方程： (2)若四边形PF5为平行四边形，求平行四边形PF2F的面积： (3)若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标. 【答米10E:号+广=1 (2)2 3)P 2W3V3 33 【分析】(1)利用题设条件列出a,b,c的方程组，求解即得椭圆方程： (2)由条件推得oPFQ5为矩形，设PF上m,PE上n,利用椭圆的定义得m+n=2√2，再由勾股定理 得m2+n2=4,联立求出mn=2,从而可求的平行四边形PF25的面积： (3)设P(x,%),则x>0,>0,依题意求出，2的方程，联立求得点的坐标，由点Q在椭圆E上， 解方程即可求得点P坐标 【详解】(1)由题意，当P点在长轴端点时，取P(a,0),则P听·P℉=(-c-a,0)(c-a,0)=a2-c2=1①， 当P点在短轴端点时，取P(0,b),则PF·PF=（-C,-b)(C,-b)=b2-c2=0②， 由②得b=c,故a=V2b代入①，可得b=l,a=V2, 故椭圆E的标准方程为E:2+2 (2) 37/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 如图1，若四边形PFQ5为平行四边形，又1P℉，则⊥Q5,即PF5为矩形， 设P听卡m,lPF上n,则m+n=22,又P听1P5,则m2+n2=42=4, 于是mm@+m,m+心-亿5-4-2，数平行四边形PF05,的面积为%=285=2×m1=2. 2 2 (3) 图2 如调2，设PW)则飞>0%>0：且受+g=1, ,则少=-。+ 因=且所益长= (x+I)」 国1国所4,0 yo 少=-七+1 (x+I) yo Xo=-xo 由 y=-6x-) 联立解得： % Yo 因点Q在精国E上，则得亏+2x=2,将疗=1-乏代入化商利：式-2=0， 2 9%5 解得6，= ,即点P坐标为P个 3’3 【变式51】已知椭圆C:+片 :a+F-1a>b>0)经过点A(-2,0),B0,-) 38/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求椭圆C的方程及其离心率； (2)若P为椭圆C上第一象限的点，直线PA交y轴于点M,直线PB交x轴于点N,且有MNIIAB,求点 P的坐标 答案+y1,离心率为) 【分析】(1)由题意可得a=2,b=1,继而求出c,即可得方程和离心率： PMPN ②设P(m小测学+m=1,又由7A松可释4，整面得到分=n,联立即可解得m n 的值 【详解】(1)依题知：a=2,b=1,所以c=Va2-b2=√ 所以椭圆方程为4+y广=1，离心率e=C=5 x (2)如图： y M B m 设P(mm),第一象限有mn>0:4+=1①： PMPN MNI/AB得：MA-NB, -网-因-” PM xp m m 因此2=n②， m=√2 联立解得=2,故P /2 2 39/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式52】(2025北京模拟预测)已知椭圆C:。子京的长轴的两个端点分别为4仁3,0，B3,0 短轴的两个端点与A恰构成一个等边三角形的三个项点· (1)求椭圆C的标准方程； (2)点P为椭圆上除A,B外的任意一点，直线AP交直线x=4于点E,点O为坐标原点：过点O且与直线 BE垂直的直线记为'，直线BP交y轴于点M,交直线I于点N,问：是否存在点P使得△ABE与△MON 的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由： 【答案10士 15122 (②存在点P的坐标为1T,士 11 【分析】(1)根据已知条件，列出a,b满足的等量关系，求得a,b,即可求得椭圆C的方程； (②Pk）,飞∈(3,3)且人≠0，根据已知条件将E点坐标以及OM用6表示，求得w头，由此 可将△ABE与△MON的面积用xo表示，构成方程即可求解xo,即可解答. 【详解】1)根据愿意可符：2a=6m60-分-5，解得a=36=V5, 故椭圆。的方程为：9 3 (2) +=1， 设P(x),x∈(-3,3)且≠0，则9+3 又因为A(-3,0),所以直线4P的斜率为x+3, 所以直线AP的方程为y=3(x+3), x+3 得yg= 7y 7y 令 4. x=4 +3,所以点的坐标为 E x+3 40/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7yo 因为 所以直线 的斜率为。+3.7。， B(3,0) BE 4-3x。+3 +3 因为BE11'所以直线，的斜率为7，， 所以直线，的方程为法2。 -X 因为P(%士%20B(80)所以直线pB的斜率为产 所以直战m防据产-现即产兴 七-3 所以OM= -3yo x-3 y=-+3 x 7y0 联立直线和直线 的方程 PB 消去，得-+3 +3为k=3 x=- 3,即7%。-5 7y% 7y+x-9.3y。 整理有： x= 7(x-3)x0-3’ +令=1，所以6-9=-3· 因为9 3 4y6 x= 所以7%飞-3)元一3，解得点N的横坐标w- 4 S. x-3 1 要使得 AB 与AMON 的面积相等，应有*6x么x23弘 x。+324x-3 7y%21-3 整理有3 6+38。-3,即8，-3到=3k+3到 33 15 33 15 解得而=5，名=，因为x∈(-3,3)名=5（舍去），所以。=， 41/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由三+公=1可得点P的坐标为 15 ,12√2 93 11' 11 ,题型6面积问题 【典例6】(2026北京延庆一模)已如第版C:手+若=e>6>0)与y箱的交点为.2（六4位于有 √2 B的上方)，且AB=4,椭圆的离心率为2· (1)求椭圆C的标准方程： (②)若直线y=ax+4与椭圆C交于不同两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G.设△AGB与△NGB的面 积分别为S'S,'比较。与G的大小，并说明理由， 【答案】(I x2,y2 84 =1 S、 AG (②四3wG,证明如下： 如图： 将，=44代入专+苦-1，得r+2红+4=8 整理得：(（1+2k2)x2+16+24=0 由A=(16-4×24×+2）小05k2> 16k 24 设M(飞，y)）N(,)则+名=1+2，西1+2 所以直线。， y+2=x 即G 3x1 BM 的方程为：y+2x；令y=1:则 +2 y+2 42/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y-2=x 直线N的方程：片2，令y=1则=产 2-2 即直战w与直线，=的交方为 3x--=3x+=3x(-2)+(y+2) 因为+2为-2月+2为-2 (y+2)(y2-2)· 圆为30-2++2到=3低+2列+5低+0=45+65+5)-+ 96k-96k=0 1+2k2 所以点G 重合 S.4GB AGS AG 故4.G,N三点共线，所以3ACG,即3NG 【分析】(1)根据离心率和b的值，可求，可得椭圆的标准方程， (2)将直线y=c+4与椭圆方程联立，利用韦达定理，可得x+和x,求直线BM与y=1的交点G S 的坐标，再求直线AM与y=1的交点的坐标，判断该点与G点重合，可得A,G,N三点共线，即可得 AG NG 【详解】(1)因为4B=4,所以b=2, 又因为椭圆的离心车为浮，所以-5。 2，又a2=b2+c23 所以a2=8, x2 所以椭圆c的标准方程为8+4 (2)略 核心口诀：弦长乘距除2，原点三角用截距：焦点三角公式，分割求和。 高分技巧： 43/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三角形面积：S=ABd,先求弦长，再用点到直线距离， 原点三角形：直线y=kx+m与曲线交于A,B,则 SoA-m I若设x=my+t,则 =y 焦点三角形：椭圆S=bam号，双自线S=6co2: 0 四边形面积：分割为两个三角形，或利用对角线乘积的一半； 面积最值/定值：韦达代入化为函数，用二次函数、均值不等式或导数求最值：若参数消去则为定值： 答题规范：面积恒正，绝对值不可丢：底与高必须对应。 易错警示：直线过原点时原点三角形面积为0；面积最值需在△>0范围内取得；分割时不要重复或遗 。。一。=—。。 x2 【典例6-2】(2026北京西城二模)已知椭圆C:京+京-1（a>b>0)的左焦点为F(l,0),点 2W3 在椭圆C上 (1)求椭圆C的方程： (②)过点N(-3,O)的直线与C交于A,B两点，过点A作AP垂直直线MF于点卫，记△BPW和△BPF的面积 分别为SaBN和SPF,求证：S.BPN=SBr 【10片+号 (2) 由题意，直线AB的斜率显然存在且不为0， 设直线AB的方程为x=少-3(（≠0），A(x,片)，B(x,2),P(-1). x=y-3 联立 (22+3)y2-12y+12=01 则△=144-4(2r+3)×12>0,即t>5或t<-5, 12t 、12 且y+%2+3%2P+3,则男+⅓= 而Sw-4r=1-=1-(-3=2,-2 y-2=+%-2=-⅓， 44/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sam-Pm1k+-2,-3+-2-2-%-2y y+为-2y2-,故Sw=5m M 【分析】()将点M 2v3 3 代入稀圆方程可得宁衣=1，结合盘点F代L0可得。-进打结合 a,b,c的关系求解即可： (2)设直线AB的方程为x=少-3（≠0），A(:,乃)，B(x,乃)，P(-山，)，联立直线与椭圆方程，结合韦 达定理可得少+=少，进而求证即可 23 【详解】(1)由点M 在椭圆C上，得'+ 4 3 得+=1 而左焦点为F(-,0),则c=1,即c2=d2-b2=1,解得a2=3,b2-2, 父=1 则椭圆C的方程为3+2 (2)略 【变式6-1】(2025北京西城一模)已知椭圆5：￡+ 6 :+家1(a>h>)的离心率为3，A为椭圆E上一 点，且点A到椭圆E的两个焦点的距离之和等于2V6, (1)求椭圆E的方程； (②)若A关于原点O的对称点为B,过点A与AB垂直的直线与椭圆E的另一个交点为C,AH⊥x轴于点H, 直线BC与x轴交于点M,用S。soM与SAAOI分别表示△BOM与△AOH的面积，证明：Sow=2S,AOH. (2) 由题意，设点A(x%(x≠0)，则点B(-x,-),H(x,0) 45/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直战C的方为，+人-+)C曲。行 （3k2+)x2+6k(。-%)x+3(。-)2-6=0」 所以A0+-.3为-6 3k2+1 3k2+1 6+5.为=+-为=6】+2点-. 故xc= 3k2+1 3k2+1 又因为AB⊥AC, 所以0AAC=(0%) -6k(。-）.-6k2(c,-为2+2-2%=0. 3k2+1’3k2+1 去分母化简得到(%-a)-3)=0,所以%=x或。=3x。 当y=c时，直线BC过原点，不符合题意. 当=3k,时，直线BC的方程为y=c-2,则点M坐标为(2x,0), 所以Sm-xoHx=,又=kW。 故S.BOM=2SAOH c_v6 【分析】(1)根据椭圆性质，己知离心率二 李。3、长轴2a=26以及。=+c2,通过解方程组就能得 出a、b的值，进而得到椭圆方程 (2)先设点A、B、H坐标，再设直线BC方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到xc、yc表达式因 为AB⊥AC,根据向量垂直性质得到OA·AC=0,解出%与的关系排除直线BC过原点的情况后，确 定%=3k6时直线BC方程，求出点M坐标，最后根据三角形面积公式得出S,oM=2S,4OH. 46/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 e=6 03 【详解】(1)由题意，得 2a=2、6,解得 d2=b2+c2, a=√6b=√2 x2.y2 所以椭圆E的方程为6+2 =1 (2)略 【变式62】（26-27高三上北京西城开学考试)已知椭圆M:兰+2 :a+=1的焦点为F(2,0),长轴长与短 轴长的比值为V2. (1)求椭圆M的方程. (2)过点F的直线I与椭圆M交于A,B两点，BC⊥x轴于点C,AD⊥x轴于点D,直线BD交直线x=4于 点E,试比较△ECD与△EAB面积的大小，并说明理由. 【答案】)8+41 (2)1:1,理由如下： 由题意可知，直线1斜率存在，设直线I的方程为y=k(x-2) y=k(x-2) 由x+2y=8,得(1+22)x2-8k2x+(8k2-8)=0 8k2-8 设AGB则+5药42 因为AD⊥x轴，所以D(:,O): 直线D方程为y=(e-),所以E44- BD x2-x1 ”x2-x 因为BC⊥x轴，所以C(x,0) 图产。产 2(4-x)-4 所以kc-kc(6-)4-)x- 47/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(4-x)+y(4-x) (x2-x)(4-x2) k(x2-2)(4-x)+k(x-2)(4-x2) (x2-x)(4-x2) (x2-x)(4-x2) [6(x+x)-2xx-16] 2k 24k28k2-8 -8 (62-x)(4-x)1+2K21+2k2 16k 32-k2+1-1-2k=0 (x2-x)(4-x2) 1+2k2 所以C,A,E三点共线 因为BCIIAD,所以△BCD,△BCA同底等高，则S△BCm=SAC4 又因为SAsD=SAFCB+SARCD,SAEB=SAFCB+SACA, 所以S△CD=S△MB. 所以SACD:SAEB=L:l 【分析】(1)用待定系数法求出椭圆的标准方程： 8k2 8k2-8 (2)设直线，的方程为y=(x-2)用“设而不求法”表示出+名+2京，1+2进而得到 y2(4-x) x-x2 (化3)4-5由k-kc=0:得到C,4B三点共线所以Sn=Se即可得到 SAECD SARAB=1:1. 【详解】（山由题设得8=2，所以d-262 又因为c=2,a2=b2+c2,所以2b2=b+4. 解得b2=4,a2=8. 所以椭圆M的方程为日+片=1 (2)略 48/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 >题型7角度问题 x2,y2 【典例7-1】如图，椭圆C:京+尔=1a>b>0)的左、右焦点分别为，F:上、下顶点分别为4B,0 为坐标原点，且△A5是面积为V5的等边三角形. B (1)求椭圆C的标准方程及离心率： (②)若点P为椭圆C上一点，且在y轴左侧，设过点P与椭圆C相切的直线为'，过AB两点分别作y轴的 垂线交直线I于M,N两点， √3 (i)若点p的纵坐标是2，求aOMN的面积： (i)证明：∠AFM=∠FWB x ,y2 【答案】四4+ =1,e=2 1 (②(i)4,(i)证明由(i)知，直线1的方程为3xx+4y%y=12, 令，-g则=12，即2-45g 3x0 今，52,2 ①当直线FM的斜率不存在时，M(lN3),∠AEM=90°-∠AF0=90-60°=30 8 3xx+4oy=12 5 由3x+4=12，得{3N5: x0<0 %= 5 所以w= 2+4W5%=4,故N(4,5) 3xo 49/122 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由E(-10),则kw=3: 由∠FNB为锐角，则∠FNB=30,故∠AM=∠FNB, ②当直线FN的斜率不存在时，N(-1,-V5),∠RNB=90°， 与①同理可得故N(4,-5), 3 则kw=- 由∠M0为钝角，则∠ME0=150,∠AM=∠ME0-AE0=150°-60°=90，故∠AFM=∠FNB, ③当直线FM,FN的斜率存在时，0°<∠AM<180,0<∠FNB<180且都不为90°， =tan∠ENB= 5 -3V3x 设直线 的斜率为，则 -1-12+4W5%3x,+12+4V3y, FN 3x0 5 k2=tan∠MfO 3V3xo 设直线 的斜率为，则 12-4W3%+13x+12-4W5%, FM 3x0 又∠AF0=60°， 3V3x0 -5 则anZ4FM=an(2M0-60）=点-5.3x+12-43 =1+3k,1+5 3v3xo 35+3.,要证 3x+3-V3% 3x+12-4W3y ∠AM=∠ENB,只需证tan∠AFM=tan∠FNB -5+6= -3x0 只需证3x,+3-3.3x+12+4W5%' 即证3x,(3x,+5-%)=(3-%)3x,+12+43y%), 即证3x=12-46, 而P化满起手+答-1，则=2-4好我立， 故∠AEM=∠FNB 50/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O E B 【分析】(1)依题意求出a,b,C,即可求出椭圆的标准方程及离心率； ②(i)得P ”2 设直线，的方程为：少-+)，与椅调方程联立，得切线方促 3 y=x+25,即可求解： 2 (i)由(i)知，直线1的方程为3x,x+4yy=12,分三种情况：①当直线FM的斜率不存在时，②当直线 FN的斜率不存在时，③当直线FM,EN的斜率存在时，进行求解. 【详解】(1△M5是面积为5的等边三角形，且F5=2c,40-b=5×2c=e。 2 则S5=F540=x2cxV5c=5,得c=1 则b=V5,d2=b2+c2=3+1=4,即a=2, 得椭圈。的标准方程为+了，离心率为二》 a 2 ①设P50；当3时入 可得x=5即P 庙题意可知，直线，的斜率存在，设直线的方程为：少一)3=k+ -f+ 3 y- 由{ ,消去，得 -=1 y(3+4k2)x2+43(2k+1)c+12k2+12k-9=0 由△=4s[2+1-43+4状02x2+12k-9)-0:得2t-3=0,得k=多 则直战的方经为-+a5,今，=0则。5 51/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 4V3 故SOMw= 23 25=4,即AOMN的面积为4 (i)略 核心口诀：角度化斜率或向量，余弦定理；焦点三角公式，垂直点积零。 高分技巧： 角度相等：转化为tan0=tan0,或斜率关系： 垂直：用向量点积为零或斜率积为-1： 锐角、钝角：用点积正负判断，注意向量方向： 角度定值：证明tan6或cos日为常数： 0 焦点三角形：椭圆S=ban2,双曲线S=bcot2面积与角度互求： 向量法：c0s日=m·方 历方，用坐标表示后求值或证明： 答题规范：注明角度范围，斜率不存在时角度为90°，单独处理。 易错警示：角度范围需注意：点积符号与锐纯对应：斜率不存在时不能直接套斜率公式。.一一 x 【典例7-2】已知椭圆c:京+？=1(a>b>0)的右焦点为F(,0),长轴长为4，左、右顶点分别为4， B,过焦点F的直线与椭圆C相交于P,Q两点，且点P位于第一象限直线AP和AQ分别与直线x=2相 交于M,N两点. (1)求椭圆C的标准方程： (2)求FM.FN的值： (3)若线段BM的中点为T,证明：FT是∠BFP的角平分线 (2)-3 3)证明：由B(2,0) M2,4y 、my+3 可得 2,2y my +3 2、 2my 由直线 的方程为 ，点到直线 的距离为d= my+3 3-myl PF x-my-1=0 T PE V1+m2 V1+m2my+3引 3-my 又由0<5<2：有m+3=5+2>03-m=4-5>0:有d+mm+3 52/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 有d2 24 (3-my)2 4y my+3（1+m2)(my+3)2 (my+3)2 (3-m}-(4m2+4）X_（3m+4）+6m-9 (1+m2)(my+3) (1+m2)(my+3 又由(3m2+4+6m-9=0,有d- 2y my +3 =0,可得d= 2y my+3 可得BT=d,又由BM⊥x轴，故FT是∠BFP的角平分线， 【分析】(1)根据椭圆的定义和标准方程计算即可. (2)先设出直线PQ的方程为m)=x-1,然后联立直线与椭圆方程组，结合韦达定理计算即可. (3)先列出点T到直线PF的距离表达式，然后证明即可 [2a=4 【详解】(1)设 ，由题意有c=1 F(c,0) b2=a2-c2 可得a=2,b=V5 x2 ,y2 故椭圆c的标准方程为4+31 (2)设P,Q两点的坐标分别为(，)，(，)，直线P的方程为my=x-1. x2,y2 =1 联立方程43，消去后整理为 my=x-1 3m2+4)y2+6my-9=0 6m 9 可得y+y2= 3m2+4?4=3m2+4 直线的方程为yx+2+2),令x=2”可得少=名= x+2my+3” 可得点，的坐标为 2. 4y my +3 同理可得点N的坐标为 2,4 my2+3 由网-m- 16yy2 16yy2 有FM-N=1+(m+3m,+3)+my4+3m(+)+9 53/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 -16× =1+ 3m2+4 -=-3 9m2 18m2 3m+43m+4+9 所以FM.FN的值为-3 (3)略 B 【变式7】(2026北京昌平模)已知椭圆℃：等+=>6>0)的焦点是长轴的四等分点，息 A(-2,0)和点P(m,n)(n≠0)都在椭圆C上，直线AP与y轴交于点M· (1)求椭圆C的方程： (②)设O为原点，点卫与点P关于y轴对称，直线A0与y轴交于点N.在x轴上是否存在点B,使得 ∠OBM=∠ONB?若存在，求点B的坐标；若不存在，说明理由. x 【答案】（①）4+3 2存在，B(±3,0） 【分析】(1)根据条件列方程组即可： (2)求出直线AP,Ag的方程，进而得出M,N的坐标，利用tan∠OBM=tan∠ONB求出. 【详解】(1)由题意得，2c=a,a=2,则c=1,b2=d2-c2=3, 则椭圆c的方程为4+31： (2)因为P(m,n(n≠0)在椭圆C上，且点2与点P关于y轴对称， 所u写+写1,0(-m和≠0 则直线y+2+2.令x=0则=”，则02） m+2 54/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线40：y=2”n+2).令x=0则 2n 2-m, 则0，、2n） 2-m: 2n m+2 设 ,则tan∠OBM= ,tan∠OWB= 2n: B(P,0) 2-m 2n m+2 因为 ,所以 ∠OBM=∠ONB 2p-m 因为n≠0，所以p2=3,故B(±3,0 M 【变式72】已知椭圆E:女+广 京+京=1a>b>0的离心率为3,4，C分别是B的上、下顶点，B,D分别 是B的左、右顶点，且直线CD与圆0：2+y2= 4相切.若直线I与椭圆有唯一的公共点P,I与直线x=a 交于点M,直线AP与直线CD交于点N, (1)求椭圆E的方程： (2)求证：直线N与CD的夹角为定值. 【答案】03+= (2)证明见解析 【分析】(I)利用椭圆基本量关系，由已知条件列方程求解a,b,c: (2)坐标法+斜率验证，通过“设点→求线一求交点→算斜率一证垂直”完成证明. 【详解】()A,C分别是B的上、下顶点，B,D分别是E的左、右顶点，所以CD:+士 61, 百线c与题0：+y-相切： 55/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 5 所以1,1 Va+ 2,所以114， d+62=3 a 3 所以a=V3,b=1, 所以椭圆E的方程为3+少=1. (2)如图，作出符合题意的图形， M 由P(x,%)x≠0，%≠0)在椭圆上，得x+3哈=3， 依题意可得直线I的斜率存在，设1的方程为y=c+m,则m=,-c, y=kx+m 后P10 (3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0 由△=0，得3k2+1-m2=0, 3k2+1-m2=0 由了m=-,,得 x6+3y=3 9yk2+6xy,k+x7=0 解利或。则 设M6,小由=+m'得w=k+m=5-品 x=V3 3y% 直线AP,CD的方程分别为(。-)x-y+=0,x-V3y-V3=0, 因为点P不在直线CD上，所以x,-V3y+V3≠0， 由-B-g=00,得%-：6 (y。-1)x-oy+x=0 x-V3y,+V31 56/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (N5-x)-3y+5)-5x+3y。-5) 所以yM一yw 3-x-3 V3-V5y%+V5 v3(6-3,+阿0， 所以yw=yw,因为x+V5%-V3≠0，所以MN1/x轴， 又直线CD的斜率为k= 3, π 所以直线MN与直线CD的夹角的大小为6，为定值。 >题型8对称问题 x2.y2 【典例81】(2026北京阳一模已知椭圆F:方CQ>b>0>的离心率为 2A'B分别 为椭圆E的上、下顶点，且B(O,-): (1)求椭圆E的方程； (②)过点D(-l,-)的斜率存在且不为1的直线I与椭圆E交于不同的两点M,N(均不与点A重合)，点P 与点M关于原点O对称，直线BP与直线OD交于点Q.求证：直线NQ经过点A. 、x2 【答案】①4+y=1, (②)设直线1的方程为y=c+k-1,k≠1，点M(,乃)，N(:,),则点P(-,-), 直使郎的方程为y山，直说D的方程为，以联立解用查巴京石为 BP y=kx+k-1 由x+4y=4消去y得(42+)x+8kk-0x+4(k-2)=0, 8k(k-1) x+x2= 4k2+1 则 4k2-2K) △=64k2(k-)2-16(42+10(k2-2K)=16(3k2+2K)>0x= 4k2+1 a则0-(=房-0，。 -x(02-_（-2x+4-)五=-x(,+k-2_（-2x+c+k-2)x x-y+1 x-+1 x-y+1 x-y+1 57/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25k-2g+2k-152+k-2可 4k2+1=0 x-y+1 x-y+1 即AgI1AN，又A②，AN有公共点A,则点A,2,N三点共线， 所以直线N№经过点A. D B 【分析】(1)根据给定条件，结合离心率公式求出a,b即可 (2)设点M(:,),N(x,),求出直线BP的方程及点的坐标，再设出直线I方程，与椭圆方程联立， 利用韦达定理及向量共线的坐标表示推理得证 C咩解】由椭圆R:+的下限点为B0,,得b a 2,解得 =2 所以椭圆E的方程为4 +y2=1 (2)略 核心口诀：点关于点用中点，点关于线用中垂：曲线对称代坐标，椭圆对称轴中心。 高分技巧： 点关于点对称：中点公式，x,y关于a,b的对称点为2a-x,2b-y: 点关于直线对称：中点落在直线上，连线与直线垂直，列方程组求解： 曲线关于点对称：将x,y换为2a-x,2b-y代入原方程，化简得对称曲线： 曲线关于直线对称：将x,y换为关于直线的对称点坐标代入原方程： 椭圆对称性：椭圆关于原点中心对称，关于坐标轴对称； 答题规范：验证对称点是否在曲线上，注意斜率不存在的情况。 易错警示：对称点靥满足原曲线方程：关于直线对称时需考虑直线斜率不存在：多解需取金。一. 【夷制82】已加品因E号+尔-0>60的离心字为。日轻过(8，列 (1)求椭圆E的方程； 58/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若直线I:3x-3y+m=0(m∈R)与椭圆E交于P,Q两点，线段P的中点为R(x,yR),求R的取值 范围及的值： (3)点A,B在椭圆E上，且关于坐标原点O对称，过点A与AB垂直的直线与椭圆E的另一个交点为C, AM⊥x轴，垂足为M,直线BC与x轴交于点N,△AOM的面积和△BON的面积分别记为S,S2,求 S的值。 【答案】四6+2 3 ②(5,5)-3 6 【分析】(1)根据题意列式解方程组即可求解： yk (2②)利用点差法求出，联立直线，与椭圆E:根据韦达定理用m表示出x,最后再根据△>0求出m的 范围即可得出xR的范围； (3)设A(x),则B(-x,),写出直线AC的方程与椭圆联立，解出C点坐标，再写出BC直线方程， 令y=0,得到N点横坐标即可求解 c√6 a 3 31 【详解】()由题意后+1，解得a=6, b=V2 a2=b2+c2 c=2 所以6的方程为石+1 x2 62 (2)设 ,则有 ,两式相减得 P(y),(3,2) 062 +3-4+%y-）-0→-业=-5+为35.-五3业=-5 6 2 x-x23(+2)33yx 3 59/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 联立直线与椭圆的方程得 V3x-3y+m=0 E 消去y整理得6x2+2W3x+m2-18=0, 则有△-b,5侧-24a-18列>0.解得6<m<6=5兰-e(原同 2 6 (3)设A(x,%),则B(-,-%),由题意显然知0%≠0， Yo 直线4B的斜率为元，因为AB LAC 所以直线AC的斜率为人， 所以直线4C的方程为y-火之：-)，与能西若+号-1联立。 消去y得：(3x+6)x2-6x(+)x+3(x+)-6听=0， 6x(号+6) 所以x+x。 3x+” 3x+56 解得x。=xo3+场，上三- .3x6+5 -x+y%=% 坊-场 3x+y6 3x+y6 直线C的方程为广+%=。十(x+x),令v=C xe+xo 6%（+) 6xy（x+y) 则x=xw=(区+) 名=3+好 3x0+yo 巧-龙+为 -x0=2x0, y+% %3+6 %(2x6+2y) 3x+y6 所以S, 2wh2 60/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 废式9u】E按子若-o:上三个写a0 (1)求椭圆的标准方程，并求椭圆的离心率： (②)设P,O是椭圆上的动点，且直线PM,QM关于直线MN对称，求直线PO的斜率， 【答案】0方程为着+广=1，离心率为e=5 x2 2: ⑤ 6 【分析】(1)将A,M两点代入椭圆方程解方程即可求得椭圆方程和离心率： (2)设直线PM的方程并与椭圆联立，解得P,Q两点的坐标表示，即可求得P巴的斜率 40 【详解】(1)根据题意将A(-2,0)代入椭圆方程可得。京+京=1，解得。=4： 再代入M V3 点坐标，可将宁+衣=1、可得公- 所以c2=a2-b2=3, 因此椭圆的标准方程为4+y=l,离心率为e行V后2 (2)如下图所示： A 因为M,N两点关于x轴对称，且直线PM,OM关于直线MN对称，所以直线PM,OM的斜率均存在，且互 为相反数， 即kpw+kgw=0: 设knw=k,则直线pM的方程为y- 5-k(x-0 y- 2 =k(x-1) 联立 x2 ，可得 +y2=1 4 (4k2+）x2-(8k2+43kx+42-43k-1=0 61/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 显然 是该方程的根，所以，=445k-1,可得= -43k2-4k+3 x= 4k2+1 2(42+1 4k2-45k-1-43k2-4k+5 即P 4k2+1’ 2(4k2+1 因为kw=-k, 4k2+43k-1-4V3k2+4k+V5 同理可得Q 4k2+1 2(4k2+1) -4W3k2+4k+V34V3k2-4k+V3 8k 2(42+1】 24k2+1 可知k№= 2(4k2+1_V5 4k2+4V3k-14k2-43k-1 83k 6 4k2+1 4k2+1 4k2+1 因肤酸Pp的斜系为管 3 【变式82】已知椭圆C:+片a>b>0)的离心率为，且经过点40，D (1)求椭圆C的方程： (2)若过点-山，0)，斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点B,D,且与直线y=交于点E,点D在线段 BE(不包括两端点)上，O为坐标原点，直线E0与直线AB,AD分别交于点M,N.求证：点M,N关 于原点0对称 【管】0若* (2 过点(-1,0)，斜率为k的直线方程为y=x+k≠0)， y=k(x+1), 由x2+42-4=0得(4k2+0x2+8k2x+4k2-4=0 -8k2 4k2-4 因为-1,0在椭圆内，所以△>0设B(x,y),Dx,)则x+名 42+75= 4k2+1 直线4渊方程为：y=x+1,直线4D喲方程为：y=x+1, 在直线方程)=k+W0中，令y:小得=1安以位-) 62/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线EO的方程为：y= +七 k y= -X; k+1 y=1,得 由 -k+0一=k+0x x+1"xwk+10-)-kx+ -(k+1)x2 同理得w=k23,+k2-1 质必w+还三+W+收+25+《+ (K2x+k2-10k2x2+k2-1D 因为k+1≠0,2k2xx2+(K2-1)(x+x2)= 2k2(4k2-4),(K2-10(-8k2) 4k2+14k2+1 8k-8k2-8k4+8k=0. 4k2+1 所以xM+w=0,即点O为线段MN中点 所以点M,N关于原点O对称。 【分析】()依题意知6=山，。2，结合。=2+c2求出a即可得椭圆方程： (2)首先表示出直线方程，设B(x,乃，D(x,),联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再表示出直 线AB,AC的方程、求得E坐标，并分别将直线AB,AC与直线OE联立求得xM,xw,通过化简证明 xw+xM=0,得到点M,N关于原点O对称，即可得证 3 【详解】（山）：椭圆c的离心率为，且经过点40，) b=1, 02, 解得 a2=b2+c2, a2=4,b2=1 ·椭圆c的方程为4+少=1 (2)略 63/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ®题型9平行问题 例9少(2026北京模拟预测)已知椭圆E:。+=(ā>b>0的左项点为4上顶点为p 2v5 O到直线AB的距离为)，△AOB的面积为1： (1)求椭圆E的方程； (②)过点P(-2,)的直线与椭圆E交于不同的两点C，,D,线段CD的中点为G，,过点C作x轴的垂线分别 与直线AD,AB交于点M,N,判断直线NG是否与直线AD平行，说明理由. 【答架1片护=1 (2)②NGIIAD,理由：由题知直线1的斜率存在，设过点P(-2,1)的直线1的方程为y-1=k(x+2),即 y=k(x+2)+1 y=k(x+2)+1由x2+4y2=4得(+42)x2+(162+8)x+162+16k=0由 △=(16k2+8K)-41+42)162+16)=64k>0,得k<0:设C(,),D(5,2),则 .直线0的方程为本2+2)。令x=5得点w的飘坐标 +4,6十6 w=(出+2) 号+2。直线B的方程为)y=(x+2),令x=5得点N的级坐标，=：+2).要证点N为 yw+上=2(x+2)+y(2+2) 线段C的中点，只稀运明，，+，即”，因为》= (x+2)x2+2) 16k2+8k +4 1+4k2 26+2+2)5+5+4-2张+5+5+4 =2k+ 16k2+16k +2 16k2+8k +4 (x+2)(x2+2) xx2+2(x+x2)+4 1+4k2 1+4k2 -(16k2+8k)+4+16k2 =2k 16+16-2162+8M)+41+4状)=2k+4-8% 所以点为线段的中点.又线 4=2k+1-2k=1 CM 段CD的中点为G所以NGI∥AD ,2W5 【分析】（1）由So=1可得b=2”由0到4B距离为5°，可得。2+b2=5结合a>b可得椭圆方 程： (2)将过点P直线与椭圆方程联立，设C(x,乃)，D(:,),由韦达定理及题设可证明N为CM中点， 64/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 据此可完成判断 【详解】(1)由题可知A(-a,0),B(0,b),AB=V2+b 因为。4OB的面积为所以Smh=1 因为点0到直线4B的距离为3)，所以Swh8x25-5后+=1 ,25 5 5 ab=2 所以d2+b2=5,得∫a=2,所以椭圆的方程为x a>b b=1 +y2=1 4 (2)判断：NGAD,理由略 D 核心口诀：斜率相等或向量共线，点差法证中点弦；注意斜率不存在。 高分技巧： 斜率相等：证明两直线平行，只需k1=k2: 向量共线：证明AB=入CD或X1y2-X2y1=0: 点差法：证明中点弦平行于某直线，用点差法求斜率； 四边形对边平行：用向量或斜率证明两组对边分别平行： 答题规范：斜率不存在时单独讨论；向量共线需非零向量。 易错警示：斜率不存在时不能直接比较斜率：.向量共线需排除零向量：_平行与重合需区分。.-.一.一 【典例9-2已知椭圆CC+,Q>b>0)的左顶点为42,0'圆0：+y=经过椭圆的上、下 顶点 (1)求椭圆C的方程和焦距： (2)已知P,Q分别是椭圆C和圆O上的动点(P,Q不在坐标轴上)，且直线PQ与x轴平行，线段AP的 垂直平分线与y轴交于点M,圆O在点Q处的切线与y轴交于点N.求线段MN长度的最小值. x2 【答案】()椭圆C的方程为4+少=1，焦距25 65/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)V6 【分析】(1)根据给定条件，求出，写出椭圆C的方程并计算焦距作答 (2)设出P,卫坐标，求线段AP中垂线方程得点M,求圆O在点Q处的切线方程得点N,再借助均值不 等式求解作答 【详解】(1)由题意知，a=2,b=1,.c=√a2-b2=√3， :新C的方程为+y-1,距为26-25 (2)由直线P与x轴平行，可设P(x,),Q(x,2), 则季+听=1，写+巧= 根据椭圆与圆的对称性，不妨取y>0, A(-2,0),P(x,), 直线的车为+2，找段n的中点为（是之。 按8n的直平分为少子2公-5另， 令x=0则w=之++25-2》5+-4 2 2y 2y 而-4=4，则w=- 2 圆O在点Q处的切线方程为xx+y=1, 令x=0则w=1 线段 长度为yw-yw= N 当新只即斯=：等号皮立 3 故线段MW长度的最小值为V6 66/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 【变式9-1】如果点M(x,y)在运动过程中，总满足关系式Vx2+(y-}+√x2+(y+=4,设点M的轨迹 为2 (1)求2的方程： (②)若点S(0,-),T(0,),P为轨迹2上一点（不在坐标轴上），设点I,G分别为△PST的内心和重心， ①证明：IG所在的直线与y轴平行： ②过G作直线I与轨迹2交于点A,B,且AG=BG,求△ABI面积的取值范围 【答案】)4+3 (2) @油知，S0-)7Q)为城圆n若+号-1约张点，所以7-2”PT+54 由对称性，不妨设点P(x,%)(x≠0，≠0)在y轴右侧，设△PST内切圆半径为r 则Smx2x%=名，S网=+4到=3r,所以r=宁，即离=宁 又G为AP7的重心，所以=亭 所以G与y轴平行 y a2 【分析】(1)根据椭圆的定义求解即可 67/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)①结合三角形内心及重心的性质证明出I,G横坐标相同即可得到G所在的直线与y轴平行 ②设出点P坐标，求出PT,根据G为重心求出G点坐标；结合内心的性质及三角形面积公式得到 冷院。进而得到N-PT,求出N坐标，结合向量关系求出，点标设出直我方程及4小 NS PS 2 B(x,2),与椭圆方程联立，结合韦达定理求出x一x,即可求出三角形面积表达式，结合点P范围求解 即可 【详解】(1)由椭圆的定义，点M的轨迹是以(0，)，(0，-)为焦点，长轴2a=4的椭圆， +- 所以点M的轨迹方程为：4+3 (2)①略 ②设PI延长线交y轴于N点. 设点Pkk0%0)则9争当），草+昏=1 则r=+0-可-}r0--=4-4-)2x 同理可得PS=2+2为 NS-PS NS ++1 因为，为。PST的内心，结合三角形面积公式可得NPT,N+ PT TS PS+PT 24 即 IN PT ，也即 年所以N=T=1:则a好) 2 又M=亚，所以2】 Xo yo 2 34 设 ,则 A(,y）B(3,2) +发-1所以=8.6+积 34 x-x23(y+y2)3y 设3y0 4X0.X0 12-3y6 即y=+ 4 30+++h燃+少 3 3 3 3y0 68/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2,y2 =1 设4 =m联立 34,整理得 3y% y=kx+m 4+3k2）x2+6kx+3m2-12=0 则△=48(32+4-m2）=483x6+4-16 2048,0, 9% 9」 3 x+3= 6km 4+3k2 所以 3m2-12，所以 32√6 xx>= x-x2= 4+3k2 4+3k23.(4+3k2) 又32+4= 4(4x+36)_16 3vo Sm1G-=x2×3266=8, 又2%2且0所以a4mu2叹w2) 2v6 所以 面积的取值范围为 △ABI 9 变式92如图，在平面直角华标系o中，椭圆。+@>h>0的、石焦点分别为F60 3 已知u,e 和 e, F(c0)· 都在椭圆上，其中为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线A织与直线BF平行，AE与BF交于点P. ①若4--5，求直线的斜丰， (i)求证：PF+PB是定值. 69/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】四2+少= ②(i)2 PB_BS.即PB+I=BS+1→PB+PE-BS+M (i)证明：“A"B5,PRAG,即P听 AF PF AF P℉= AE一BF AF+BF 由点g在椭圆上知，1 4B（22-BF) +那=2N2,P听AG+5 BE 同理. PE=AF+BF (22-A PF+PE= G22-那)+E2-AG)-25-2 AF +BE AF+BF AF+BF 由①②得，A5+BF= 22(m2+1) .AFBF-m+ m2+2 m2+21 PR+P5=2N2-5-3V2. 22 PF+PF是定值. 【分析】(1)根据椭圆的性质和已知 和e, 1,e) 2 都在椭圆上列式求解。 (②)根据已知条件A仍-B5=V6 ，用待定系数法求解 【详解】（山）由恩设知，=+3，c。,由点Q,e)在椭圆上，得 12e2 1 c2 +存=1→+l→+c=a→a=aW→b2,2-d-1 3 由点e, 2 在椭圆上，得 e 2 2 3× =1→a4-4a2+4=0→a2=2 62 =I-c 1 4 椭圆的方程为之+少=1， 70/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)由1)得F-l,0),E,0),又~AB5, 设A、B那的方程分别为myx+l,mx-1,Ax)B(:乃片>0，>0 +m㎡+22-2m-10m+V2m2+2 m2+2 my=x+1 1(G++0-0m}+=m+1.m+2m+2-2(m2++mNm+ .① m2+2 m+2 2(m2+1-mm2+1 同理，BE= .② m2+2 《i由①②福，A正-E=2T2解2 2mvm2+1 6 m+22得m2, 注意到m>0,m=√2 ,1=2 直线优的斜率为m2 (i)略 题型10特殊四边形问题 【典例10少2025北京门头沟一模)已知椭圆E:。+:=1a>b>0)的一个顶点为40，)，离心率为 √3 21 (1)求椭圆E的方程： (2)过点P(2,)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M, N,点P关于x轴的对称点为2，求证：四边形PMQN为菱形， 【容灯w+y产-， (2) 由题，设直线方程为y=k(x-2)+1,将直线方程与椭圆方程联立， += 可得了4 y=k(x-2)+1 71/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即得x2+4(ac-2k+1)2-4=0 化简得1+4k2)x2+(8k-162）x+16k(k-1)=0 因直线与椭圆E交于不同的两点B,C,则△=(8k-16k2-41+4k2)16k2-16k)=64k>0 设C(G,y》B5,),由韦达定理x+5=8+16,x 1+4h2,七53= 16k2-16k 1+4k2 又设AC:y=当- x,令y=0得高 X 设AB:y=当- x2 2x+1,令y=0得w2 += 为2=-2x2+2(:+x) 因为1-为+-为k2-x)k《2-3)k(2-2-) -216k2-16k)+(-8k+16k2) 1+4k2 16k=4 k4+16k2-2(-8k+16k2)+16k2-16k) 4k 1+4k2 所产=2，PB.22-少，所PO1MP0平分MN所以四边形PWON为菱形 【分析】(1)由右顶点及离心率可得a,c,然后可得椭圆方程 五+=4，得出 (2)设直线'y=k(x-2)+1,将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可化简一片+一为 四边形对角线垂直平分即可得答案. 3_c 【详解】(4山)因椭圆顶点为A0,1),离心率为2。 则6=l合日3所以a26=5故椭圆方程为：手+y-1: b 1-c2_1 (2)略 72/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分 核心口诀：平行四边形对角线平分，矩形加直角，菱形加邻边等，正方形两者兼。 高分技巧： 平行四边形：证明AB=DC或对角线互相平分： 矩形：先证平行四边形，再证一个内角为直角（邻边点积为零)： 菱形：先证平行四边形，再证邻边相等或对角线垂直： 正方形：先证矩形，再证菱形（或同时满足矩形和菱形条件）； 梯形：证明一组对边平行且另一组对边不平行： 答题规范：按“先平行四边形，再特殊”的顺序证明，逻辑清晰。 易错警示：矩形、菱形、正方形的判定需在平行四边形基础上进行：对角线条件不要混用；点积为零证 直方- 【典例102】(25：26高三上：北京通州期未末)已知椭圆E:京+存1（a>6>0)的离心率为2，A B分别是E的左、右顶点，AB=4 (1)求椭圆E的方程： (2②)若0为坐标原点，过点P(-2,2)且斜率为k的直线1交椭圆E于不同的两点M,N(M,N异于点B), 直线BM,BN分别与直线OP交于点C,D试判断四边形ACBD是否为平行四边形，并说明理由 (2)是平行四边形，理由如下： 设直线MN方程为y=k(x+2)+2,设M(x,y),N(x,2), y=x+2k+2 联立方程组 父+=1，整理得 43 3+4k2）x2+16k2+16)x+16k2+32k+4=0 A-162+16e-46+426+32k+4到=16(-24-3)>0.即k<8 3+42,5=16k2+32k+4 16k2+16k 所以x+x2= 3+4k2 因为B(2,0)可得kw=片， 七2-2 所uM:y产2-2N:y产2-2. 因为P(-2,2),所以0P:y=-x,设C(x,),D(x4y), 73/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-x 产-2y 则 24 2y 所以名= x-2+y ,= x-2+y’ 2y2 22 同理x= x2-2+y2 ,y4=- x2-2+y2 可得考+龙 2+2%=2x(5-2+)+(:-2+2 x-2+y2-2+y2 (x-2+):2-2+2) =2x3-2+2)+(s-2+y) (x-2+)(x2-2+y2) 因为h(:-2+)+2(:-2+)=(e+2k+2(x+a,+2k)+(:,+2k+2)(x+:+2k) =2k(k+)x5+(4k2+4k+2)(x+x)+8K2+8k =2k(k+1)x16+32k+4-(42+4k+2]×16+6+82+8歌 3+4k2 3+4k2 -+4wr小，图0 3+4k2 =8x8+8-16+1622-12+4-4#=-0,所以5+5，=0 3+42 所以CD中点是O, 又因为AB中点是O,所以四边形ACBD是平行四边形， 【分析】(1)根据题意，利用椭圆的几何性质，列出方程组，求得a,b,c的值，即可求解： (2)设M(x,),N(:,),由直线NM方程为y=k(x+2)+2,联立方程组，利用韦达定理得 x1+x2=- 3+42,5=162+32k+4 16k2+16k 3+4k2一，联立求得C,D的坐标，再根据对角线互相平分得出四边形是 平行四边形 【详解】（山）由椭圆E的离心率e=。-) a2,A,B是E的左、右顶点，且AB=4, 74/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9-1 a 2 可得2a=4 解得 ,则 b2=a2-c2 a=2,c=1 b=Va2-c2=3 所飘6的方超为子号1， (2)略 【变式10-1】已知椭圆C: :。+广=1的左、右焦点分别为万B 在椭圆上，动点C,D分 别在直线AB和椭圆上， (1)求椭圆的标准方程及其焦点坐标： (②)若椭圆上存在一点E,使得四边形FDEC是矩形，求点D的横坐标 【答案】四方程为2+少=，焦点坐标为1,0)：（仁1,0) (2)横坐标为-2+√2或-1 b=1, 11 【分析】(1)根据题意可得云+2山解得 再计算出椭圆的焦点坐标 a2-b2=c2. a2=2c2=1 (2)设C(1,),D(m,n),E(,o),F(-山，0)，因为四边形FDEC一定为平行四边形，根据 FC+FD=FE,得E(m+2,1+n),点D,E都在椭圆上代入变形得2+2m+2m+2=0①，又D51CS, 有2m+2+t=0,②，解得：t=0或t=-n,分类计算得出结果： [b=1, 1.1 【详解】(1)由题设， 京+2山解得 a2-b2=c2 a2=2c2=1 x 所以椭圆G的方程为2+y=1焦点坐标为(1,0)，（-1,0) (2)设C(1,),D(m,n),E(x%),F(-1,0), 因为四边形FDEC是矩形，一定为平行四边形，所以FC+FD=FE, 则x=m+2,=1+n,所以E(m+2,1+n), 75/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m2+2n2=2 D,E都在椭圆上， (m+2}'+2t+n2=2'变形得 ①， 2+2t+2m+2=0 又DF⊥CF2,所以FD.FC=0,即2(m+l)+t=0, 则2m+2+t=0,② ②代入①得P+nt=0,解得：t=0或t=-n, √2 [m2+2n2=2 若，时，联立1(m+2}+2+m=2' t=-n 可得：m2+4m+2=0,解得：m=-2±√2， 因为m∈[-V2,5],所以m=-2+2, 所以D点横坐标为-2+V√2或-1. A(E) 【变式102】已知精版6号+若=1a6>0的左右顶点分别为4,4，高心*为受，点70：△T44 ② 的面积为2.。 (1)求椭圆E的方程： (2②)过点T且斜率为k的直线交椭圆E于点C,D,线段CD的垂直平分线交y轴于点Q,点P关于直线CD的 对称点为P若四边形PCQD为正方形，求k的值， 父+= 【答案】()4+2 ②k=t号 【分析】()根搭椭网的性质，离心率©-日(。为椭风半焦面)，三角形面积公式，再结合稀圆中 a2=b2+c2来确定椭圆方程 76/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)先求出直线与椭圆的交点坐标关系，再根据垂直平分线的性质、正方形的性质来求解k的值 【详解】(1)己知A(-a,0),4,(a,0),T0,1), 则△T44的面积S=2×2ax1=2,解得a=2 2 因为离心率e=S=V2 a2,a=2所以c=2 又因为a2=b2+c2,a=2,c=V2,所以b2=a2-c2=4-2=2. x2,y2 1 所以椭圆E的方程为4+2 (2)将直线y=c+1与椭圆x2+2y2=4联立得(2k2+1)x2+4x-2=0. -4k -2 根据韦达定理，+22+1，x3=2K2+ 计算乃+乃=k(G+x)+2=kx-4 2k2+1 +2=2 2k2+1 -2k1 从面得到线段cD中点坐标为2+'2+} 1 然后求线段CD垂直平分线方程：垂直平分线的斜率为， 1 1 -2k 根据点斜式可得垂直平分线方程为y~2K2+1=-x-22+), 进而得到点00,22+} 最后根据四边形PCQD为正方形时QC⊥QD: 则0c-0=,%+6%+ 展开得+低1+21+ 进一步化简为k+x5+2+2xK+5)+ 2k2+22 2k2+1 2k2+1 -4k -2 将x+x龙2= 22+,522+代入得，2R2+十 -22+0+k2k2+2×4k+2+3=0, -+( 2k2+12k2+1\2k2+1 整理得(2+1(4k2-)=0,解得k=±2 77/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 >题型11点与椭圆的位置关系 【典例1】(2025北京海淀一模)已知能因即号+若-口>b>0)。4B分别是p的东、方顶点， C是W的上顶点，△ABC的面积为2，且AC=N5 (1)求椭圆W的方程及长轴长： (②)已知点M(2,),点P在直线AC上，设直线PM与x轴交于点E,直线BP与直线EC交于点Q,判断点 Q是否在椭圆W上，并说明理由， 【络案10酒圆g的方程为：手+少=1，其长转长为4 (2)Q在椭圆W上，理由如下： 由(1)可知，A(-2,0),B(2,0),C(0,),又M(2,), 散直线AC方程为：y+1,又p在直线C上，放设点Pm%+ 当m=2时，直线PM斜率不存在，此时E与B重合，Q也与B重合，显然Q在椭圆上： 当m=0时，直线PM的斜率为0，与x轴没有交点，不满足题意； m m m≠2且m+0时，直线pPM斜率为2m-2习)：直线pM方程为：y- 2(m-2x-2), 78/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线斜率为： m+ =m+2,直线方程为：y=m+2 PB m-22m-4 PB 2m-4(x-2): 直线CB斜率为：？，直线C6方程为：少=-？ 4x+1 m+2(x-2 2m-4 联立 y=41 ,消去可得、8m，代入 可得： yx=- m2+4 y=-m t+1 y=m2+4,即 m2+4 8m -m2+4 m2+4'm2+4 8m2 又m2+4 -m2+4 16m2, m+16-8m2_(m2+4） 4 m2+4 (m2+4 (m2+4月 (m2+4月 1，即x2=以点在椭圆上 4 综上所述，Q在椭圆W上 【分析】(1)根据题意，列出a,b满足的方程组，求得a,b,即可求得椭圆方程和长轴长； (2)求出AC方程，设出点P的坐标，进而写出PM方程，从而求得E的坐标：再结合已知条件，求得 CE,PB方程，联立方程组，解得坐标，将其代入椭圆方程，即可检验和判断， 【详解】(1)由题可知，A(-a,0),B(a,0),C(0,b)」 AMBC的面积为2，且4C=5,则2×2axh=2d+=5,又a>6>0解得a=26=1: 故椭圆罗的方程为：4+少=1，其长轴长2a=4 (2)略 核心口诀：代入方程判等号，内部小于外大于：直线交点看判别式。 高分技巧： 点在椭圆上：代入椭圆方程，等号成立： x+y<1: 点在椭圆内：。 点在椭圆外： x5+>1 2 d b 直线与椭圆位置关系：.联立后判别式A>≥0相交：A=0相切：40.相离；.--.-.-.-.-.一 79/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求参数范围：将点坐标代入不等式，或由判别式条件列不等式： 答题规范：注意曲线类型，双曲线与椭圆的内部外部判断不同。 易错警示：等号对应点在曲线上：椭圆与双曲线的位置关系判断不可混用：参数范围需与定义域取交 集。 2 【典例12】已知椭圆4+少=1，P是椭圆的上顶点，过点P作斜率为kk≠0的直线交椭圆于另一点 A,设点A关于原点的对称点为B. (I)若直线PA、直线PB的斜率分别为KPM,KPB,求KPAKPB: (2)设线段PB的中垂线与y轴交于点N,若点N在椭圆内部，求斜率k的取值范围. 【解析】(1)设A(m,m,则B(-m,-n),再由斜率公式计算可得： (2)令K4=k,则直线PB的直线方程为：y=一4kx+1,联立直线与椭圆方程，即可得到g的坐标，从 而得到PB中点M,再求出PB的中垂线与'轴的交点坐标N,最后根据点N在椭圆内部得到不等式，解 得即可： 【详解】解：(1)由题意P0,),设Am,m),则B(-m,-m, 所以KM=”-l m -m 1 因为KpA·KPB= n2-1 m m2=- 4 (②令K4=k,则直线PB的直线方程为：y=- +与+=1联立，解得 8k 4k2-1 4k42】 B 1+4k21+4k2 于是PB中点为M 1+4k2’1+4k2 4k2 于是PB的中垂线方程为：y1+4状 4k x-1+4K 12k2 1+4k2因为点V在椭圆内部，所以-1< 12k2 令x=0’w= <1 1+4k2 解得-2<k<5,又因为， 4 4 0’所以的范围为 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，点与椭圆的位置关系，属于中档题 80/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,x2,y2 【变式11】已知o为坐标原点，椭园C京+家=1a>h>0)与抛物线r:x=2p(p>0)在第一象限的交 点为A(4,),其中椭圆的长轴长是短轴长的两倍。 (1)求椭圆C和抛物线「的标准方程： (②)设直线I:mx+4y-6=0交抛物线『于两点P,Q,若P,Q的中点R在椭圆C上，求的坐标. 【答案】(1)x2-16y, 205 (2(-2,2)或(2,2) 【分析】(1)根据给定条件，求出a,b,P即可. (2)联立直线！与抛物线「的方程，求出点R的坐标并代入椭圆C的方程即可. 【详解】(1)由点A(4,)在抛物线T上，得16=2p,因此抛物线Γ的方程为x2=16y: 由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，得a=2b,又点A在椭圆C上， 161 则46+京=1，解得d=20,6=5, x2.y2 所以椭圆c的方程为20+5 =1 [x2=16y (②)设点P(6,）,e(5乃)由mx+4y-6=0消去y,得2+4mx-24=0 显然A=16mr2+96>05+5=-4n则线段r0的中点(-2mm+3. 2 又点在椭圆上，则清足2m(+ 2 R 20 5一=1，整理得 4+10m2-11=0 则m2=1,解得m=1或-1，所以R的坐标为(-2,2)或(2,2). R 【发式2】0如。长为25，定为号的距形CD以人B为点约箱置以号+若-1怡好过 CD两点 81/122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B ②设圆(x+5}+y=16的圆心为s,直线1过点T(V5,0),且与x轴不重合，直线1交圆s于CD两点，过 点T作SC的平行线交SD于M,判断点M的轨迹是否椭圆 (1)在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆M的标准方程： (2)根据(1)所得椭圆M的标准方程，若点P(1,m在椭圆M的内部，求m的取值范围. 【答案】（选条件①￡+上1：选条件②：+父-10≠0）： (2) 1 41 2’2 【分析】(1)选条件①：用待定系数法求出椭圆M的标准方程： 选条件②：先根据椭圆的定义得到M的轨迹为以S、T为焦点的椭圆，然后求出椭圆M的标准方程： (2)根据点PL,m在椭圆M的内部，列不等式4+1 式+严<1，即可求出m的取值范围 【详解】(1)选条件①：设A(-c,0),B(c,0),由题意可得： c=V3 a2=b2+c2 ，解得： a2=4 =1 a2 b2=1 所以椭圆M的标准方程为：子+片=1 选条件②：如图示， y 82/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MT MD 在△SCD中，因为SCIIMT所以ASCDAMTD所以SC=SD 因为SC-SD,所以MT=MD,所以SM+MT=SM+MD=SD=4, 所以M的轨迹为以S、T为焦点的椭圆，其中2a=4,c=V3,所以b2=a2-c2=4-3=1, 所以精圆M的标准方程为：号+片1 因为直线与x轴不重合，所以M不能落在x轴上， 2+=1心≠0) 所以椭圆M的标准方程为：4+ (2)因为点P(L,m)在椭圆M的内部， 所以好+<1，解得：号 1 m<5 3 即的取值范围为 m 2’2 ◆题型12定直线问题 【典例121己知椭圆C:+京=1(a>b>0)的离心率为2，点4-20)在C (1)求椭圆C的方程： (2)过点B(-2,)且斜率为k的直线交椭圆C于P(x,乃)，(x,)两点，试用含k的代数式表示 (x+2)(x2+2): (3)在(2)的条件下，过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M,证明：线段PM的中点在定直线 上 【答案】04+少= 4 (2)4k2+1 (3)x-2y+2=0 【分析】(1)根据离心率及长轴顶点列方程组得出a,b,即可得出椭圆方程： (2)联立方程组，得出韦达定理再把（飞+2）(：+2)=x+2(:+x)+4代入求解： (③)设点直曲联立，利用整体法求出中点坐标人与5的关系，（化+2)，进而得出结论： 83/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .x2.y2 【详解】(1)因为椭圆C:2+ 3 P:京+F=a>h>0)的离心率为2，点4-2,0在C上， c=3 a 2 所以a=2 a2=b2+c2 所以a=2,b=l,c=V3, x 所以椭圆C的方程为4+少=1， (2)设过点B(-2,1)且斜率为k的直线为：y-1=k(x+2),即y=+2k+1, x2 +y2=1 联立方程组 4 y=x+2k+1 所以(1+4k2)x2+(162+8k)x+(16k2+16k)=0 书+3=-16k2-8% 1+4k2 因为 ,所以 16k2+16k P(,y）(3,2) 1+4k2 所以飞+2]03+2)=x+2x+5)+4=16+6+322-16k+4=,4 1+4k2 1+4k2 1+4k2 (©设直线40为+2红-)过点P作委直于天销的直线与直线40相交于点M x(出-) 所以Mx,二 x2+2 又因为P(,X)pM的中点N(6,) 于是Wx, x+2)2+(x2+2)y 2(x2+2） B 所u6+24(6+2-,（6+26+244>0,4<0 84/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则有x+2++212k。 又因为+上+为，1+1 =2k x+2x2+2x+2x2+2（x+2x2+2 y+2=1 所以x+2为+2 于是%-+2%+2-色2+26+2. 2(:+2) 2(x2+2)(x+2) 即%= +2x+2)-+2). 2x+2x2+2 即%=2（6+2)，即x。-2%,+2=0: 即点N在直线x-2y+2=0上 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是整体思想在圆锥曲线的定直线和定点问题中的应用 核心口诀：动点消参得直线，动线过定点；两点确定第三点，恒成立找定线。 高分技巧： 动点在定直线上：设动点坐标，消去参数得Ax+By+C=0,即为定直线： 动直线过定点：按题型四方法证明直线过定点，定点确定后动直线为过定点的直线系； 证明某直线为定直线：证明直线上所有点满足同一方程： 特殊位置探路：取两条特殊直线或特殊点，确定定直线，再证明一般情形： 参数法：用参数表示动点坐标，消参得直线方程： 答题规范：说明所有情形均满足，不能只验证特殊点。 易错警示：定直线可能斜率不存在：动点轨迹若为线段或射线，需注明范围：证明需完整。 【典例12-2】已知椭圆C: 寻+长-a>b>0的左、右焦点分别为F尽，一个高点为F小20，P 是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）·已知△PF的面积的最大值为2. (1)求椭圆C的方程： (2②)过点(，0)且斜率不为0的直线1与椭圆C相交于M,N两点，椭圆长轴的两个端点分别为A,4,AM 与4，N相交于点O,求证：点Q在某条定直线上. 2+=1 【答案】)4+2 85/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：不妨设4(-2,0)，4(2,0)，1的方程为x=+1, [x=y+1 联立父+上=1得 42 (k2+2y2+2y-3=0 △=4k2+12(k2+2)>0恒成立， -2k y+=2+2 设 则 -3 M(x,y)N(2,2) y=2+2 4+五=2k 故=3,3y+3,=2%' 又的方程为y-2+2),14的方程为-产2c-2), 联立两直线方程翻十2+2)产-2。 x+22(G+2）-五.+3_y+3丛 即x-2(x,-2)%-14y' x+2_+24-3y=3, 因为3y+3y,=2y,所以x-2 ky y2-y 整理得x=4, 故点Q在定直线x=4上 Y M 【分析】(1)根据题意求出a,b,c,即可得解： x=y+1 (2)设1方程为 联立x+上 ,利用韦达定理求出 x=y+1 4千2=1’M(x,y)'N(x2,5)》 片+y2,y2 可表示出4M、,w的方程，联立两直线方程，并结合韦达定理，可证明点O在某条定直线上 【详解】(1)由题意可得椭圆的半焦距c=V2, 86/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2×25-6=2,所以6=2 所以a2=b2+c2=4. x2 所以椭圆C的方程为4十，~1， (2)略 【变式121】已知椭圆C:云+y=10m>0),厅、乃为椭圆的焦点，M为描圆上一点，满足 m M+MF=22,O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程和离心率 (②)设点P(O,2),过P的直线1与椭圆C交于A、B两点，满足PA=tPB,点D满足AD=tDB满足，求证： 点D在定直线上 【答案】0写+=1，e=5 2 1 (②)点D在定直线y=2上 【分析】(1)由椭圆的定义求出m=2,即可求出椭圆C的方程和离心率： (2)若直线l的斜率存在，设直线I的方程为：y=c+2,与椭圆方程联立消去y整理为关于x的一元二次 方程，由题意可知其判别式大于0，从而可得k的范围.再由韦达定理可得两根之和，两根之积，根据 PA=PB可得x,x,1间的关系式.设D(x,),再由AD=DB可得o,x,x间的关系式，将韦达定理代入 化简即可得出点D在定直线y=2上，再检验直线，的斜率不存在是否满足 【详解】(1)由椭圆的定义知，M+M=2V2=2√m,故m=2, 所以椭圆c的方程为2+少=L,故a=V2,b=l,c=-6=1 所以椭圆c的离心率为e=C=人-2 a√22 (2)若直线I的斜率存在，设直线l的方程为：y=ax+2, y=kx+2 则联立x2 +y2=1可得： 2 (1+2k2)x2+8x+6=0 87/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则A=64k2-2422+)=162-24>0解得：2> 2 -8k 6 设Ax,y)B(,y)则x+3=2K2+5=2K2+ 五=-2」 由pA=PB可得：(x,y-2)=1(x,为2-2)，即为-2 设D(,),由AD=DB可得：(-，-乃)=(x-,2-%), 即-=克（名，即5-5=- D 12 则七= 2x五=22+1=3 x+x2 -8k -2k’ 2k2+1 因为点D在直袋上所以%=点+2- +2 2 所以点D在定直线y=2上， 若直线的斜率不存在，过P的直线I与椭圆C交于A、B两点， 40,B0-Pm=(0=)=P=10,-3动所以1=3 则0=(66-)=写D6=(%1-. 所以%-1-1-W),解得：%-2请足点D在定直线y2上 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式： ②利用△>0求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式： ③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线： 88/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式122(2026北京朗阳模拟预测)已知椭圆℃：￥行=1(a>b>0)的离心率为，，右焦点 F(c,O),且a=b+c,直线I交椭圆于A,B两点，交y轴于点P. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线1过右焦点F,设PA=AF,PB=2BF,求入+几的值： (3)若己知P(O,2),椭圆上下顶点分别为C,D,直线BC交直线AD于点G,证明：点G在定直线上. 【路案10号+y= (2)-4 (3)证明如下： 依题意直线I的斜率存在，设直线I的方程为y=mx+2, 由(1)可得C(0,),D(0,-), 设A(x,),B(,2)(x≠0，≠0)， y=mx+2 +2=1得 由x2 (1+2m2）x2+8mx+6=0 8m 6 ÷5+x=1+2m,51+2m,A=64m-241+2m2）>0, 则5420，m 8m 2, 又直说0的方程为--，线c的方程为-+ +x2x+1即 解x m+2+1x-1-m+2-x+1, +3x-1=m,+x 即 +1. 2,所以经4则无 31. 2xx2 所以%=片25+12+5+1=2m+25+1 x3x3-3x2- 3x2-x 89/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12m 1+2m2+2x 12m 1 1 +1= 8m +1=1+2m+2 +1=- 24m 2 2 1+2m2- 1+2m24x 所以点G在定直线y=2上， 【分析】(1)根据条件列方程组求解： (2)设直线I的方程为y=(x-),根据向量的坐标运算以及韦达定理化简： (3)直线I的方程为y=mx+2,联立直线AD、BC的方程求出点G的坐标，结合韦达定理化简得出 1 详解】山)依题意可得c=长=之，=h+cc=t-6，解得a=V2.b=C x2 所以椭圆c的标准方程为2+y=1。 (2)由(1)可得椭圆C的右焦点F(,0), 由题意知直线I的斜率存在，则设直线l的方程为y=k(x-), A(x,),B(x2,y2)（x≠1，x2≠1)，P(0o), x2 +y2=1 联立 2 ·得 y=k(x-1)(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0 4K2 2k2-2 +=1+2k2,=1+2k2, 又PA=(,片-%），PB=(:-%),AF=(1-x,-y),BF=(1-x,-2), PA=AAF,PB=4BF, 则(x,y-%)=(1-,-y),(x-%)=2(1-x,) 90/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、,2-龙， ++00-器 (1-x)1-x2) 1-(x+x2)+xx2 4k22(2k2-2） =1+221+2k2 1-421222 =-4」 1+2k2+1+2k2 B (3)略 >题型13参数问题 典创131】262高上京题义阶段检测已知椭圆片+(0>60的一个顶点为 A(0,1),离心率为2 (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(2,O)的直线与椭圆E交于B,C两点，过点B,C分别作直线1：x=1的垂线（点B,C在直线 I的两侧)垂足分别为M,N,记△BMP,△MNP,△CNP的面积分别为S,S2,S,试问：是否存在 常数1，使得S,2，S总成等比数列？若存在，求出，的值若不存在，请说明理由 x 【答案】四2+少=l (2)存在，1=1 当过点P(2,0)的直线斜率不存在时，直线为x=2,此时与椭圆没有交点， 所以直线BC的斜率存在，且B,C在x轴的同侧， 设直线BC的方程为y=k(x-2),B(:,y),C(x,),不妨设x<, 91/122 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则y>0,x<1<x, y=k(x-2) 自日y-100+249-x+x-2-0 8k2 8k2-2 所以△=81-2k)>0,+6=1+2派，3 1+2k2, 因为s=-x,s=2--州，s=3-。 所以8-8=4-0-xbw=4名-0-x)y (3-00-x03-203-2) =4[(+x)厂-xx-f][x-2(G+)+4 =62-小x-y-。2-%- G(2-[(+-4] 32k2-8 1+2k2 00-业-明 要sg度g-5器6-旷0-别 wy 1 则应有2+2=(-2，解得1=1， 所以存在1=1使得S,2,S,总成等比数列 92/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)由椭圆短轴顶点得到b=1,结合离心率与a2=b2+c2的关系式求出a,得到椭圆的标准方 程；(2)先设过定点P的直线，联立椭圆得到韦达定理，把三个三角形面积用x,x,,2表示，利用等 比中项写出关系式；将面积等式全部转化为+x,x的形式，由等式对任意斜率k恒成立，比较系数求出 常数t. c√2 【详解】(1)根据己知可得b=1a2’d2=b2+c2, 所以b=1,c=1,a2=b2+c2=2, x 所以椭圆E的方程为2+少=1 (2)略 核心口诀：参数值代入列方程，参数范围判别式；分离参数求最值，几何约束定范围。 高分技巧： 求参数值：将已知条件代入方程或等式，列方程求解： 求参数范围：由△>0得不等式；由韦达定理约束得不等式；由几何位置（点在内部、直线过区域 等)得不等式： 分离参数法：将参数分离到不等式一边，另一边为关于x的函数，求函数最值即得参数范围； 恒成立问题：转化为求函数最值，a≥fxma或a≤fx min: 有解问题：转化为求函数值域，a∈fx的值域： 定值、定点中参数：由恒成立思想确定参数，使参数系数为零： 答题规范：解出参数后必须检验△>0、定义域及几何条件，多解需取舍。 易错警示：判别式△>0是两交点必要条件；参数范围需与曲线定义域取交集；分离参数时注意分母正 E--------一 【典例132】 2+=1(a之b≥o)的一个顶点为A(0,一-)》 3 离心率为2 (1)求椭圆E的方程； 93/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2②)过点P(-2,-)作直线m与椭圆E交于不同的两点B,C,设直线AB,AC分别与x轴交于点M,N,若 △MNA的面积为I,求直线m的斜率k, x 【答案】04+y= (24 【分析】(1)由题意列出关于a,b,c的方程组即可求解： (2)设所求y=c+2k-1,B(x,),C(:,乃)，联立直线BC的方程与椭圆方程，结合韦达定理有 x1+x2= 4张+，考3=162-16 16k2-8k 4k2+1，而M,N的坐标可以用B,C的坐标表示，而△MNM的面积为1， 从而得关于k的方程即可求解 b=1 b=1 【详解】(1)由题，联立 c、3 a 2 ,解得c=3,所以椭圆的方程为上 a2=b2+c2 a=2 +y2=1 E 4 (2) 设直线BC的方程为y+1=k(x+2),即y=+2k-1,B(x,),C(x,), y=x+2k-1 联立实+少1·化简得 (4k2+1)x2+16k2-8K)x+16k2-16k=0 △=(16k2-8K)-4×(4k2+-(162-16k),△>0,64k>0,k>0, 42+,5=162-16k x+x=-162-8M 4k2+1, 宜a的方程为1=，令，0= 宜C的方程41，今，0=点：微点0 x2 由S=x1XMW=l,可得MN=kw-x=2, 94/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2(x-x2) MN= 以+1y2+1k(:+2)k(:2+2)k[x5+2(:+x)+4 16k2-8k 16k2-16k -4× 4k2+1 4k2+1 16k2-16k 2×16k2-8M =2,化简为 ，解得 +4 4k2+1 4k2+1 i×4R=2 1 k=4 【金试18】(250三下北家季淀并学考优E知702小，国号+若-o>60的左右贺 点分别为4，A,离心率为2，△TA4,的面积为4. (1)求椭圆E的方程： (②)过点T且斜率为k的直线交椭圆E于点C,D,若y轴上存在点卫使得△QCD为等边三角形，求k的值. + 【答案】)4+3 =1 ②k= 6 【分析】(1)由题目条件求出a,b,c,即可得答案： -8k (2)求出cD中点 6 4k2+3’4k2+3 进而得到CD中垂线方程，从而求出点Q坐标，再根据 lom-3 D列方程即可求出答案， c I a 2 【详解】(1)由题意， 2×2a×2=4,所以a=2 a2=b2+c2 b=5 c=1 所以椭圆方程为4+3 (2)直线CD方程为y=c+2, 2.y =1 联立43，消去化简得 y=x+2 y 4k2+3x2+16x+4=0 △=06-164+3引小0，解得2>4 95/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设C(,),D(3,), -16k 4 所以+x2= 4k2+3,5=42+3 因此cD中点H -8k6） 4k2+3'4k2+3 CD中垂线方程为y= x+8+6 k4k2+34k2+3 -2 如果存在点Q使得△0CD为等边三角形，则点Q一定是CcD中垂线与y轴的交点0,4k2+3 此时还需要QH= -8k 2 -2 6 8V2+1 而l川= 4k2+3 4k2+34k2+3 4k2+3” CD=+=+k -16k 16 V4k2+3 4k2+3 4+3V6k-16(4k2+3)=45v1+ V1+k2 4k2+3 2N4k2-1 因t8-5×45+E4-. 4k2+324k2+3 即写4，解得心=之 369 所以k=士3 6 0 令主 【变式132】(25：26高三上北京东城期末)已知椭圆C:二+广 :行+方=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F5: 5 离心率为5，设P(m,n)是椭圆c上一点，且在第一象限，PF+PF=25: 96/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求椭圆C的方程： (②)已知PE,不与x轴垂直.延长PF,PE分别与椭圆C交于点M,N,若点M到直线x=-3的距离与点N 24 到直线x=3的距离之和为5，求m的值. 【答案】(05+4 =1 (2)m=2 【分析】(I)根据题意建立a,bc的等式，解方程组求出a,b,c,从而得到椭圆C的方程 (2)设M(:,y),N(x,),利用点斜式求出直线P听和PE的方程，通过直线和椭圆联立方程组，利用 韦达定理得到m+和m+2,从而求出，x2,由点M到直线x=-3的距离与点N到直线x=3的距离之和 为5，得到3-+3-x=24 ,24 =5·代入x,x计算得到m的值. 2a=2v5 【详解】(1)由题意得 a 5 「，解得 a2=b2+c2 a=V5,b=2,c=1 x 所以c的方程为5+4=1， (2)设M(,),N(,),直线PR:y=k(x+),直线PEy=(x-I), 因为点P在椭圆C上，所以4m2+5n2=20. y=k(x+1) 由14x2+5y2=20得(5+4）x2+10kx+5k-20=0 10m）2 10k (m+1 10n2 m2-5 则m+x= 5k2+4 s n 5n2+4(m+1)2 m+3 +4 (m+1 3m+5 所以名=一 m+3: y=k2(x-1) 由4x2+5y=20,得(5+4）x2-10K3x+5-20=0 97/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10k3 10”） (m-1 10n2 m2-5 则m+x2= 5K+4 +4 5n2+4(m-1)2 m-3 m-1 3m-5 所以女3= m-3· 24 由于点M到直线x=3的距离与点N到直线x=3的距离之和为5， 所以小3-5-=+33-名=公故-号 6 3m-5,3m+56 m-3+m+3=5,解得m=t2 即 由于P(m,)在第一象限，所以m=2. =-3 F F2 【点睛】 重难专题分层过关练 巩固过关 x2.y2 1.(26:27高三上：北京期中)已知椭圆C:京+存=1(a>h>0)的一个焦点为F(-,0),椭圆c的左右 顶点分别为4,4,4，F=3 (1)求椭圆C的方程： 24W2 ②过点F的直线，卢椭圆c交于不同的两点M'N·若四边形AM4,N的面积为，求直线，的方程。 【1@+号-1 (2)x-y+1=0或x+y+1=0 98/122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)由c=1和a+c=3即可求解； (②通过直线斜率存在和不存在，结合四边形AM4N的面积44X,-,求解即可 【详解】(1)由题意可得：c=1,4F=a+c=3,所以a=2, 所以b2=4-1=3, x2 y2 即椭圆方程为4+3 =1 (2) A2 +y」 图直线斜率不存在时方程为：心联立精圆方性子？卫 3 可得：yM=2,yN三-2， 四边形4MAN的面积为S=A4,-w小-x4x3=6,合去： 当直线！斜率存在时，易知斜率不能为0，设直线方程为x=-1, x2.y2 联立椭圆方程4+3=1，消去x可得：(32+4)y2-6-9=0, 6k 9 yw+yw=3k+4 yM'y=4 所四边形44N的面积为：5=44小40w+了-4w元-24， 即， 6k2 36_12W2 3k2+43k2+47, 即： 6k2 36288 3k2+4T3k2+449, 144(k2+1288 即： (32+4)2 49 99/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即：2(32+42=49(k2+1）. 即：18k4-k2-17=0, 即：(18k2+17)(k2-)=0, 解得k2=1,即k=±1， 所以直线l的方程为：x-y+1=0或x+y+1=0 2.（26-27高三上北京朝阳开学考试)已知椭圆C:二+广 京+尿=1过点M(2,1）,且a=26'0为坐标原点， 平行于OM的直线I交椭圆于A,B两个不同的点. (1)求椭圆方程 (2)求证：直线MA,MB与y轴始终围成一个等腰三角形 x2,y2 【答案】四8+21 (2②)设直线MA,MB的斜率分别为k,k:,只需证明k+k=0即可 及6小6小则有-名，与会 x2-2 1 因为直线1平行于OM，kw=2 1 所以可设直线，的方程为y 2术+m B 联立，消去y,得x2+2x+2m2-4=0. △=(2m2-4(2m2-4）>0→-2<m<2,又m≠0， 所以-2<m<2且m≠0 所以x+x2=-2m,为2=2m2-4, 又k+6,=+1--2+-x-2) x-2x2-2 (x-2)(x2-2) 100/122